1. Bending Problems
Part1
−������ −������������ ������������ −������������
������ = → ������ = , ������ = → ������ =
������ ������ ������ ������
Prob. 4.1: Knowing that the couple shown acts in a vertical plane,
determine the stress at (a) point A. (b) point B.
Solution:
������ℎ3 80 120 3
40 80 3
������ = = − × 10−12 = 9.8133 × 10−6 ������4
12 12 12
−������������
������ =
������
At A:
− 0.04 (15000)
������ = = 61.14 ������������������ (������������������������������������������������������������������ ������������������������������������)
9.8133 × 10−6

2. At B:
− −0.06 (15000)
������ = = 91.7 ������������������ (������������������������������������������ ������������������������������������)
9.8133 × 10−6
Prob. 4.2: Knowing that the couple shown acts in a vertical plane,
determine the stress at (a) point A. (b) point B.
Solution:
From the symmetry of the cross section, we can see obviously
that the centroidal axis is z-axis.
������ℎ3 1
������������ = − 2 ������������ 4
12 4
(120)(60)3 1
������������ = − 2 ������(19)4 = 1.12922519 ∗ 10−8 ������4
12 4
−������������
������ =
������
At point A:
− 0.03 (2000)
������ = = −5.31 ������������������
1.12922519 ∗ 10−8

3. At point B:
− −0.019 (2000)
������ = = 3.365 ������������������
1.12922519 ∗ 10−8
Prob. 4.3: A beam of the cross section shown is extruded from an
aluminum alloy for which ������������ = ������������������ ������������������ ������������������ ������������ = ������������������ ������������������.Using a factor
of safety of 3.00, determine the largest couple that can be appliedto the
beam when it is bent about the z-axis.
Solution:

4. ������������ 450
������������������������ = = = 150 ������������������
������. ������ 3
Since ������������������������ < ������������ the beam remains in the elastic range and we
can apply our relations mentioned above.
������ℎ3 16 80 3
16 32 3
������ = = − × 10−12 = 1.409 × 10−6 ������4
12 12 12
−������������ ������ ������������������ ∗������
������������������������ = ������������������������������������������������ = −
������ ������������������������
150 ∗ 106 ∗ 1.409 ∗ 10−6
∴ ������������������������������������������������ =− = 5.283 ������������. ������
−0.04
Prob. 4.5: The steel beam shown is made of a grade of steel for
which ������������ = ������������������ ������������������ ������������������ ������������ = ������������������ ������������������. Using a factor of safety of
2.50, determine the largest couple that can be appliedto the beam
when it is bent about the x-axis.
Solution:
������������ 400
������������������������ = = = 160 ������������������
������. ������ 2.5

5. Since ������������������������ < ������������ the beam remains in the elastic range and we
can apply our relations mentioned above.
3 3
10 228 200 16 2
������ = +2∗ + 200 16 122 × 10−12
12 12
= 1.0527109 × 10−4 ������4
������������������������ ∗ ������ 160 ∗ 106 ∗ 1.0527109 × 10−4
������������������������������������������������ =− =−
������������������������ −0.13
= 129.564 ������������. ������
Prob. 4.10: Two equal and opposite couples of magnitude
������ = ������������ ������������. ������ are applied to the channel-shaped beam AB.
Observing that the couples cause the beam to bend in a horizontal
plane, determine the stress at (a) point C, (b) point D. (c) point E.

6. Solution:
Part # Area Z`i Z`i A ������������
1 4320 18 77760 0.12(0.036)3 = 3.443 ∗ 10−6 m4
+ 0.00432(0.02625)2
12
0.03(0.12)3
+ 0.0036(15.75 ∗ 10−3 )2 = 5.213 ∗ 10−6 m4
2 3600 60 216000 12
0.03(0.12)3 = 5.213 ∗ 10−6 m4
3 3600 60 216000 + 0.0036(15.75 ∗ 10−3 )2
12
������`������ ������ 509760
������ = = = 44.25 ������������
������ 11520
������������ = ������������ 1 + ������������ 2 + ������������ 3 = 1.386936 ∗ 10−5 ������4

7. At point (C):
−������������ −0.04425 ∗ 25000
������ = =− = 79.76 ������������������ (������������������������������������������)
������ 1.386936 ∗ 10−5
At point (D):
−������������ 0.07575 ∗ 25000
������ = =− = −136.54 ������������������ (������������������������������������������������������������������)
������ 1.386936 ∗ 10−5
At point (E):
−������������ −0.00825 ∗ 25000
������ = =− = 14.87 ������������������ (������������������������������������������)
������ 1.386936 ∗ 10−5