Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

Sistem Homogen dan Invers-Matrik - Pertemuan 5.

6.235 Aufrufe

Veröffentlicht am

Materi Kuliah Aljabar Linier STIKOM Artha Buana

Veröffentlicht in: Bildung
  • Loggen Sie sich ein, um Kommentare anzuzeigen.

Sistem Homogen dan Invers-Matrik - Pertemuan 5.

  1. 1. Skema Sistem persamaan linear Sistem Persamaan Linier Homogen Non Homogen Mempunyai Pemecahan Tidak Mempunyai Pemecahan Pemecahan Tak-Hingga Pemecahan Tunggal Pemecahan Non - Trivial Pemecahan Trivial Selalu Ada Pemecahan
  2. 2. Sistem Homogen ….. atau Ax = 0 Solusi dari sistem homogen yg berbentuk : x1 = x2 = … = xn = 0 disebut dengan solusi trivial (sederhana), jika tidak demikian disebut solusi non trivial (banyak sekali solusinya) 0 0 0 2211 2222121 1212111    nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa    Bentuk umum :
  3. 3. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : m = n x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 0 2x + 3 y + z = 0 Jawab : *1 *-2 *-1/1 Mencari Matrik Eselon Baris Tereduksi Augmented Matriks
  4. 4. Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matrik A memiliki satu utama (matrik identitas), sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu : x 0 y 0 z 0                  
  5. 5. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x – y + 2 z – w = 0 2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3x – 3w = 0 Jawab : dicari matrik eselon tereduksinya m = n x -w =0 y-2z =0
  6. 6. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka diperoleh penyelesaian umum : OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan. x t y 2s z s w t                         x -w =0 y-2z =0 x = w y = 2z
  7. 7. Metode mencari invers suatu matriks • Langkah 1 : Susunlah matriks A dengan matriks identitas sehingga menjadi matriks diperbesar sbb : • Langkah 2 : Menggunakan OBE, ubahlah matriks menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi  nIA  nIA Misalkan A adalah matriks berukuran n x n, maka langkah – langkah mencari invers dari A adalah 1 2 0 −1 −2 1 2 3 1 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 misalkan
  8. 8. Cara mencari invers Matriks (Lanjutan) • Langkah 3 : Misalkan dari langkah 2 diperoleh matriks Maka : a. Jika C = In maka D = A-1 b. Jika C  In maka C mempunyai satu baris yang terdiri dari nol semuanya. Dalam kasus ini A tidak invertible .  DC   nIA  1 AIn  OBE
  9. 9. Contoh Soal Carilah invers dari matriks berikut :               325 121 321 B            155 320 111 A 1. 2.
  10. 10. Invers Matriks dan Sistem Linier Diberikan sistem non homogen : Ax = b, dengan A berukuran n x n , x berukuran n x 1, dan b berukuran n x 1 Misalkan A invertible, maka x dpt ditentukan dari A-1 sbb: A-1(Ax) = A-1b (A-1A)x = A-1b Inx = A-1b x = A-1b Jadi, jika Ax = b maka x = A-1b
  11. 11. Teorema #1 Jika A matriks berkuran n x n. Sistem homogen Ax = 0 mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika A tidak invertible.
  12. 12. Bukti Teorema #1 Bukti : () Misalkan A invertible, maka A-1 ada. Kalikan kedua ruas Ax = 0 dengan A-1: Ax = 0 A-1(Ax ) = A-1.0 (A-1A)x = 0 x = 0. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar A tidak invertible. ( ) Misalkan Ax = 0 mempunyai solusi trivial, berarti x = 0. Jadi diperoleh matriks diperbesar : Sehingga A mempunyai invers (A invertible). Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar Ax = 0 mempunyai solusi nontrivial.  0A 1 
  13. 13. Teorema #2 Jika A matriks n x n, maka A invertible jhj sistem linier Ax = b mempunyai solusi tunggal, untuk b berukuran n x 1.
  14. 14. Bukti Teorema #2 Bukti : ()Diketahui A invertible, berarti A-1 ada. Kalikan Ax = b dengan A-1 : Ax = b A-1(Ax) = A-1b x = A-1b Karena invers sustu matriks adalah tunggal, maka A-1b juga tunggal. Jadi terbukti x = A-1b adalah tunggal. () Diketahui sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal, misalkan x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn. Dari sini diperoleh matriks eselon baris tereduksi:
  15. 15. Lanjutan Bukti Jadi, dari matriks diperbesar menjadi matriks Hal ini berarti A mempunyai invers atau A invertible.  bA  cIn                      nc c c c      100 100 010 001 3 2 1
  16. 16. Latihan Soal 1. Carilah solusi dari sistem : x + 2y + 3z = 0 2y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0 2. Misalkan terdapat masyarakat sederhana yang terdiri dari 3 individu : petani yang menghasilkan semua makanan, pemborong yang membangun semua rumah, dan penjahit yang membuat semua baju. Setiap orang menghasilkan satu unit komoditi selama tahun tersebut. Misalkan porsi tiap komoditi yang dikonsumsi oleh tiap orang diberikan dalam tabel berikut :
  17. 17. Tabel : Barang yang dikonsumsi oleh Barang yang dihasilkan oleh Petani Pemborong Penjahit Petani Pemborong Penjahit 16 7 2 1 16 3 16 5 6 1 16 5 4 1 3 1 2 1 Seorang ekonom harus menentukan harga p1,p2,p3 per unit makanan, rumah, dan baju, sedemikian hingga diantara metreka tidak ada yang untung dan rugi. Misalkan maka carilah p dengan cara menyelesaikan sisem Ap = p.            3 2 1 p p p p
  18. 18. Lanjutan Soal : 3. Tunjukkan bahwa matriks invertible dan carilah inversnya. 4. Tunjukkan bahwa jika A invertible dan simetris maka A-1 juga simetris. 5. Tunjukkan bahwa jika A tidak invertible dan Ax = b, b  0, maka Ax = b juga mempunyai banyak solusi.          cossin sincos
  19. 19. See you next course
  20. 20. METODE REDUKSI GAUSS-JORDAN Ax = b  bA Matriks diperbesar (Augmented Matrices) SPL non homogen dibentuk  bA Matriks eselon baris tereduksi diubah

×