1. CENTROIDE Y MOMENTOS DE INERCIA
Introducción
El centroide y los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia y
deformación de elementos estructurales tales como vigas y columnas, ya que definen las características
geométricas de la forma y tamaño de la sección transversal de los elementos estructurales. Por ello a
continuación se establece la definición y forma de determinar el centroide y los momentos de inercia.
Para precisar la ubicación del centroide y valorar los momentos de inercia primero se definen y
establecen para áreas simples, luego se indica la forma de calcularse en áreas compuestas además se definen
otras propiedades geométricas que son función del centroide y los momentos de inercia.
Centroide
Definición
El peso de un objeto generalmente se representa por el peso total aunque la realidad sugiere que debe
ser representado como un gran número de diferenciales de peso distribuidos en todo el objeto. Un sistema
equivalente al planteado consiste en determinar el peso total o resultante de todos los diferenciales de peso
donde la ubicación de la resultante es un único punto denominado centro de gravedad.
El centro de gravedad es el punto de aplicación en un cuerpo rígido de la resultante de las fuerzas
donde los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se
sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las
expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:
A = ∫ dA ; x A = ∫ xdA ; y A = ∫ ydA
(1)
Figura 1. Centroide del área A y coordenadas de una parte del área ∆A (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros
(Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Centroide de áreas compuestas
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras
comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc..). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el
centroide de cualquier superficie según:
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1

2. A = ∑ Ai ; x =
∑x A i i
; y=
∑yA
i i
(2)
∑A i ∑A i
Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de fórmulas para áreas comunes como los
indicados en la tabla del apéndice.
Figura 2. Subdivisión de un área (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E.,
1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Teorema de Pappus-Guidin
Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por
ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de
revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo.
Teorema I
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia
recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie.
Teorema II
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia recorrida por el
centroide del área al generar el cuerpo.
Momentos de Inercia
Definición
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto y es proporcional a
la ubicación del área asociada. Adicional al centroide tenemos el momento de inercia que además depende de
la distancia que está el área a un eje dado.
Figura 3. Esquema de Momento de Inercia (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston,
E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
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2

3. El momento de inercia es una propiedad geométrica (similar al área) de una superficie o área que
representa cuanta área está situada y que distancia está con respecto a un eje dado. Se define como la suma de
los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene
unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4). Es importante para el análisis de vigas y columnas,
porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia debido a que
define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. (Beer y Johnston, 1977; Das,
Kassimali y Sami, 1999; Parker y Ambrose, 1995)
Dada la definición de momento de inercia, esta se expresa según la Ecuación 3.
I x = ∫ y 2dA ; I y = ∫ x 2dA (3)
Momento de Inercia de franjas diferenciales
Al desarrollar la ecuación I x = ∫ y 2dA para una figura rectangular, es según la Figura 4 y respecto a
la base del rectángulo, la siguiente:
h
dy
y
b
Figura 4. Momento de Inercia de un área rectangular
h h
y3 bh 3
dA = bdy ; dI x = y bdy ⇒ I x = ∫ by dy ⇒ I x = b
2 2
⇒ Ix = (4)
0
3 0 3
Figura 5. Esquema de elemento diferencial de inercia. (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F.
y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
La anterior ecuación se desarrolla para un elemento diferencial según la Figura 5 y permite obtener el
momento de inercia de un área cualquiera al ser integrada.
1 3 1
dI x = y dx ⇒ I x = ∫ y 3dx (5)
3 3
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3

4. dI y = x 2 ydx ⇒ I y = ∫ x 2 ydx
(6)
Otras propiedades geométricas relacionadas con el Momento de Inercia
Además del área y el momento de inercia se tiene otras propiedades geométricas útiles para establecer
la sección transversal de un elemento estructural y están relacionados con el área y momento de inercia, estas
propiedades son: Momento Polar de Inercia, Radio de Giro y Módulo de Sección.
Momento polar de inercia
El momento polar de inercia es una propiedad importante para las secciones relacionadas con ejes
cilíndricos, polares además de elementos sometidos a torsión y se define según la Ecuación 7.
J O = ∫ r 2 dA ⇒ J O = I x + I y (7)
Figura 6. Momento Polar de Inercia (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E.,
1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Radio de giro
El radio de giro es una propiedad que se obtiene de considerar el área concentrada en una franja
paralela a un eje con un espesor diferencial, el radio de giro representa la distancia del área transformada para
que tenga el mismo momento de inercia respecto a eje dado (véase Figura 7). El radio de giro es útil en el
diseño de columnas y se determina según la Ecuación 8 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali, y Sami,
1999).
Figura 7. Radio de giro. (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
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4

