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                                        CONTINUUM MECHANICS
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             INTRODUCTION
                Continuum mechanics:
                     Continuum assumption: matter is distributed continuously in space
                         No voids between molecules
                         Density function of the continuum is continuous:
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             EXAMPLES OF CONTINUA

                                                               Crankshaft
                                           Solids              heart
                                                               Bridge


                                                               Water
          Continua                         Fluids              Oil
                                                               Blood


                                                           Air
                                           Gas             CO2
                                                           Steam
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             WHY CONTINUUM MECHANICS?
                Continuum mechanics is used to determine:
                     Stresses & Strains
                     Kinematics and deformation
                     Failure
                      F il
                     Fluid flow
                     Gas flow
                     Etc…
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            MATHEMATICAL PRELIMINARIES: VECTORS

              A vector quantity is represented by                                      Force Vector
               an arrow.
          Length represents                                                Line f force
                                                                           Li of f
          magnitude.                                                       (or pull).




                                                                                                  Tail represents
                                                                                                  point of force
          Arrow head represents                                                                   application.
                                                                                                  application
          direction.
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             SCALARS


              Scalars are quantities which are fully described by a
               magnitude alone.
                    i d l
              Examples are time, energy, speed, distance
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             VECTORS



              Vectors are quantities which are fully described by both a
               magnitude and a direction.
              Examples include force, momentum, velocity and
               displacement.
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Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co
Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt
Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
                                                                                                               (http://www.cadkas.com). démonstratio




             WHICH ARE VECTOR AND WHICH ARE
             SCALARS?

                          Quantity                            Example                                Type

                           Length                                 5m                                Scalar

                           Velocity                      30 m/sec, East                             Vector

                            Speed                            30 m/sec                               Scalar

                       Temperature                               20ºC                               Scalar

                           Energy                              5 Joules                             Scalar

                      Displacement                       2 m to the right                           Vector
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
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             VECTOR ALGEBRA: ZERO AND UNIT VECTORS

                Unit Vector: is a vector with a unit length
                                             e such that e  1
                                             ˆ           ˆ
                We can always extract a unit vector from any non zero vector
                 as:
                                   u
                              eu 
                              ˆ                    where u  u eu
                                                               ˆ
                                   u
                Zero Vector: is a vector with a unit length

                                          0 such that 0  0
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             VECTOR ALGEBRA: VECTOR ADDITION

                u v = v+u                                                         commutativity
                                                                                        t ti it
                u   v + w  = u  v  + w                                        associativity
                u0  0u  u                                                     null element
                u   u   0                                                     opposite element
                                                                                        it l      t
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             VECTOR ALGEBRA: MULTIPLICATION BY A
             SCALAR
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             VECTOR ALGEBRA: SCALAR PRODUCT
                           
               Let u, v, and w be vectors in the plane or in space
              and l t c b a scalar.
                 d let be         l
                                                       
              1. The commutative property holds : u  v  v  u.
                                                                 
              2. The distributive property holds : u  (v  w)  u  v  u  w
                              
              3. c(u  v)  cu  v  u  cv
                  
              4. 0  v  0
                   2
              5. v  v  v

               If  is the angle between two nonzero vectors
                                       
                                    uv
               u and v then cos    .
                                      u v
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             VECTOR ALGEBRA: VECTOR PRODUCT
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            VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A
            VECTOR
                In a 3-dimensional vector space we can assign an
                                            p               g
                 ortho-normal vector basis:
                           such that
                                                                                                        ORTHO

                                                                                                         NORMAL
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
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             VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A
             VECTOR
                Any vector can be expressed as a linear combination
                    y                 p
                 of the basis vectors         :

                All the expressions we saw previously and be
                 expressed in component form.
                     Vector sum:



                   Multiplication by scalar:
                   Scalar Product:


                     Vector Product:
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             SUMMATION CONVENTION: FREE AND DUMMY INDICES

                        Component f
                            p      form:

                     Can be written as:

                        By convention we write this as:
                     Examples         of expressions using summation convention:

                                  



                                     In this expression ‘i’ is a free index and j is a dummy
                                      index

                                  

                                     In this expression ‘k’ is a free index and ‘i’ and ‘j’ are dummy indices.
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
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             SUMMATION CONVENTION: KRONECKER DELTA SYMBOL

                        The Kronecker delta symbol is defined as
                                              y          f



                      It is often in index notation expressions and equations
                          i ft i i d           t ti         i      d      ti
                      It is also known as the ‘substitution operator’ because it has
                       the effect of substituting one index by another.

