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MT-11/12|Anual|Resumen
Resumen P.S.U. Matemática
NÚMEROS (17 preguntas)
 Números Naturales (ℕ): Son los elementos del
conjunto ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }.
o Números Primos: Números Naturales que solo
tienen dos divisores, la unidad y el mismo número.
𝑃 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 … }.
Recuerda: El 1 no es un número primo
o Números Compuestos: Números Naturales que
tienen más de dos divisores.
𝐶 = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … }
 Números Cardinales (ℕ0): Son los elementos del
conjunto ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, … }.
 Números Enteros (ℤ): Son los elementos del
conjunto ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }.
 Números Racionales (ℚ): Son los del conjunto
ℚ = {
𝑎
𝑏
/𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}.
o Las equivalencias más utilizadas entre fracciones,
decimales y porcentajes son:
1
2
= 0,5 = 50%
1
3
= 0, 3̅ = 33
1
3
%
1
4
= 0,25 = 25%
1
5
= 0,2 = 20%
1
8
= 0,125 = 12,5%
1
10
= 0,1 = 10%
3
4
= 0,75 = 75%
1
100
= 0,01 = 1%
o Orden en ℚ: Una forma de comprobar cuándo una
fracción en mayor o menor que otra es
simplemente haciendo un producto en forma
cruzada. La otra posibilidad es pasar las fracciones a
decimales.
 Números Irracionales (ℚ´): Son los números que no
se pueden escribir como fracción, por ejemplo √2.
 Números Reales (ℝ): Son todos los números que
pertenecen a los racionales o a los irracionales.
 Aproximaciones: Existen varios métodos de
aproximación siendo estos:
o Truncamiento: Se eliminan las cifras a partir de un
orden considerado. Ejemplo: Aproximar por
truncamiento el número 2,345378 a las milésimas.
Simplemente se eliminan las cifras que están
después de las milésimas, resultando 2,345.
o Redondeo: Se eliminan las cifras a partir de un
orden considerado, pero teniendo en cuenta que si
la primera cifra eliminada es 5 o más de 5 a la
última cifra decimal que se deja se le añade uno.
Ejemplo: Aproximar por redondeo el número 4,2451
a las centésimas y luego a las milésimas. En el
primer caso, resulta 4,25 y en el segundo 4,245.

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o Aproximación por defecto: Una aproximación es
por defecto si la aproximación es menor que el
número inicial. El truncamiento es siempre una
aproximación por defecto. Ejemplo: Al aproximar a
la centésima por defecto el número 2,438 resulta
2,43; donde 2,43 < 2,438.
o Aproximación por exceso: Una aproximación es por
exceso si la aproximación es mayor que el número
inicial. Ejemplo: Al aproximar a la centésima por
exceso el número 5,732 resulta 5,74; donde
5,74 > 5,732.
 Números Complejos (ℂ): Son los números de la
forma 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎 y 𝑏 pertenecientes a ℝ.
Ejemplo: 5– 4𝑖
o Los Complejos también pueden ser representados
por pares ordenados. Por ejemplo: 5– 4𝑖 = (5, −4)
o Cuando un número complejo no tiene parte real, se
dice que es un imaginario puro Ejemplo: √−9 = 3𝑖
o Como 𝑖 = √−1 podemos obtener los valores de:
𝑖2
= −1
𝑖3
= −𝑖
𝑖4
= 1
o Complejo Conjugado: Sea el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖,
se denomina conjugado de 𝑧, al complejo
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. Por ejemplo: Si 𝑧 = 5– 2𝑖, entonces
𝑧̅ = 5 + 2𝑖.
 Operatoria de números complejos: Los números
complejos se pueden sumar, restar y multiplicar en
forma análoga a binomios algebraicos.
o Suma de Números Complejos: Se suman las partes
reales primero y luego las partes imaginarias (como
con los términos semejantes). Ejemplo:
(4 − 𝑖) + (−6 + 2𝑖) = −2 + 𝑖
o Resta de Números Complejos: Se restan las partes
reales primero y luego las partes imaginarias.
Ejemplo:
2 + 3 𝑖 − (5 − 7𝑖) = 2 + 3𝑖 − 5 + 7𝑖 = −3 + 10𝑖
o Multiplicación de Números Complejos: Para
multiplicar se debe operar como una multiplicación
de binomios. Ejemplo:
(1 − 9𝑖)(2 − 5𝑖) = 2 − 5𝑖 − 18𝑖 + 45𝑖2
= 2 − 45 − 5𝑖 − 18𝑖
= −43 − 23𝑖.
o División de Números Complejos: Para dividir
números complejos es necesario amplificar la
fracción por el conjugado del denominador.
Ejemplo:
2−3𝑖
1+𝑖
→
2−3𝑖
1+𝑖
∙
1−𝑖
1−𝑖
=
−1−5𝑖
1−𝑖2 =
−1−5𝑖
1+1
=
−1−5𝑖
2
.
o Representación gráfica de un número complejo:
Podemos representar un número complejo en un
sistema cartesiano, haciendo coincidir el eje x
(horizontal) con la parte real del número complejo y
el eje y (vertical) con la parte imaginaria.
o Módulo de un complejo: Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces el
módulo de 𝑧 es |𝑧|, tal que |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2
 Potencias: Una potencia es el resultado de
multiplicar un número por sí mismo varias veces.
Propiedades de las potencias: Sean 𝒂, 𝒃, 𝒏 y 𝒎
números reales distintos de cero.

