Capítulo 8.- TEORIA DE CONJUNTOSIntroducción       La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se des...
Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas.       En la definición por comprensión, la función ...
Es también frecuente el uso de los dos diagramas que siguen, llamados diagramas dedistribución, cuya utilidad se apreciará...
• ⊃ (…incluye a…)       Con estos símbolos, podemos enunciar la definición de inclusión así:                      A ⊂ B ⇔ ...
Definición:             C = A ∪ B ⇔ A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}Gráficamente:      U                        A             ...
3º) Propiedad Asociativa:       ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )Casos particulares:1º) Si un conjunto está incluido en otro, l...
PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS       La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que seen...
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  1. 1. Capítulo 8.- TEORIA DE CONJUNTOSIntroducción La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines delsiglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significadosrigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la presición del lenguaje en áreas de conocimientocomo la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menosen sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante de ciencias, por ello supresencia en la curríula de matemática para Ingeniería Agronómica.NOCIONES DE CONJUNTO Y DE ELEMENTO Un conjunto es cualquier agrupación o colección de objetos o entidades. Un elemento es cada uno de los objetos que forman un conjunto. Los conjuntos se designan o anotan generalmente con una letra mayúscula. Sus elementos seencierran entre llaves y si son literales, generalmente se usan minúsculas. Por ejemplo, el conjunto A, formado por los elementos 1, 2 y 3, se anota así: A = {1,2,3}DEFINICION ( O DETERMINACION) DE UN CONJUNTO Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de loselementos que lo forman. Se usan dos maneras para definir un conjunto: a) extensión o enumeración b) comprensión.DEFINICION POR EXTENSION O ENUMERACIÓN Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos quelo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno. Ejemplo: si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos M = {− 5;7} , lo hemos definido por extensión.DEFINICION POR COMPRENSION Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de unapropiedad que les es común a ellos y sólo a ellos. Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en unaproposición verdadera (V) sólo cuando a su/s variable/s se le/s asignan como valores los elementos deese conjunto. En el caso de conjuntos de interés matemático la función proposicional suele tener forma deuna ecuación, o también de una inecuación. Ejemplo: el mismo conjunto M del caso anterior puede ser definido por comprensión así:M = { x / x 2 − 2 x − 35 = 0}El símbolo “x/…” se lee: x, tal que…EQUIVALENCIA DE AMBAS DEFINICIONES 1
  2. 2. Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas. En la definición por comprensión, la función proposicional usada es la ecuación de segundogrado en una incógnita, x 2 − 2 x − 35 = 0 , que sólo se satisface como igualdad para sus raíces , quecalculamos a continuación, con la fórmula de Baskara: − b ± b 2 − 4.a.c − ( −2) ± ( −2) 2 − 4.1.( −35) 2 ±12 .x= = = 2.a 2 .1 2 De allí, x1 = 7 y x 2 = −5 Estos dos números son, precisamente, los elementos de M enumerados en la otra forma usada. Concluimos entonces que ambas formas definen al mismo conjunto y, por ello, sonequivalentes. Debe entenderse también que la función proposicional x 2 − 2 x − 35 = 0 , permite comprenderque el conjunto M está formado por los números –5 y 7, aún cuando éstos no sean nombradosexplícitamente, pues ellos son los únicos números que la transforman en una proposición verdadera.DOS CONJUNTOS ESPECIALES Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir comoespeciales: a) el conjunto vacío (simbolizado con φ) b) el conjunto universal (simbolizado con U) El conjunto vacío es el que no tiene elementos. El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata.DIAGRAMAS DE VENN-EULER Los diagramas de Venn-Euler están formados por curvas que encierran a los elementos de unconjunto del cual se necesita proponer un gráfico representativo. La letra mayúscula que lo nombra secoloca afuera de la curva. Ejemplo: A Si A = {1,2,3} , el gráfico será A x1 x 2 x 3 El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, puespara él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo superiorizquierdo. U 2