                        Orthonormal basis vector are related by:

                        The scalar product is expressed as:
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
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             SUMMATION CONVENTION: PERMUTATION SYMBOL

                        The permutation symbol is defined as:
                             p            y          f




                        Orthonormal basis vector are related by:



                        The cross product is expressed as:
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
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                               EPSILON-DELTA RELATIONSHIP
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             VECTOR TRANSFORMATION LAW
              Given two vector bases: B   e1 , e2 , e3  and B '   e1' , e'2 , e3 
                                             ˆ ˆ ˆ                      ˆ ˆ ˆ'
              The directions of cosines are defined as:  ij  ei  e j  cos  ij 
                                                                         ˆ ˆ'
              A vector expressed in the two bases as:

                      u  u1e1  u2e 2  u3e3  u1' e1  u2e'2  u3e3 or u  ui ei  u 'j e'j
                            ˆ      ˆ       ˆ        ˆ'    '
                                                            ˆ     ' '
                                                                   ˆ            ˆ         ˆ
                      u 'j e'j  ui ei  u 'j e'j  e'k  ui ei  e'k  u 'j jk  ui  ik  uk  ui  ik
                           ˆ        ˆ         ˆ ˆ            ˆ ˆ                              '

                Therefore the components of the vector transform
                 from base B to base B’ as:
                                                u1'   11 12                  13   u1 
                                                '                                      
                               uk  ui  ik or u2    21  22
                                '
                                                                                   23  u2 
                                                                                       
                                               u '                             33  u3 
                                                3   31  32                          
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                                                                                              de PDF       la un Editor, la version de démonstra
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             MATRICES
                A matrix is an ordered array of scalars:
                                            y
                              a11 a12      a13   a14 
                         A  a21 a22
                                           a23   a24   a ij  i  1, 2,3 and j  1, 2,3, 4
                                                        
                             
                              a31 a32      a33       
                                                  a34 

                   a matrix with m rows and n columns is said to be an m×n
                    matrix.
                   an n×n matrix is a square matrix.
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             MATRIX ADDITION AND MULTIPLICATION BY
             A SCALAR
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             TRANSPOSE & INVERSE OF A MATRIX
                The transpose of a matrix A is denoted as AT
                          p
                                      B  AT  bij    a ji 
                                                  
                               AT   A and                 A  B   A T  BT
                                      T                                 T



                               AB 
                                      T
                                           BT A T

                The inverse of matrix A is denoted as A-1
                                                         1


                                             AA 1  A 1A  I

                                    A   1 1
                                                   A and              
                                                                            1
                                                                              
                                                                      AB  B1 A 1
                The determinant of a matrix                                        A  Aij as:
                                                                                    is given
                                    det  A    ijk A1i A2 j A3k
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             EXERCISES
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             VECTOR CALCULUS
              The del operator is the ‘vector’   1 e1  2 e2  3 e3  i ei
                        p                             x
                                                        ˆ x ˆ          x
                                                                          ˆ     x
                                                                                   ˆ
              The gradient of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is a vector:
                               f
                   f         x1
                                     ˆ1  xf2 e 2  xf3 e3 
                                     e          ˆ           ˆ                   f
                                                                                xi
                                                                                      ˆ
                                                                                      ei
                                            i
                                               ˆ
                 The divergence of a vector Aei field is given as:
                  div  A     A          A1            A       Ai
                                              x1    A22  x33 
                                                      x              xi

                                     Ae               ˆ
                 The curl of a vector Aˆi is given as: e1
                                                                                                 ˆ
                                                                                                 e2       ˆ
                                                                                                          e3
                                       i
                          curl  A     A                        Ai
                                                                  ijk x j      ek 
                                                                                ˆ           
                                                                                           x1
                                                                                                  
                                                                                                 x2
                                                                                                           
                                                                                                          x3

                                                                                           A1    A2       A3
                The Laplacian of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is:

                  f   f         2
                                                    
                                                    x j
                                                           ˆ   e 
                                                           ej   ˆ f
                                                                   xi      i
                                                                                        2 f
                                                                                       xi xi
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             SUMMARY OF VECTOR FORMULAS
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             TENSOR (EXAMPLE)
                A vector is defined as an quantity requiring a direction
                 and a magnitude.
                    d        it d
                A tensor (2nd order) is a quantity that requires TWO
                 directions and a magnitude.
                Example
                 E       l