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1. 𝑎0
= 1 ∀ 𝑎 ≠ 0 → 00
= ∄
2. 𝑎 𝑛
∙ 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛+𝑚
3. 𝑎 𝑛
: 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛−𝑚
4. (𝑎 𝑛) 𝑚
= (𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑛∙𝑚
5. (
𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
6. 𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
= (
1
𝑎
)
𝑛
7. (𝑎 ∙ 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
∙ 𝑏 𝑛
8. (𝑎: 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
: 𝑏 𝑛
 Raíces: Las raíces son la operación contraria a las
potencias. La raíz enésima de 𝑏 se denota como √ 𝑎
𝑛
tal que:
𝒂 𝒏
= 𝒃
𝒑
⇔ 𝒂 = √𝒃
𝒏
Con 𝑛 ∈ ℕ
Donde 𝒏 se conoce como índice de la raíz y 𝒃 como
radical o cantidad del sub-radical.
Propiedades de las raíces: Considere que 𝒂, 𝒃, 𝒌, 𝒎, y
𝒏 son números reales distintos de cero y 𝑎 > 0
1.
√ √ 𝑎
𝑚
𝑛
= √ 𝑎
𝑛∙𝑚
2. √ 𝑎
𝑛
∙ √𝑏
𝑛
= √𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
3. √ 𝑎
𝑛
: √𝑏
𝑛
= √𝑎 ÷ 𝑏
𝑛
4. √𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑚𝑛
= 𝑎 √𝑏 𝑚𝑛
5.
√𝑎 𝑚𝑛
= √ 𝑎 𝑚⋅𝑘𝑛∙𝑘
6.
√𝑎 𝑚𝑛
= √ 𝑎 𝑚:𝑘𝑛:𝑘
7. √𝑎 𝑛𝑛
= 𝑎
8. √𝑎 𝑚𝑛
= ( √ 𝑎
𝑛
)
𝑚
 Logaritmos: Exponente al que es necesario elevar
una cantidad positiva para que resulte un número
determinado. Si se escribiera como ecuación,
𝐥𝐨𝐠 𝐛 𝒂 = 𝒙, donde 𝒃 es la base del logaritmo y 𝒂 es
su argumento, con 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑎 > 0
corresponde a resolver 𝒃 𝒙
= 𝒂. Es decir:
𝐥𝐨𝐠 𝐛 𝐚 = 𝐱 ⇔ 𝐛 𝐱
= 𝐚
Propiedades de los logaritmos: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 números
reales y positivos, 𝑏 ≠ 1
1. Logaritmo de la base
log 𝑏 𝑏 = 1
2. Logaritmo de la unidad
log 𝑏 1 = 0
3. Logaritmo de un producto
log 𝑏(𝑎 ∙ 𝑐) = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐
4. Logaritmo de un cociente
log 𝑏 (
𝑎
𝑐
) = log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐
5. Logaritmo de una potencia
log 𝑏 𝑎 𝑐
= 𝑐 ∙ log 𝑏 𝑎
6. Logaritmo de una raíz
log 𝑏 √ 𝑎
𝑛
=
log 𝑏 𝑎
𝑛
7. Cambio de base
log 𝑏 𝑎 =
log 𝑐 𝑎
log 𝑐 𝑏
8. Propiedad especial
𝑏log 𝑏(𝑥)
= 𝑥
Algunos valores de logaritmos:
log 10 = 1 log 100 = 2
log 0,1 = −1 log 0,01 = −2

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ÁLGEBRA Y FUNCIONES (19 preguntas)
 Lenguaje algebraico: Hay diversas palabras que
tienen un significado matemático cuando forman
parte de una situación problemática. Aprender su
significado es fundamental para resolver
problemas. A continuación se muestra un listado
de la relación entre palabras y a que es lo que se
hace referencia:
Palabras Hace referencia
Agregar, añadir, aumentar Adición (Suma)
diferencia, disminuir,
exceso
Sustracción (Resta)
veces, factor, de, del,
producto
Multiplicación
razón, cociente División
doble, duplo, múltiplo de 2,
número par
2𝑛
Observación:
o El cuidado principal debe estar en el orden en que
se leen las expresiones, ya que debe hacerse
comenzando por lo que afecta a toda la expresión.
Ejemplo 2𝑥3
: El doble del cubo de un número.
(2𝑥)3
: El cubo del doble de un número.
Productos Notables: Los productos notables son casos
de interés de multiplicaciones de expresiones
algebraicas. Estos permiten conocer su resultado con
anticipación. Su utilización logra ahorrar tiempo en la
resolución de ejercicios y permite comprender de
mejor forma los casos de factorización.
1. Cuadrado de binomio:
 
2 2 2
a b a 2ab b   
2. Multiplicación de binomios con término común:
    2
x a x b x x a b ab     
3. Suma por diferencia:
   2 2
a b a b a b   
4. Cubo de Binomio:
  32233
33 babbaaba 
5. Cuadrado de Trinomio:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐
6. Suma de Cubos:
    2233
yxyxyxyx 
7. Diferencia de Cubos:
    2233
yxyxyxyx 
 Factorización: Proceso contrario a los productos
notables. Ejemplos de Factorización:
1. Factor Común
12𝑥 − 18𝑥2
= 6𝑥(2 − 3𝑥)
2. Factor Común Compuesto
𝑎𝑝 − 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 − 𝑏𝑞 = 𝑎(𝑝 − 𝑞) + 𝑏(𝑝 − 𝑞)
= (𝑎 + 𝑏)(𝑝 − 𝑞)
3. Trinomios
o Caso 1: Binomios con Término Común
𝑢2
+ 8𝑢 − 20 = (𝑢 + 10)(𝑢 − 2)
o Caso 2: Cuadrado Perfecto
16 + 40𝑥2
+ 25𝑥4
= 42
+ 2 ∙ 4 ∙ 5𝑥2
+ (5𝑥2)2
= (4 + 5𝑥2)2
o Caso 3: Caso Especial
5𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = 25𝑥2
+ 2𝑥 ∙ 5 − 15
5
=
(5𝑥 + 5)(5𝑥 − 3)
5
=
5(𝑥 + 1)(5𝑥 − 3)
5
= (𝑥 + 1)(5𝑥 − 3)

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 Suma de Cubos
8 + 27𝑦3
= (23
+ 33
𝑦3)
= (2 + 3𝑦)(22
− 2 ∙ 3𝑦 + 32
𝑦2
)
= (2 + 3𝑦)(4 − 6𝑦 + 9𝑦2
)
 Diferencia de Cubos
125 − 𝑦6
= (53
− (𝑦2)3)
= (5 − 𝑦2)(52
+ 5 ∙ 𝑦2
+ (𝑦2
)2
)
= (5 − 𝑦2)(25 + 5𝑦2
+ 𝑦4
)
 Diferencia de Cuadrados
𝑛2
− 81 = 𝑛2
− 92
= (𝑛 − 9)(𝑛 + 9)
 Ecuaciones Lineales: Una ecuación se denomina de
primer grado o lineal si el mayor exponente de la
incógnita es 1. Toda ecuación de primer grado en
una variable puede reducirse a la forma:
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
 Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones
de primer grado, que tienen ambas las mismas dos
incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones
lineales. La forma general de un sistema de
ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F
Donde A, B, C, D, E y F son números reales.
 Para resolver algebraicamente un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas existen
varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos:
sustitución, igualación y reducción.
o Método De Sustitución: Se debe despejar una de
las variables en una de las ecuaciones y luego
reemplazarla en la otra ecuación, generándose así
una ecuación con una incógnita.
o Método De Igualación: Se debe despejar la misma
variable en ambas ecuaciones y luego éstos
resultados se igualan, generándose así una ecuación
con una incógnita.
o Método De Reducción: Se deben igualar los
coeficientes de una de las incógnitas, en ambas
ecuaciones, multiplicando ambos miembros
convenientemente, obteniéndose un sistema
equivalente al dado, y luego se suman o restan
ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con
una incógnita.
o Desigualdades: En los números reales se cumple
que dos números x e y son 𝑥 > 𝑦, 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 = 𝑦.
Las desigualdades corresponden a expresiones
relacionadas por los signos <, >, ≤, ≥.
o Una desigualdad no cambia al sumarle o restarle
una cantidad a ambos lados de ella. Tampoco
cambia al multiplicarla o dividirla por un real
positivo, pero CAMBIA al multiplicarla o dividirla
por un número negativo.
Ejemplo:
28 > 14 /: −7
28: (−7) < 14: (−7)
−4 < −2
o Un intervalo es un subconjunto de los números
reales. Existen cuatro tipos de intervalos, los cuales
son:
o Cerrado: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Ejemplo: [−4,1]
o Abierto:    bxaIRxba  /,
Por ejemplo: ]−3,3[

