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CONTINUUM MECHANICS
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INTRODUCTION
Continuum mechanics:
Continuum assumption: matter is distributed continuously in space
No voids between molecules
Density function of the continuum is continuous:
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EXAMPLES OF CONTINUA
Crankshaft
Solids heart
Bridge
Water
Continua Fluids Oil
Blood
Air
Gas CO2
Steam
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WHY CONTINUUM MECHANICS?
Continuum mechanics is used to determine:
Stresses & Strains
Kinematics and deformation
Failure
F il
Fluid flow
Gas flow
Etc…
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MATHEMATICAL PRELIMINARIES: VECTORS
A vector quantity is represented by Force Vector
an arrow.
Length represents Line f force
Li of f
magnitude. (or pull).
Tail represents
point of force
Arrow head represents application.
application
direction.
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SCALARS
Scalars are quantities which are fully described by a
magnitude alone.
i d l
Examples are time, energy, speed, distance
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VECTORS
Vectors are quantities which are fully described by both a
magnitude and a direction.
Examples include force, momentum, velocity and
displacement.
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WHICH ARE VECTOR AND WHICH ARE
SCALARS?
Quantity Example Type
Length 5m Scalar
Velocity 30 m/sec, East Vector
Speed 30 m/sec Scalar
Temperature 20ºC Scalar
Energy 5 Joules Scalar
Displacement 2 m to the right Vector
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VECTOR ALGEBRA: ZERO AND UNIT VECTORS
Unit Vector: is a vector with a unit length
e such that e 1
ˆ ˆ
We can always extract a unit vector from any non zero vector
as:
u
eu
ˆ where u u eu
ˆ
u
Zero Vector: is a vector with a unit length
0 such that 0 0
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VECTOR ALGEBRA: VECTOR ADDITION
u v = v+u commutativity
t ti it
u v + w = u v + w associativity
u0 0u u null element
u u 0 opposite element
it l t
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VECTOR ALGEBRA: MULTIPLICATION BY A
SCALAR
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VECTOR ALGEBRA: SCALAR PRODUCT
Let u, v, and w be vectors in the plane or in space
and l t c b a scalar.
d let be l
1. The commutative property holds : u v v u.
2. The distributive property holds : u (v w) u v u w
3. c(u v) cu v u cv
4. 0 v 0
2
5. v v v
If is the angle between two nonzero vectors
uv
u and v then cos .
u v
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VECTOR ALGEBRA: VECTOR PRODUCT
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VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A
VECTOR
In a 3-dimensional vector space we can assign an
p g
ortho-normal vector basis:
such that
ORTHO
NORMAL
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VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A
VECTOR
Any vector can be expressed as a linear combination
y p
of the basis vectors :
All the expressions we saw previously and be
expressed in component form.
Vector sum:
Multiplication by scalar:
Scalar Product:
Vector Product:
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SUMMATION CONVENTION: FREE AND DUMMY INDICES
Component f
p form:
Can be written as:
By convention we write this as:
Examples of expressions using summation convention:
In this expression ‘i’ is a free index and j is a dummy
index
In this expression ‘k’ is a free index and ‘i’ and ‘j’ are dummy indices.
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SUMMATION CONVENTION: KRONECKER DELTA SYMBOL
The Kronecker delta symbol is defined as
y f
It is often in index notation expressions and equations
i ft i i d t ti i d ti
It is also known as the ‘substitution operator’ because it has
the effect of substituting one index by another.
Orthonormal basis vector are related by:
The scalar product is expressed as:
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SUMMATION CONVENTION: PERMUTATION SYMBOL
The permutation symbol is defined as:
p y f
Orthonormal basis vector are related by:
The cross product is expressed as:
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EPSILON-DELTA RELATIONSHIP
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VECTOR TRANSFORMATION LAW
Given two vector bases: B e1 , e2 , e3 and B ' e1' , e'2 , e3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ'
The directions of cosines are defined as: ij ei e j cos ij
ˆ ˆ'
A vector expressed in the two bases as:
u u1e1 u2e 2 u3e3 u1' e1 u2e'2 u3e3 or u ui ei u 'j e'j
ˆ ˆ ˆ ˆ' '
ˆ ' '
ˆ ˆ ˆ
u 'j e'j ui ei u 'j e'j e'k ui ei e'k u 'j jk ui ik uk ui ik
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '
Therefore the components of the vector transform
from base B to base B’ as:
u1' 11 12 13 u1
'
uk ui ik or u2 21 22
'
23 u2
u ' 33 u3
3 31 32
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MATRICES
A matrix is an ordered array of scalars:
y
a11 a12 a13 a14
A a21 a22
a23 a24 a ij i 1, 2,3 and j 1, 2,3, 4
a31 a32 a33
a34
a matrix with m rows and n columns is said to be an m×n
matrix.
an n×n matrix is a square matrix.