                If a plane cuts through a continuum subject to external
                 forces (F1, F2,…) an internal stress vector T will appear.
                Th magnitude & di i
                 The         i d       direction of T will d
                                                  f       ill depend on th
                                                                   d      the
                 orientation of the plane defined by its normal n
                Therefore, in order to completely define the stress state
                 at a point P on the plane two vectors are needed T and n
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             2ND ORDER TENSORS: DYADS
              A quantity that requires TWO directions to be
                  q       y         q
               specified is called a dyad or 2nd Order tensors.
              a dyad D is defined as the ‘product’ of two vectors u
               & v and is written as:
                      di      itt            D  uv
                 The product uv is known as the dyadic product it is just
                      the vectors written next to each other (it is also known as the
                                                             (
                      indeterminate vector product)
                For vectors a and b the following dyadic product
                 properties h ld
                       ti hold:
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             2ND ORDER TENSORS: VARIOUS PRODUCTS
                A dyadic is defined as:                 D  a1b1  a 2b 2    a N b N
                The dot product of a dyad D with a vector v is a vector and is defined as
                 (this product is NOT commutative):
                       v D   v a1  b1   v a 2  b 2     v a N  b N = u prefactor
                       D v   v b1  a1   v b 2  a 2     v b N  a N = w postfactor
                The vector product of a dyad D with a vector v is a dyad:
                         v  D   v  a1  b1   v  a 2  b 2     v  a N  b N = E
                             D  v  a1  v  b1   a 2  v  b 2     a N  v  b N  = F
                The dot product of two dyads D and E is a dyad (this product is NOT
                             )
                 commutative):     DE   ab  cd    bc  ad   F
                The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this product IS
                 commutative):      D  E   ab  cd    ac  bd   ai ci b j d j
                The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this p
                                   p                   y                        y (        product IS
                 commutative):       DE   ab  cd    bc  ad   bi ci a j d j
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             2ND ORDER TENSORS: TRANSFORM,
             PRINCIPAL VALUES, INVARIANTS
                A dyadic D can be written in component form with respect to an
                 orthonomal basis as: D  ab  a b e e  D e e
                                                   ˆˆ       ˆˆ        i   j i   j       ij i   j
                The identity dyad I is such that: DI  I D                             I  ei ei  e1e1  e 2e 2  e3e3
                                                                                              ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
                2ne order tensors (dyads) transform between basis according to:
                       D  ab  ai b j ei e j  ai b j   ik e'k   jme'm    ik  jm ai b j e'k e'm
                                       ˆˆ                     ˆ          ˆ                        ˆ ˆ
                The principal values of 2nd order tensor T are defined as the
                 roots of : T  u   u  0  Tik uk   ui  0  Tik   ik  uk  0  det Tik   ik   0
                        f
                The determinant results in the Cubic equation known as the
                 characteristic equation: T  u   u   3  I1 2  I 2   I 3  0
                   I1 , I2 and I3 are the first, second and third invariants of tensor T

                       T  u   u   3  I1 2  I 2   I 3  0
                                (trace); I 2  TiiT jj - TijTij ; I 3   ijk T1iT2 jT3 j =det Tij 
                       I1  Tii (t    )                                                    d t
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             VECTOR CALCULUS: EXERCISES
                1. calculate the gradient vector of the following scalar fields:
                                  g                              g




                2.



                3.
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             TENSOR CALCULUS: EXERCISES
                1.

              2.
              3.
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             DEFORMATION: DEFINITIONS
                Point: designates a fixed location in space.
                Particle: is a small infinitesimal volumetric element of a continuum it is also
                 called a material point
                At any time t a continuum with a volume V and bounding surface S will occupy a
                 region R of Space
                             Space.
                Configuration: The region occupied by the continuum at a given time t is known
                 as the configuration of the continuum at time t
                Deformation: the change in shape of a continuum between an initial
                 (undeformed) configuration and a final deformed configuration.