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o Abierto por la izquierda:    bxaIRxba  /,
Por ejemplo: ]−3,3]
o Abierto por la derecha:    bxaIRxba  /,
Por ejemplo: [−2,5[
 Inecuaciones de Primer Grado: Es una desigualdad
que contiene una o más incógnitas la cual se
resuelve aplicando las propiedades de las
desigualdades. Ejemplo:
4𝑥 – 1 > 7
4𝑥 > 8
𝑥 > 2
Solución: 𝑥 ∈ ]2, ∞+[
 Resolución Sistemas de Inecuaciones: Si se tiene
un sistema de inecuaciones lineales conformado
por 2 o más inecuaciones, se debe resolver cada
una de estas como una inecuación simple
(aplicando las propiedades de las desigualdades);
luego, al tener las respectivas soluciones de cada
una, la solución final del sistema será la
intersección de estas. Es conveniente realizar un
gráfico para visualizar la intersección; si esta no
existe, entonces la solución del sistema de
inecuaciones será vacía.
 Funciones: Una función matemática es una
aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma
que a cada elemento del primer conjunto X le
corresponde uno y sólo un elemento del segundo
conjunto Y.
 Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se
le llama Codominio. Dentro del codominio está el
Recorrido, que corresponde a todos los elementos
que son imagen de algún elemento de X.
 A la variable X se le llama variable independiente,
mientras que a la variable Y se le denomina variable
dependiente.
 Para determinar si un gráfico corresponde a una
función, recomiendo utilizar el método de las
verticales que consiste en trazar líneas verticales
sobre la figura, si estás líneas intersectan a la figura
en dos o más puntos NO es función. Ejemplo:
Al trazar verticales concluimos que no son funciones los
grafico 3 y 5.
 Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva (o 1 a 1) si para
todo par de elementos distintos del dominio, sus
imágenes son diferentes, es decir, ningún elemento
del conjunto 𝐵 es imagen de dos elementos
distintos del conjunto 𝐴.
Algebraicamente, esto se puede representar como:
∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟺ 𝑥1 = 𝑥2
 Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es epiyectiva (o sobreyectiva)
si y solo si todo elemento del conjunto B es imagen
de algún elemento del conjunto A, es decir:
∀ 𝑦 ∈ 𝐵, ∃ 𝑥 ∈ 𝐴/𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑜 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝐵
 Función Afin: Su forma principal es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.
 Donde 𝑚 corresponde a la pendiente de la recta y 𝑛
es el coeficiente de posición.
o Si 𝑚 > 0 la recta se “inclina” a la derecha.
o Si 𝑚 < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda.
o Si 𝑚 = 0, la recta es paralela al eje x.
o Si 𝑚 = ∞, la recta es paralela al eje y.
El valor 𝑛 corresponde al punto (0, 𝑛) que es la
intersección de la recta con el eje y.

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o Cuando 𝑛 = 0, recibe el nombre de Función Lineal
y la recta pasa por el origen del sistema de
coordenadas.
o Forma General: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, donde la
pendiente 𝑚 = −
𝑎
𝑏
y el coeficiente de posición
𝑛 = −
𝑐
𝑏
 Función Cuadrática: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, con
𝑎 ≠ 0. Su gráfica corresponde a una parábola.
 Concavidad: El coeficiente a indica si las ramas de
la parábola se abren hacia arriba (𝑎 > 0) o hacia
abajo (𝑎 < 0).
 Vértice: Para determinar el vértice es conveniente
determinar primero 𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
, posteriormente se
reemplaza el valor obtenido en la función para
calcular el valor 𝑦.
 Eje de simetría de la parábola: Corresponde a la
recta 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
, paralela al eje y.
o Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 el eje de simetría está a la
izquierda del eje x.
o Si 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0 el eje de simetría está a la derecha
del eje x.
o Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 el eje de simetría está a la derecha
del eje x.
o Si 𝑎 < 0 y 𝑏 < 0 el eje de simetría está a la
izquierda del eje x.
 Intersección con los ejes:
o La intersección con el eje y la da el coeficiente c y
corresponde al punto (0, 𝑐).
o La intersección con el eje x está determinada por el
valor del discriminante 𝑏2
− 4𝑎𝑐
o Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0, la parábola intersecta en dos
puntos al eje x.
o Si𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0, la parábola intersecta en un
punto al eje x.
o Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0, la parábola no intersecta al eje
x.
 Ecuación de segundo grado: Para resolver
ecuaciones de segundo grado podemos usar cuatro
métodos.
1. Por inspección: Se utiliza para resolver
ecuaciones cuadráticas incompletas. Ejemplo:
4𝑥2
= 0 /: 4
𝑥2
= 0 /±√ 𝑎
𝑥 = 0
2. Factorización: Se usa cuando la ecuación
cuadrática es factorizable. Ejemplo:
𝑥2
− 2𝑥 − 35 = 0 −7 ∙ 5 = −35
(𝑥 − 7) ∙ (𝑥 + 5) = 0 −7 + 5 = −2
Cuando un producto es 0, entonces uno de los
factores es cero.
∴ 𝑥 − 7 = 0 ó 𝑥 + 5 = 0 Despejando 𝑥
𝑥1 = 7 ó 𝑥2 = −5

