Io 3ra modelo de transporte

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN AGUSTIN” - AREQUIPA Augusto JAVES SANCHEZ Lic. Administración Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones Doctorado en Administración EXPOSITOR http://www.facebook.com/cursospara.emprendedores?sk=notes http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html 3 Modelo de Transporte

2. ALGORITMO DE TRANSPORTE De Hacia Columbia TOTAL TOTAL 46 46 25 St. Louis Denver Los Ángeles Indianápolis Phoenix Nueva York Atlanta 35 36 60 55 30 25 25 40 50 80 90 30 40 66 75 15 6 14 11 10 12 15 9

3. TEXTO BASE: 4. IO - Transporte

4. ORGANIZACION RESULTADOS ORGANIZACION PARA LA CONVERSION • DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO • ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES • MEDICION DEL TRABAJO • ADMINISTRACION DE PROYECTOS SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert PLANIFICACION INSUMOS M PLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION: • ESTRATEGIAS DE OPERACION • PREDICCION (PRONOSTICOS) • ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS • CAPACIDAD DE OPERACIONES • PLANEACION UBICACION INSTALACIONES • PLANEACION DISTRIBUCION FISICA PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION • PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA • PROGRAMACION OPERACIONES SEGUIMIENTO PRODUCTOS CONTROL • CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION • CONTROL DE INVENTARIO • PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES • ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD • CONTROL DE CALIDAD CONTROL RETROALIMENTACION PROCESO de CONVERSION MODELOS MODELOS MODELOS M • Productos • Servicios • Información M

5. MODELO DE TRANSPORTE Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos FUENTES Oferta Capacidad de producción Proveedores Plantas de producción Almacenes mayoristas DESTINOS Demanda Capacidad de venta Plantas de producción Almacenes mayoristas Tiendas minoristas

6. MODELO DE TRANSPORTE Se desea determinar la distribución óptima de los recursos productivos, lo que implica establecer la combinación de distribución de fuentes a destinos, que tenga el mínimo costo asociado F1 F3 F2 Fn D1 D2 D3 Dm

7. MODELO DE TRANSPORTE Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex F.O. : Mín Z =   n m i=1 j=1 Cij Xij • Cij : Costo unitario de transporte desde la fuente i hasta el destino j • Xij : Unidades a transportar desde la fuente i hasta el destino j i j Cij

8. MODELO DE TRANSPORTE F.O. : Mín Z =   n m i=1 j=1 Cij Xij i j Cij s.a. :   i=1 j=1 n m Xij Xij = = Qdemandada Qofrecida Xij > 0 A i,j

9. ALGORITMO DE TRANSPORTE Desde Hacia F1 F2 F3 F4 D1 D2 D3 D4 TOTAL TOTAL         X1j X2j X3j X4j Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 Cij Xij

10. ALGORITMO DE TRANSPORTE Desde Hacia F1 F2 F3 F4 D1 D2 D3 D4 TOTAL TOTAL         X1j X2j X3j X4j Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 X23 C21 C11 C31 C41 C12 C22 C32 C42 C43 C33 C23 C13 C14 C24 C34 C44 X33 X43 X44 X42 X41 X34 X32 X31 X24 X22 X21 X14 X13 X12 X11

11. Xij Cij C23 X23 6 175 Significa que el costo unitario de transporte desde la fuente 2 al destino 3 es de $6 A su vez, el número de unidades a transportar desde la fuente 2 al destino 3 es de 175 SIGNIFICADO DE CADA CUADRO

12. ALGORITMO DE TRANSPORTE Es el valor total producido en los orígenes (Qofrecida) y es también el valor total demandado por los destinos (Qdemandada)         Qdemandada Qofrecida = = Xim Xi3 Xi2 Xi1 + + + + + + + + ....... ....... Xnj X3j X2j X1j Necesariamente: Qdemandada Qofrecida =

13. ALGORITMO DE TRANSPORTE Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa que falta en el cuadro una columna o fila, la que representa las holguras existentes = = Si Qdemandada Qofrecida Holguras Exceso de Oferta Exceso de Demanda Qdemandada Qofrecida Qdemandada Qofrecida > < Holguras

14. VARIABLES DE HOLGURA Cuando no se cumple la condición necesaria del modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada), se incorporan variables de holgura (o exceso), a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro Se asume que el costo unitario de transporte para la columna adicional o fila adicional es cero, ya que las variables de holgura o exceso no forman parte de la función objetivo de optimización