                                                                                    X: material coordinates vector
                                                                                    x: spatial coordinates vector
                                                                                    u: displacement vector.
current and initial configuration of a deformed solid




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                                                               Modifié avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com).         Mo
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                     current and initial configuration of a deformed solid
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             DEFORMATION: LAGRANGIAN, EULERIAN
                When a continuum deforms its particles move through space this motion is
                 defined
                 d fi d as:
                   This relation provides the current position of a particle that used to occupy the
                     position           at the initial time t=0
                   This relation is a mapping with one-to-one correspondence, continuous and with
                                          pp g                         p          ,
                     continuous first partial derivatives.
                   The description of the motion of the particles in this way is known as the
                     Lagrangian formulation
                The f
                 Th formulation i said to be E l i if the movement of the particles of the
                          l ti is id t b Eulerian th             t f th      ti l    f th
                 continuum is given as:
                the mappings                    and             are unique inverses of one another
                 such that: X  x (x, t ) . This can be true only if the Jacobian of the mappings is not
                                 1


                 zero:
                                      x      xi
                          J ij  det  i            0
                                      X      X
                                         j        j
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             DEFORMATION GRADIENT
                The gradient of the position coordinate vector xi with respect to material
                 coordinates Xi results in 2nd order tensor know as the material deformation
                     di             l i 2 d d               k        h        i ld f      i
                 gradient given by:
                                                                  x  x
                                  F  x X   xi e
                                                  ˆi        ˆ j    i ei   i ei e j
                                                              e            ˆ        ˆˆ
                                                        X         X      X
                                                           j          j       j


                The gradient of the displacement vector ui = xi – Xi produces the material
                 displacement gradient given as:

                                        ui             xi  X i          x
                         J  u X           ei e j 
                                             ˆˆ                      ei e j  i ei e j   ij ei e j  F  I
                                                                     ˆˆ           ˆˆ          ˆˆ
                                        X j              X j               X j
                Example: calculate the Jacobian, material deformation gradient and the
                 displacement deformation gradient of the following:
                                                                      1                e  1
                                                                                          t
                                                                                                    0
                                                           xi   t                               
                                                        F         e  1                1     0 ;
                                                           X j  
                                                                                                   
                                                                      0                      0     1
                                                                                                    
                                                        J  det  F   1   et  1 e  t  1
                                                                                     1                 e  1
                                                                                                           t
                                                                                                                   0 1 0 0  0
                                                                                                                                                e  1
                                                                                                                                                     t
                                                                                                                                                              0
                                                                   xi           t                                                                         
                                                        J  FI          ij    e  1                  1   0   0 1 0    e t  1         0    0 ;
                                                                   X j
                                                                                
                                                                                                                                                          
                                                                                     0                        0   1   0 0 1   0
                                                                                                                                                        0    0
                                                                                                                                                            
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             DEFORMATION TENSORS I
                                                                                                 î
                                                                                                 î




                                                                                                Cauchy
                                                                                                Ca ch deformation tensor

                                                                                                 Green deformation tensor
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             DEFORMATION TENSORS II
                The difference            is used to measure deformation of a continuum
                 between two configurations:


                Where                                   Lagrangian finite strain tensor
                Lagrangian finite strain tensor can be written in terms of displacements as:



                                                                
                If small deformation theory is assumed  ui  1 the linear lagrangian finite
                                                         X     
                 strain tensor                              j   



                Interpretation of the linear lagrange strain tensor:
                                                              ï                             ï
                Example: find the linear lagrangian strain tensor for a line segment lying originally on the
                 X2 axis.
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                                                                                                               (http://www.cadkas.com). démonstratio




             DEFORMATION TENSORS: OVERVIEW
                                                                    xi
                             deformation gradient F      F 
                                                                   X j


                                                               ui xi
                             displacement gradient J      J            ij  F  I
                                                               X j X j


                             Cauchy deformation tensor
             deformation
               Tensors
                             Green deformation tensor


                                                                     in terms of material
                                                                     coordinates
                                                      Non-linear
                              Lagrangian finite                      in terms of
                              strain tensor                             p
                                                                     displacements


                                                      Linear
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             DEFORMATION: EXERCISES
                1.

                2.

                3.

                4.

                5.

                6.
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             DEFORMATION: EXERCISES II
                1.