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3. Método de Completación del Cuadrado
Perfecto: Transformaremos el trinomio dado,
en una expresión que contenga un cuadrado de
binomio. Con esto conseguiremos una ecuación
que se puede reducir a ecuaciones lineales.
Ejemplo:
𝑥2
− 2𝑥 − 1 = 0 /+1
𝑥2
− 2𝑥 + 1 − 1 = 1 /+1
𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 2 Factorizamos
(𝑥 − 1)2
= 2 /√
𝑥 − 1 = √2 ó 𝑥 − 1 = −√2 Despejando 𝑥
𝑥1 = √2 + 1 y 𝑥2 = −√2 + 1
4. Fórmula General: Se recomienda utilizar
cuando la factorización no es simple.
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 Suma de las soluciones o raíces de una ecuación
de segundo grado:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 Producto de las soluciones o raíces de una
ecuación de segundo grado:
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 Traslación de funciones: Se refiere a la traslación
de una función 𝑓(𝑥), la cual puede hacerse en
forma horizontal 𝑓(𝑥 ± 𝑎) y/o vertical 𝑓(𝑥) ± 𝑎,
con 𝑎 > 0.
 Función Potencia: Una función Potencia es una
función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛
, donde 𝑎 es un
número real, distinto de cero y 𝑛 es un número
natural, distinto de uno.
La gráfica de la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝒏
depende de si 𝒏 es
par o impar.
𝒏 impar
𝒏 par
 Función Raíz: Si 𝒙 es un número real no negativo, se
define la función raíz cuadrada de 𝒙 por: 𝒇(𝒙) = √ 𝒙
 Función Parte Entera (o función escalonada): La
parte entera de un número es el entero menor más
cercano al número. A la función 𝑓(𝑥) = [𝑥], se la
llama Función Parte Entera. Ejemplo:
[3,7] = 3
[−2,7] = −3

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o La gráfica de una función parte entera es:
 Función Valor Absoluto: El valor absoluto de un
número 𝒙 ∈ ℝ, denotado por |𝒙| es siempre un
número real no negativo.
La función valor absoluto queda definida como:
𝒇(𝒙) = 𝒂|𝒙| = {
−𝒂𝒙, 𝑥 < 0
𝒂𝒙, 𝑥 ≥ 0
o Representaciones gráficas:
𝒇(𝒙) = |𝒙| ,
con 𝒂 > 0
𝒇(𝒙) = −|𝒙|,
con 𝒂 < 0
 Función Exponencial: Toda función cuya variable se
encuentre sólo en el exponente de una potencia. Su
representación algebraica es:
𝒇(𝒙) = 𝒂 𝒙
, 𝑠𝑖 𝑎 > 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 1
Propiedades:
o La gráfica intersecta al eje Y en (0, 1).
o La gráfica no intersecta al eje de las abscisas.
o Si 𝑎 > 1, entonces la función es creciente.
o Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.
 Función logarítmica: Toda función cuya variable se
encuentra en el argumento de un logaritmo, por
ejemplo, de la forma
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0
Propiedades:
o La gráfica intersecta al eje de las abscisas en (1, 0).
o La gráfica no intersecta al eje de las ordenadas.
o Si 𝑎 > 1, entonces la función es creciente.
o Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.

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Geometría (22 preguntas)
 Triángulos: Polígono de tres lados. Se pueden
clasificar según sus lados y/o ángulos.
 Elementos secundarios de un triángulo.
 Altura: Es la perpendicular que va desde el vértice al
lado opuesto o a su prolongación.
o Teorema: En todo triángulo el producto entre la
longitud de cada lado por su altura correspondiente,
es constante.
 Bisectriz: Es el trazo que divide al ángulo en dos
partes congruentes.
 Transversal de Gravedad: es el segmento que une al
vértice con el punto medio del lado opuesto. G es el
punto de intersección de las transversales, el cual las
divide en la razón 2:1.
o Teorema: En todo triángulo, las tres transversales de
gravedad determinan 6 triángulos de áreas
equivalentes.
 Simetral: Es la recta perpendicular que pasa por el
punto medio de cada lado del triángulo.
 Mediana: Es el segmento que une los puntos
medios de los lados de un triángulo. Cada mediana
es paralela al lado opuesto y mide la mitad de
dicho lado. Además se forman 4 triángulos iguales
(congruentes) y semejantes al original.
 Teoremas relativos al Triángulo Isósceles y
Equilátero.
o Teorema 1: En todo triángulo isósceles coinciden
los elementos secundarios correspondientes al
lado distinto.
o Teorema 2: en todo triángulo equilátero coinciden
los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos
singulares.
ℎ∆𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 =
(𝑙𝑎𝑑𝑜)√3
2

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 Teorema Transversal de Gravedad y Triángulo
Rectángulo: En todo triángulo rectángulo, la
transversal de gravedad trazada desde el ángulo
recto mide la mitad de la hipotenusa.
Sea el ∆ABC rectángulo en C y CH̅̅̅̅ la altura que cae del
vértice C, se cumplen los siguientes Teoremas:
 Teorema de Pitágoras: 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
 Teorema de Euclides
o 𝑎2
= 𝑝 ∙ 𝑐 o 𝑐 = 𝑝 + 𝑞
o 𝑏2
= 𝑞 ∙ 𝑐 o ℎ =
𝑎∙𝑏
𝑐
o ℎ2
= 𝑝 ∙ 𝑞 o
𝑎2
𝑏2
=
𝑝
𝑞
 Triángulos congruentes: Un ΔABC es congruente con
otro ΔDEF si sus lados respectivos (homólogos) son
congruentes y sus ángulos respectivos (homólogos)
también los son. Para que dos triángulos sean
congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o
ángulos sean congruentes. Las condiciones
requeridas para esto se conocen como criterios de
congruencia.
 Criterio LAL (Lado – Ángulo – Lado): Dos triángulos
son congruentes si tienen dos lados congruentes y el
ángulo comprendido por ellos también congruente.
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 porque, 𝐴𝐵̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅̅̅; ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐸𝐹 y
𝐵𝐶̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅̅̅.
 Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Dos triángulos
son congruentes si tienen dos ángulos
congruentes y el lado común a ellos, también
congruente.
∆𝐺𝐻𝐼 ≅ ∆𝐽𝐾𝐿 porque, ∡𝐺𝐻𝐼 ≅ ∡𝐽𝐾𝐿; 𝐻𝐼̅̅̅̅ ≅ 𝐾𝐿̅̅̅̅ y
∡𝐻𝐼𝐺 ≅ ∡𝐾𝐿𝐽.
 Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son
congruentes si tiene sus tres lados
respectivamente congruentes.
∆𝑀𝑁𝑂 ≅ ∆𝑃𝑄𝑅 porque, 𝑀𝑁̅̅̅̅̅ ≅ 𝑃𝑄̅̅̅̅; 𝑁𝑂̅̅̅̅ ≅ 𝑄𝑅̅̅̅̅ y
𝑂𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑅𝑃̅̅̅̅.
 Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo Mayor): Dos
triángulos son congruentes si tienen dos lados
congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor
medida, también congruente.
∆𝐴𝐶𝐸 ≅ ∆𝐵𝐷𝐹 porque, 𝐴𝐶̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐷̅̅̅̅; 𝐶𝐸̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅̅̅ y
∡𝐶𝐸𝐴 ≅ ∡𝐷𝐹𝐵, siendo AC y BD los lados de mayor
medida.
𝑡 𝑐 =
𝐴𝐵̅̅̅̅
2
↔ 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐵𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐷̅̅̅̅