5. Ix Iy JO
rx = ; ry = ; rO = (8)
A A A
Módulo de sección
El módulo de sección se define como la relación del momento de inercia respecto a la distancia de la
fibra más alejada al eje neutro1, esta propiedad es útil en el diseño de vigas y se determina según la Ecuación
9 (Parker y Ambrose, 1995).
Ix Iy
Sx = ; Sy = (9)
y x
Iy
Ix
C
Y
x
Figura 8. Modulo de Sección
Momento de inercia de áreas compuestas
Para establecer los momentos de inercia de áreas compuestas, se debe considerar que el momento de
inercia varía según el eje que se considere, por ello previamente se define el teorema de ejes paralelos que
valora el momento de inercia de una sección con respecto a un eje cualquiera una vez conocido el momento
de inercia con respecto al eje centroidal.
De esta forma se establece el valor de la inercia de un área compuesta al relacionar el momento de
inercia centroidal de cada área simple con respecto al centroide del área compuesta.
Figura 9. Esquema del Teorema de los Ejes Paralelos (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y
Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Teorema de los ejes paralelos
Cuando se combinan superficies, los momentos de inercia de cada área requieren de la transmisión del
momento de inercia al nuevo eje centroidal del área compuesta, esta se logra mediante el Teorema de los ejes
paralelos o Teorema de Steiner, donde el momento de inercia con respecto a una eje dado es igual al
1
Distancia que es igual a la longitud de la fibra al centroide.
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5

6. momento de inercia con respecto al eje centroidal paralelo al eje dado más el producto del área multiplicado
por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
I = I + Ad 2 ; r = r + d 2 ; J O = J C + Ad 2 (10)
Areas compuestas
Un área compuesta se puede subdividir en varias áreas comunes cuyas expresiones de momento de
inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma de los
momentos de inercia de cada área común, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo
eje; para ello se emplea el teorema de los ejes paralelos.
n
I eje = ∑ I ejei (11)
i =1
A2 xc2
C
A1
xc3
A3
xc1
Figura 10. Cálculo de Inercia de áreas compuestas.
En la Figura 10 se observa un área subdividida en tres figuras simples donde para determinar el
momento de inercia centroidal (eje horizontal c), es igual a la suma de los tres momentos de inercia referidos
al mismo eje c, por lo tanto previo a la aplicación de la Ecuación 11 es necesario aplicar la Ecuación 10 para
relacionar el momento de inercia centroidal de cada una de las áreas que la componen (ejes xc1, xc2, xc3) al eje
c.
Referencias
Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.
Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. México D.F,
México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores. México
D.F, México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
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7. Apéndice
Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunes
Forma Area
x y Ix Iy
Rectángulo BH
B H BH 3 B3H
2 2 12 12
Triangulo
H BH BH 3
3 2 36
B H BH BH 3 B3H
3 3 2 36 36
πD 2 πr 4 πr 4
Circulo
D D
πr 2 =
2 2 4 4 4
πr 2 9π 2 − 64 4 πr 4
Medio
Circulo
D 4r
r
2 3π 2 72π 8
πr 2 9π 2 − 64 4 9π 2 − 64 4
Cuarto
Circulo
4r 4r
r r
3π 3π 4 144π 144π
Media elipse 0
4b πab 9π 2 − 64 3 πa 3b
ab
3π 2 72π 8
Cuarto
elipse
de
4a 4b πab 9π 2 − 64 3 9π 2 − 64 3
ab ab
3π 3π 4 144π 144π
Parábola 0
3h 4ah 16ah 3 4a 3 h
5 3 175 15
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7

8. Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunes
Forma Area
x y Ix Iy
Media
parábola
3a 3h 2ah 8ah 3 19a 3 h
8 5 3 175 480
Extracto
parabólic
3a 3h ah 37 ah 3 a 3h
o 4 10 3 2100 80
Extractos
de forma
n +1
a
n +1
h
ah (7n2 + 4n + 1)ah3 ha 3
general n+2 4n + 2 n + 1 12(3n + 1)(2n + 1)2 (n + 3)(n + 2 )2
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