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             STRESS: THE STRESS VECTOR
                Consider a body subject to body forces and surface forces:




                Use an imaginary plane to cut through the body.
                New forces will appear at the newly created surfaces.
                The stress vector a point P is defined as
                The stress vector depends on the applied forces as well as the magnitude and
                 orientation of the area Da.
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  • 4. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio WHY CONTINUUM MECHANICS?  Continuum mechanics is used to determine:  Stresses & Strains  Kinematics and deformation  Failure F il  Fluid flow  Gas flow  Etc…
  • 5. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio MATHEMATICAL PRELIMINARIES: VECTORS  A vector quantity is represented by Force Vector an arrow. Length represents Line f force Li of f magnitude. (or pull). Tail represents point of force Arrow head represents application. application direction.
  • 6. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SCALARS  Scalars are quantities which are fully described by a magnitude alone. i d l  Examples are time, energy, speed, distance
  • 7. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTORS  Vectors are quantities which are fully described by both a magnitude and a direction.  Examples include force, momentum, velocity and displacement.
  • 8. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio WHICH ARE VECTOR AND WHICH ARE SCALARS? Quantity Example Type Length 5m Scalar Velocity 30 m/sec, East Vector Speed 30 m/sec Scalar Temperature 20ºC Scalar Energy 5 Joules Scalar Displacement 2 m to the right Vector
  • 9. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: ZERO AND UNIT VECTORS  Unit Vector: is a vector with a unit length e such that e  1 ˆ ˆ  We can always extract a unit vector from any non zero vector as: u eu  ˆ where u  u eu ˆ u  Zero Vector: is a vector with a unit length 0 such that 0  0
  • 10. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: VECTOR ADDITION u v = v+u commutativity t ti it u   v + w  = u  v  + w associativity u0  0u  u null element u   u   0 opposite element it l t
  • 11. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: MULTIPLICATION BY A SCALAR
  • 12. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: SCALAR PRODUCT    Let u, v, and w be vectors in the plane or in space and l t c b a scalar. d let be l     1. The commutative property holds : u  v  v  u.        2. The distributive property holds : u  (v  w)  u  v  u  w       3. c(u  v)  cu  v  u  cv   4. 0  v  0   2 5. v  v  v If  is the angle between two nonzero vectors     uv u and v then cos    . u v
  • 13. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: VECTOR PRODUCT
  • 14. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A VECTOR  In a 3-dimensional vector space we can assign an p g ortho-normal vector basis: such that ORTHO NORMAL
  • 15. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A VECTOR  Any vector can be expressed as a linear combination y p of the basis vectors :  All the expressions we saw previously and be expressed in component form.  Vector sum:  Multiplication by scalar:  Scalar Product:  Vector Product:
  • 16. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMATION CONVENTION: FREE AND DUMMY INDICES  Component f p form: Can be written as:  By convention we write this as:  Examples of expressions using summation convention:   In this expression ‘i’ is a free index and j is a dummy index   In this expression ‘k’ is a free index and ‘i’ and ‘j’ are dummy indices.
  • 17. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMATION CONVENTION: KRONECKER DELTA SYMBOL  The Kronecker delta symbol is defined as y f  It is often in index notation expressions and equations i ft i i d t ti i d ti  It is also known as the ‘substitution operator’ because it has the effect of substituting one index by another.  Orthonormal basis vector are related by:  The scalar product is expressed as:
  • 18. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMATION CONVENTION: PERMUTATION SYMBOL  The permutation symbol is defined as: p y f  Orthonormal basis vector are related by:  The cross product is expressed as:
  • 19. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EPSILON-DELTA RELATIONSHIP
  • 20. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR TRANSFORMATION LAW  Given two vector bases: B   e1 , e2 , e3  and B '   e1' , e'2 , e3  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ'  The directions of cosines are defined as:  ij  ei  e j  cos  ij  ˆ ˆ'  A vector expressed in the two bases as: u  u1e1  u2e 2  u3e3  u1' e1  u2e'2  u3e3 or u  ui ei  u 'j e'j ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ˆ ' ' ˆ ˆ ˆ u 'j e'j  ui ei  u 'j e'j  e'k  ui ei  e'k  u 'j jk  ui  ik  uk  ui  ik ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '  Therefore the components of the vector transform from base B to base B’ as:  u1'   11 12 13   u1   '    uk  ui  ik or u2    21  22 '  23  u2   u '     33  u3   3   31  32  