15. VARIABLES DE HOLGURA Dependiendo si se trata de un exceso de oferta (Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de demanda (Qdemandada > Qofrecida), las variables de holgura (o exceso) que se añaden, a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro, representan diferentes casos Cada caso de variables de holgura o exceso, con su posible columna adicional o fila adicional, se identifica a partir del contexto de cada situación particular

16. EXCESO DE OFERTA Qofrecida Qdemandada Capacidad Ociosa > Si Se crea una columna adicional en el cuadro, que representa a las unidades a no producir Qofrecida Qdemandada Acumulación de Inventario > Si Se crea una columna adicional en el cuadro, que corresponde a la acumulación de inventario Casos Posibles:

17. Casos Posibles: EXCESO DE DEMANDA Si Qofrecida Qdemandada < Desacumulación de Inventario Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la desacumulación de inventario Si Qofrecida Qdemandada < Demanda No Satisfecha Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la demanda no satisfecha

18. Qofrecida Qdemandada Producción en Turno Extra < Si Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la producción en turno extra (sobretiempo) Casos Posibles: EXCESO DE DEMANDA

19. EJEMPLO Una compañía manufacturera dispone de 3 fábricas con diferentes capacidades y costos de transporte para el destino de sus 4 almacenes. La información pertinente se muestra en la tabla: Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades) 1 23 18 21 25 650 2 21 24 23 18 600 3 18 21 27 23 700 Demanda 300 450 500 600 Para resolver se arma un cuadro simplex

20. METODOLOGIA DEL SIMPLEX 1) Se arma el tableau inicial 5) Se realizan tantas iteraciones como sean necesarias hasta encontrar la solución óptima 4) Si no es la solución óptima, se itera hallando una nueva solución factible, para verificar si la nueva solución factible es o no es óptima 3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima 2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible

21. METODOS PARA LOGRAR LA 1ª SOLUCION FACTIBLE • Esquina Nor-Oeste • Vogel Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad inmediata, solo garantizan la factibilidad Iteraciones: Si la solución básica no es óptima, se deben reasignar recursos, mediante el criterio de la minimización de los costos, lo que implica realizar iteraciones al cuadro

22. 22 PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES

23. 23 PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES

24. METODO ESQUINA NOR-OESTE Asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda ubicada en la esquina nor- oeste del cuadro tableau Luego, se asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda aledaña correspondiente, según las restricciones de demanda en los destinos y las restricciones de oferta en las fuentes

25. METODO ESQUINA NOR-OESTE Si en principio, la asignación de la esquina nor- oeste es una restricción de demanda, entonces no es posible asignar hacia abajo en el tableau y se asigna hacia el lado Mientras que, si la asignación inicial es una restricción de oferta, entonces no es posible asignar hacia el lado en el tableau y se asigna hacia abajo Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau, de acuerdo al criterio recientemente descrito

26. METODO ESQUINA NOR-OESTE En general: Si no se puede asignar más por restricción de demanda Si no se puede asignar más por restricción de oferta Se completa hacia el lado Se completa hacia abajo

27. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 300 350 100 500 Inven. 0 600 600 500 300 450 1850 1950 100 100 Qofrecida Qdemandada > Como Acumulación de Inventario 18 21 27 23 0 21 24 23 18 0

28. DIMENSION ESPACIO VECTORIAL El problema de transporte es una aplicación de la programación lineal, para el caso específico de variables de decisión bidimensionales (Xij, con dos subíndices: ij) La programación lineal se concibe y comprende, a partir de conceptos geométricos y un sistema de ecuaciones lineales (que en el caso del modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada) Los conceptos geométricos implican el uso de espacios vectoriales, con determinada dimensión

29. DIMENSION ESPACIO VECTORIAL La dimensión es el rango del espacio vectorial, que representa la cantidad de componentes requerida en la base o vector de variables básicas ( XJ ) Si se cumple con el rango establecido, entonces el conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema cumple la condición de linealidad: o sea, todas las restricciones son linealmente independientes (l.i.) La condición de linealidad o restricciones linealmente independientes, es condición ineludible para aplicar la metodología del simplex