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 Semejanza de triángulos: Dos triángulos son
semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno,
respectivamente; los lados opuestos a dichos
ángulos son proporcionales. Para determinar la
semejanza entre dos triángulos existen tres criterios
que son los siguientes:
 Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes
si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales.
Este criterio es el que más se ocupa en la PSU.
 Lado Proporcional-Ángulo-Lado Proporcional (LAL):
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados
son proporcionales respectivamente y congruente el
ángulo que forman.
 Lado Proporcional – Lado P. – Lado P. (LLL): Dos
triángulos son semejantes si sus tres lados son
respectivamente proporcionales.
 Teorema de Thales: Se usa cuando dos rectas son
paralelas
 Teorema de Apolonio:
  
BC AC a b
u vDB AD
o El ángulo del centro
mide el doble que
todos aquellos ángulos
inscritos que
subtienden el mismo
arco.
∡𝐴𝑂𝐶 = 2∡𝐴𝐵𝐶
o Todos los ángulos
inscritos que
subtienden el mismo
arco, miden lo mismo.
o Todo ángulo inscrito en
una
semicircunferencia es
recto.
o La intersección de un
radio y la tangente a la
circunferencia forman
un ángulo recto.
o Todo ángulo semi-
inscrito en una
circunferencia tiene
medida igual a la
mitad de la medida del
ángulo del centro, que
subtiende el mismo
arco.
o Si desde un punto se
trazan dos tangentes a
una circunferencia, los
trazos formados son
congruentes.
o La medida de un
ángulo interior es igual
a la semisuma de las
medidas de los arcos
correspondientes.
∡𝐴𝐸𝐵 =
𝐴𝐵̂ +𝐶𝐷̂
2
A B
C
D
a
b
uv

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 Proporcionalidad en la circunferencia.
o Teorema de las cuerdas
𝑨𝑷̅̅̅̅ ∙ 𝑩𝑷̅̅̅̅ = 𝑪𝑷̅̅̅̅ ∙ 𝑫𝑷̅̅̅̅̅
o Teorema del radio y la cuerda
CBACODAB 
o Teorema de las secantes
𝑷𝑨̅̅̅̅̅ · 𝑷𝑩̅̅̅̅ = 𝑷𝑪̅̅̅̅̅ · 𝑷𝑫̅̅̅̅̅
o Teorema de la tangente y la secante
𝑨𝑷̅̅̅̅ 𝟐
= 𝑷𝑩̅̅̅̅ ∙ 𝑷𝑪̅̅̅̅
 Área y Perímetro de figuras geométricas:
o El perímetro de una figura es la medida total de su
frontera o contorno, expresada en unidad de
longitud. Lo simbolizamos con la letra P.
o El área es la medida de la superficie que ocupa una
figura. Lo simbolizamos con la letra A
∡𝐶𝐴𝐷 =
𝐶𝐷̂ − 𝐵𝐸̂
2
o La medida de un
ángulo exterior es
igual a la
semidiferencia de
las medidas de los
arcos
correspondientes.
Cuadrado
𝑃 = 4𝑎
𝐴 = 𝑎2
o 𝐴 =
𝑑2
2
Rectángulo
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏
𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏
Rombo
𝑃 = 4𝑎
𝐴 =
𝑑1∙𝑑2
2
o 𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ1
Romboide
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏
𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ1 o 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ2
Triángulo
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝐴 =
𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
Triángulo equilátero
𝑃 = 3𝑎
𝐴 =
𝑎2
√3
4
Trapecio
𝑃 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑏1 + 𝑏2
𝐴 = 𝑚 ∙ ℎ
Con 𝑚 =
(𝑏1+ 𝑏2)
2
Deltoide
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
𝐴 =
𝑑1 ∙ 𝑑2
2
a=b; c=d
Circunferencia y Círculo
𝑃 = 2𝜋𝑟
𝐴 = 𝜋𝑟2
a
b
b
a
a
a
a
a ℎ1
a
b
b
a
a
c
b
a
b2
b1
c
m
h
r

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Sector circular
r
r
PAOB 2
º360
2




º360
2
 

r
AAOB
 Volumen de cuerpos geométricos: El volumen es la
cantidad de espacio que ocupa un cuerpo
(capacidad). Lo simbolizamos con la letra V
Cubo o Hexaedro
Regular
𝐴 = 6𝑎2
𝑉 = 𝑎3
Prisma de base
rectangular o
Paralelepípedo
𝐴 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
Cilindro
𝐴 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ)
𝑉 = 𝜋𝑟2
∙ ℎ
Cono
𝐴 = 𝜋𝑟2
+ 𝜋𝑟𝑔
𝑉 =
𝜋𝑟2
∙ ℎ
3
Esfera
𝐴 = 4𝜋𝑟2
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
 Ecuación de la recta: Para hallar la ecuación de la
recta podemos usar las siguientes fórmulas:
o Ecuación Punto – Pendiente: Si se tiene un punto
),( 11 yxA y una pendiente conocida, se define la
ecuación punto-pendiente como:
)( 11 xxmyy 
o Ecuación Punto – Punto: Si se tienen dos puntos
),( 11 yxA y ),( 22 yxB , se define la ecuación punto
– punto como:
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
x2 − x
(𝑥 − 𝑥1)
1
o Distancia entre dos puntos: Sean ),( 11 yxA y
),( 22 yxB dos puntos, la distancia entre ellos es
𝑑(𝐴𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2.
o Punto Medio: Sean ),( 11 yxA y ),( 22 yxB dos
puntos, las coordenadas del punto medio son
𝑀 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
 Posiciones relativas entre rectas
o Dos rectas serán paralelas cuando sus pendientes
sean iguales y sus coeficientes de posición sean
distintos. Entonces 212121 // nnmmLL 
o Dos rectas serán perpendiculares cuando la
multiplicación de sus pendientes sea igual a -1.
Entonces 12121  mmLL
o Dos rectas serán coincidentes siempre y cuando sus
pendientes y coeficientes de posición sean iguales.
Entonces 212121 nnmmCLL 
a
a
b
c
h

