Bloque 02 02_1_eso

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BLOQUE II Números y Álgebra.
UNIDAD 2 Divisibilidad. Números primos y compuestos. MCD y MCM
Objetivos del bloque:
1. Divisibilidad de los números naturales. Criterios de divisibilidad. Números
primos y compuestos. Descomposición de un número en factores primos.
2. Múltiplos y divisores comunes a varios números. Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo de dos o más números naturales de os cifras. Números
negativos. Significado y utilización.
3. Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica.
4. Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación Números
decimales. Representación y ordenación.
5. Operaciones con números enteros.
6. Operaciones con fracciones.
7. Operaciones con decimales.
8. Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo
aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.
9. Potencias de números enteros con exponente natural. Cuadrados perfectos.
10. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.
11. Jerarquía de las operaciones.
12. Resolución de problemas con números naturales, enteros, fraccionarios y
decimales.
13. Iniciación al lenguaje algebraico. Traducción de expresiones muy sencillas del
lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
14. Operaciones con expresiones algebraicas o simbólicas muy sencillas.
15. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones sencillas.
Procedimiento:
1. Los apuntes como los ejercicios se deben realizar en el cuaderno de clase.
Ten en cuenta, que, dentro de la evaluación de esta unidad, hay una prueba
que se hace con los apuntes.
2. Utilizamos bolígrafo de color negro para los apuntes, de color verde, para los
títulos, azul, para los enunciados de los problemas y el lápiz para la resolución
de estos.

Evaluación:
Actitud en
clase
Cuaderno
Examen con
apuntes
Examen sin
apuntes
Nota Final
10% 20% 30% 40% 100%
Temario:
1. Concepto de múltiplo y divisor.
2. Criterios de divisibilidad.
3. Números primos y compuestos.
4. Descomposición de un número en producto de sus factores primos.
5. El máximo común divisor. Problemas.
6. El mínimo común múltiplo. Problemas.
7. Ejercicios.
1. Concepto de múltiplo y divisor.
Múltiplo de un número.
En matemáticas, un múltiplo de un número es el producto de ese número por algún
entero. En otras palabras, para las cantidades a y b, se dice que b es múltiplo de a si
b = n· a para algún entero n.
Idea Clave:
Según la definición:
𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚ú𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎 ⟺ 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 · 𝑎𝑎
Ejemplo: 10, es múltiplo de 2, porque 5 · 2 = 10.
Los primeros múltiplos del uno al diez se agrupan en las tablas de multiplicar.
Cuestión 2.2.1. Calcula cinco múltiplos para los siguientes números:
• 45
• 112
• 34
Idea Clave:
Otra forma de definir un múltiplo, el conjunto de los múltiplos de un número
determinado (salvo el cero) es infinito, pues existen infinitos naturales para
multiplicar.
Notaremos el conjunto de los múltiplos del número a por: M (a).
Ejemplo: M (3) = {3, 6, 9, 12, . . . ∞}
Cuestión 2.2.2. Calcula los múltiplos para los siguientes números:

• M (2) =
• M (10) =
Curiosidades:
Propiedades.
• Si b es un múltiplo de a, entonces a es un divisor de b.
• Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Otras.
• Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.
• En los múltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras es también
múltiplo de 3.
• Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5.
• Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los valores de sus
cifras es múltiplo de 3.
• En los múltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 9.
Cuestión 2.2.3. Según el recuadro anterior, escribe dos múltiplos para:
• Que sea múltiplo de 2.
Los números pares, son los números que son múltiplos de 2, luego entonces, todo
número que no es múltiplo de 2 es un numero impar.
Divisor de un número.
Cuando un número que divide a otro produce un residuo de cero unidades, se dice que
es divisor del número dividido. Ejemplo, el 4 es divisor de 12, ya que, 12 : 4 = 3, sin
residuo.
Idea Clave:
Podemos decir, que los divisores de un número son todos los números, que puedan
dar una división exacta de dicho número. Ese conjunto de divisores es siempre
finito.
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝑎𝑎)
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
En este caso, el número 12 solo tiene 6 divisores.
Cuestión 2.2.4. Calcula todos los divisores de las siguientes cantidades:
• Div (100)
• Div (25)

• Div (144)
2. Criterios de divisibilidad.
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de
una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.
Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cifra par o 0 376
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480, 4 + 8 + 0 = 12, y 12
es múltiplo de 3.
5 Si la ultima cifra acaba en 0 o 5 350
6 El número es divisible entre 2 y entre 3 a la
vez.
18, es divisible por 2 y por
3.
7 Un número es divisible entre 7 cuando, al
separar la última cifra de la derecha,
multiplicarla por 2 y restarla de las cifras
restantes la diferencia es igual a 0 o es un
múltiplo de 7.
34349: separamos el 9, y
lo doblamos (18),
entonces 3434-18=3416.
Repetimos el proceso
separando el 6 (341'6) y
doblándolo (12), entonces
341-12=329, y de nuevo,
32'9, 9 · 2=18, entonces
32-18=14; por lo tanto,
34349 es divisible entre
7 porque 14 es múltiplo de
7.
9 Un número es divisible por 9 si la suma de
sus cifras es múltiplo de 9.
3744: porque 3+7+4+4=
18 es múltiplo de 9.
10 Un número es divisible por 10 si su última
cifra es 0.
470
11 Si el número tiene sólo dos cifras y estas
son iguales será múltiplo de 11
22
Cómo puedes observar, algunas cantidades, pueden ser divisibles por varios números
a la vez:
• 480, es divisible por 2, por 3, por 5 y por 10.
• 470, es divisible por 2, por 5 y por 10
3. Números primos y compuestos.
Los números primos.