30. DIMENSION ESPACIO VECTORIAL Programación Lineal con variables de decisión unidimensionales (caso Xi) Programación Lineal con variables de decisión bidimensionales (caso Xij) Rango = m Rango = m + n - 1 Donde m es el número de restricciones l.i. Donde: • m es el número de columnas del tableau • n es el número de filas del tableau

31. Existe cuando en la solución básica hay al menos una variable cuyo valor es igual a cero Cuando la solución es óptima y a la vez degenerada, entonces hay múltiples soluciones óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones La solución degenerada no implica dificultad para el problema de programación lineal, es simplemente un caso particular SOLUCION DEGENERADA

32. Número de Variables Básicas = m + n - 1 m: Número de columnas en el tableau (destinos) n : Número de filas en el tableau (fuentes) Si Variables básicas < ( m + n - 1 ) Existe solución degenerada SOLUCION DEGENERADA

33. SOLUCION DEGENERADA Para completar una base con solución degenerada, se ingresan tantos valores ceros como sean necesarios para completar el rango (dimensión) requerido por el espacio vectorial Cuando se ingresa uno o más valores ceros, no se hace en cualquiera celda vacía al azar El o los valores ceros, deben ingresarse tal que se disponga una base linealmente independiente (l.i.)

34. EJEMPLO DE TRANSPORTE ( m + n - 1 ) = 7 Sin embargo, en la asignación inicial del método de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables básicas (celdas ocupadas) Por lo tanto, existe una solución degenerada. Luego, debe ingresarse un valor cero para completar la base de iteración Ingresa XP3A2 = 0 Pudo ser también en otras celdas vacías

35. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 300 350 100 500 Inven. 0 600 600 500 300 450 1950 1950 100 100 0 XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV) 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0

36. BASE LINEALMENTE INDEPENDIENTE (L.I.) Una base es linealmente independiente cuando permite realizar la verificación de la condición de optimalidad para cada variable no básica (celda vacía en el tableau) Aquello acontece cuando se forma un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas, determinando para cada una de éstas, si realizan o no realizan aporte a la minimización de costos del problema

37. BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando los precios sombra de cada una de las variables no básicas (celdas vacías en el algoritmo de transporte), para saber si es que hay algún ahorro respecto del costo total (valor de la función objetivo z) de la reciente iteración Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y toman un valor, que en general es mayor que cero Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau (celdas vacías) y necesariamente valen cero

38. VERIFICACION DE OPTIMALIDAD Permite comprobar si una solución básica factible es o no es óptima, evaluando el precio sombra o costo marginal asociado al transporte o envío de una unidad en cada variable no básica o celda desocupada en el tableau Verificar la condición de optimalidad se efectúa por medio de la formación de “lazos”, alrededor de cada variable no básica

39. Lazos: Son los caminos que se forman dentro del tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que se cierran mediante movimientos exclusiva y alternadamente, horizontales y verticales Por ejemplo: El primer vértice del lazo es una celda no básica, la cual también es el último vértice, cerrando el lazo. Los demás vértices del lazo necesariamente son variables o celdas básicas VERIFICACION DE OPTIMALIDAD

40. El costo marginal referido a la verificación de la optimalidad, se obtiene a través de los mismos costos unitarios presentes en las celdas del lazo, según la transferencia de unidades asignadas que exista en cada celda del lazo: Si la celda del lazo recibe unidades en la transferencia Se suma el costo unitario de la celda para la verificación Si la celda del lazo entrega unidades en la transferencia Se resta el costo unitario de la celda para la verificación VERIFICACION DE OPTIMALIDAD

41. En el ejemplo, para la celda P2A1 (planta 2 y almacén 1) se tiene: 300 100 350 Alm.1 Alm.2 Planta 1 Planta 2 +21 -24 -23 +18 CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8 Hay un Ahorro Marginal, es el concepto de precio sombra VERIFICACION DE OPTIMALIDAD

42. PRECIO - SOMBRA Es cuánto varía la función objetivo respecto del cambio en una unidad de una de sus variables componentes La verificación de optimalidad requiere obtener el precio sombra de todas las celdas vacías, para lo cual se necesita formar los lazos respectivos  Una base linealmente independiente garantiza un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas

43. CONDICION DE OPTIMALIDAD Si ij 0 , ij XJ  A >  Solución óptima La solución factible es óptima cuando no existe posibilidad alguna de ahorro marginal, lo que ocurre cuando todos los precios sombra son mayores o iguales a cero