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 Vectores: Un vector fijo es un segmento orientado. Se
representa por 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . El punto O es el origen y el punto
A es el extremo.
 Componentes de un vector: El vector definido por
dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) es el que se obtiene
al restar el vector de posición del extremo menos el
del origen.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
Sus componentes son: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 – 𝑦1)
 Características de un vector:
o El módulo o magnitud: es la longitud. Se representa
por |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |. Para calcularlo se usa el teorema de
Pitágoras. Si 𝑣 = 〈𝑥, 𝑦〉, entonces:
|𝒗⃗⃗ | = √ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
o La dirección: es la dirección de la recta que lo
contiene.
o El sentido: es el que va del origen al extremo.
 Vector opuesto: Analíticamente, el vector opuesto es
el que se obtiene al cambiar de signo sus
componentes; y geométricamente, es el que tiene el
mismo módulo y dirección pero sentido contrario.
Ejemplo: El vector opuesto de 𝑣 = 〈−5, 2〉 es
−𝑣 = 〈5, −2〉.
 Suma y resta de vectores: Para sumar y restar
vectores analíticamente, se suman o restan sus
componentes. Por ejemplo, sean los vectores
𝑢⃗ = 〈6, 2〉 y 𝑣 = 〈3, 4〉.
𝑢⃗ + 𝑣 = 〈6, 2〉 + 〈3, 4〉 = 〈9, 6〉
𝑢⃗ − 𝑣 = 〈6, 2〉 − 〈3, 4〉 = 〈3, −2〉
 Regla del paralelogramo: Para sumar y restar
vectores geométricamente, se forma un
paralelogramo uniendo por el origen los vectores 𝑢⃗ y
𝑣. Luego se se desplazan los vectores para unir sus
“colas” y se completa el paralelogramo
La diagonal que parte del origen es el vector suma
𝑢⃗ + 𝑣; y la diagonal que parte del extremo de v es
el vector resta 𝑢⃗ − 𝑣.
 Producto de un vector por un escalar: En general,
cuando se calcula el producto de un escalar por un
vector, se obtiene un nuevo vector, que conserva
la dirección del vector original, pero cuya
magnitud y sentido cambian según el valor por el
cual fue multiplicado. Ejemplo: Consideremos el
vector 𝑓 = 〈2,3〉 y el escalar 𝜆 = −1. El producto
por un escalar queda definido como:
−1𝑓 = −1 ∙ (2,3) = (−1 ∙ 2, −1 ∙ 3) = (−2, −3)
 Vector director: Un vector de una recta es un
vector paralelo a la recta, es decir, tiene la misma
dirección que la recta. Para hallar el vector
director de una recta se toman dos puntos de la
recta y se calculan sus componentes.
 Ecuación vectorial de la recta: La ecuación de una
recta es una expresión analítica que permite
identificar todos los puntos de la recta. Dados un
punto 𝑃 de la recta y un vector de dirección 𝑢⃗ , un
punto genérico de la recta X tendrá como vector
de posición 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ .

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Es claro que 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ , como el vector 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑢⃗
están en la misma dirección existe un número 𝜆 tal
que 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑢⃗ , por tanto 𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜆𝑢⃗ . Si 𝑑 es el
vector director y 𝑝 es su vector posición, la ecuación
vectorial de la recta es:
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏〉 + 𝝀〈𝒅 𝟏, 𝒅 𝟐〉 con 𝜆 ∈ ℝ, o bien
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒙 𝟏, 𝒚 𝟐〉 + 〈𝝀𝒅 𝟏, 𝝀𝒅 𝟐〉 con 𝜆 ∈ ℝ.
o Ecuación Paramétrica de la recta: Para encontrar las
ecuaciones paramétricas se deben igualar sus
componentes, es decir:
〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥1, 𝑦1〉 + 〈𝜆𝑑1, 𝜆𝑑2〉
〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥1 + 𝜆𝑑1, 𝑦1 + 𝜆𝑑2〉
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑑1
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑑2
} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ
o Ecuación continua de la recta: Si en las expresiones
anteriores 𝑑1 y 𝑑2 son distintos de cero, se puede
despejar el parámetro 𝜆 de cada ecuación e igualar:
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑑1
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑑2
} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ
𝑥−𝑥1
𝑑1
= 𝜆
𝑦−𝑦1
𝑑2
= 𝜆
} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ
𝑥 − 𝑥1
𝑑1
=
𝑦 − 𝑦1
𝑑2
 Geometría Espacial: Los ejes son X (Abscisas), Y
(Ordenadas), Z (Cotas) mutuamente perpendiculares
que generan también tres planos perpendiculares
XY, XZ, y el YZ. Ejemplo: El punto A está ubicado en
el plano tridimensional y sus coordenadas son:
(𝑎, 𝑏, 𝑐).
Distancia entre dos puntos en el espacio: Sean los
puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). La distancia entre
dos puntos en el espacio está dada por:
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
o Ecuación vectorial de la recta en el espacio: Como
ya hemos determinado la ecuación vectorial de la
recta en el plano, resulta fácil establecer en forma
equivalente las del espacio.
〈𝒙, 𝒚, 𝒛〉 = 〈𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎, 𝒛 𝟎〉 + 𝝀〈𝒅 𝟏, 𝒅 𝟐, 𝒅 𝟑〉. O también
〈𝒙, 𝒚, 𝒛〉 = 〈𝒙 𝟎 + 𝝀𝒅 𝟏, 𝒚 𝟎 + 𝝀𝒅 𝟐, 𝒛 𝟎 + 𝝀𝒅 𝟑〉, con
𝜆 ∈ ℝ.
o Ecuación paramétrica de la recta en el espacio:
Igualando los componentes, se obtienen sus
ecuaciones paramétricas:
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑑1
𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑑2
𝑧 = 𝑧0 + 𝜆𝑑3
} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ
o Ecuación continua de la recta en el espacio:
𝑥 − 𝑥0
𝑑1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑑2
=
𝑧 − 𝑧0
𝑑3
 Transformaciones Isométricas: Son aquellas
transformaciones en el plano que no altera ni la
forma ni el tamaño de la figura.
o Traslación: Las componentes del vector de
traslación indican si la traslación es hacia la
izquierda o la derecha (abscisa del vector) y si la
traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada
del vector).

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o Rotaciones de un punto (𝒙, 𝒚) respecto al origen
(𝟎, 𝟎): Al rotar en sentido antihorario (rotación
positiva) es posible usar la siguiente tabla:
Punto Inicial (x, y)
R(0, 90°) (-y, x)
R(0, 180°) (-x, -y)
R(0, 270°) (y, -x)
R(0, 360°) (x, y)
Ejemplo: A continuación se muestra una rotación
positiva del triángulo ABC en 90º.
o Simetrías (o reflexiones)
o Axial: Simetría con respecto a un eje. La reflexión de
un punto A en torno a una recta L, es un punto A` tal
que 𝐴𝐴`̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐿 y 𝐴𝑃̅̅̅̅ ≅ 𝑃𝐴`̅̅̅̅̅.
Si reflejamos el punto
A(x, y) en torno al eje x,
obtenemos el punto
A’(x, -y). Si reflejamos
A(x, y) en torno al eje y,
obtenemos el punto
A’(-x, y).
o Central: Simetría con respecto a un punto. La
reflexión de un punto A en torno a un punto P, es un
punto A’ tal que A, P y A’ son colineales y 𝐴𝑃̅̅̅̅ ≅ 𝑃𝐴`̅̅̅̅̅.
Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al origen (0,0),
se obtiene el punto A’(-x, -y)
 Teselación: Para teselar el plano al unir las figuras
y que no queden huecos entre ellas, debe
cumplirse que la suma de sus ángulos en la unión
de los vértices debe ser 360º.
 Homotecia: Se llama homotecia de centro O y
razón 𝑘 ≠ 0, a la transformación del plano que
hace corresponder a un punto P otro P`, alineado
con O y con P, tal que cada punto P` cumple que
𝑂𝑃`̅̅̅̅̅ = 𝑘 ∙ 𝑂𝑃̅̅̅̅. Al punto P` se denomina homólogo
de P.