Un número primo es un número mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores;
que son el 1 y el propio número, por ejemplo, 5 es un número primo, ya que solo tiene
dos divisores, el 1 y el 5.
Cuestión 2.2.5. Escribe esta tabla en tu cuaderno
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• Tacha todos los números pares, menos el 2
• De los que quedan, tacha todos los divisibles por 5, menos el 5
• De los que quedan, tacha todos los divisibles por 11, menos el 11
• De los que quedan, tacha los divisibles por 3, menos el 3
Si lo has hecho de manera correcta, obtendrás todos los números primos
comprendidos entre 1 y el 100.
Los números compuestos.
Podríamos decir, que un número es compuesto, si no es primo. Lo cierto es, que un
número es compuesto, si además de tener una división exacta, 1 y el mismo, tiene
otros divisores. Por ejemplo, 12, es un número compuesto, ya que, además de poder
dividirse entre 1 y 12, también se puede hacer entre 2, 3, 4 y 6.
Idea Clave:
Un número compuesto es un número con más de dos divisores integrales.
Así todos los números (excepto 0 y 1) son o primos o compuestos.
4. Descomposición de un número en producto de sus factores primos.
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores
primos.
Mira este video: https://youtu.be/b9JwQGSm__Q
Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:

1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de
división) y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, ...) por el cual dicho número
sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.
2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente
hasta llegar a un cociente igual a 1.
Ejemplo, realizar la descomposición en producto de factores primos del número 24:
24 2
12 2
6 2
3 3
1
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23
· 3
Cuestión 2.2.6. Descompón las siguientes cantidades, en factores primos, y
exprésalo como producto de factores.
• 100
• 55
• 236
5. El máximo común divisor. Problemas.
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números al mayor número que los divide
sin dejar residuo, es decir, divisiones exactas.
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la
descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores
comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.
Ejemplo, queremos calcular el MCD de 24 y 60.
Primero, descomponer ambos números en producto de sus factores:
24 2 60 2
12 2 30 2
6 2 15 3
3 3 5 5
1 1
24 = 23
· 3
60 = 22
· 3 · 5
Segundo, que factores son los que se repiten en ambos, en este caso el 2 y 3.

Tercero, de los factores que se repiten, cuales son con la menor potencia, en este
caso 22
y 3
Cuarto, calcular, en este caso seria, 4 · 3 = 12. 12 es el MCD de 24 y 60.
24 = 23
· 3
60 = 22
· 3 · 5
MCD (24,60) = 22
· 3 = 4 · 3 = 12
Cuestión 2.2.7. Calcula el MCD en los siguientes casos:
• 32 y 100.
• 620, 425 y 42.
Problemas con MCD.
Tenemos una cuerda de 120 metros y otra de 200 metros. Se desea cortarlas para
obtener otras cuerdas, todas de la misma longitud, pero lo más largas posibles, de
modo que no sobre ningún trozo. Calcular la longitud de las cuerdas y el número total
de cuerdas.
120 = 23
· 3 · 5
200 = 23
· 52
MCD (120,200) = 23
· 5 = 40
6. El mínimo común múltiplo. Problemas.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor número que es
múltiplo común de todos ellos.
Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos,
expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el
resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la
mayor potencia, por ejemplo, el mcm de 72 y 50 será:
72 = 23
· 32
50 = 2 · 52
Los factores son el 2, 3 y 5; con la mayor potencia son: 23
, 32
y 52
.
72 = 23 · 32
50 = 2 · 52
mcm (72 y 50) = 23
· 32
· 52
= 8 · 9 · 25 = 1.800
Cuestión 2.2.8. Calcula el mcm en los siguientes casos:
Longitud de las cuerdas, 40 metros
120 : 40 = 3 cuerdas.
200 : 40 = 5 cuerdas. TOTAL cuerdas, 8