  • 21. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio MATRICES  A matrix is an ordered array of scalars: y  a11 a12 a13 a14  A  a21 a22  a23 a24   a ij  i  1, 2,3 and j  1, 2,3, 4      a31 a32 a33  a34   a matrix with m rows and n columns is said to be an m×n matrix.  an n×n matrix is a square matrix.
  • 22. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio MATRIX ADDITION AND MULTIPLICATION BY A SCALAR
  • 23. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio TRANSPOSE & INVERSE OF A MATRIX  The transpose of a matrix A is denoted as AT p B  AT  bij    a ji       AT   A and  A  B   A T  BT T T  AB  T  BT A T  The inverse of matrix A is denoted as A-1 1 AA 1  A 1A  I A  1 1  A and   1   AB  B1 A 1  The determinant of a matrix A  Aij as: is given det  A    ijk A1i A2 j A3k
  • 24. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EXERCISES
  • 25. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR CALCULUS  The del operator is the ‘vector’   1 e1  2 e2  3 e3  i ei p x ˆ x ˆ x ˆ x ˆ  The gradient of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is a vector: f f  x1 ˆ1  xf2 e 2  xf3 e3  e ˆ ˆ f xi ˆ ei  i ˆ The divergence of a vector Aei field is given as: div  A     A  A1 A Ai x1  A22  x33  x xi  Ae ˆ The curl of a vector Aˆi is given as: e1 ˆ e2 ˆ e3 i curl  A     A   Ai ijk x j ek  ˆ  x1  x2  x3 A1 A2 A3  The Laplacian of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is:  f   f  2   x j ˆ   e  ej  ˆ f xi i 2 f xi xi
  • 26. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMARY OF VECTOR FORMULAS
  • 27. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio TENSOR (EXAMPLE)  A vector is defined as an quantity requiring a direction and a magnitude. d it d  A tensor (2nd order) is a quantity that requires TWO directions and a magnitude.  Example E l  If a plane cuts through a continuum subject to external forces (F1, F2,…) an internal stress vector T will appear.  Th magnitude & di i The i d direction of T will d f ill depend on th d the orientation of the plane defined by its normal n  Therefore, in order to completely define the stress state at a point P on the plane two vectors are needed T and n
  • 28. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio 2ND ORDER TENSORS: DYADS  A quantity that requires TWO directions to be q y q specified is called a dyad or 2nd Order tensors.  a dyad D is defined as the ‘product’ of two vectors u & v and is written as: di itt D  uv  The product uv is known as the dyadic product it is just the vectors written next to each other (it is also known as the ( indeterminate vector product)  For vectors a and b the following dyadic product properties h ld ti hold:
  • 29. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio 2ND ORDER TENSORS: VARIOUS PRODUCTS  A dyadic is defined as: D  a1b1  a 2b 2    a N b N  The dot product of a dyad D with a vector v is a vector and is defined as (this product is NOT commutative): v D   v a1  b1   v a 2  b 2     v a N  b N = u prefactor D v   v b1  a1   v b 2  a 2     v b N  a N = w postfactor  The vector product of a dyad D with a vector v is a dyad: v  D   v  a1  b1   v  a 2  b 2     v  a N  b N = E D  v  a1  v  b1   a 2  v  b 2     a N  v  b N  = F  The dot product of two dyads D and E is a dyad (this product is NOT ) commutative): DE   ab  cd    bc  ad   F  The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this product IS commutative): D  E   ab  cd    ac  bd   ai ci b j d j  The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this p p y y ( product IS commutative): DE   ab  cd    bc  ad   bi ci a j d j
  • 30. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio 2ND ORDER TENSORS: TRANSFORM, PRINCIPAL VALUES, INVARIANTS  A dyadic D can be written in component form with respect to an orthonomal basis as: D  ab  a b e e  D e e ˆˆ ˆˆ i j i j ij i j  The identity dyad I is such that: DI  I D I  ei ei  e1e1  e 2e 2  e3e3 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  2ne order tensors (dyads) transform between basis according to: D  ab  ai b j ei e j  ai b j   ik e'k   jme'm    ik  jm ai b j e'k e'm ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  The principal values of 2nd order tensor T are defined as the roots of : T  u   u  0  Tik uk   ui  0  Tik   ik  uk  0  det Tik   ik   0 f  The determinant results in the Cubic equation known as the characteristic equation: T  u   u   3  I1 2  I 2   I 3  0  I1 , I2 and I3 are the first, second and third invariants of tensor T T  u   u   3  I1 2  I 2   I 3  0 (trace); I 2  TiiT jj - TijTij ; I 3   ijk T1iT2 jT3 j =det Tij  I1  Tii (t ) d t
  • 31. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR CALCULUS: EXERCISES  1. calculate the gradient vector of the following scalar fields: g g  2.  3.
  • 32. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio TENSOR CALCULUS: EXERCISES  1.  2.  3.