  3. 3. Es también frecuente el uso de los dos diagramas que siguen, llamados diagramas dedistribución, cuya utilidad se apreciará en sus aplicaciones.U A B U B A CLA PERTENENCIA La pertenencia es un concepto que permite observar la posición de un elemento cualquiera, conrespecto a un conjunto, también cualquiera. Así, dados un elemento y un conjunto cualesquiera, diremos que: a) el elemento pertenece al conjunto, o bien b) El elemento no pertenece al conjunto. Los símbolos usuales son ∈ ( pertenece) y ∉(no pertenece). Ejemplo: sea M = { x / x 2 − 2 x − 35 = 0} . a) − 5 ∈ M es una proposición V (verdadera). b) 7 ∈ M es una proposición V. c) 2 ∉ M es una proposición V. d) 4,25 ∈M es una proposición F (falsa). e) − 5 ∉ M es una proposición F. En síntesis: la pertenencia sólo se debe usar para comparar la posición de un elemento conrespecto a un conjunto. El formato usual es [elemento] ∈ [conjunto], o bien [elemento] ∉[conjunto],en donde los corchetes se deben interpretar como los lugares que en general han de ocupar lasentidades que se comparan.LA INCLUSION La inclusión es un concepto que permite comparar la ubicación de un conjunto con respecto aotro conjunto. Definición: un conjunto A está incluido en otro conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de A lo son también de B.Los símbolos usuales en este caso son: • ⊂ (…está incluido en…) • ⊄ (…no está incluido en…) 3
  4. 4. • ⊃ (…incluye a…) Con estos símbolos, podemos enunciar la definición de inclusión así: A ⊂ B ⇔ x∈ A⇒ x∈ Bo, usando el condicional contrarrecíproco (equivalente): A⊂ B ⇔ x∉ B ⇒ X ∉ A Propiedades de la inclusión:1º) Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo. ∀A : A ⊂ A2º) Propiedad Transitiva: A⊂ B∧B⊂C⇒ A⊂C3º) El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. ∀ : φ ⊂ A A4º) Todo conjunto está incluido en el Universal: ∀A : A ⊂ U U ACONJUNTOS IGUALES Definición: A= B ⇔ A⊂ B∧ B⊂ A Propiedades de la igualdad de conjuntos:1º) Propiedad Reflexiva: ∀A : A = A2º) Propiedad Simétrica: A=B⇒ B= A3º) Propiedad Transitiva: A = B ∧ B = C ⇒ A = COPERACIONES CON CONJUNTOSI- UNION DE DOS CONJUNTOS 4
  5. 5. Definición: C = A ∪ B ⇔ A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}Gráficamente: U A B A∪ BPropiedades:1º) Propiedad de Idempotencia: A∪ A = A2º) Propiedad Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A3º) Propiedad Asociativa: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )Casos particulares:1º) Si un conjunto está incluido en otro, la unión de ambos es el conjunto incluyente. A ⊂ B ⇒ A∪ B = BGráficamente: B A A∪ BPor lo tanto: a) A ∪φ = A ; b) A ∪ U = U .II- INTERSECCION DE DOS CONJUNTOSDefinición: C = A ∩ B ⇔ A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}Gráficamente: U A B A∩ BPropiedades:1º) Propiedad de Idempotencia: A∩ A = A2º) Propiedad Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A 5
  6. 6. 3º) Propiedad Asociativa: ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )Casos particulares:1º) Si un conjunto está incluido en otro, la intersección de ambos es el conjunto incluido. A ⊂ B ⇒ A∩ B = AGráficamente: B A A∩ BResulta, entonces, que: c) A ∩φ = φ ; d) A ∩ U = A .2º) Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, los dos conjuntos se dicen disyuntos, yrecíprocamente. A ∩ B = φ ⇔ A es disyunto con BGráficamente: U A BIII- COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS Definición: se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos de U, que no pertenecen a A. El complemento de A se denota con A´, o con A . Usaremos preferentemente la segundanotación. Entonces: A = { x / x ∈U ∧ x ∉ A} , o bien, A = { x / x ∉ A} En forma gráfica: U A APropiedades de la complementación:1º) Propiedad Involutiva: ( A) = A2º) A ⊂ B ⇒ B ⊂ A 6
  7. 7. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que seenuncian simbólicamente a continuación: I) Propiedad distributiva de la unión, con respecto a la intersección ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) II) Propiedad distributiva de la intersección, con respecto a la unión ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )LEYES DE DE MORGAN A su vez, la unión y la intersección de conjuntos se relacionan con la complementación deconjuntos a través de otras dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación: I) Primera ley de De Morgan ( A ∪ B) = A ∩ B II) Segunda ley de De Morgan ( A ∩ B) = A ∪ BIV- DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS Definición: C = A − B ⇔ A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}Gráficamente: U A B A - BObservación: la diferencia de conjuntos no es conmutativa. A-B ≠ B-APropiedades:1º) A-B = A ∩ B2º) Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia: ( A − B) ∩ C = ( A ∩ C ) − ( B ∩ C ) 7
  8. 8. 8

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