• 32 y 100.
• 620, 425 y 42.
Problemas con mcm:
Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a
Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes.
¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?
18 = 2 · 32
15 = 3 · 5
8 = 23
mcm (18, 15 y 8) = 23
· 32
· 5 = 8 · 9 · 5 = 360
¿Cómo saber en un problema si debo hacerlo con el MCD o con el mcm?
No hay una “ley” general para saber cuál de los métodos hay que utilizar, aunque
podemos establecer, que normalmente, cuando lo que me piden, calcular es una
cantidad mínima a los datos que me dan en el problema, aplicaremos el MCD; en caso
contrario, es decir, cuando lo que me piden calcular es una cantidad mayor a los datos
que me dan, aplicare el mcm. Visualiza el siguiente video, por si puede ayudarte sobre
este tema: https://youtu.be/nQWrs7-A1ac
PRACTICAS CON EXCEL SOBRE EL MCD y mcm.
Para calcular el MCD y el mcm, utilizaremos las funciones MCD y MCM de las
fórmulas del EXCEL.
Ejemplo MCD con EXCEL.
Vamos a calcular el MCD de 120 y 200. En la celda B1 escribimos la cantidad 120 y
en la celda B2 la cantidad 200. En la celda C2, escribimos MCD, y en la celda D2
escribimos =MCD(B1;B2), damos al intro, y nos debe aparecer 40:
Ejemplo mcm con EXCEL.
El procedimiento es el mismo que en el caso del MCD, pero utilizaremos la fórmula
MCM. Veamos, queremos calcular el mcm de 72 y 50. En las celdas B1 y B2, escribimos
Coincidirán, dentro de 360 días. Cómo hoy
es 10 de enero, el próximo día de
coincidencia será: el 4 de enero, del año
siguiente.

las cantidades, respectivamente. En la celda C2, escribimos mcm, y en la celda D2
escribimos =MCM(B1;B2), damos al intro, y nos debe aparecer 1.800:
7. Ejercicios.
1. Calcula según proceda, para los múltiplos solo 5 cantidades, para los divisores,
todos.
a. M (5) =
b. Div (10) =
c. M (9) =
d. M (14) =
e. Div (22) =
f. Div (45) =
2. De los divisores del ejercicio anterior, apartados b, e y f. Escribe los
divisores impares, y explica porque son.
3. Escribe cinco cantidades por cada criterio:
a. Que sean divisibles por 2 y por 5 a la vez
b. Que sean divisibles por 3.
c. Que sean divisibles por 5 y por 10 a la vez
d. Que sean divisibles por 6
e. Que sean divisibles por 9
f. Que sean divisibles por 11
4. Escribe 10 números primos, que estén entre 100 y 1000.
5. Escribe 10 números compuestos, y explica porque, que estén entre 1 y 100.
6. Descompón las siguientes cantidades, en factores primos, y exprésalo como
producto de factores.
a. 1.000
b. 999
c. 230
d. 76
e. 234.002
f. 888
g. 792
h. 96
i. 42

j. 777
7. Calcular los MCD, en los siguientes casos:
a. 100 y 1000
b. 180 y 225
c. 222 y 333
d. 12, 33 y 15
e. 18 y 12
f. 12, 36 y 48
8. Resolver estos problemas con el método MCD:
a. Rafa y Martina son hermanos mellizos y hoy es su cumpleaños. Rafa ha
llevado a clase 24 caramelos para repartir y Martina 18 nubes de
caramelo. Si desean repartir los dulces entre sus amigos de modo que
todos tengan la misma cantidad de cada dulce y que sea la mayor
posible, ¿a cuántos de sus amigos podrán dar dulces?
b. Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea
cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos
posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
c. Una tienda compra memorias USB de diferentes colores al por mayor.
Para Navidad hizo un pedido extraordinario de 84 memorias rojas, 196
azules y 252 verdes. Para guardar la mercancía de forma organizada,
exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los
colores y conteniendo el mayor número posible de memorias. Si se
cumplen las exigencias de la tienda, ¿cuántas memorias habrá en cada
caja y cuántas cajas de cada color habrá?
d. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l,
360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de
garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas
para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los
toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
e. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo
y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe
ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se
obtienen de la plancha de madera?
9. Calcular los mcm, en los siguientes casos:
a. 320 y 640
b. 420 y 1.260
c. 84 y 95
d. 105 y 210
e. 20, 30 y 50
f. 380 y 420
10. Resolver los siguientes problemas con el método del mcm:

a. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20,
36 y 48, en cada caso, da resto 9?
b. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un
tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos
siguientes. Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por
ejemplo en segundos.
c. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han
estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar
los dos a la vez en Barcelona?
d. En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck
pasa cada dos semanas. Se sabe que 15 días atrás ambos vehículos
pasaron en el mismo día. Raúl cree que dentro de un mes los vehículos
volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos
semanas. ¿Quién está en lo cierto?
e. Simón tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da
una vuelta completa a la pista en 31 segundos y el segundo lo hace en
17 segundos. Carlos también tiene su pista de carreras con dos autos,
pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo
en 42 segundos. Como Carlos siempre pierde cuando juegan, propone a
Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos
situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?
11. Resolver los siguientes problemas, aplicando el MCD o el mcm, razona en cada
uno de ellos, el método utilizado.
a. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A
tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la
caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún
botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que
hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?
b. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas
y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre
ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué
número de bolas de cada color tendrá cada collar?
c. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está
dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas
parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado
de cada parcela cuadrada?
d. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que
da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360
minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la

señal. a) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan
a coincidir? b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?
12. PRACTICA EXCEL, debes entregar una hoja de cálculo, según te indique el
docente, con el titulo bloque2_unidad_2.
a. Hoja 1, calculo de todos los MCD del ejercicio 7.
b. Hoja 2, calculo de todos los mcm del ejercicio 9.

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