44. Si ij 0 ,ij XJ  <  Solución no es óptima E CONDICION DE OPTIMALIDAD Mientras exista al menos un precio sombra menor que cero en las celdas no básicas de las iteraciones del tableau, entonces su solución factible no es óptima, por lo que entonces deben continuarse las iteraciones Si hay dos o más precios sombra menores a cero, se determina que ingresa a la base la variable no básica que origina el precio sombra más negativo

45. ITERACIONES Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo de las celdas que entregan unidades en la transferencia, para así conservar la condición de factibilidad Xij > 0 A i,j Cada vez que se realiza una iteración (reasignación de unidades), a continuación se necesita volver a calcular los precios sombra, hasta verificar que se alcanza la solución óptima

46. CONCEPTO DE LA GRAN “M” En caso de que no se pueda o no se desee almacenar o asignar unidades, el método de transporte define un costo unitario de transporte igual a “M”, que representa un costo marginal infinito, que en el tableau se expresa de la siguiente manera: Si CMg = 8 M

47. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 18 21 25 650 600 700 500 Inven. 0 600 600 500 300 450 1950 1950 100 100 0 Se deben calcular todos los precios sombra -8 300 350 100 = + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8  P2A1 21 24 23 18 0 0 23 27 21

48. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 300 Inven. 0 600 600 500 300 450 100 100 0 -8  = + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4 +4 350 100 500 P1A3 21 24 23 18 0 0 23 27 21 18

49. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 300 100 500 Inven. 0 600 500 300 450 100 100 -8  = + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5 +5 +4 350 0 600 P1A4 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0

50. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 23 18 21 21 27 25 650 600 700 300 100 500 Inven. 0 600 500 300 450 100 0 -8  = + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3 +5 +4 350 0 600 100 +3 P1INV 21 24 23 18 0

51. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 300 100 500 Inven. 0 600 500 300 450 100 -8  = + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8 +5 +4 350 0 100 +3 600 -8 P2A4 21 24 23 18 0 0 23 27 21 18

52. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 300 100 500 Inven. 0 600 500 300 450 100 -8  = + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3 +5 +4 350 0 100 +3 600 -8 -3 P2INV 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0

53. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 500 Inven. 0 600 500 300 450 100  = No Existe +5 +4 350 0 100 +3 600 -8 -3 Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2 -8 300 100 E P3A1 0 18 23 24 21 23 0 27 21 18

54. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100  = No Existe +5 +4 350 100 +3 600 -8 -3 Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2 -8 300 500 100 0 E E P3A3 0 18 23 24 21 23 0 27 21 18

55. Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100  350 100 600 -8 -8 300 500 100 0 P2A4 0 18 23 24 21 23 0 27 21 18 = + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8 EJEMPLO DE TRANSPORTE Revisión del lazo para la iteración correspondiente:

56. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 350 100 300 500 Entra XP2A4 XJ2 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A2,XP3A4,XP3INV) Unidades Transferir = 100 100 0 600 y Sale XP2A2. 100 100 500 0 18 23 24 21 0 21 27 23 18

57. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 350 100 500 300 500 100 Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración: 100 -4 -8 -1 0 +8 +5 +5 +3 21 24 23 0 18 18 21 27 23 0

58. Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 350 100 500 300 500 100 Revisión del lazo para la iteración correspondiente: 100 -8 21 24 23 0 18 18 21 27 23 0  P3A1 = + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8 EJEMPLO DE TRANSPORTE

59. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 100 500 500 Entra XP3A1 XJ3 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV) 100 Unidades Transferir = 100 y Sale XP3A2. 300 350 100 100 450 200 18 23 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0

60. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 450 100 500 200 500 100 Cálculo de los Precios Sombra para 3ª iteración: 100 -12 +8 -1 +8 +16 -3 +5 -5 21 24 23 0 18 18 21 27 23 0 21

61. Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 450 100 500 200 500 100 100 -12 21 24 23 0 18 18 21 27 23 0 21 Revisión del lazo para la iteración correspondiente: EJEMPLO DE TRANSPORTE  P1A3 = + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12

62. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 450 100 Entra XP1A3 XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV) Unidades Transferir = 200 y Sale XP1A1. 200 100 500 100 500 200 300 300 300 300 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0

63. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 450 100 300 200 300 300 Cálculo de los Precios Sombra para 4ª iteración: 300 +12 -4 -1 +8 +4 +9 +5 +7 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0 23

64. Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 450 100 300 200 300 300 300 -4 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0 23 Revisión del lazo para la iteración correspondiente: EJEMPLO DE TRANSPORTE  P3A2 = + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4

65. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 100 300 Entra XP3A2 XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV) Transferir = 300 y Salen XP2A3 y XP3A4. 300 450 200 300 300 300 600 500 150 0 21 24 23 18 0 18 21 27 23 0

66. EJEMPLO DE TRANSPORTE Desde Hacia Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 18 23 21 25 650 600 700 Inven. 0 600 500 300 450 100 150 100 500 300 300 Cálculo de los Precios Sombra para 5ª iteración: 600 +8 +4 +3 +9 +3 0 Se halló la solución óptima, que es degenerada E E E 0 18 23 24 21 18 21 27 23 0

67. EJEMPLO DE TRANSPORTE Solución Óptima del Ejercicio: XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV) XP1A2 XP1A3 XP2A3 XP2A4 XP3A1 XP3A2 XP3INV = 300 = 300 = 100 = 150 = 500 = 600 = 0 Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) + + (300*18) + (300*21) + (0*100) Z = Costo Total = $ 35.700 La solución no es única, pues es una solución degenerada  ij > 0 A i,j  XJ

68. EJEMPLO Problema resuelto el método de esquina nor-oeste: Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades) 1 23 18 21 25 650 2 21 24 23 18 600 3 18 21 27 23 700 Demanda 300 450 500 600 Considere que los costos unitarios de producción son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3 respectivamente. Por política de la empresa, no se permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2. Plantee como problema de programación lineal y encuentre la asignación óptima por método Vogel

69. PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas: 1.- Comprensión del problema (lectura en detalle) 2.- Definición de las variables de decisión 3.- Descripción de la función objetivo 4.- Identificación de las restricciones del problema

70. PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL En un problema de transporte, las variables de decisión contemplan todas las combinaciones posibles de flujos de distribución física, a transferir desde las fuentes hacia los destinos Resulta imprescindible definir las variables de decisión. Si no se definen las variables de decisión, entonces es imposible determinar qué significan las denominaciones Xij que, a continuación, se describen en la función objetivo y las restricciones

71. PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Las restricciones incluyen un conjunto de restricciones de oferta (una por cada fuente) y otro conjunto de restricciones de demanda (una por cada destino), sin olvidar la condición de no negatividad Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados a la red de distribución física

72. PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de oferta: Oferta total Demanda total > Si > < = Restricciones Oferta Restricciones Demanda < = Situación válida tanto para acumulación de inventario como capacidad ociosa (unidades a no producir)

73. Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de demanda: Oferta total Oferta total Demanda total Demanda total < Si Si > < = Restricciones Oferta Restricciones Demanda Restricciones Oferta Restricciones Demanda < = < > = PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Situación válida para caso de demanda no satisfecha Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra

74. El ejemplo considera dos categorías de costos, por lo que se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte La tabla de costos para plantear el problema de programación lineal queda así: INV A4 A3 A1 A2 P1 41 36 39 43 M P2 46 49 48 43 M P3 28 31 37 33 10 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

75. Sea Xij: Número de unidades a transportar desde PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 } j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3, almacén 4 } Función objetivo: Minimizar Z Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 + 46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 + 28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4 (producción + transporte)

76. Para el ejemplo planteado: Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades) 1 23 18 21 25 650 2 21 24 23 18 600 3 18 21 27 23 700 Demanda 300 450 500 600 Oferta total = 1950 Demanda total = 1850 Hay un exceso de oferta Luego, se plantean: Restricciones Oferta Restricciones Demanda < = • • PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

77. PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650 Restricciones de Oferta: XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600 XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700 Restricciones de Demanda: < < < s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1 300 XP1A2 + XP2A2 + XP3A2 450 XP1A3 + XP2A3 + XP3A3 500 XP1A4 + XP2A4 + XP3A4 600 = = = = Restricciones de No Negatividad: Xij 0 > , ij A

78. METODO DE VOGEL Selecciona las diferencias de ahorros más altas y luego asigna el máximo número de recursos productivos en la celda con el mínimo costo unitario, según las restricciones de oferta y de demanda Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo avanzado: calcula un gradiente moviéndose por la mayor pendiente, asignando unidades en las celdas con el menor costo marginal Vogel es más inteligente y rápido que la esquina noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad Gradiente:  g(x) = z x i z y j + > >

79. ETAPAS DEL METODO VOGEL 1) Calcular las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, en el tableau 3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta total o demanda total, respectivamente, por efecto de la asignación reciente 2) Se escoge la mayor de las diferencias y se ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la celda con el menor costo unitario, asignándole el máximo número de unidades posible

80. ETAPAS DEL METODO VOGEL 4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1), recalculando las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, seleccionando la mayor de tales diferencias, para identificar en dicha máxima diferencia la celda con el menor costo unitario y asignar en dicha celda el máximo número de unidades posibles, según las restricciones de oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau 5) Se asignan las celdas restantes en forma manual

81. Al resolver el problema de transporte, sólo se consideran los costos diferenciales, por lo que si bien se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte, es posible reducir la tabla de costos según: INV A4 A3 A1 A2 Como sólo interesan los costos diferenciales, podría trabajarse INV A1 A2 A3 A4 P1 31 26 29 33 M P2 36 39 38 33 M P3 18 21 27 23 0 P1 41 36 39 43 M P2 46 49 48 43 M P3 28 31 37 33 10 EJEMPLO DE TRANSPORTE

82. EJEMPLO DE TRANSPORTE P.1 P.3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta P.2 Dda 650 600 700 Inven 600 500 300 450 100 5 13 18 3 3 10 2 M 100 1ª asignación: en la celda con menor costo de la mayor de las diferencias de mínimos costos 23 27 21 18 36 39 38 33 M 31 26 29 33 M 0

83. EJEMPLO DE TRANSPORTE P.1 P.3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta 38 P.2 Dda 39 26 31 33 23 18 36 21 29 27 33 650 600 700 Inven M M 600 500 300 450 100 0 5 3 3 3 10 2 M 100 13 300 1ª asignación: XP3A3 = 100 2ª asignación: XP3A1 = 300 .... y así se completa sucesivamente

84. EJEMPLO DE TRANSPORTE P.1 P.3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta P.2 Dda 33 650 600 700 Inven M 600 500 300 450 100 3 3 18 13 5 2 10 M 100 * 300 * 300 * 13 9 0 450 * 4 200 * 300 300 39 36 31 26 29 18 21 27 38 33 M 0 23 5 2 3

85. EJEMPLO DE TRANSPORTE 1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M 2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13 3ª asignación: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 10 4ª asignación: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 13 5ª asignación: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 9 6ª asignación: XP2A3 = 300 7ª asignación: XP2A4 = 300 Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optimalidad e iterar vía simplex si es que es necesario Asignación manual

86. EJEMPLO DE TRANSPORTE Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 26 31 33 18 36 21 29 33 650 600 700 Inven M M 600 500 300 450 100 0 100 300 300 450 200 38 39 300 300 27 23 Entra XP3A2 XJ1 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV) +12 +8 +4 -4 -1 +9 +M +M De acuerdo al cálculo de los precios sombra Transferir = 300 y salen XP2A3 y XP3A4.

87. EJEMPLO DE TRANSPORTE Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 36 650 600 700 Inven M 600 500 300 450 100 100 300 38 39 300 300 300 300 600 Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0 0 XJ2 = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV) 21 18 27 23 0 450 200 500 150 33 29 26 31 M 33

88. EJEMPLO DE TRANSPORTE Planta 1 Planta 3 Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta Planta 2 Demanda 31 18 36 21 650 600 700 Inven M 600 500 300 450 100 0 100 300 300 150 500 38 39 600 0 27 23 +8 +3 Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración: +8 E E  Ya que ij > 0  A i,j XJ La solución es óptima 33 33 29 26 +13 M +M E

89. EJEMPLO DE TRANSPORTE Solución óptima del ejemplo: XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV) XP1A2 XP1A3 XP2A2 XP2A4 XP3A1 XP3A2 XP3INV = 300 = 300 = 100 = 150 = 500 = 600 = 0 Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) + + (300*28) + (300*31) + (100*10) Z = Costo Total = $ 69.400 La solución no es única, pues es una solución degenerada  ij > 0 A i,j  XJ (producción + transporte)

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