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Datos y Azar (22 preguntas)
 Principios Fundamentales del conteo
 Regla de la suma: Si se puede realizar una primera
tarea de 𝑚 maneras, mientras que una segunda se
puede efectuar de 𝑛 maneras, y no se pueden
realizar las dos a la vez, entonces tenemos un
repertorio de 𝑚 + 𝑛 maneras de realizar una tarea.
Ejemplo: Si se desea escoger un alumno entre 2
grupos escolares disponibles, el primero con 25
alumnos y el segundo con 30, entonces se puede
seleccionar al alumno de 25+30=55 maneras
diferentes.
 Regla del producto: Si un procedimiento se puede
separar en las etapas primera y segunda, y si hay 𝑚
posibles resultados para la primera etapa y 𝑛 para la
segunda, entonces el procedimiento total se puede
realizar, en el orden designado, de 𝑚 · 𝑛 maneras.
Ejemplo: Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8
mujeres que aspiran a los papeles principales. El
director puede elegir a la pareja principal de 6∙8 = 48
formas.
 Combinatoria
 Factorial: Sea 𝑛 un número natural
𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙∙∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛
Definiéndose 0! = 1.
Ejemplo: 4! = 4∙3∙2∙1 = 24
 Variación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos
de 𝑘 elementos, donde 𝑘 < 𝑛. Ejemplo: ¿Cuántos
números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos
1, 3, 5, 7 y 9, sin repetir ninguno de ellos?
𝑉 =
5!
(5 − 4!)
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
1
= 120
Se pueden formar 120 números de 4 cifras.
 Permutación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en
grupos de 𝑘 elementos, donde 𝑘 = 𝑛.
𝑃 = 𝑛!
Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras podemos
escribir con los dígitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se
repita?
𝑃 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
o Combinación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en
grupos de 𝑘 elementos, con 𝑘 < 𝑛, en que los
elementos de cada grupo no pueden estar en otro
orden en algún otro grupo.
𝐶 =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
Ejemplo: En un curso de 20 alumnos se quiere
formar una comisión de 3 alumnos. ¿De cuántas
maneras distintas se puede formar dicha
comisión?
𝐶 =
20!
3! ∙(20−3)!
=
20∙19∙18∙17!
2∙1∙17!
= 3420 maneras
o Cálculo de Probabilidades: Para calcular la
probabilidad teórica de un evento 𝐴 se utiliza la
expresión:
𝑃(𝐴) =
𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
o Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su
complementario (o equivalente, de que no suceda
A) es igual a uno menos la probabilidad de A:
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 𝑐) = 1 ⇒ 𝑃(𝐴 𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴)
Donde 𝐴 𝑐
denota al suceso contrario o suceso
complementario de A
 Probabilidad de eventos.
o Si A y B son dos sucesos incluyentes, la
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está
dada por:
𝐏(𝐀 𝐨 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁) − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
o Si A y B son dos sucesos excluyentes, la
probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
𝐏(𝐀 𝐨 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁)
o Los sucesos 𝐴 y 𝐵 se consideran independientes
cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no
influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no
ocurrencia del otro.
𝐏(𝐀 𝐲 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐏(𝐀) ⋅ 𝐏(𝐁)

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o Probabilidad Condicionada: Sean A y B dos sucesos
dependientes de un mismo espacio muestral. La
probabilidad condicional de A, dado B, se calcula
como la probabilidad del suceso A, bajo la condición
de que el suceso B ha ocurrido.
𝐏(𝐀/𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
 Función de probabilidad: La función de probabilidad
es la probabilidad de que la variable aleatoria tome
un valor particular.
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥)
 Funcion de distribución de probabilidad: La función
de distribución es la probabilidad de que la variable
tome valores iguales o inferiores a 𝑥:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
Tanto la Función de Probabilidad como la de
distribución pueden ser representadas gráficamente
con el diagrama de barras.
 Distribución Normal (o Gaussiana): Si se repite una
experiencia un gran número de veces, los resultados
tienden a agruparse simétricamente en torno a un
valor medio. Cuantas más veces se repita la
experiencia, más se acercan los resultados a una
curva ideal correspondiente a una distribución
normal.
 Propiedades de la distribución normal:
1. Tiene una única moda, que coincide con su media y
su mediana.
2. La curva normal tiene forma de campana y por eso
recibe el nombre de Campana de Gauss y depende
de los parámetros  y . Es asintótica al eje de
abscisas.
3. La distancia entre la línea trazada en la media y el
punto de inflexión de la curva es igual a una
desviación típica (𝜎).
4. 4. El área total bajo la curva es igual a 1. El área
comprendida entre los valores situados
aproximadamente a una desviación estándar de la
media es 0,68 y a dos desviaciones estándar es
0.95.
5. Es simétrica con respecto a su media. O sea, existe
una probabilidad de un 50% de observar un dato
mayor que la media, y un 50% de observar un dato
menor.
6. La media indica la posición de la campana y la
desviación típica o estándar determina el grado de
apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea ,
más aplanada será la curva.

