1.
Tema 8-9-10: Derivades
1. Introducció
1.1 Conceptes previs
1.2 La taula de derivades
1.3 Interpretació gràfica
2. Definició de derivada
3. Derivabilitat de funcions
4. Aplicacions de la derivada
4.1 Estudi i representació de funcions
4.2 Problemes d'optimització

2.
1. Introducció
1.1 Conceptes previs
-En una funció, per a cada valor de x es correspon un valor de y.
-Per a qualsevol punt d'una funció corba hi passa una recta tangent.
-Les rectes són funcions del tipus y = mx + n, on m és la pendent.
-La derivada d'una funció en un punt determinat és la pendent (m) de la recta
tangent a aquest punt.
-Per a cada funció f (x) existeix una funció derivada f '(x) que ens indica
ràpidament aquesta pendent m per a qualsevol valor de x.

3.
a) Funcions elementals
b) Regla de la
cadena
1.2 La taula de derivades

4.
c) Regles de derivació
p174ss: 33, 34, 35, 40, 41, 45, 49, 52, 57, 63 i 66.
[ f (x)+g(x)]'= f ' (x)+g ' (x)
[k·f (x)]'=k·f ' (x)
[ f (x)· g(x)]'= f ' (x)· g(x)+ f (x)· g ' (x)
[
f (x)
g(x)
]'=
f ' (x)· g(x)− f (x)· g ' ( x)
[ g(x)]2
[(g ο f )(x)]'=g ' ( f (x))· f ' (x)
1.3 Interpretació gràfica
Exemple y = x2
i y' = 2x

5.
2. Definició de derivada
-La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval?
TVM ([a ,b])=
f (b)− f (a)
b−a
a b
f(b)
f(a)
-La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret)
TVM ([a ,b])=mr
a a+h
f(a+h)
f(a)
f ' (a)=lim
h→ 0
f (a+h)− f (a)
h
a
f(a)
h h→ 0
f ' (a)=mr
p159: E2, p163: E4
p157: 2, 5

6.
3. Derivabilitat de funcions
-Una funció NO és derivable en:
Comprovar en x=-1 de: f (x)=
x+1
x2
+x
a) Punts de discontinuïtat
b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra
i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió.
c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞
d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞
-Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a.
I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a
si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a

7.
4. Aplicacions de la derivada
Repàs últim apartat del tema anterior
a) Domini
Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0
b) Punts de tall amb els eixos
Eix y: Càlcul de f (0)
Verticals en x = c quan:
c) Asímptotes
Horitzontals en y = k quan:
lim
x →c
f (x)=∞
lim
x →±∞
f (x)=k
Obliqües en y = mx + n quan: lim
x →∞
f (x)
x
=m=0
lim
x →∞
[ f (x)−mx]=n
4.1 Estudi i representació de funcions

8.
Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix
d) Monotonia (creix o decreix)
e) Curvatura (còncau o convex)
Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim
Si f''(a) > 0 Mínim
Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa
Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió
p172: 31,32, 36, 37, 38, 39, 43, 44, 54, 55
p213: 1,2,8,9,10,11,13,15,16,17,19,20

9.
Objectiu: interpretar les funcions donades / construïdes
a) Problemes amb la funció donada
1r: Fer derivada
2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim)
f ' (t)=10−2t
10−2t=0;t=5mesos
3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín
f ' ' (t)=−2
Exemple: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2
t: temps en mesos
En quin moment és el màxim benefici?
Negatiu, per tant màxim.
El màxim benefici és al cap de 5 mesos
4.2 Problemes d'optimització

10.
b) Problemes en què cal construir la funció
1r: Expressar funció
2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x))
f (x , y)=x2
+2y
x· y=125
3r: Seguir amb el procés anterior
f ' (x)=2x−
250
x
2
Exemple: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de tal
manera que el valor del quadrat del primer més el doble del segon
sigui mínim
condició
Els nombres són el 5 i el 25.
p234 24,25,26,27,28,29,30
funció
y=
125
x
f (x)=x2
+2·
125
x
2x−
250
x
2
=0; x=5
f ' ' (x)=2−
500
x3
f ' ' (5)=6>0

11.
3. Teorema de Rolle
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b),
i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un
punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim.
Michel Rolle
"per força la funció ha de fer un retorn"
p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88

12.
4. Regla de l'Hôpital
Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0.
p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107
lim
x →c
f (x)
g (x)
=lim
x→c
f ' (x)
g ' (x)
lim
x →−1
x2
+4x+3
x
3
+1
=
0
0
Exemple:
lim
x →−1
x2
+4x+3
x
3
+1
= lim
x →−1
2x+4
3x
2
=
2
3
f ' (x)=2x+4
g ' (x)=3x2