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MATRIX ADDITION AND MULTIPLICATION BY
A SCALAR
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TRANSPOSE & INVERSE OF A MATRIX
The transpose of a matrix A is denoted as AT
p
B AT bij a ji
AT A and A B A T BT
T T
AB
T
BT A T
The inverse of matrix A is denoted as A-1
1
AA 1 A 1A I
A 1 1
A and
1
AB B1 A 1
The determinant of a matrix A Aij as:
is given
det A ijk A1i A2 j A3k
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EXERCISES
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VECTOR CALCULUS
The del operator is the ‘vector’ 1 e1 2 e2 3 e3 i ei
p x
ˆ x ˆ x
ˆ x
ˆ
The gradient of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is a vector:
f
f x1
ˆ1 xf2 e 2 xf3 e3
e ˆ ˆ f
xi
ˆ
ei
i
ˆ
The divergence of a vector Aei field is given as:
div A A A1 A Ai
x1 A22 x33
x xi
Ae ˆ
The curl of a vector Aˆi is given as: e1
ˆ
e2 ˆ
e3
i
curl A A Ai
ijk x j ek
ˆ
x1
x2
x3
A1 A2 A3
The Laplacian of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is:
f f 2
x j
ˆ e
ej ˆ f
xi i
2 f
xi xi
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SUMMARY OF VECTOR FORMULAS
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TENSOR (EXAMPLE)
A vector is defined as an quantity requiring a direction
and a magnitude.
d it d
A tensor (2nd order) is a quantity that requires TWO
directions and a magnitude.
Example
E l
If a plane cuts through a continuum subject to external
forces (F1, F2,…) an internal stress vector T will appear.
Th magnitude & di i
The i d direction of T will d
f ill depend on th
d the
orientation of the plane defined by its normal n
Therefore, in order to completely define the stress state
at a point P on the plane two vectors are needed T and n
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2ND ORDER TENSORS: DYADS
A quantity that requires TWO directions to be
q y q
specified is called a dyad or 2nd Order tensors.
a dyad D is defined as the ‘product’ of two vectors u
& v and is written as:
di itt D uv
The product uv is known as the dyadic product it is just
the vectors written next to each other (it is also known as the
(
indeterminate vector product)
For vectors a and b the following dyadic product
properties h ld
ti hold:
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2ND ORDER TENSORS: VARIOUS PRODUCTS
A dyadic is defined as: D a1b1 a 2b 2 a N b N
The dot product of a dyad D with a vector v is a vector and is defined as
(this product is NOT commutative):
v D v a1 b1 v a 2 b 2 v a N b N = u prefactor
D v v b1 a1 v b 2 a 2 v b N a N = w postfactor
The vector product of a dyad D with a vector v is a dyad:
v D v a1 b1 v a 2 b 2 v a N b N = E
D v a1 v b1 a 2 v b 2 a N v b N = F
The dot product of two dyads D and E is a dyad (this product is NOT
)
commutative): DE ab cd bc ad F
The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this product IS
commutative): D E ab cd ac bd ai ci b j d j
The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this p
p y y ( product IS
commutative): DE ab cd bc ad bi ci a j d j
30. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
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2ND ORDER TENSORS: TRANSFORM,
PRINCIPAL VALUES, INVARIANTS
A dyadic D can be written in component form with respect to an
orthonomal basis as: D ab a b e e D e e
ˆˆ ˆˆ i j i j ij i j
The identity dyad I is such that: DI I D I ei ei e1e1 e 2e 2 e3e3
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2ne order tensors (dyads) transform between basis according to:
D ab ai b j ei e j ai b j ik e'k jme'm ik jm ai b j e'k e'm
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
The principal values of 2nd order tensor T are defined as the
roots of : T u u 0 Tik uk ui 0 Tik ik uk 0 det Tik ik 0
f
The determinant results in the Cubic equation known as the
characteristic equation: T u u 3 I1 2 I 2 I 3 0
I1 , I2 and I3 are the first, second and third invariants of tensor T
T u u 3 I1 2 I 2 I 3 0
(trace); I 2 TiiT jj - TijTij ; I 3 ijk T1iT2 jT3 j =det Tij
I1 Tii (t ) d t
31. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
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Modifié avec la ver
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VECTOR CALCULUS: EXERCISES
1. calculate the gradient vector of the following scalar fields:
g g
2.