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A partir de cualquier variable X que siga una
distribución 𝑁(𝜇, 𝜎), se puede obtener otra
característica Z con una distribución normal
estándar, sin más que efectuar la transformación:
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
De modo que ahora Z distribuye 𝑁(0, 1). A este
proceso se le conoce como tipificación.
 Manejo de la tabla normal
1. Cuando la probabilidad pedida se encuentra
directamente en las tablas. Ejemplo: Hallar la
probabilidad p(z ≤ 1,15).
Vemos directamente en la tabla p (z ≤ 1,15) = 0,875.
2. Probabilidad de un valor positivo. Ejemplo: Hallar la
probabilidad p(z > 1,64)
En este caso la probabilidad pedida no está en la
tabla, sin embargo, si tenemos en cuenta que el área
total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos que:
p(z > 1,64) = 1 - p(z ≤ 1,64) = 1 – 0,950 = 0.050.
3. Probabilidad de un valor negativo Ejemplo: Hallar la
probabilidad p(z ≤ -0,67)
Como la gráfica es simétrica respecto al eje de
ordenadas, p(z ≤ - 0,67) = p(z ≥ +0,67)
Y calculamos p(z ≥ +0,67) igual que el caso anterior.
4. Probabilidad entre dos valores positivos. Ejemplo
Hallar la probabilidad p (0,67 ≤ z ≤ 2,17)
Leemos directamente en la tabla la p(z ≤ 2,17) y la
p(z ≤ 0,67). La diferencia entre ellas es la
probabilidad que nos piden.
5. Probabilidad entre dos valores negativos.
Ejemplo: Hallar la probabilidad p (-1,15 ≤ z ≤ -2,32)
Por simetría cambiamos los dos valores negativos
a positivos y calculamos la diferencia de sus
probabilidades, igual que el caso anterior.
6. Probabilidad entre un valor positivo y uno
negativo. Ejemplo: Hallar la probabilidad
p(-0,67 ≤ z ≤ 2,32)
p(-0,67 ≤ z ≤ 2,32) = p(z ≤ 2,32) - p(z ≤ -0,67)
p(z ≤ -0,67) = p(z ≥ 0,67) = 1 - p(z < 0,67)=
1 - 0,749 = 0,251
p(-0,67 ≤ z ≤ 2,32) = p(z ≤ 2,32) - p(z ≤ - 0,67) =
0,990 - 0,251 = 0,739.
 Intervalos de Confianza: Intervalo que con cierto
nivel de confianza, nos asegura que dentro del él
se encuentra la media poblacional.
[𝑥 − 𝑧(
𝛼
2
)
∙
𝜎
√ 𝑛
; 𝑥 + 𝑧(
𝛼
2
)
∙
𝜎
√ 𝑛
]
 Distribución Binomial: Una distribución binomial
tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles
dos resultados: éxito y fracaso.
2. La probabilidad de éxito es constante, es decir,
que no varía de una prueba a otra. Se representa
por p.
3. La probabilidad de fracaso también es constante,
Se representa por q, donde q = 1 − p

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o El resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
o La variable aleatoria binomial, X, expresa el número
de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los
valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.
La distribución binomial se expresa por 𝐵(𝑛, 𝑝)
𝑝(𝑋 = 𝑘) = ( 𝑛
𝑘
) ∙ 𝑝 𝑘
∙ 𝑞 𝑛−𝑘
con ( 𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
Donde 𝑛 es el número de pruebas, 𝑘 es el número de
éxitos, 𝑝 es la probabilidad de éxito y 𝑞 la
probabilidad de fracaso.
o Estadística
o Media Aritmética: La media se calcula al sumar los
valores de un conjunto y al dividir el valor de su
suma entre el número de valores del mismo.
o Datos no agrupados: Si 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son los valores
de una variable en 𝑛 observaciones, la media
aritmética 𝑥 es:
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
=
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
o Datos agrupados en tabla de frecuencia: Si los datos
son; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛, y las frecuencias respectivas
son 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛, entonces la media aritmética es:
𝑥 =
∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
o Mediana: Dato que ocupa el valor central de un
conjunto de datos ordenados según magnitud
(decreciente o creciente).
Si la muestra tiene un número par de datos, la
mediana es la media aritmética de los dos términos
centrales.
o Moda: La moda de un conjunto de datos es el valor
que presenta mayor frecuencia. Si tenemos los
siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8. La Moda
corresponde al valor que más se repite (con mayor
frecuencia), en este caso, el 7. (Puede haber más de
un valor que sea moda)
 Medida de Dispersión: Nos informan sobre cuánto
se alejan del centro los valores de la distribución.
 Rango: Diferencia entre el mayor valor y menos
valor de una distribución de datos.
 Desviación estándar: Representa el grado de
dispersión de los datos respecto a la media.
𝜎 = √
∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛
Si los datos vienen agrupados en una tabla de
frecuencias, la expresión de la desviación media
es:
𝜎 = √
∑ 𝑓𝑖 ∙ (𝑐𝑖 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛
 Varianza: Es la media aritmética del cuadrado de
las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística.
𝜎2
=
∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛
Para datos agrupados:
𝜎2
=
∑ 𝑓𝑖 ∙ (𝑐𝑖 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛
 Propiedades de la varianza
1. La varianza será siempre un valor positivo o cero,
en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2. Si a todos los valores de la variable se les suma un
número la varianza no varía.
3. Si todos los valores de la variable se multiplican
por un número la varianza queda multiplicada por
el cuadrado de dicho número.
4. Si tenemos varias distribuciones con la misma
media y conocemos sus respectivas varianzas se
puede calcular la varianza total.

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 Correlación
 Gráfico de Dispersión (Nube de puntos): Es una
herramienta de análisis la cual representa en forma
gráfica la relación existente entre dos variables
pudiendo observar la dependencia o influencia que
tiene una variable sobre la otra, permitiendo
visualizar de forma gráfica su posible correlación.
En general, al observar un gráfico de dispersión, se
puede apreciar si los puntos se agrupan o no.
o Si la agrupación es creciente, se dice que la
correlación es positiva, si es decreciente, la
correlación es negativa y si no existe relación, se dice
que su correlación es nula. Si el valor determinado
está entre 0,8 y 1 o entre -0,8 y -1, se dice
generalmente que la relación entre las variables es
muy fuerte. Entre 0,6 y 0,8 o entre -0,6 y -0,8 es
fuerte. Entre 0,4 y 0,6 o -0,4 y -0,6 es una relación
moderada. Menos de 0,4 o menos de -0,4, débil o
inexistente si se aproxima mucho a 0.
 Medidas de Posición
 Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un
conjunto ordenado de datos en cuatro partes
iguales. 𝑄1, 𝑄2 y 𝑄3 determinan los valores
correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos,
respectivamente, donde 𝑄2 coincide con la mediana.
Ejemplo: Calcular los cuartiles de 10 niños cuyas
edades son 5, 4, 4, 8, 14, 10, 9, 11, 13 y 11 años.
Primero ordenar los datos de menor a mayor.
Calcular la posición aproximada del cuartil 𝑄𝑖 =
𝑖𝑛
4
.
Si dio un número entero, el cuartil será el promedio
de los datos en las posiciones
𝑖𝑛
4
y
𝑖𝑛
4
+ 1.
Si dio un decimal, el cuartil será el dato que se
ubica en la posición inmediatamente superior al
valor de
𝑖𝑛
4
 Deciles: Son los valores que dividen a un conjunto
ordenado de datos en 10 partes iguales. Así 𝐷1 es
el valor de la variable que agrupa el 10% de los
datos. 𝐷2 agrupa el 20% de los datos. 𝐷3 el 30%,
etc.
 Percentiles: Son los valores que dividen a un
conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.