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ONEM 2010: Fase N°1- Nivel 3

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ONEM 2010: Fase N°1- Nivel 3

  1. 1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana Primera Fase - Nivel 3 17 de junio de 2010 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas. - No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´alculos. - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega. - Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas. MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS 1. Las fechas de cumplea˜nos de Blanca, Cristina, Daniela y Flor son abril 1, abril 21, junio 17 y julio 21, no necesariamente en ese orden. Sabemos que Flor naci´o el mismo mes que Cristina y que el n´umero de d´ıa en que nacieron Cristina y Daniela es el mismo, aunque nacieron en distintos meses. ¿Qui´en naci´o en junio 17? A) Cristina B) Daniela C) Blanca D) Flor E) No se puede determinar 2. ¿Cu´antos grados sexagesimales mide un ´angulo cuyo complemento equivale al 10 % de su suplemento? A) 18 B) 60 C) 80 D) 70 E) 75 3. Si p, q, r son enteros positivos tales que pq = 24 y qr = 20, hallar el menor valor que puede tomar p + q + r. A) 45 B) 24 C) 15 D) 12 E) 20 4. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es el mayor? A) sen 20◦ B) sec 20◦ C) tan 20◦ D) csc 20◦ E) cos 20◦ 5. Un n´umero natural N tiene tres d´ıgitos. El d´ıgito de las centenas es igual a la suma de los otros dos, y el qu´ıntuplo del d´ıgito de las unidades equivale a la suma de los d´ıgitos de las centenas y decenas. Al invertir el orden de sus d´ıgitos, el n´umero N queda disminuido en 594. Hallar el resto de dividir N entre 20. A) 15 B) 11 C) 8 D) 5 E) 3 6. ¿Cu´antos valores reales de x satisfacen la siguiente ecuaci´on? |x − 4| + |x − 3| = 9 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1
  2. 2. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 7. En un tri´angulo ABC, recto en C, se cumple que sen A = sen B + 1 3 . Calcular tan A · cos2 A. A) 2 3 B) 1 9 C) 4 9 D) 9 4 E) 8 9 8. Si n es un entero positivo, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones acerca del n´umero (1 + n3 + n6 + n9) siempre es correcta? I. Es un cuadrado perfecto. II. Es un n´umero compuesto. III. Es un n´umero par. A) S´olo I B) I y II C) I, II y III D) S´olo II E) II y III 9. Se traza la altura BH en el tri´angulo equil´atero ABC que tiene lado 6 √ 3 y D es un punto de AH tal que DH = 3(2 − √ 3). A B CHD P Calcular el ´area del sector circular DCP. A) 3π B) √ 3π C) 2π D) 3 √ 3π E) 6π 10. Determinar el m´aximo valor de F = 7 + 3 cos θ 2 + cos θ , donde 0◦ ≤ θ ≤ 180◦. A) 1 B) 7 2 C) 4 D) 10 3 E) 3 10 11. Decimos que un n´umero de la forma abc es bueno si a2 = b × c. Determinar el mayor n´umero bueno que est´a formado por tres d´ıgitos distintos. Dar como respuesta la suma de sus d´ıgitos. A) 17 B) 18 C) 21 D) 20 E) 19 2
  3. 3. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 12. Si n es un entero positivo, la expresi´on n!, llamada factorial de n, denota el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n; es decir: n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n. Determinar el menor entero positivo m para el cual el siguiente n´umero es m´ultiplo de 2010: 1! × 2! × 3! × · · · × m! A) 201 B) 2010 C) 100 D) 67 E) 30 13. Los equipos de f´utbol de Per´u, Brasil, Chile y Argentina jugaron un torneo cuadrangular de f´utbol, donde cada equipo jug´o contra cada uno de los otros equipos exactamente una vez. Es decir, se jugaron 6 partidos en total. En cada partido se otorga 3 puntos al ganador, 0 puntos al perdedor, y 1 punto a cada equipo en caso de empate. Determinar cu´ales de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. Al terminar el torneo es posible que alg´un equipo tenga 7 puntos. II. Es posible que Per´u haya obtenido el primer lugar del torneo, a pesar de que haya perdido contra Argentina. III. Si un equipo no perdi´o ning´un partido, puede terminar con 4 puntos. IV. Un equipo que obtuvo 6 puntos puede ser el ´unico que ocupa el primer lugar del torneo. A) I, III y IV B) I y IV C) I y II D) I, II y IV E) II y III 14. La hipotenusa del tri´angulo rect´angulo ABC mide 2 √ 2 y ∠ACB = α. La recta L es perpen- dicular a la hipotenusa y divide al tri´angulo ABC en dos regiones de igual ´area. Calcular la distancia de C a la recta L. L C B A a A) sen α B) 2 sen α C) tan α D) √ 2 cos α E) 2 cos α 15. ¿De cu´antas formas se pueden ordenar las letras de la palabra CONTEO si las vocales no pueden ir juntas, ni tampoco las consonantes? Aclaraci´on. Un orden posible es ENOTOC. Notar que no importa si la palabra tiene o no significado. A) 12 B) 72 C) 24 D) 36 E) 18 3
  4. 4. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 16. Sea ABC un tri´angulo rect´angulo, recto en B. En la hipotenusa AC se ubica el punto D de tal forma que BD = BC, y en la prolongaci´on de BD se ubica el punto E tal que ∠AEB = 90◦. Si AE = 3 y la distancia de D a BC es 6, calcular AC AD . A) 2 3 B) 3 2 C) 2 D) 3 E) 10 3 17. En la siguiente figura, ABCD es un rect´angulo que tiene la misma ´area que el tri´angulo rect´angulo DFE. E F D C A B Si AD = m y FD = n, hallar la distancia de B a la recta AE. A) n2 m B) n3 2m2 C) 2n3 m2 D) m3 2n2 E) n3 m2 18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de B y, adem´as, la suma de los d´ıgitos de A es igual a la suma de los d´ıgitos de B. Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300 y, adem´as, 1+2 = 3+0+0. Si 2 y 11 son hijos de N y n1 < n2 < n3 < n4 son los cuatro menores valores que puede tomar N. Calcular el resto de dividir n4 entre 14. A) 0 B) 2 C) 8 D) 10 E) 6 19. Sean a, b, c n´umeros diferentes de 0, tales que a + b + c = −abc y 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = 2. Hallar el valor de ab c2 + bc a2 + ca b2 A) −1 B) 3 C) 1 D) 0 E) −3 4
  5. 5. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 20. En el Tablero 1 se han pintado 15 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en com´un con alg´un cuadradito negro”. ¿Cu´al es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2 para que se cumpla la misma propiedad? Tablero 1 Tablero 2 A) 10 B) 11 C) 7 D) 8 E) 9 GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON 5

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