Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×

01 i 02 Matrius i determinants

Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Nächste SlideShare
6 Matrius 2n Batxillerat
6 Matrius 2n Batxillerat
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 19 Anzeige
Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Ähnlich wie 01 i 02 Matrius i determinants (20)

Anzeige

Aktuellste (20)

Anzeige

01 i 02 Matrius i determinants

  1. 1. Tema 1 i 2: Matrius i determinants 1. Nomenclatura i classificació 2. Operacions amb matrius 3. Càlcul de determinants 4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada 5. Propietats dels determinants 6. El rang d'una matriu 7. Matrius inverses
  2. 2. 1. Nomenclatura i classificació p8 1,2,3,4,5,6 element ( a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn ) columna fila Ordre: m x n Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la, matriu oposada, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular, matriu transposada (t A), matrius iguals.
  3. 3. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu escalar, matriu identitat o unitat (I). Només en les matrius quadrades: -Matrius simètriques: A = At , per tant aij = aji -Matrius antisimètriques: -A = At , per tant -aij = aji A= ( a m n m b v n v c) A= ( a m n −m b v −n −v c)p11 7, 8, 9, 10, 11 Conceptes: diagonal principal, secundària i traça.
  4. 4. 2. Operacions amb matrius Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij = k · aij Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna: (a11 a12 ... a1n )· ( b11 b21 ... bn1 )=a11 ·b11+a12 ·b21+...+a1n ·bn1 ( b11 b21 ... bm1 )·(a11 a12 ... a1n )= ( b11 ·a11 b11 ·a12 ... b11 ·a1n b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n ... ... ... ... bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n ) “El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”
  5. 5. Multiplicació de dues matrius: p15 12,13,14,16abcd,17,19,20 Activitats finals: 5,10,12,17,22a (c11 c12 c21 c22 ) -Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona. -La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la segona. -Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa. (5 −3 4 0 1 2)· ( 4 2 0 5 1 3)= c11=5· 4+(−3)·0+4·1=24 c21=0·4+1·0+2·1=2 c12=5· 2+(−3)·5+4·3=7 c22=0·2+1·5+2·3=11 =(24 7 2 11)
  6. 6. 3. Càlcul de determinants Exemples ràpids D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus A= (a11 a12 a21 a22 ) ∣A∣= ∣a11 a12 a21 a22 ∣=a11 ·a22−a12 ·a21 A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) ∣A∣= ∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣=a11 ·a22 ·a33+a12 ·a23 ·a31 +a21 ·a32 ·a13−a13 ·a22 ·a31−a12·a21 ·a33−a23·a32 ·a11 p22 1,2,3,4
  7. 7. A= ( 1 2 1 −3 3 0 −2 4 1) -Menor complementari d'un element: és el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element. p23 E2 M 21= ∣2 1 4 1∣=−2 A= ( 1 2 1 −3 3 0 −2 4 1) -Adjunt d'un element: és el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el signe canviat segons si “i + j” és parell o senar. Fer alguns exemples m21= (−1)2+1 ·∣2 1 4 1∣=−1·(−2)=2 4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada
  8. 8. E4, E5, p26: 6, 9 i 10 Determinant d'una matriu qualsevol: És igual a la suma dels productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels seus adjunts corresponents. A= ( 1 2 1 −3 3 0 −2 4 1) -Matriu adjunta: és la matriu resultant de fer els adjunts de cada un dels elements. p24 E3 Adj(A)= ( 3 3 −6 2 3 −8 −3 −3 9 )
  9. 9. 5. Propietats dels determinants Exemple ordre 3 ∣ k ·a11 k ·a12 k ·a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣=k ·∣A∣ Exemple ordre 3 1a) |A| = |At | 2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues columnes, el determinant canvïa de signe. Exemple ordre 3 3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per aquest nombre. Atenció!: |k·A| = kn · |A| Exemple ordre n=3
  10. 10. Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 4a) Si té una fila o columna de 0's, el determinant és 0. 5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinació lineal de les altres, el determinant no varia. *no val multiplicar la fila que variem, pq sinó multiplicaríem també el valor del determinant (prop. 3) Exemple ordre 3+ exemple per propietats 6a) Si té dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el determinant és 0.
  11. 11. Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 7a) Si té una fila o columna que és combinació lineal de les altres, el determinant és 0. 8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres dos determinants separant una fila o columna en dos sumands. Exemple ordre 3 9a) |A · B| = |A| · |B|
  12. 12. 6. El rang d'una matriu A= ( 1 0 −2 3 4 1 2 2 −5 −2 3 1)Exemple: 1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0 E7,E8,E9 p32: 15 A= ( 1 0 −2 3 4 1 2 2 −5 −2 3 1) |1 0 4 1|=1 ≠ 0 Rang ≥ 2 2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0 ∣ 1 0 −2 4 1 2 −5 −2 3 ∣=13 ≠ 0 Rang = 3 És el nombre de files/columnes no nul·les linealment independents. Coincideix amb l'ordre del menor més gran diferent de zero de la matriu.
  13. 13. 7. Matrius inverses Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars. A· A−1 =In -Propietats: A−1 · A=I n (A−1 )−1 =A (A· B)−1 =B−1 · A−1 (At )−1 =(A−1 )t
  14. 14. Matriu dels adjunts: Ex d'ordre 3, 21 A−1 = 1 ∣A∣ · Adj(A)t A= ( a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ) Adj(A)= ( m11 m12 ... m1n m21 m22 ... m2n ... ... ... ... mm1 mm2 ... mmn ) Matriu inversa: E10,E11, p35: 19,21,23 Activitats finals: 1,3,5,6,9,10,11,12,15,16,17,18,20,24 -Càlcul de la inversa d'una matriu:
  15. 15. 3. El rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes. A=(5 −3 4 10 −6 8) Exemples: B=(−4 −4 0 0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2 C= ( 2 0 3 −4 3 −5 2 3 8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3 No és immediat! MÈTODE DE GAUSS
  16. 16. Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les. Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu: A= ( 0 −2 2 4 2 −1 −1 1 2 −2 0 3) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila F3 – F1( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 2 −2 0 3) ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 −1 1 2)Canvi fila 2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 0 0 0)2F3 – F2 Rang(A) = 22 files no nul·les p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
  17. 17. 4. Matrius inverses Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan. A= ( 2 −1 2 4 −3 −1 −6 4 −2) ( 2 −1 2 1 0 0 4 −3 −1 0 1 0 −6 4 −2 0 0 1) ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 (a11=0) F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3
  18. 18. ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3 2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la matriu identitat. ( 1 0 0 5 3 7/2 0 1 0 7 4 5 0 0 1 −1 −1 −1 )- F2 1/2F1 - F3 p21 28, 29
  19. 19. 5. Equacions matricials a) Tipus AX = B AX =B Identitat A −1 · AX =A −1 · B X =A −1 · B b) Tipus XA = B XA=B Identitat XA· A −1 =B· A −1 X =B· A −1 c) Tipus AX + B = C AX +B=C Identitat A−1 · AX =A−1 ·(C−B) X =A−1 ·(C−B) AX =C−B p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10

×