3.
32. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
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Modifié avec la ver
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TENSOR CALCULUS: EXERCISES
1.
2.
3.
33. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
Modifié avec la ver
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DEFORMATION: DEFINITIONS
Point: designates a fixed location in space.
Particle: is a small infinitesimal volumetric element of a continuum it is also
called a material point
At any time t a continuum with a volume V and bounding surface S will occupy a
region R of Space
Space.
Configuration: The region occupied by the continuum at a given time t is known
as the configuration of the continuum at time t
Deformation: the change in shape of a continuum between an initial
(undeformed) configuration and a final deformed configuration.
X: material coordinates vector
x: spatial coordinates vector
u: displacement vector.
34. current and initial configuration of a deformed solid
Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciella version de démonstration de PDF Editor
Modifié avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Mo
35. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel la version de démonstrationModifié avec logiciellogiciella version de démonstration deun lo
Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Editor,version de démonstration de PDF Editor, PDF
Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un Modifié CAD-KAS (http://www.cadkas.com).
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current and initial configuration of a deformed solid
36. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
Modifié avec la ver
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DEFORMATION: LAGRANGIAN, EULERIAN
When a continuum deforms its particles move through space this motion is
defined
d fi d as:
This relation provides the current position of a particle that used to occupy the
position at the initial time t=0
This relation is a mapping with one-to-one correspondence, continuous and with
pp g p ,
continuous first partial derivatives.
The description of the motion of the particles in this way is known as the
Lagrangian formulation
The f
Th formulation i said to be E l i if the movement of the particles of the
l ti is id t b Eulerian th t f th ti l f th
continuum is given as:
the mappings and are unique inverses of one another
such that: X x (x, t ) . This can be true only if the Jacobian of the mappings is not
1
zero:
x xi
J ij det i 0
X X
j j
37. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
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Modifié avec la ver
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DEFORMATION GRADIENT
The gradient of the position coordinate vector xi with respect to material
coordinates Xi results in 2nd order tensor know as the material deformation
di l i 2 d d k h i ld f i
gradient given by:
x x
F x X xi e
ˆi ˆ j i ei i ei e j
e ˆ ˆˆ
X X X
j j j
The gradient of the displacement vector ui = xi – Xi produces the material
displacement gradient given as:
ui xi X i x
J u X ei e j
ˆˆ ei e j i ei e j ij ei e j F I
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
X j X j X j
Example: calculate the Jacobian, material deformation gradient and the
displacement deformation gradient of the following:
1 e 1
t
0
xi t
F e 1 1 0 ;
X j
0 0 1
J det F 1 et 1 e t 1
1 e 1
t
0 1 0 0 0
e 1
t
0
xi t
J FI ij e 1 1 0 0 1 0 e t 1 0 0 ;
X j
0 0 1 0 0 1 0
0 0
38. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
Modifié avec la ver
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DEFORMATION TENSORS I
î
î
Cauchy
Ca ch deformation tensor
Green deformation tensor
39. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
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DEFORMATION TENSORS II
The difference is used to measure deformation of a continuum
between two configurations:
Where Lagrangian finite strain tensor
Lagrangian finite strain tensor can be written in terms of displacements as:
If small deformation theory is assumed ui 1 the linear lagrangian finite
X
strain tensor j
Interpretation of the linear lagrange strain tensor:
ï ï
Example: find the linear lagrangian strain tensor for a line segment lying originally on the
X2 axis.
40. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
Modifié avec la ver
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DEFORMATION TENSORS: OVERVIEW
xi
deformation gradient F F
X j
ui xi
displacement gradient J J ij F I
X j X j
Cauchy deformation tensor
deformation
Tensors
Green deformation tensor
in terms of material
coordinates
Non-linear
Lagrangian finite in terms of
strain tensor p
displacements
Linear
41. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
Modifié avec la ver
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DEFORMATION: EXERCISES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
6
42. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
Modifié avec la ver
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DEFORMATION: EXERCISES II
1.
2.
43. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA
Modifié avec la version de démonstration de PDF
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STRESS: THE STRESS VECTOR
Consider a body subject to body forces and surface forces:
Use an imaginary plane to cut through the body.
New forces will appear at the newly created surfaces.
The stress vector a point P is defined as
The stress vector depends on the applied forces as well as the magnitude and
orientation of the area Da.