  • 33. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: DEFINITIONS  Point: designates a fixed location in space.  Particle: is a small infinitesimal volumetric element of a continuum it is also called a material point  At any time t a continuum with a volume V and bounding surface S will occupy a region R of Space Space.  Configuration: The region occupied by the continuum at a given time t is known as the configuration of the continuum at time t  Deformation: the change in shape of a continuum between an initial (undeformed) configuration and a final deformed configuration. X: material coordinates vector x: spatial coordinates vector u: displacement vector.
  • 34. current and initial configuration of a deformed solid Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciella version de démonstration de PDF Editor Modifié avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Mo
  • 35. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel la version de démonstrationModifié avec logiciellogiciella version de démonstration deun lo Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Editor,version de démonstration de PDF Editor, PDF Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un Modifié CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Modifié avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com). de PDF la un avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com current and initial configuration of a deformed solid
  • 36. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: LAGRANGIAN, EULERIAN  When a continuum deforms its particles move through space this motion is defined d fi d as:  This relation provides the current position of a particle that used to occupy the position at the initial time t=0  This relation is a mapping with one-to-one correspondence, continuous and with pp g p , continuous first partial derivatives.  The description of the motion of the particles in this way is known as the Lagrangian formulation  The f Th formulation i said to be E l i if the movement of the particles of the l ti is id t b Eulerian th t f th ti l f th continuum is given as:  the mappings and are unique inverses of one another such that: X  x (x, t ) . This can be true only if the Jacobian of the mappings is not 1 zero:  x  xi J ij  det  i  0  X  X  j  j
  • 37. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION GRADIENT  The gradient of the position coordinate vector xi with respect to material coordinates Xi results in 2nd order tensor know as the material deformation di l i 2 d d k h i ld f i gradient given by:     x  x F  x X   xi e ˆi   ˆ j    i ei   i ei e j e ˆ ˆˆ  X   X  X  j   j  j  The gradient of the displacement vector ui = xi – Xi produces the material displacement gradient given as: ui   xi  X i  x J  u X  ei e j  ˆˆ ei e j  i ei e j   ij ei e j  F  I ˆˆ ˆˆ ˆˆ X j X j X j  Example: calculate the Jacobian, material deformation gradient and the displacement deformation gradient of the following:  1  e  1 t 0  xi   t  F    e  1 1 0 ;  X j       0 0 1   J  det  F   1   et  1 e  t  1  1  e  1 t 0 1 0 0  0      e  1 t 0  xi   t  J  FI     ij    e  1 1 0   0 1 0    e t  1 0 0 ;  X j           0 0 1  0 0 1   0  0 0    
  • 38. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION TENSORS I  î  î Cauchy Ca ch deformation tensor Green deformation tensor
  • 39. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION TENSORS II  The difference is used to measure deformation of a continuum between two configurations:  Where Lagrangian finite strain tensor  Lagrangian finite strain tensor can be written in terms of displacements as:    If small deformation theory is assumed  ui  1 the linear lagrangian finite  X  strain tensor  j   Interpretation of the linear lagrange strain tensor:  ï ï  Example: find the linear lagrangian strain tensor for a line segment lying originally on the X2 axis.
  • 40. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION TENSORS: OVERVIEW  xi deformation gradient F F  X j ui xi displacement gradient J J  ij  F  I X j X j Cauchy deformation tensor deformation Tensors Green deformation tensor in terms of material coordinates Non-linear Lagrangian finite in terms of strain tensor p displacements Linear
  • 41. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: EXERCISES  1.  2.  3.  4.  5.  6. 6
  • 42. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: EXERCISES II  1.  2.
  • 43. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la ver Modifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.co Modifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (htt Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: THE STRESS VECTOR  Consider a body subject to body forces and surface forces:  Use an imaginary plane to cut through the body.  New forces will appear at the newly created surfaces.  The stress vector a point P is defined as  The stress vector depends on the applied forces as well as the magnitude and orientation of the area Da.