хэрэглээний математик

1. “ХЭРЭГЛЭЭНИЙ МАТЕМАТИК”
ЛЕКЦ – 8 ЦАГ
СЕМИНАР – 16 ЦАГ
АШИГЛАХ НОМ
С.Баттулга, Р.Оюунбилэг
“ДЭЭД МАТЕМАТИК”

2. Лекц № 1. Шугаман алгебрийн элементүүд
Тодорхойлогч
;
,
,
, 22
21
12
11 a
a
a
a тоонуудаар зохиосон 







22
21
12
11
a
a
a
a
хэлбэрийн хүснэгтийг II эрэмбийн
квадрат матриц гэнэ. ;
21
12
22
11 a
a
a
a − тоог II эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлээд
;
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
−
=
=
 гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ 1. ;
4
3
2
1
−
тодорхойлогчийг бод.
;
10
6
4
)
3
(
2
4
1
4
3
2
1
=
+
=
−

−

=
−
Дээрхитэй адилаар ;
,
,
,
,
,
,
,
, 33
32
31
23
22
21
13
12
11 a
a
a
a
a
a
a
a
a (товчоор ;
3
.
1
,
3
.
1
, =
= j
i
aij )
тоонуудаар зохиосон










33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
хэлбэрийн хүснэгтийг III эрэмбийн квадрат
матриц гэнэ. III эрэмбийн тодорхойлогчийг дараах томъёогоор бодно.
;
32
23
11
33
21
12
31
22
13
31
23
12
32
21
13
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
+
+
=
=
=

Өөрөөр хэлбэл
Жишээ 2. ;
1
0
2
3
2
1
1
0
1
−
− тодорхойлогчийг бод.

3. ;
6
0
0
4
0
0
2
0
3
1
1
)
1
(
0
)
2
(
2
1
)
2
(
3
0
0
)
1
(
1
1
2
1
1
0
2
3
2
1
1
0
1
=
+
+
+
+
+
=
=


−

−

−
−


−
−


+

−

+


=
=
−
−
Гэх мэтчилэн
);
.
1
,
.
1
(
, n
j
n
i
aij =
= тоонуудаар зохиосон














nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a






2
1
2
22
21
1
12
11
хэлбэрийн хүснэгтийг n-р
эрэмбийн квадрат матриц гэнэ. n-р эрэмбийн тодорхойлогчийг ;
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a






=

гэж тэмдэглэнэ.
Тодорхойлогчийн чанар.

1 . Тодорхойлогчийн мөрүүдийг багана, багануудыг мөр болгон хөрвүүлэхэд
тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.
Ө.х.
;
2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a












=
=


2 . Тодорхойлогчийн дурын хоёр мөрийн (баганын) байрыг солиход
тодорхойлогчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Ө.х.
;
2
1
2
1
2
1
1
12
11
2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
jn
j
j
n
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


























−
=
=


3 . Хоёр ижил мөртэй (баганатай) тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү.
Ө.х.

4. ;
0
)
,
1
(
,
2
1
2
1
2
1
1
12
11
=
=

=
=
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
jk
ik
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
бол
n
k
a
a














4 . Аливаа мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг ижил тоогоор үржүүлэхэд
тодорхойлогчийн утга тэр тоогоор үржигдэнэ.
Ө.х.
;
2
1
2
1
1
12
11
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
n
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



















= 




5 . Аливаа мөрийн (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч
тэгтэй тэнцүү.

6 . Аливаа мөрийн (баганын) элементүүд дээр нөгөө мөрийн (баганын)
харгалзах элементүүдийг ижил тоогоор үржүүлэн нэмэхэд тодорхойлогчийн
утга өөрчлөгдөхгүй.
Ө.х.
;
2
1
2
1
2
2
1
1
1
12
11
2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
jn
j
j
jn
in
j
i
j
i
n
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a




























 +
+
+
=
=

Тодорхойлолт: Тодорхойлогчийн i -р мөр j -р баганыг дарахад үлдсэн
тодорхойлогчийг ij
a элементэд харгалзах минор гэж нэрлээд ij
M гэж
тэмдэглэнэ.
;
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
nn
nj
n
n
in
ij
i
i
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a














=

бол
;
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
11
nn
nj
nj
n
n
i
j
i
j
i
i
n
i
j
i
j
i
i
n
j
j
ij
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M














+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
−
−
−
−
+
−
=
байна.
Тодорхойлолт: ij
j
i
M

− +
)
1
( тоог ij
a элементэд харгалзах алгебрийн гүйцээлт
гэж нэрлээд ij
A гэж тэмдэглэнэ.

5. 
7 . Аливаа мөрийн (баганын) элементүүдийг харгалзах алгебрийн
гүйцээлтүүдээр нь үржүүлж нэмэхэд тодорхойлогчтой тэнцүү байна.
Ө.х.
;
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11


=
=

=

+
+

+
+

+

=
=

==

+
+

+
+

+

=
=
=

n
k
kj
kj
nj
nj
ij
ij
j
j
j
j
n
k
ik
ik
in
in
ij
ij
i
i
i
i
nn
nj
n
n
in
ij
i
i
n
j
n
j
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


















Жишээ 3.
7
0
0
2
4
1
1
3
3
1
1
2
2
0
0
1
−
− тодорхойлогчийг бод.
;
6
1
1
3
1
1
2
0
0
1
3
)
1
(
3
3
)
(
7
3
0
0
0
4
1
1
3
3
1
1
2
2
0
0
1
2
7
0
0
2
4
1
1
3
3
1
1
2
2
0
0
1
44
4
4
44 =
−
−

=

−

=

=
−
−

−
=
−
−
+
M
A
IV
I
IV
IV 
;
0
0
0
0
0
0
3
33
2
23
22
1
13
12
11
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







хэлбэрийн тодорхойлогчийг
гурвалжин хэлбэрийн тодорхойлогч гэнэ. Аливаа тодорхойлогчийг 6-р чанарыг
ашиглан гурвалжин хэлбэрт оруулж болно. 7-р чанараар гурвалжин хэлбэрийн
тодорхойлогчийн хувьд дараахь томъёо хүчинтэй.
;
0
0
0
0
0
0
33
22
11
3
33
2
23
22
1
13
12
11
nn
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a




= 








6. Жишээ 4.
7
0
0
2
4
1
1
3
3
1
1
2
2
0
0
1
−
− тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулж бод.
;
6
3
2
1
1
3
0
0
0
5
2
0
0
7
1
1
0
2
0
0
1
3
0
0
0
2
1
1
0
7
1
1
0
2
0
0
1
2
7
0
0
2
2
1
1
0
7
1
1
0
2
0
0
1
3
7
0
0
2
4
1
1
3
7
1
1
0
2
0
0
1
2
7
0
0
2
4
1
1
3
3
1
1
2
2
0
0
1
=



=
=
+
=
−
−
−
=
−
−
=
−
=
−
+
=
−
−
II
III
III
I
IV
IV
I
III
III
I
II
II