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1. Exercice sur logarithme népérien propose par le
prof : Ennaji Ahmed pour le bac 2017 sciences
expérimentales biof
Partie 1 :
Soit la fonction g définie sur  0, par :  
4
2
1
4ln
x
g x x
x

 
1-montrer que :  
 
22
3
1
0: ' 2
x
x g x
x

 
2-en déduire que g est strictement croissante sur  0,
3-etablir que   0g x pour  0;1x et   0g x pour  1;x 
(Remarquer : g(1)=0).
Partie2 :
On considère la fonction f définie sur 0, par    
4
2
2
1 1
ln
4
x
f x x
x
 
  
 
1-a-verifier que :  
2
2
4
1 1 ln
0:
4 4
x
x f x x
x x
  
     
   
b-en déduire que  lim
x
f x

 
c-calculer  lim
x
f x
x
et interpréter le résultat obtenu géométriquement
2-a-verifier que :    2
2 4
1 1 1
0: ln
4 4
x f x x x
x x
 
     
b- en déduire que  0
lim
x
f x

 et interpréter ce résultat
géométriquement.
3-montrer que :  
 0: '
2
g x
x f x
x
 
4-a-montrerque g est strictement décroissante sur  0;1 et g est
strictement croissante sur  1;
b-donner le tableau de variation de f

2. 5-a-montrer que :  
1
0:x f x f
x
 
   
 
b-montrer que l’équation  f x x admet une solution unique  sur  0;1
c- montrer que l’équation  
1
f x
x
 admet une solution unique  sur
 1;
d-vérifier que : 1 
e-donner un encadrement de  d’amplitude 2
10
et en déduire un
encadrement de 
6-construire la courbe  fC dans un repère orthonormé  ; ;O i j
7-a-en utilisant une intégration par partie .montrer que 1
ln 1
e
xdx 
b-en déduire que :  2
1
ln 2
e
x e 
8-determiner l’aire du domaine plan limite par la courbe fC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations