SlideShare a Scribd company logo

مفاتيح الحلول لمسائل القدرات في الرياضيات

•
•
غلاك طبع الأيام
غلاك طبع الأيام
Art & Photos
1 of 21
Download to read offline
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﶈﺘﻮﻳﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﳌﻮﺿﻮﻉ‬ ‫ﺍﻟﺘﺴﻠﺴﻞ‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫١‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫٢‬ ‫٥‬ ‫ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫٣‬ ‫٧‬ ‫ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ‬ ‫٤‬ ‫٨‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻭﺍﳌﻌﺪﻝ‬ ‫٥‬ ‫٩‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ‬ ‫٦‬ ‫٠١‬ ‫ﺍﻷﺳﺲ ﻭﺍﳉﺬﻭﺭ‬ ‫٧‬ ‫١١‬ ‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﳉﱪﻳﺔ‬ ‫٨‬ ‫٢١‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫٩‬ ‫٣١‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫٠١‬ ‫٤١‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫١١‬ ‫٥١‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫٢١‬ ‫٦١‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺔ‬ ‫٣١‬ ‫٧١‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫٤١‬ ‫٩١‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍ‪‬ﺴﻤﺎﺕ‬ ‫٥١‬ ‫٠٢‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﻠﻔﻈﻴﺔ - ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳌﻨﻄﻘﻴﺔ - ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‬ ‫٦١‬ ‫٢٢‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﻜﻤﻲ ) ١ – ٢ – ٣ – ٤ – ٥ – ٦ (‬ ‫٧١‬ ‫٨٢‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﻠﻔﻈﻲ ) ١ – ٢ – ٣ – ٤ (‬ ‫٨١‬ ‫٢٣‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﻠﻐﻮﻳﺔ‬ ‫٩١‬ ‫٤٣‬ ‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫٠٢‬ ‫١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)١( ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﺜﻞ ﻋﺪﺩ ﻏﲑ ﻧﺴﱯ :‬ ‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ :‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ = } ١ ، ٢ ، ٣ ، ........ {‬ ‫ﺏ~‬ ‫ﺍ~ ٧‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = } ٠ ، ١ ، ٢ ، ٣ ، ..... {‬ ‫ﺩ~ ٤‬ ‫>~ ٣‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ : ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻭﻣﻌﻜﻮﺳـﺎ‪‬ﺎ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻐﲑ ﻧﺴﱯ ﻫﻮ ٣ ﻷﻥ ﻗﻴﻤـﺔ ٣ ﻻ‬ ‫ﺍﳉﻤﻌﻴﺔ = } ... ، -٢ ، -١ ، ٠ ، ١ ، ٢ ، .... {‬ ‫١‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ : ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻨـﻬﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ.‬ ‫ﻛﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﲔ.‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ : ﻫﻲ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﲢﻮﻱ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨـﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ﻭﲢﻮﻱ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﺜﻞ ) ﻁ ، ٢ ، ٣ ، ....( .‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ٣٢ + )-٤٣( .‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ :‬ ‫• ﻟﻜﻲ ﳒﻤﻊ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺃﺣﺪﳘﺎ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﺍﻵﺧﺮ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻟﺤﻞ: ٣٢ + )-٤٣( = -١١‬ ‫ﻧﺘﺠﺎﻫﻞ ﺇﺷﺎﺭﰐ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﰒ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨـﻬﻤﺎ‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ -٧١ - )-١٢( .‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﻠﺤﻖ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺑﺈﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻛﱪ.‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: -٧١ - )-١٢( = - ٧١ + ١٢ = ٤‬ ‫• ﺗﺒﺴﻂ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻄﺮﺡ ﺑﺘﺤﻮﻳﻠﻬﺎ ﺇﱃ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﲨﻊ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ -٢ × -٣ × -٥ .‬ ‫ﺿﺮﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ :‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﺍﺗﻔﻘﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺗﲔ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺍﻟﺤﻞ: -٢ × -٣ × -٥ = - ٠٣‬ ‫٣‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺧﺘﻠﻔﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺗﲔ ﻳﻜـﻮﻥ ﺍﻟﻨـﺎﺗﺞ ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ )+٠٣( ÷ )-٥( .‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: )+٠٣( ÷ )-٥( = -٦‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ٩ - ٢ × )٥ - ٣(٢ + ٦ ÷ ٣ .‬ ‫ﺃﺳﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ :‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻧﻘﻮﻡ ﺑﺈﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻧﺒـﺪﺃ ﺑـﺎﻷﻗﻮﺍﺱ ﰒ ﺍﻟﺤﻞ: = ٩ - ٢ ) ٢ ( ٢ + ٦ ÷ ٣ )ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ(‬ ‫= ٩ - ٢ × ٤ + ٦ ÷ ٣ )ﺍﻷﺳﺲ(‬ ‫ﺍﻷﺳﺲ ﰒ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﰒ ﺍﳉﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄـﺮﺡ ﻣـﻦ‬ ‫٤‬ ‫)ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ(‬ ‫=٩-٨+٢‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﲔ ﺇﱃ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ.‬ ‫)ﺍﻟﻄﺮﺡ ﻭﺍﳉﻤﻊ(‬ ‫=٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ:‬ ‫|ﺱ| ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﻦ ﺍﻟـﺼﻔﺮ |٧|= ٧‬ ‫٥‬ ‫|-٧|= ٧‬ ‫ﺇﱃ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺱ.‬ ‫٢‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٢( ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫٨٢‬ ‫ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻷﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ .‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺑﺴﻂ‬ ‫٦٣‬ ‫ﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﻷﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻢ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﰒ ﺣـﺬﻑ‬ ‫٨٢ ٤×٧ ٧‬ ‫٦‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: =‬ ‫ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﳌﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻠﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫٦٣ ٤×٩ ٩‬ ‫٢ ٣‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫.‬ ‫+‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫٥١ ٠١‬ ‫ﳉﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻗﻢ ﺃﻭﻻ ﺑﺈﳚﺎﺩ ﺍﳌﻘﺎﻡ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﰒ‬ ‫ﹰ‬ ‫٧‬ ‫٢ ٣ ٤ ٩ ٣١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: + = + =‬ ‫ﻗﻢ ﲜﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﺒﺴﻂ.‬ ‫٥١ ٠١ ٠٣ ٠٣ ٠٣‬ ‫٣ ٥‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ × .‬ ‫٤ ٨‬ ‫ﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻣﻊ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ‬ ‫٨‬ ‫٣ ٥ ٣×٥ ٥١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: × =‬ ‫ﻣﻊ ﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫٤ ٨ ٤×٨ ٢٣‬ ‫٣ ٥‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ÷‬ ‫.‬ ‫٤ ٨‬ ‫ﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﳓﻮﻝ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺇﱃ ﺿﺮﺏ ﻭﺫﻟـﻚ‬ ‫٩‬ ‫٣ ٥ ٣ ٨ ٤٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ÷ = × =‬ ‫ﺑﻘﻠﺐ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﰒ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﻦ.‬ ‫٤ ٨ ٤ ٥ ٠٢‬ ‫ﲢﻮﻳﻞ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ﺇﱃ ﻛﺴﻮﺭ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ :‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ﺇﱃ ﻛﺴﺮ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ١ ٧ ﺇﱃ ﻛﺴﺮ .‬ ‫٣‬ ‫٣×٧+ ١ ٢٢‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺑﺎﳌﻘﺎﻡ ﰒ ﻧﻀﻴﻔﻪ ﺇﱃ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺳﻴﻜﻮﻥ‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ١ ٧ =‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺑﺴﻂ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫٠١‬ ‫٨٠١‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ .‬‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻜﺴﺮ‬ ‫٥‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﻡ ﻭﻧﺎﺗﺞ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻭﺑﺎﻗﻲ‬ ‫٨٠١‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻮ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﺍﳉﺪﻳﺪ ﻣﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫= ٣ ١٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ:‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ ﻟـ .‬ ‫٧‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ ﻟﻜﺴﺮ ﻧﻘﻠﺐ ﺍﻟﻜﺴﺮ.‬ ‫١١‬ ‫٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ ﻫﻮ‬ ‫٣‬ ‫٣ ٥‬ ‫ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ، .‬ ‫٤ ٧‬ ‫ﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﳓﻮﳍﺎ ﺇﱃ ﻛﺴﻮﺭ ﺫﺍﺕ ﻣﻘﺎﻡ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﰒ‬ ‫٣ ٣×٧ ١٢ ٥ ٥×٤ ٠٢‬ ‫=‬ ‫، =‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: =‬ ‫ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺍﻟﺒﺴﻄﲔ.‬ ‫٢١‬ ‫٤ ٤×٧ ٨٢ ٧ ٧×٤ ٨٢‬ ‫١٢ ٠٢ ٣ ٥‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ﻯ‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﻯ‬ ‫٨٢ ٨٢ ٤ ٧‬ ‫٣‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ – ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺪﻭﺭﻱ :‬ ‫٩ ٣‬ ‫٣‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﳌﺒﺴﻂ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﻋـﺸﺮﻳﺎ ، ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧـﺖ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ‬ ‫،‬ ‫،‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫٣١‬ ‫٠١ ٥١ ٢‬ ‫ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﻗﻮﻯ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻷﻭﻟﻴﲔ ٢ ﺃﻭ ٥ ﻓﻘﻂ.‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺩﻭﺭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺪﻭﺭﻱ ﻫﻮ ﻛﻞ ﻛﺴﺮ ﻏﲑ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ.‬ ‫٣‬ ‫ﲢﻮﻳﻞ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺇﱃ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ :‬ ‫٥‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻜﺴﺮ‬ ‫ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ .‬ ‫٨‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﻡ ﺃﻭ ﺑﻌﺪ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﻭﲢﻠﻴﻞ ﻣﻘﺎﻣﻪ، ﻧﻀﺮﺏ‬ ‫٥ ٥ ٥٣ ٥٢٦‬ ‫= ٥٢٦,٠‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ ﺑـﺎﻟﻘﻮﻯ ﺍﳌﻨﺎﺳـﺒﺔ ﻟﻠﻌـﺪﺩ ٢ ﺃﻭ ٥ ﺍﻟﺤﻞ: = × =‬ ‫٨ ٨ ٥٣ ٠٠٠١‬ ‫ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﺇﱃ ﺇﺣﺪﻯ ﻗﻮﻯ ﺍﻟﻌﺸﺮﺓ .‬ ‫٤١‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺇﱃ ﻛـﺴﺮ ﻧـﻀﻊ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ٥٢٦,٠ ﺇﱃ ﻛﺴﺮ .‬ ‫٥٢٦ ٥×٥٢١ ٥‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﰲ ﻛﺴﺮ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﻭﺍﺣـﺪ ﰒ ﻧـﻀﺮﺏ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٥٢٦,٠ =‬ ‫٠٠٠١ ٨×٥٢١ ٨‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ ﺑـ ٠١ ﺃﺱ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﱵ ﺑﻌـﺪ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ٤,٣ × ٦١,٢ .‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ :‬ ‫٤٣ ٦١٢ ٤٤٣٧‬ ‫ﳓﻮﻝ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺇﱃ ﻛﺘﺎﺑـﺔ ﻛـﺴﺮﻳﺔ ﰒ ﳒـﺮﻱ‬ ‫٥١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٤,٣ × ٦١,٢ = ×‬ ‫٠١ ٠٠١ ٠٠٠١‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ.‬ ‫=٤٤٣,٧‬ ‫٤‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٣( ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ / ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ :‬ ‫٦ ﻫﻮ ﻗﺎﺳﻢ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٢١‬ ‫• ﻗﻮﺍﺳﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻥ ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟـﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫٤٢ ﻫﻮ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٢١‬ ‫ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻥ ﺑﺪﻭﻥ ﺑﺎﻗﻲ.‬ ‫٦١‬ ‫٢١ ﻗﺎﺳﻢ ﻭﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٢١‬ ‫• ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻟـﺼﺤﻴﺢ ﻥ ﻫـﻲ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﺴﻤﻬﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻥ ﺑﺪﻭﻥ ﺑﺎﻗﻲ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻠﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٦٣ ﺇﱃ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ .‬ ‫ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ :‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻟﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺒﺴﻂ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﺇﱃ ﺍﻟﺤﻞ: ٦٣ = ٤ × ٩‬ ‫٧١‬ ‫= ٢× ٢ × ٣×٣‬ ‫ﺃﻥ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺑﺮﻫﻦ ﺃﻥ ٥٣ ، ٤٥ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ .‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ :‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﱵ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﳍﺎ ﻗﺎﺳﻢ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﺍﻟﺤـﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻟﻌﺪﻡ ﻭﺟﻮﺩ ﻋﺎﻣـﻞ‬ ‫٨١‬ ‫ﺳﻮﻯ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻭﺍﺣﺪ ﻭﳌﻌﺮﻓﺔ ﺫﻟﻚ ﳓﻠـﻞ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ ﺇﱃ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﰲ ﻋﻮﺍﻣﻠﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺣﻴﺚ ٥٣ = ٥× ٧ ،‬ ‫٤٥ = ٩×٦ = ٣×٣ × ٣×٢‬ ‫ﻋﻮﺍﻣﻠﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:ﻋﲔ ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺇﱃ ٢١ ، ٥١.‬ ‫ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ :‬ ‫• ﻫﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻗﻮﻯ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴـﺔ ﳍـﺬﻳﻦ ﺍﻟﺤﻞ: ٢١=٢ ٢×٣، ٥١=٣×٥‬ ‫٩١‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ = ٢ ٢×٣×٥=٠٦‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻭﺍﻟﱵ ﳍﺎ ﺍﻷﺱ ﺍﻷﻛﱪ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﲔ ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ٦٣، ٨٤ .‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ :‬ ‫• ﻫﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻗﻮﻯ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﳌـﺸﺘﺮﻛﺔ ﺍﻟﺤﻞ: ٦٣=٢ ٢×٣ ٢ ، ٨٤=٢ ٤×٣‬ ‫٠٢‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ = ٢ ٢×٣=٤×٣=٢١‬ ‫ﳍﺬﻳﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻭﺍﻟﱵ ﳍﺎ ﺍﻷﺱ ﺍﻷﺻﻐﺮ.‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺰﻭﺟﻲ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻱ :‬ ‫٨ ، ٢١ ، ٤٥٢ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺰﻭﺟﻲ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ‬ ‫١٢‬ ‫٧ ، ٣١ ، ٥٢٣ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫٢ ﻭﺃﻣﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻻ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢ ﻳﺴﻤﻰ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ.‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٢ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ‬ ‫ﹰ‬ ‫٢٢‬ ‫) ٨٥٦٩( ، ) ٤٧٤٣(‬ ‫ﺁﺣﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ) ٠ ، ٢ ، ٤ ، ٦ ، ٨ (‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٣ ، ٩ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٣‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٣ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫٣٢‬ ‫)٢٥٢( ، )٣٨٧(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺃﺭﻗﺎﻣﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٣.‬ ‫٥‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٩‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٩ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)١٢٨٧( ، )٢٥٢(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺃﺭﻗﺎﻣﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٩.‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٤ ، ٨ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٤‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٤ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٦١٣( ، )٠٤٢٨٥(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﻭﻋﺸﺮﺍﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺗﻜـﻮﻥ ﻋـﺪﺩ ﻳﻘﺒـﻞ‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٤.‬ ‫٤٢‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٨‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٨ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٢٣٦٣( ، )٦١٤٧(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﻭﻋﺸﺮﺍﺕ ﻭﻣﺌﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺗﻜـﻮﻥ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٨.‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٥ ، ٠١ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٥‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٥ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٠٥٢( ، )٥٨٩(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺇﻣﺎ ﺻﻔﺮ ﺃﻭ ٥.‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٠١‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٠١ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٠٥١٢( ، )٠٧٢(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺻﻔﺮ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ٧٨٤ ﻋﻠﻰ ٥ .‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ :‬ ‫• ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺒﻘﻰ ﺑﻌـﺪ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ٧٨٤ ﺗﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ٥٨٤ ﲟﻘـﺪﺍﺭ ٢‬ ‫٦٢‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ٥٨٤ ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٥ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻋﻨﺪ ﺗﻘـﺴﻴﻢ‬ ‫ﺃﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ.‬ ‫٧٨٤ ﻋﻠﻰ ٥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ٢‬ ‫٦‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٤( ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻮﺳـﻂ ﺍﳊـﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ:‬ ‫٨ ، ٢١ ، ٣١ .‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ =‬ ‫٧٢‬ ‫٨ + ٢١ + ٣١ ٣٣‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ‬ ‫= ١١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ:‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻮﺳـﻂ ﺍﳊـﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﲤﺜﻞ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ:‬ ‫٠٢ ، ١٢ ، ٢٢ ، ٣٢ ، .......... ، ٠٠٢ .‬ ‫ﺃﺻﻐﺮ ﻋﺪﺩ + ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ =‬ ‫٨٢‬ ‫٠٢٢‬ ‫٠٢ + ٠٠٢‬ ‫٢‬ ‫= ٠١١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ:‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳎﻤﻮﻉ ﻋﺸﺮﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊـﺴﺎﰊ‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ٠٦ .‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ = ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ × ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ‬ ‫٩٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ = ٠١ × ٠٦ = ٠٠٦‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ٨ ، ٢١ ،‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :‬ ‫ﺱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ١١ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ =‬ ‫٠٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺱ = ) ١١ × ٣ (-) ٨ + ٢١( = ٣١‬ ‫)ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ×ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ(-ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ }٣ ، ٤ ، ٨‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ:‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﰲ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺑﻌـﺪ ﺗﺮﺗﻴـﺐ ، ٧ ، ٤ ، ٦ ، ٩ ، ٢ ، ٥{ .‬ ‫١٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ } ٢ ، ٣ ، ٤ ، ٤ ، ٥ ،‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ ﺃﻭ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴﺎ.‬ ‫ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫٦ ، ٧ ، ٨ ، ٩ { ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ٥‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ }٣ ، ٤ ، ٨ ،‬ ‫ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ:‬ ‫٧ ، ٤ ، ٦ ، ٩ ، ٢ ، ٥{ .‬ ‫ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺷﻴﻮﻋﺎ.‬ ‫ﹰ‬ ‫٢٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻫﻮ ٤‬ ‫٧‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٥( ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻭﺍﳌﻌﺪﻝ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺴﺒﺔ ٠٢ ﺑﺮﺗﻘﺎﻟﺔ ﺇﱃ ٢١ ﺗﻔﺎﺣﺔ .‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ :‬ ‫٠٢ ٥‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻧﻀﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﻪ ﻛﻠﻤﺔ ﺇﱃ ﰲ ﺍﳌﻘﺎﻡ‬ ‫٣٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﱪﺗﻘﺎﻝ ﺇﱃ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ = =‬ ‫٢١ ٣‬ ‫ﰒ ﻧﺒﺴﻂ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺇﻥ ﺃﻣﻜﻦ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺱ ، ٥ ، ٣ ،‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ :‬ ‫٤ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﱄ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﻘﺺ‬ ‫٤٣‬ ‫٥١‬ ‫ﺱ ٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: = ﺉ ٤ﺱ = ٥×٣ ﺉ ﺱ =‬ ‫٤‬ ‫٥ ٤‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻛﺘﺒﺖ ﻏﻴﺪﺍﺀ ٥٣ﻛﻠﻤﺔ ﺧﻼﻝ ﺩﻗﻴﻘﺔ ، ﻛﻢ ﻛﻠﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻄﺮﺩﻱ :‬ ‫• ﻳﻘﺎﻝ ﺃﻥ ﺱ ، ﺹ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺎﻥ ﻃﺮﺩﻳﺎ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺱ ، ﺗﻜﺘﺐ ﺧﻼﻝ ٥٨ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻭﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ؟.‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﻃﺮﺩﻳﺎ ﻣﻊ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺱ‬ ‫= ﺙ )ﻋﺪﺩ ﺛﺎﺑﺖ(‬ ‫ﺹ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﲝﻴﺚ ﻳﺒﻘﻰ‬ ‫٥٣‬ ‫٥٣ ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺉ ﺱ = ٥٣ × ٥٨‬ ‫=‬ ‫• ﰲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻄﺮﺩﻱ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺱ ﺯﺍﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ. ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫١ ٥٨‬ ‫ﺉ ﺱ = ٥٧٩٢ ﻛﻠﻨﺔ‬ ‫ﺹ.‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﻳﻨﻬﻲ ٦٥ ﻋﺎﻣﻼ ﻣﺸﺮﻭﻋﺎ ﺧﻼﻝ ٣ ﺃﻳﺎﻡ . ﻛـﻢ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ :‬ ‫• ﻳﻘﺎﻝ ﺃﻥ ﺱ ، ﺹ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺎﻥ ﻋﻜﺴﻴﺎ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺱ ، ﻋﺎﻣﻼ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺇﻬﻧﺎﺀ ﺍﳌﺸﺮﻭﻉ ﺧﻼﻝ ﻳﻮﻣﲔ ؟‬ ‫ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺹ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﲝﻴﺚ ﻳﺒﻘﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿـﺮ‪‬ﻤﺎ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ ﻳﺘﻨﺎﺳﺐ ﻋﻜﺴﻴﺎ ﻣـﻊ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﹰ‬ ‫٦٣‬ ‫ﺍﻷﻳﺎﻡ . ﺇﺫﻥ ٦٥ × ٣ = ﺱ×٢ ﺉ ﺱ= ٨ ﻋﺎﻣﻼ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﺙ. )ﺱ × ﺹ = ﺙ‬ ‫• ﰲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺱ ﻗﻞ ﺍﳌﺘﻐﲑ‬ ‫ﺹ.‬ ‫٨‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٦( ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ٢١⊆ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٥٢ .‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ :‬ ‫٢١×٥٢‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ‬ ‫=٣‬ ‫×٠٠١ﺉ ﺍﳉﺰﺀ =‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٢١=‬ ‫× ٠٠١‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫٠٠١‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻜﻮﻥ ٣⊆ ﻣﻨﻪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ٥١ .‬ ‫٥١×٠٠١‬ ‫٥١‬ ‫٧٣‬ ‫=٠٠٥‬ ‫×٠٠١ﺉﺍﻟﻜﻞ=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٣=‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٩ ﻣﻦ ٥٤ .‬ ‫٩‬ ‫×٠٠١ = ٠٢⊆‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫٥٤‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ، ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻـﻠﻲ ، ﻧـﺴﺒﺔ ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﻨﺪ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٠٤ ﲟﻘﺪﺍﺭ ٥٢⊆ ، ﻣـﺎ ﻫـﻮ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺍ⊆ :‬ ‫٠٠١+٥٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ = ) ٠٠١ ( × ٠٤ = ٠٥‬ ‫٠٠١ + ﺍ‬ ‫( × ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ = )‬ ‫٠٠١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺑﻌﺪ ﺯﻳﺎﺩﺓ ٥⊆ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟـﺴﻜﺎﻥ ٦٤٣٩٥‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ- ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫٨٣‬ ‫ﻓﻜﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ؟‬ ‫×٠٠١‬ ‫• ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ =‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫٠٠١ + ٥‬ ‫( × ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫٠٠١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٦٤٣٩٥ = )‬ ‫٦٤٣٩٥×٠٠١‬ ‫=٠٢٥٦٥‬ ‫ﺉ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ =‬ ‫٥٠١‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ، ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻـﻠﻲ ، ﻧـﺴﺒﺔ ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﻨﺪ ﻧﻘﺼﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٠٥ ﲟﻘﺪﺍﺭ ٥٢⊆ ، ﻣﺎ ﻫـﻮ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﺍ⊆ :‬ ‫٠٠١ - ٥٢‬ ‫٠٠١ - ﺍ‬ ‫(×٠٥ = ٥,٧٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ =)‬ ‫( × ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ = )‬ ‫٠٠١‬ ‫٠٠١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺍﳔﻔﺾ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻷﺳﺒﻮﻋﻲ ﻷﺣﺪ ﺍﶈﻼﺕ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ- ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫٩٣‬ ‫×٠٠١ ﻣﻦ ٠٠٨٢ﺭﻳﺎﻝ ﺇﱃ ٤٦٤٢ﺭﻳﺎﻝ. ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫• ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ =‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﺺ ﰲ ﺍﻟﺪﺧﻞ .‬ ‫٠٠٨٢- ٤٦٤٢‬ ‫×٠٠١=٢١⊆‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﺺ=‬ ‫٠٠٨٢‬ ‫٩‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٧( ﺍﻷﺳﺲ ﻭﺍﳉﺬﻭﺭ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺿﺮﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﻗﻮﺗﲔ ﻟﻌﺪﺩ:‬ ‫٧‬ ‫)٣ + ٤ (‬ ‫=ﺱ‬ ‫ﺱ٣ × ﺱ = ﺱ‬ ‫٤‬ ‫ﻡ+ﻥ‬ ‫• ﺱﻡ × ﺱ ﻥ = ﺱ‬ ‫٠٤‬ ‫٧‬ ‫) ٣١ – ٨(‬ ‫٨‬ ‫٣١‬ ‫ﻡ–ﻥ‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻡ‬ ‫=ﺱ‬ ‫ﺱ ÷ﺱ =ﺱ‬ ‫• ﺱ ÷ﺱ =ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻗﻮﺓ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ:‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫ﻥ‬ ‫١٤‬ ‫)ﺱ× ﺹ( = ﺱ × ﺹ‬ ‫) ﺱ × ﺹ (ﻥ = ﺱﻥ × ﺹ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻗﻮﺓ ﻗﻮﺓ ﻋﺪﺩ:‬ ‫٢١‬ ‫٣×٤‬ ‫٣ ٤‬ ‫ﻡ×ﻥ‬ ‫٢٤‬ ‫=ﺱ‬ ‫)ﺱ ( = ﺱ‬ ‫)ﺱﻡ(ﻥ = ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻗﻮﺓ ﻋﺪﺩ ﻧﺴﱯ:‬ ‫٢‬ ‫ﻥ‬ ‫٩‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫٣٤‬ ‫) (٢ = ٢ =‬ ‫( =‬ ‫ﻥ‬ ‫)‬ ‫٥ ٥٢‬ ‫٥‬ ‫ﻥ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﳓﻠﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﰒ ﳔﺮﺝ ﻣﻦ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﺍﻟﻌـﺪﺩ‬ ‫٤٤‬ ‫٢١ = ٤×٣ = ٢ ٣‬ ‫ﺍﳌﺮﺑﻊ )ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﺍﻟﺰﻭﺟﻲ(.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫٣‬ ‫ﳉﻤﻊ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻧﺒﺴﻄﻬﺎ ﺃﻭﻻ ، ﰒ ﳒﻤﻊ ﻋﻮﺍﻣـﻞ ٢ ٣ + ٣ ٣ = ) ٢ + ٣( ٣ = ٥‬ ‫ﹰ‬ ‫٥٤‬ ‫ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﳌﺘﺸﺎ‪‬ﺔ ﺑﻌﺪ ﺗﺒﺴﻴﻄﻬﺎ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺿﺮﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫٥١‬ ‫٣×٥ =‬ ‫٥ =‬ ‫٣×‬ ‫•‬ ‫ﺍ×ﺏ‬ ‫ﺏ =‬ ‫ﺍ×‬ ‫•‬ ‫٦٤‬ ‫٦‬ ‫٦‬ ‫ﺍ‬ ‫ﺍ‬ ‫٢‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫•‬ ‫=‬ ‫•‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺍﻷﺳﺲ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ:‬ ‫-٢ ١ ١‬ ‫-ﻥ ١‬ ‫=‬ ‫٣ =‬ ‫•‬ ‫• ﺱ =‬ ‫٣٢ ٩‬ ‫ﻥ‬ ‫ﺱ‬ ‫٥ -٢ ٣ ٢ ٣٢ ٩‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺱ‬ ‫٧٤‬ ‫=‬ ‫) ( =) ( =‬ ‫•‬ ‫ﻥ‬ ‫(‬ ‫(- ﻥ = )‬ ‫• )‬ ‫٥٢ ٥٢‬ ‫٥‬ ‫٣‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫١‬ ‫١‬ ‫٤=٢‬ ‫) ٤( ٢ =‬ ‫•‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫=‬ ‫ﺹ‬ ‫• )ﺱ(‬ ‫٠١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٨( ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﳉﱪﻳﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟـﺪ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳـﺔ ﻟﻠﻌﺒـﺎﺭﺓ ﺍﳉﱪﻳـﺔ‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ:‬ ‫ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺟﱪﻳﺔ ﻧﻌـﻮﺽ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺱ٢+٥ﺱ-٦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ=-٢ .‬ ‫٨٤‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ=)-٢(٢+٥)-٢(-٦ = ٤-٠١-٦ =-٢١‬ ‫ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺑﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﻭﺣﻴﺪﺍﺕ ﺍﳊﺪ ﺍﳌﺘﺸﺎ‪‬ﺔ:‬ ‫ﳒﻤﻊ ﻭﻧﻄﺮﺡ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳊﺮﰲ ﻳﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻣـﺎ ٢ﺱ+٣ﺱ = )٢+٣( ﺱ = ٥ﺱ‬ ‫٩٤‬ ‫ﻫﻮ ﻋﻠﻴﻪ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: )٣ﺱ٢+٥ﺱ-٧(-)ﺱ٢+٢١(‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﻛﺜﲑﺍﺕ ﺍﳊﺪﻭﺩ:‬ ‫= )٣ﺱ٢- ﺱ٢( + ٥ﺱ -٧-٢١‬ ‫ﳒﻤﻊ ﻭﻧﻄﺮﺡ ﺍﳊﺪﻭﺩ ﺍﳌﺘﺸﺎ‪‬ﺔ.‬ ‫٠٥‬ ‫= ٢ﺱ٢ + ٥ﺱ - ٩١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﻣﺮﺑﻌﲔ:‬ ‫١٥‬ ‫ﺱ٢ - ٩ = )ﺱ - ٣()ﺱ + ٣(‬ ‫ﺍ@- ﺏ@ = )ﺍ- ﺏ () ﺍ + ﺏ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﳎﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ:‬ ‫٢٥‬ ‫)٢ﺱ + ٣(٢ = ٤ﺱ٢ + ٢١ﺱ + ٩‬ ‫) ﺍ + ﺏ (@ = ﺍ@ + ۲ﺍﺏ + ﺏ@‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﺣﺪﻳﻦ:‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٣٥‬ ‫)ﺱ - ٥( = ﺱ - ٠١ﺱ + ٥٢‬ ‫) ﺍ - ﺏ (@ = ﺍ@ - ۲ﺍﺏ + ﺏ@‬ ‫١١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٩( ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ٥ﺱ - ٢١ = -٢ﺱ + ٩ .‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ:‬ ‫ﳊﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻧﻔﻌﻞ ﻣﺎ ﻫـﻮ ﺿـﺮﻭﺭﻱ ﰲ ﻃـﺮﰲ ﺍﻟﺤﻞ: ﺉ ٥ﺱ + ٢ﺱ = ٩ + ٢١‬ ‫٤٥‬ ‫ﺉ ٧ﺱ = ١٢ ﺉ ﺱ = ٣‬ ‫ﻝ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﳉﻌﻞ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ ﻃﺮﻑ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﰲ ﻃﺮﻑ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ: ﺱ٢ + ٥ﺱ + ٦ = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫ﳊﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺃﻭ ﺇﻛﻤﺎﻝ ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮ‪‬ﻤﺎ ٦ ﻭﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﲨﻌﻬﻤﺎ ٥ ، ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻬﻧﻤﺎ ٢ ، ٣ . ﺇﺫﹰﺍ:‬ ‫ﺍﳌﺮﺑﻊ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﺍﳌﻤﻴﺰ.‬ ‫٥٥‬ ‫ﺱ٢ + ٥ﺱ + ٦ =٠ ﺉ )ﺱ+٢()ﺱ+٣(=٠‬ ‫ﺏ٢ - ٤ﺍﺝ‬ ‫-ﺏﱃ‬ ‫ﺱ=‬ ‫ﺉ )ﺱ+٢( = ٠ ﺃﻭ )ﺱ+٣(=٠‬ ‫٢ﺍ‬ ‫ﺉ ﺱ = -٢ ﺃﻭ ﺱ = -٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ: ﺱ+ ﺹ=٦ ، ٢ﺱ- ٣ﺹ=٧.‬ ‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﺫﺍﺕ ﳎﻬﻮﻟﲔ:‬ ‫ﻧﻮﺣﺪ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﺇﱃ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﲝﻴﺚ ﻧﻘﻮﻡ ﲝـﺬﻑ ﺍﻟﺤﻞ: ﻟﻜﻲ ﳓﺬﻑ ﺹ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﰲ ٣ ﰒ‬ ‫ﳒﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ.‬ ‫ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ.‬ ‫٣ ﺱ + ٣ﺹ = ٨١‬ ‫⇐٥ﺱ=٥٢ ⇐ﺱ=٥‬ ‫٦٥‬ ‫٢ﺱ − ٣ﺹ = ٧‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ:‬ ‫٥+ﺹ=٦⇐ﺹ=١‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ : ﺣﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻫﻮ ) ٥ ، ١ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ: ٢ﺱ+٥ > ٤ﺱ + ٧١‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺉ ٢ﺱ -٤ﺱ > ٧١ - ٥‬ ‫• ﳒﻌﻞ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ ﻃﺮﻑ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﰲ ﻃﺮﻑ.‬ ‫٧٥‬ ‫ﺉ -٢ﺱ ﺁ ٢١ ) ﺑﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﻋﻠﻰ -٢(‬ ‫• ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺑﻌﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ ﻧﻌﻜﺲ‬ ‫ﺉ ﺱ ﻯ -٦‬ ‫ﺍﲡﺎﻩ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ.‬ ‫٢١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٠١( ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜـ ـﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــ‬ ‫ـﺖ ﺍ )-٢ ، ٧(، ﺏ )١ ، ٣(‬ ‫ـ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺑﲔ ﻧﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﺍﳌـﺴﺎﻓﺔ ﺑ ـﲔ ﺍﻟﻨﻘﻄ ـﺘﲔ )ﺱ١، ﺹ١( ، )ﺱ٢، ﺹ٢( ﻓﺎﺣﺴﺐ | ﺍ ﺏ | .‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫٢‬ ‫٨٥‬ ‫٢‬ ‫)-٢-١(٢ + )٧-٣(‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: | ﺍ ﺏ | =‬ ‫)ﺱ١- ﺱ٢(٢ + )ﺹ١- ﺹ٢(‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ‬ ‫٢‬ ‫٥٢ = ٥‬ ‫=‬ ‫)-٣(٢ + )٤(‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ)٧ ، ٦(، ﺏ )٥ ، -٢١( ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺼﻔﺔ ﺑﲔ ﻧﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺼﻔﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻨﻘﻄـﺘﲔ )ﺱ١،ﺹ١(،)ﺱ٢،ﺹ٢( ﺇﺣﺪﺍﺛﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺼﻔﺔ ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ ]ﺍ ﺏ[ .‬ ‫٩٥‬ ‫٧+٥ ٦-٢١‬ ‫ﺹ١ + ﺹ٢‬ ‫ﺱ١ + ﺱ٢‬ ‫( = )٦ ، -٣(‬ ‫،‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻲ )‬ ‫(‬ ‫،‬ ‫ﻫﻲ )‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ﺍ)٢ ، ٢( ،‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳌﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ )ﺱ١، ﺹ١(، )ﺱ٢، ﺹ٢( ﺏ )-١ ، -٤( .‬ ‫٠٦‬ ‫-٤-٢ -٦‬ ‫ﺹ٢ - ﺹ١‬ ‫=٢‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ =‬ ‫ﻫﻮ ﻡ=‬ ‫-١-٢ -٣‬ ‫ﺱ٢- ﺱ١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ٣ﺱ + ٢ﺹ = ٤ .‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳌﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺮﺗﺐ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ: ٢ﺹ = -٣ﺱ + ٤‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺹ = ﺍﺱ + ﺏ ﻫﻮ ﺍ.‬ ‫١٦‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺉ ﺹ = - ﺱ + ٢ ﺇﺫﹰﺍ ﺍﳌﻴﻞ = -‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ﺍ)٢ ، ٢(‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ )ﺱ١،ﺹ١(،)ﺱ٢، ﺹ٢( ، ﺏ )-١ ، -٤( .‬ ‫ﺹ- ٢ -٤-٢‬ ‫ﺹ٢ - ﺹ١‬ ‫ﺹ - ﺹ١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫=‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺱ- ٢ -١-٢‬ ‫ﺱ٢- ﺱ١‬ ‫ﺱ - ﺱ١‬ ‫٢٦‬ ‫ﺹ- ٢‬ ‫= ٢ ﺉ ﺹ-٢ = ٢ﺱ-٤‬ ‫ﺉ‬ ‫ﺱ- ٢‬ ‫ﺉ ﺹ = ٢ﺱ -٢‬ ‫٣١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)١١( ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ْ‬ ‫ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ:‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳊﺎﺩﺓ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ٠٩ ْ.‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٠٩ ْ.‬ ‫ﺣﺎﺩﺓ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫٣٦‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻨﻔﺮﺟﺔ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ٠٩ ْ ﻭﺃﻗـﻞ‬ ‫ﻣﻦ ٠٨١ ْ.‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺔ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٠٨١ ْ.‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﺘﺎﻣﺔ – ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﻜﺎﻣﻠﺔ:‬ ‫• ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﲔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ.‬ ‫٤٦‬ ‫• ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﲔ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤـﺎ‬ ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﳌﺘﻘﺎﻃﻌﺔ:‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﺯ ، ﻙﺯ .‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻙﺯ ،٠٦ ْ ﺭﺃﺳﻴﺘﺎﻥ ﻭﻋﻠﻴـﻪ‬ ‫٥٦‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺔ ﺃﻱ ) ﺍﺯ + ﻝﺯ =‬ ‫•‬ ‫ﺗﻜﻮﻧﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻙﺯ =٠٦ ْ‬ ‫٠٨١ ْ(‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻙﺯ + ﺍﺯ = ٠٨١ ْ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﺯ = ٠٢١ ْ‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺮﺃﺳﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺃﻱ ) ﻙﺯ = ﻝﺯ (‬ ‫•‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻩ ، ﻙ ؟‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﳌﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ﻭﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﳍﺎ:‬ ‫• ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﲔ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺭﺑﻊ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﻩﺯ‬ ‫ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺣﺎﺩﺓ ) ﺍ، ﺩ ، ﻩ ، ﻥ ( ﻛﻠﻬﺎ ﻣﺘـﺴﺎﻭﻳﺔ . ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻓﺈﻥ ﻩﺯ = ٠٥ ْ.‬ ‫٦٦‬ ‫ﻭﺃﺭﺑﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ ) ﺏ ، ﺝ ، ﻙ ، ﻝ( ﻛﻠـﻬﺎ ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﲔ ﻩﺯ ، ﻙﺯ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ ﻓﺈﻥ:‬ ‫ﻙﺯ = ٠٨١ ْ- ﻩﺯ ﺉ ﻙﺯ =٠٨١ ْ- ٠٥ ْ = ٠٣١ ْ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺔ ﻣﻊ ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ‬ ‫•‬ ‫ﻣﺜﻼ ﺍﺯ ﻣﻊ ﻙﺯ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﲔ.‬ ‫ﹰ‬ ‫٤١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٢١( ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟـﺪ ﻗﻴﻤـﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﺱ‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻭﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ:‬ ‫ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻙ .‬ ‫• ﳎﻤﻮﻉ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺜﻠﺚ ٠٨١ ْ) ﺍ+ ﺏ + ﺝ =٠٨١ ْ(‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﰲ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﲔ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﺝ + ٠٠١ ْ + ٠٥ ْ = ٠٨١ ْ‬ ‫٧٦‬ ‫ﺉ ﺝ = ٠٣ ْ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺘﲔ ﻏﲑ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭﺓ ﳍﺎ ) ﺃﻱ ﻙ = ﺍ + ﺏ (‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﻙ = ٠٠١ ْ + ٠٥ ْ = ٠٥١ ْ‬ ‫• ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺗﺴﺎﻭﻱ ٠٦٣ ْ.‬ ‫) ﺃﻱ ﺃﻥ ﻙ + ﻡ + ﻝ = ٠٦٣ ْ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ .‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ:‬ ‫١‬ ‫٥ﺳﻢ‬ ‫٧ﺳﻢ‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ = ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫٢‬ ‫٤ﺳﻢ‬ ‫• ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻫﻮ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻟـﱵ ﰎ‬ ‫٨٦‬ ‫٤ ٢ ﺳﻢ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻩ ﻛﻘﺎﻋﺪﺓ ﻭﺍﻟﺮﺃﺱ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ.‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = × ٧ × ٤ = ٤١ﺳﻢ‬ ‫٢‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﻀﻠﻌﺎﻥ ﻭﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻷﺿﻼﻉ:‬ ‫• ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻟﻀﻠﻌﺎﻥ ﻟﻪ ﺿـﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘـﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻭ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠﺘـﺎﻥ ﻟﻠـﻀﻠﻌﲔ ﺍﳌﺘـﺴﺎﻭﻳﲔ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ.‬ ‫٩٦‬ ‫• ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺗﻜـﻮﻥ ﲨﻴـﻊ ﺃﺿـﻼﻋﻪ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﲨﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳـﺔ‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ ٠٦ ْ.‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻌﲔ ﺍﳌﺘﻌﺎﻣـﺪﻳﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ:‬ ‫٢‬ ‫٢ﺳﻢ ، ٣ﺳﻢ . ﻣﺎ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ؟‬ ‫)ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ(٢ + )ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ(٢ = )ﺍﻟﻮﺗﺮ(‬ ‫٠٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ =ﺍﻟﻮﺗﺮ = ٩+٤ = ٣١‬ ‫٥١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٣١( ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳏﻴﻂ ﻭﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟـﺬﻱ ﻃﻮﻟـﻪ‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ:‬ ‫٧ﺳﻢ ﻭﻋﺮﺿﻪ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﺃﺭﺑﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻗﺎﺋﻤﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ=٢)٧+٣(=٢×٠١=٠٢ﺳﻢ‬ ‫• ﺍﻷﻃﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫١٧‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ٧ × ٣ = ١٢ﺳﻢ‬ ‫• ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ.‬ ‫• ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ٢) ﺍﻟﻄﻮﻝ + ﺍﻟﻌﺮﺽ(‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ﺍﻟﻄﻮﻝ × ﺍﻟﻌﺮﺽ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟـﺪ ﻃـﻮﻝ ﺍﻟـﻀﻠﻊ ﺱ‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ:‬ ‫ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﺯ .‬ ‫• ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﳌﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ.‬ ‫• ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫• ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﳎﻤﻮﻋﻬﺎ ٠٨١ ْ.‬ ‫٢٧‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ =ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺬﻱ ﻃﻮﻟﻪ ﺱ ﻳﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺬﻱ‬ ‫ﻃﻮﻟﻪ ٥ﺳﻢ ﻓﺈﻥ ﺱ = ٥ﺳﻢ .‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ٠١١ ْ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﺯ ﻣﺘﺠﺎﻭﺭﺗﺎﻥ ﻓـﺈﻥ‬ ‫٠١١ ْ + ﺍﺯ = ٠٨١ ْ ﺉ ﺍﺯ = ٠٧ ْ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ٢ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﳏﻴﻄﻪ ﻭﻣﺴﺎﺣﺘﻪ؟‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﳌﺮﺑﻊ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ﺍﻟﻀﻠﻊ × ٤ =٢×٤ =٨ﺳﻢ‬ ‫• ﲨﻴﻊ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = )ﺍﻟﻀﻠﻊ(٢ = )٢(٢ = ٤ﺳﻢ‬ ‫• ﲨﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻭﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ.‬ ‫٣٧‬ ‫• ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ٤ × ﻃﻮﻝ ﺃﺣﺪ ﺃﺿﻼﻋﻪ.‬ ‫٢‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ) ﺍﻟﻀﻠﻊ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﻤﺎﱐ.‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ:‬ ‫٤٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ = )٨-٢(×٠٨١ ْ=٠٨٠١ ْ‬ ‫= ) ﻥ – ٢ ( × ٠٨١ ْ ﺣﻴﺚ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫٦١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٤١( ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳏﻴﻂ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ٣ﺳﻢ .‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ٢ﻁ)٣( = ٦ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ٢ﻁ ﻗﻖ‬ ‫٥٧‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ:‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ٤ﺳﻢ .‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ﻁﻗ‬ ‫ﻖ‬ ‫٦٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ﻁ)٤( = ٦١ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﺏ ؟ﺝ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ .‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻭﺍﶈﻴﻄﻴﺔ:‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺍ‬ ‫ﺝ‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻳﻘﻊ ﺭﺃﺳﻬﺎ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍ ﻡ ؟ﺝ ٠١١ ْ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )ﻡ(.‬ ‫= ٥٥ ْ‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﺏ ؟ﺝ =‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫• ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ = ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺱ ﺍﶈﺪﺩ‬ ‫٧٧‬ ‫ﺑﲔ ﺿﻠﻌﻴﻬﺎ = ﺍ ﻡ ؟ﺝ‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﶈﻴﻄﻴﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﻭﺗـﺮﺍﻥ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺭﺃﺳﻬﺎ ﻳﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )ﺍﺏ ؟ﺝ(‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ = ٢ × ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﺍﶈﻴﻄﻴـﺔ‬ ‫)ﺍﳌﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﻬﺎ ﺑﺎﻟﻘﻮﺱ(‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺏ ﺍ ؟ﺝ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ .‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻤﺎﺳﻴﺔ:‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻤﺎﺳﻴﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺭﺃﺳﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﳏﻴﻂ‬ ‫٨٧‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺃﺣﺪ ﺿـﻠﻌﻴﻬﺎ ﻭﺗـﺮ ﰲ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻭﺍﻵﺧﺮ ﳑﺎﺱ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫ﺍ ﻡ ؟ﺝ ٠١١ ْ‬ ‫= ٥٥ ْ‬ ‫٢‬ ‫=‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺏ ﺍ ؟ﺝ =‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ = ٢ × ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻤﺎﺳﻴﺔ‬ ‫٧١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫـﺎ ٥ﺳـﻢ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ:‬ ‫ﻭﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٢٧ ْ. ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍ ﺝ ﻝ .‬ ‫• ﺍﻟﻘﻮﺱ ﻫﻮ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫ﻥ‬ ‫× ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫• ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ =‬ ‫٠٦٣‬ ‫٩٧‬ ‫ﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻟﻠﻘﻮﺱ‬ ‫٢٧‬ ‫)٢ﻁ ×٥(=٢ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ =‬ ‫٠٦٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻱ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻩ ٦ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ:‬ ‫• ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﻫﻮ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣـﻦ ﻣـﺴﺎﺣﺔ ﻭﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ٠٣ ْ .‬ ‫٠٣‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫٢‬ ‫× ﻁ )٦(‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ =‬ ‫٠٨‬ ‫٠٦٣‬ ‫ﻥ‬ ‫× ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ=‬ ‫٢‬ ‫= ٣ﻁ ﺳﻢ‬ ‫٠٦٣‬ ‫ﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ‬ ‫٨١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٥١( ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍ‪‬ﺴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺃﺑﻌﺎﺩﻩ ٢ﺳﻢ ،‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ:‬ ‫٣ﺳﻢ ، ٤ ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ = ٢×٣×٤‬ ‫٤)ﺍﻟﻄﻮﻝ×ﺍﻟﻌﺮﺽ(+٢)ﺍﻟﻌﺮﺽ×ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ(‬ ‫١٨‬ ‫٣‬ ‫= ٤٢ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ =‬ ‫ﺍﻟﻄﻮﻝ × ﺍﻟﻌﺮﺽ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ ﻭﺍﳊﺠﻢ ﳌﻜﻌﺐ ﻃـﻮﻝ‬ ‫ﺍﳌﻜﻌﺐ:‬ ‫٢‬ ‫ﺿﻠﻌﻪ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ٦ × )ﺍﻟﻀﻠﻊ(‬ ‫٣‬ ‫٢٨‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ٦)٣(٢ = ٤٥ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = )ﺍﻟﻀﻠﻊ(‬ ‫٣‬ ‫ﺣﺠﻢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ) ٣ (٣ = ٧٢ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪ‪‬ﺎ ٢ﺳﻢ‬ ‫ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ:‬ ‫٢‬ ‫ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ = ٢ﻁ‪Ω‬ﻉ + ٢ﻁ‪Ω‬‬ ‫٣٨‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ = ﻁ )٢(٢ )٣(‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ = ﻁ‪٢Ω‬ﻉ‬ ‫٣‬ ‫= ٢١ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻉ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ، ‪ Ω‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﳐﺮﻭﻁ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ٢ﺳـﻢ‬ ‫ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ:‬ ‫٢‬ ‫ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ = ﻁ‪Ω‬ﻝ + ﻁ‪Ω‬‬ ‫١‬ ‫١‬ ‫٤٨‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ = ﻁ)٢(٢×٣= ٤ﻁ ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ = ﻁ‪٢Ω‬ﻉ‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻝ ﺍﻟﺮﺍﺳﻢ ، ﻉ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ، ‪ Ω‬ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻭﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻛﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﻜﺮﺓ:‬ ‫٢‬ ‫٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ٤ ﻁ ) ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ (‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٥٨‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ﻁ )٣(٣ = ٦٣ﻁ ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ﻁ )ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ(‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ٤ ﻁ )٣( = ٦٣ﻁ ﺳﻢ‬ ‫٩١‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٦١( ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﻠﻔﻈﻴﺔ - ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳌﻨﻄﻘﻴﺔ - ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻠﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻣﺜﺎﻝ ﻣﺎ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳊﺴﺎﺑﻴﺔ:‬ ‫ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ ، ﻭﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎ ﻣﻌﻬﻤﺎ ٠٢٣ﺭﻳﺎﻻ ، ﻓﻤـﺎ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﳊﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ ؟‬ ‫• ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮﻝ ﰲ ﺍﳌﺴﺄﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺱ.‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ = ﺱ ﺭﻳﺎﻝ ، ﻓﺈﻥ ﻣﺎ ﻣﻊ‬ ‫• ﻧﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮﻝ ﺱ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻄﻴﺎﺕ‬ ‫٦٨‬ ‫ﺳﻠﻴﻢ = ٣ﺱ ﺭﻳﺎﻝ .‬ ‫ﳓﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﱪﻳﺎ.‬ ‫ﹰ‬ ‫•‬ ‫ﺇ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ: ﺱ + ٣ﺱ = ٠٢٣‬ ‫ﺉ ٤ﺱ= ٠٢٣ ﺉ ﺱ = ٠٨‬ ‫ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ = ﺱ = ٠٨ ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﺪﺍﺀ ﻣﻌﺪﻝ ﺳﺮﻋﺘﻪ ٠٠٢ﻡ / ﺍﻟﺪﻗﻴﻘـﺔ . ﻛـﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺍﳊﺮﻛﺔ ﰲ ﺍﲡﺎﻩ ﻭﺍﺣﺪ :‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺍﻟﱵ ﳛﺘﺎﺟﻬﺎ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٠٠٤ﻡ ؟‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ =‬ ‫٧٨‬ ‫٠٠٤‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺍﻟﺰﻣﻦ‬ ‫= ٢ﺩﻗﻴﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ : ﻉ = ﺉ ﺯ = =‬ ‫ﻉ ٠٠٢‬ ‫ﺯ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺗﻀﻢ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺍﻟﻄﻌﺎﻡ ﻷﺣﺪ ﺍﳌﻄﺎﻋﻢ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻧﻮﻉ ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ:‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻣﻌﲔ ﻳﺘﻢ ﺑـ ﻡ١ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﰒ ﻳﺘﺒﻌـﻪ ﺍﻟﺸﻮﺭﺑﺔ ﻭﲬﺴﺔ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻮﻡ ﺑﻜﻢ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﳝﻜﻨﻚ‬ ‫٨٨‬ ‫ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻣﻌﲔ ﻳﺘﻢ ﺑـ ﻡ٢ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻹﺟﺮﺍﺀﻳﻦ ﻳﺘﻢ ﺑــ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻭﺟﺒﺔ ﺗﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻮﺭﺑﺔ ﻭﺍﻟﻠﺤﻢ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﺮﻕ = ٣ × ٥ = ٥١ ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ﻡ١ × ﻡ٢ ﻃﺮﻳﻘﺔ.‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﺻﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠـﻰ ٩ﻛـﺮﺍﺕ ﺑﻴـﻀﺎﺀ ﻭ‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ:‬ ‫٣ﻛﺮﺍﺕ ﲪﺮ ، ﺇﺫﺍ ﺳﺤﺒﻨﺎ ﻛﺮﺓ ﺑﺸﻜﻞ ﻋـﺸﻮﺍﺋﻲ ﻣـﺎ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﳊﺎﺩﺛﺔ‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ =‬ ‫٩٨‬ ‫ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺑﻴﻀﺎﺀ؟‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻓﻀﺎﺀ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‬ ‫٩ ٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺑﻴﻀﺎﺀ = = =٥٧,٠‬ ‫٢١ ٤‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻃـﻼﺏ‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ :‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻫﻮ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻮﺿﺢ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻭﻧـﺴﺐ ﺍﻟﻔﺼﻮﻝ ﺍﻟﻌﻠﻴﺎ ٠٢١ ﻃﺎﻟﺐ ،‬ ‫ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ﺍﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ﲝﻴﺚ ﺗﺴﻬﻞ ﻓﻴﻬـﺎ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﺑﻴﻨـﻬﺎ، ﻓﻜﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﻋـﺪﺩ ﻃـﻼﺏ‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺑﻌﺪﺓ ﻃﺮﻕ ﻣﻨﻬﺎ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﻨﻜﺴﺮ ﻭ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ؟‬ ‫٠٩‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻭ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌـﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺃﻭ ﺍﻷﻋﻤـﺪﺓ ﻭ ﺍﻟﺤـﻞ: ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﳝﺜﻞ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫١‬ ‫= ٠٢١ × = ٠٣ ﻃﺎﻟﺐ‬ ‫٤‬ ‫٠٢‬
‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ‬ ‫١٢‬

Recommended

Beneficiation ore
Beneficiation oreBeneficiation ore
Beneficiation oreAdi Noegroho
 
EXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESE
EXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESEEXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESE
EXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESESoumya Sobhan Dash
 
Lean Iron Ore Beneficiation in India
Lean Iron Ore Beneficiation in IndiaLean Iron Ore Beneficiation in India
Lean Iron Ore Beneficiation in IndiaKrishna Kumar Sharma
 
Sizing
SizingSizing
SizingVIJAY KUMAR
 
Green entrepreneurship
Green entrepreneurshipGreen entrepreneurship
Green entrepreneurshipJasperElim
 
coal preparation,
coal preparation, coal preparation,
coal preparation, Shri Mata Vaishno Devi University
 
E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...
E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...
E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...Nur Arifaizal Basri
 
Rahasia kecerdasan ali bin abi thalib
Rahasia kecerdasan ali bin abi thalibRahasia kecerdasan ali bin abi thalib
Rahasia kecerdasan ali bin abi thalibAzka Ihsan Nurrahman
 

Recommended

Beneficiation ore
Beneficiation oreBeneficiation ore
Beneficiation oreAdi Noegroho
 
EXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESE
EXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESEEXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESE
EXTRACTIVE METALLURGY- MANGANESESoumya Sobhan Dash
 
Lean Iron Ore Beneficiation in India
Lean Iron Ore Beneficiation in IndiaLean Iron Ore Beneficiation in India
Lean Iron Ore Beneficiation in IndiaKrishna Kumar Sharma
 
Sizing
SizingSizing
SizingVIJAY KUMAR
 
Green entrepreneurship
Green entrepreneurshipGreen entrepreneurship
Green entrepreneurshipJasperElim
 
coal preparation,
coal preparation, coal preparation,
coal preparation, Shri Mata Vaishno Devi University
 
E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...
E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...
E-BOOK KONSELING TEKNOLOGI (REFRENSI) Technology in counselling and psychothe...Nur Arifaizal Basri
 
Rahasia kecerdasan ali bin abi thalib
Rahasia kecerdasan ali bin abi thalibRahasia kecerdasan ali bin abi thalib
Rahasia kecerdasan ali bin abi thalibAzka Ihsan Nurrahman
 
4.1.3 properties of coals
4.1.3 properties of coals4.1.3 properties of coals
4.1.3 properties of coalsrajdeepjain
 
Kahatagaha Graphite Lanka Limited
Kahatagaha Graphite Lanka LimitedKahatagaha Graphite Lanka Limited
Kahatagaha Graphite Lanka LimitedChanaka Wickramasinghe
 
Underground Coal Gasification
Underground Coal GasificationUnderground Coal Gasification
Underground Coal Gasificationhameedakhtar155
 
Develpoment and extraction of coal pillar by continuous
Develpoment and extraction of coal pillar by continuousDevelpoment and extraction of coal pillar by continuous
Develpoment and extraction of coal pillar by continuousShubham Agrawal
 
Coal
CoalCoal
CoalSnehal Bhargava
 
Crusher; Crushing; and Classification Equipment
Crusher; Crushing; and Classification EquipmentCrusher; Crushing; and Classification Equipment
Crusher; Crushing; and Classification EquipmentGeology Department, Faculty of Science, Tanta University
 
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn KmFimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn KmPRABHASH GOKARN
 
Gold mining process
Gold mining processGold mining process
Gold mining processphysics101
 
Fire assaying
Fire assayingFire assaying
Fire assayingCharles Jojo Besitan
 
Copyright Permission Letter
Copyright Permission LetterCopyright Permission Letter
Copyright Permission LetterSandalyn
 
Dejepis
DejepisDejepis
DejepisZákladná škola
 
Beneficiation and mineral processing of magnesium minerals
Beneficiation and mineral processing of magnesium mineralsBeneficiation and mineral processing of magnesium minerals
Beneficiation and mineral processing of magnesium mineralsGeology Department, Faculty of Science, Tanta University
 
Hiline manual
Hiline manualHiline manual
Hiline manualJayadeep Uppalapati
 
State space design
State space designState space design
State space designAndrew Wilhelm
 
Seminar on iron ore beneficiation in india
Seminar on iron ore beneficiation in indiaSeminar on iron ore beneficiation in india
Seminar on iron ore beneficiation in indiaAnkit Panda
 
Lectureon liberation separation extraction
Lectureon liberation separation extractionLectureon liberation separation extraction
Lectureon liberation separation extractionPublicaTUDO
 
V.t report ccl
V.t report cclV.t report ccl
V.t report cclsaroj kumar bhakat
 
Doppelkonsonanten
DoppelkonsonantenDoppelkonsonanten
DoppelkonsonantenIbuna
 
Coal Handling Plant
Coal Handling PlantCoal Handling Plant
Coal Handling PlantSwarna Gautam
 
Spontaneous combustion of coal
Spontaneous combustion of coalSpontaneous combustion of coal
Spontaneous combustion of coalMohd Anas
 
استيعاب المقروء
استيعاب المقروءاستيعاب المقروء
استيعاب المقروءغلاك طبع الأيام
 
تنمية القدرات الشخصيه
تنمية القدرات الشخصيهتنمية القدرات الشخصيه
تنمية القدرات الشخصيهغلاك طبع الأيام
 

More Related Content

What's hot

4.1.3 properties of coals
4.1.3 properties of coals4.1.3 properties of coals
4.1.3 properties of coalsrajdeepjain
 
Underground Coal Gasification
Underground Coal GasificationUnderground Coal Gasification
Underground Coal Gasificationhameedakhtar155
 
Develpoment and extraction of coal pillar by continuous
Develpoment and extraction of coal pillar by continuousDevelpoment and extraction of coal pillar by continuous
Develpoment and extraction of coal pillar by continuousShubham Agrawal
 
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn KmFimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn KmPRABHASH GOKARN
 
Gold mining process
Gold mining processGold mining process
Gold mining processphysics101
 
Copyright Permission Letter
Copyright Permission LetterCopyright Permission Letter
Copyright Permission LetterSandalyn
 
Seminar on iron ore beneficiation in india
Seminar on iron ore beneficiation in indiaSeminar on iron ore beneficiation in india
Seminar on iron ore beneficiation in indiaAnkit Panda
 
Lectureon liberation separation extraction
Lectureon liberation separation extractionLectureon liberation separation extraction
Lectureon liberation separation extractionPublicaTUDO
 
Doppelkonsonanten
DoppelkonsonantenDoppelkonsonanten
DoppelkonsonantenIbuna
 
Spontaneous combustion of coal
Spontaneous combustion of coalSpontaneous combustion of coal
Spontaneous combustion of coalMohd Anas
 

What's hot (20)

4.1.3 properties of coals
4.1.3 properties of coals4.1.3 properties of coals
4.1.3 properties of coals
 
Kahatagaha Graphite Lanka Limited
Kahatagaha Graphite Lanka LimitedKahatagaha Graphite Lanka Limited
Kahatagaha Graphite Lanka Limited
 
Underground Coal Gasification
Underground Coal GasificationUnderground Coal Gasification
Underground Coal Gasification
 
Develpoment and extraction of coal pillar by continuous
Develpoment and extraction of coal pillar by continuousDevelpoment and extraction of coal pillar by continuous
Develpoment and extraction of coal pillar by continuous
 
Coal
CoalCoal
Coal
 
Crusher; Crushing; and Classification Equipment
Crusher; Crushing; and Classification EquipmentCrusher; Crushing; and Classification Equipment
Crusher; Crushing; and Classification Equipment
 
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn KmFimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
Fimi Paper Manganese Alloy Industry In India Gokarn Km
 
Gold mining process
Gold mining processGold mining process
Gold mining process
 
Fire assaying
Fire assayingFire assaying
Fire assaying
 
Copyright Permission Letter
Copyright Permission LetterCopyright Permission Letter
Copyright Permission Letter
 
Dejepis
DejepisDejepis
Dejepis
 
Beneficiation and mineral processing of magnesium minerals
Beneficiation and mineral processing of magnesium mineralsBeneficiation and mineral processing of magnesium minerals
Beneficiation and mineral processing of magnesium minerals
 
Hiline manual
Hiline manualHiline manual
Hiline manual
 
State space design
State space designState space design
State space design
 
Seminar on iron ore beneficiation in india
Seminar on iron ore beneficiation in indiaSeminar on iron ore beneficiation in india
Seminar on iron ore beneficiation in india
 
Lectureon liberation separation extraction
Lectureon liberation separation extractionLectureon liberation separation extraction
Lectureon liberation separation extraction
 
V.t report ccl
V.t report cclV.t report ccl
V.t report ccl
 
Doppelkonsonanten
DoppelkonsonantenDoppelkonsonanten
Doppelkonsonanten
 
Coal Handling Plant
Coal Handling PlantCoal Handling Plant
Coal Handling Plant
 
Spontaneous combustion of coal
Spontaneous combustion of coalSpontaneous combustion of coal
Spontaneous combustion of coal
 

More from غلاك طبع الأيام

نبذة عن اختبار القدرات العامة
نبذة عن اختبار القدرات العامةنبذة عن اختبار القدرات العامة
نبذة عن اختبار القدرات العامةغلاك طبع الأيام
 
برنامج الكورت لتعليم مهارات التفكير
برنامج الكورت لتعليم مهارات التفكيربرنامج الكورت لتعليم مهارات التفكير
برنامج الكورت لتعليم مهارات التفكيرغلاك طبع الأيام
 

More from غلاك طبع الأيام (11)

استيعاب المقروء
استيعاب المقروءاستيعاب المقروء
استيعاب المقروء
 
تنمية القدرات الشخصيه
تنمية القدرات الشخصيهتنمية القدرات الشخصيه
تنمية القدرات الشخصيه
 
العصف الذهني
العصف الذهنيالعصف الذهني
العصف الذهني
 
اختبار القدرات العامة
اختبار القدرات العامة اختبار القدرات العامة
اختبار القدرات العامة
 
نبذة عن اختبار القدرات العامة
نبذة عن اختبار القدرات العامةنبذة عن اختبار القدرات العامة
نبذة عن اختبار القدرات العامة
 
اختبار قدرات
اختبار قدراتاختبار قدرات
اختبار قدرات
 
الثقة بالنفس
الثقة بالنفسالثقة بالنفس
الثقة بالنفس
 
الشخصية المتميزة
الشخصية المتميزةالشخصية المتميزة
الشخصية المتميزة
 
العمل بروح الفريق الواحد
العمل بروح الفريق الواحدالعمل بروح الفريق الواحد
العمل بروح الفريق الواحد
 
برنامج الكورت لتعليم مهارات التفكير
برنامج الكورت لتعليم مهارات التفكيربرنامج الكورت لتعليم مهارات التفكير
برنامج الكورت لتعليم مهارات التفكير
 
التفوق الدراسي
التفوق الدراسيالتفوق الدراسي
التفوق الدراسي
 

مفاتيح الحلول لمسائل القدرات في الرياضيات

  • 1. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﶈﺘﻮﻳﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﳌﻮﺿﻮﻉ‬ ‫ﺍﻟﺘﺴﻠﺴﻞ‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫١‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫٢‬ ‫٥‬ ‫ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫٣‬ ‫٧‬ ‫ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ‬ ‫٤‬ ‫٨‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻭﺍﳌﻌﺪﻝ‬ ‫٥‬ ‫٩‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ‬ ‫٦‬ ‫٠١‬ ‫ﺍﻷﺳﺲ ﻭﺍﳉﺬﻭﺭ‬ ‫٧‬ ‫١١‬ ‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﳉﱪﻳﺔ‬ ‫٨‬ ‫٢١‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫٩‬ ‫٣١‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫٠١‬ ‫٤١‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫١١‬ ‫٥١‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫٢١‬ ‫٦١‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺔ‬ ‫٣١‬ ‫٧١‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫٤١‬ ‫٩١‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍ‪‬ﺴﻤﺎﺕ‬ ‫٥١‬ ‫٠٢‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﻠﻔﻈﻴﺔ - ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳌﻨﻄﻘﻴﺔ - ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‬ ‫٦١‬ ‫٢٢‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﻜﻤﻲ ) ١ – ٢ – ٣ – ٤ – ٥ – ٦ (‬ ‫٧١‬ ‫٨٢‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﻠﻔﻈﻲ ) ١ – ٢ – ٣ – ٤ (‬ ‫٨١‬ ‫٢٣‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﻠﻐﻮﻳﺔ‬ ‫٩١‬ ‫٤٣‬ ‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫٠٢‬ ‫١‬
  • 2. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)١( ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﺜﻞ ﻋﺪﺩ ﻏﲑ ﻧﺴﱯ :‬ ‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ :‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ = } ١ ، ٢ ، ٣ ، ........ {‬ ‫ﺏ~‬ ‫ﺍ~ ٧‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = } ٠ ، ١ ، ٢ ، ٣ ، ..... {‬ ‫ﺩ~ ٤‬ ‫>~ ٣‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ : ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻭﻣﻌﻜﻮﺳـﺎ‪‬ﺎ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻐﲑ ﻧﺴﱯ ﻫﻮ ٣ ﻷﻥ ﻗﻴﻤـﺔ ٣ ﻻ‬ ‫ﺍﳉﻤﻌﻴﺔ = } ... ، -٢ ، -١ ، ٠ ، ١ ، ٢ ، .... {‬ ‫١‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ : ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻨـﻬﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ.‬ ‫ﻛﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﲔ.‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ : ﻫﻲ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﲢﻮﻱ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨـﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ﻭﲢﻮﻱ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﺜﻞ ) ﻁ ، ٢ ، ٣ ، ....( .‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ٣٢ + )-٤٣( .‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ :‬ ‫• ﻟﻜﻲ ﳒﻤﻊ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺃﺣﺪﳘﺎ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﺍﻵﺧﺮ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻟﺤﻞ: ٣٢ + )-٤٣( = -١١‬ ‫ﻧﺘﺠﺎﻫﻞ ﺇﺷﺎﺭﰐ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﰒ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨـﻬﻤﺎ‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ -٧١ - )-١٢( .‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﻠﺤﻖ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺑﺈﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻛﱪ.‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: -٧١ - )-١٢( = - ٧١ + ١٢ = ٤‬ ‫• ﺗﺒﺴﻂ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻄﺮﺡ ﺑﺘﺤﻮﻳﻠﻬﺎ ﺇﱃ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﲨﻊ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ -٢ × -٣ × -٥ .‬ ‫ﺿﺮﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ :‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﺍﺗﻔﻘﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺗﲔ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺍﻟﺤﻞ: -٢ × -٣ × -٥ = - ٠٣‬ ‫٣‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺧﺘﻠﻔﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺗﲔ ﻳﻜـﻮﻥ ﺍﻟﻨـﺎﺗﺞ ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ )+٠٣( ÷ )-٥( .‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: )+٠٣( ÷ )-٥( = -٦‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ٩ - ٢ × )٥ - ٣(٢ + ٦ ÷ ٣ .‬ ‫ﺃﺳﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ :‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻧﻘﻮﻡ ﺑﺈﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻧﺒـﺪﺃ ﺑـﺎﻷﻗﻮﺍﺱ ﰒ ﺍﻟﺤﻞ: = ٩ - ٢ ) ٢ ( ٢ + ٦ ÷ ٣ )ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ(‬ ‫= ٩ - ٢ × ٤ + ٦ ÷ ٣ )ﺍﻷﺳﺲ(‬ ‫ﺍﻷﺳﺲ ﰒ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﰒ ﺍﳉﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄـﺮﺡ ﻣـﻦ‬ ‫٤‬ ‫)ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ(‬ ‫=٩-٨+٢‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﲔ ﺇﱃ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ.‬ ‫)ﺍﻟﻄﺮﺡ ﻭﺍﳉﻤﻊ(‬ ‫=٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ:‬ ‫|ﺱ| ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻣﻦ ﺍﻟـﺼﻔﺮ |٧|= ٧‬ ‫٥‬ ‫|-٧|= ٧‬ ‫ﺇﱃ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺱ.‬ ‫٢‬
  • 3. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٢( ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫٨٢‬ ‫ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻷﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ .‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺑﺴﻂ‬ ‫٦٣‬ ‫ﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﻷﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻢ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﰒ ﺣـﺬﻑ‬ ‫٨٢ ٤×٧ ٧‬ ‫٦‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: =‬ ‫ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﳌﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻠﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫٦٣ ٤×٩ ٩‬ ‫٢ ٣‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫.‬ ‫+‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫٥١ ٠١‬ ‫ﳉﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻗﻢ ﺃﻭﻻ ﺑﺈﳚﺎﺩ ﺍﳌﻘﺎﻡ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﰒ‬ ‫ﹰ‬ ‫٧‬ ‫٢ ٣ ٤ ٩ ٣١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: + = + =‬ ‫ﻗﻢ ﲜﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﺒﺴﻂ.‬ ‫٥١ ٠١ ٠٣ ٠٣ ٠٣‬ ‫٣ ٥‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ × .‬ ‫٤ ٨‬ ‫ﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻣﻊ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ‬ ‫٨‬ ‫٣ ٥ ٣×٥ ٥١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: × =‬ ‫ﻣﻊ ﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫٤ ٨ ٤×٨ ٢٣‬ ‫٣ ٥‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ÷‬ ‫.‬ ‫٤ ٨‬ ‫ﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﳓﻮﻝ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺇﱃ ﺿﺮﺏ ﻭﺫﻟـﻚ‬ ‫٩‬ ‫٣ ٥ ٣ ٨ ٤٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ÷ = × =‬ ‫ﺑﻘﻠﺐ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﰒ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﻦ.‬ ‫٤ ٨ ٤ ٥ ٠٢‬ ‫ﲢﻮﻳﻞ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ﺇﱃ ﻛﺴﻮﺭ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ :‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ﺇﱃ ﻛﺴﺮ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﺴﺮﻱ ١ ٧ ﺇﱃ ﻛﺴﺮ .‬ ‫٣‬ ‫٣×٧+ ١ ٢٢‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺑﺎﳌﻘﺎﻡ ﰒ ﻧﻀﻴﻔﻪ ﺇﱃ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺳﻴﻜﻮﻥ‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ١ ٧ =‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺑﺴﻂ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫٠١‬ ‫٨٠١‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ .‬‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻜﺴﺮ‬ ‫٥‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﻡ ﻭﻧﺎﺗﺞ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻭﺑﺎﻗﻲ‬ ‫٨٠١‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻮ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﺍﳉﺪﻳﺪ ﻣﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﳌﻘﺎﻡ.‬ ‫= ٣ ١٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ:‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ ﻟـ .‬ ‫٧‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ ﻟﻜﺴﺮ ﻧﻘﻠﺐ ﺍﻟﻜﺴﺮ.‬ ‫١١‬ ‫٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻨﻈﲑ ﺍﻟﻀﺮﰊ ﻫﻮ‬ ‫٣‬ ‫٣ ٥‬ ‫ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ، .‬ ‫٤ ٧‬ ‫ﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﳓﻮﳍﺎ ﺇﱃ ﻛﺴﻮﺭ ﺫﺍﺕ ﻣﻘﺎﻡ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﰒ‬ ‫٣ ٣×٧ ١٢ ٥ ٥×٤ ٠٢‬ ‫=‬ ‫، =‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: =‬ ‫ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺍﻟﺒﺴﻄﲔ.‬ ‫٢١‬ ‫٤ ٤×٧ ٨٢ ٧ ٧×٤ ٨٢‬ ‫١٢ ٠٢ ٣ ٥‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ﻯ‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﻯ‬ ‫٨٢ ٨٢ ٤ ٧‬ ‫٣‬
  • 4. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ – ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺪﻭﺭﻱ :‬ ‫٩ ٣‬ ‫٣‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﳌﺒﺴﻂ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﻋـﺸﺮﻳﺎ ، ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧـﺖ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ‬ ‫،‬ ‫،‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫٣١‬ ‫٠١ ٥١ ٢‬ ‫ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﻗﻮﻯ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻷﻭﻟﻴﲔ ٢ ﺃﻭ ٥ ﻓﻘﻂ.‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺩﻭﺭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺪﻭﺭﻱ ﻫﻮ ﻛﻞ ﻛﺴﺮ ﻏﲑ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ.‬ ‫٣‬ ‫ﲢﻮﻳﻞ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺇﱃ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ :‬ ‫٥‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ ﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻜﺴﺮ‬ ‫ﺇﱃ ﻋﺪﺩ ﻋﺸﺮﻱ .‬ ‫٨‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﻡ ﺃﻭ ﺑﻌﺪ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﻭﲢﻠﻴﻞ ﻣﻘﺎﻣﻪ، ﻧﻀﺮﺏ‬ ‫٥ ٥ ٥٣ ٥٢٦‬ ‫= ٥٢٦,٠‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ ﺑـﺎﻟﻘﻮﻯ ﺍﳌﻨﺎﺳـﺒﺔ ﻟﻠﻌـﺪﺩ ٢ ﺃﻭ ٥ ﺍﻟﺤﻞ: = × =‬ ‫٨ ٨ ٥٣ ٠٠٠١‬ ‫ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﺇﱃ ﺇﺣﺪﻯ ﻗﻮﻯ ﺍﻟﻌﺸﺮﺓ .‬ ‫٤١‬ ‫• ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﺇﱃ ﻛـﺴﺮ ﻧـﻀﻊ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ٥٢٦,٠ ﺇﱃ ﻛﺴﺮ .‬ ‫٥٢٦ ٥×٥٢١ ٥‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﰲ ﻛﺴﺮ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﻭﺍﺣـﺪ ﰒ ﻧـﻀﺮﺏ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٥٢٦,٠ =‬ ‫٠٠٠١ ٨×٥٢١ ٨‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻭﺍﳌﻘﺎﻡ ﺑـ ٠١ ﺃﺱ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﱵ ﺑﻌـﺪ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ٤,٣ × ٦١,٢ .‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ :‬ ‫٤٣ ٦١٢ ٤٤٣٧‬ ‫ﳓﻮﻝ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺇﱃ ﻛﺘﺎﺑـﺔ ﻛـﺴﺮﻳﺔ ﰒ ﳒـﺮﻱ‬ ‫٥١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٤,٣ × ٦١,٢ = ×‬ ‫٠١ ٠٠١ ٠٠٠١‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ.‬ ‫=٤٤٣,٧‬ ‫٤‬
  • 5. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٣( ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ / ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ :‬ ‫٦ ﻫﻮ ﻗﺎﺳﻢ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٢١‬ ‫• ﻗﻮﺍﺳﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻥ ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟـﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫٤٢ ﻫﻮ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٢١‬ ‫ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻥ ﺑﺪﻭﻥ ﺑﺎﻗﻲ.‬ ‫٦١‬ ‫٢١ ﻗﺎﺳﻢ ﻭﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٢١‬ ‫• ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻟـﺼﺤﻴﺢ ﻥ ﻫـﻲ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﺴﻤﻬﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻥ ﺑﺪﻭﻥ ﺑﺎﻗﻲ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻠﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٦٣ ﺇﱃ ﻋﻮﺍﻣﻠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ .‬ ‫ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ :‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻟﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺒﺴﻂ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﺇﱃ ﺍﻟﺤﻞ: ٦٣ = ٤ × ٩‬ ‫٧١‬ ‫= ٢× ٢ × ٣×٣‬ ‫ﺃﻥ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺑﺮﻫﻦ ﺃﻥ ٥٣ ، ٤٥ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ .‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ :‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﱵ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﳍﺎ ﻗﺎﺳﻢ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﺍﻟﺤـﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻟﻌﺪﻡ ﻭﺟﻮﺩ ﻋﺎﻣـﻞ‬ ‫٨١‬ ‫ﺳﻮﻯ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻭﺍﺣﺪ ﻭﳌﻌﺮﻓﺔ ﺫﻟﻚ ﳓﻠـﻞ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ ﺇﱃ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﰲ ﻋﻮﺍﻣﻠﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺣﻴﺚ ٥٣ = ٥× ٧ ،‬ ‫٤٥ = ٩×٦ = ٣×٣ × ٣×٢‬ ‫ﻋﻮﺍﻣﻠﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:ﻋﲔ ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺇﱃ ٢١ ، ٥١.‬ ‫ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ :‬ ‫• ﻫﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻗﻮﻯ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴـﺔ ﳍـﺬﻳﻦ ﺍﻟﺤﻞ: ٢١=٢ ٢×٣، ٥١=٣×٥‬ ‫٩١‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ = ٢ ٢×٣×٥=٠٦‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻭﺍﻟﱵ ﳍﺎ ﺍﻷﺱ ﺍﻷﻛﱪ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﲔ ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ٦٣، ٨٤ .‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ ﻟﻌﺪﺩﻳﻦ :‬ ‫• ﻫﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻗﻮﻯ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﳌـﺸﺘﺮﻛﺔ ﺍﻟﺤﻞ: ٦٣=٢ ٢×٣ ٢ ، ٨٤=٢ ٤×٣‬ ‫٠٢‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﻛﱪ = ٢ ٢×٣=٤×٣=٢١‬ ‫ﳍﺬﻳﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﻭﺍﻟﱵ ﳍﺎ ﺍﻷﺱ ﺍﻷﺻﻐﺮ.‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺰﻭﺟﻲ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻱ :‬ ‫٨ ، ٢١ ، ٤٥٢ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺰﻭﺟﻲ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ‬ ‫١٢‬ ‫٧ ، ٣١ ، ٥٢٣ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫٢ ﻭﺃﻣﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻻ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢ ﻳﺴﻤﻰ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ.‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٢ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ‬ ‫ﹰ‬ ‫٢٢‬ ‫) ٨٥٦٩( ، ) ٤٧٤٣(‬ ‫ﺁﺣﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ) ٠ ، ٢ ، ٤ ، ٦ ، ٨ (‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٣ ، ٩ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٣‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٣ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫٣٢‬ ‫)٢٥٢( ، )٣٨٧(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺃﺭﻗﺎﻣﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٣.‬ ‫٥‬
  • 6. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٩‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٩ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)١٢٨٧( ، )٢٥٢(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺃﺭﻗﺎﻣﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٩.‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٤ ، ٨ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٤‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٤ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٦١٣( ، )٠٤٢٨٥(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﻭﻋﺸﺮﺍﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺗﻜـﻮﻥ ﻋـﺪﺩ ﻳﻘﺒـﻞ‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٤.‬ ‫٤٢‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٨‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٨ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٢٣٦٣( ، )٦١٤٧(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﻭﻋﺸﺮﺍﺕ ﻭﻣﺌﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺗﻜـﻮﻥ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٨.‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٥ ، ٠١ :‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٥‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘـﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٥ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٠٥٢( ، )٥٨٩(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺇﻣﺎ ﺻﻔﺮ ﺃﻭ ٥.‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٠١‬ ‫• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ٠١ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫)٠٥١٢( ، )٠٧٢(‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺁﺣﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺻﻔﺮ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ٧٨٤ ﻋﻠﻰ ٥ .‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ :‬ ‫• ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺒﻘﻰ ﺑﻌـﺪ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ٧٨٤ ﺗﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ٥٨٤ ﲟﻘـﺪﺍﺭ ٢‬ ‫٦٢‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ٥٨٤ ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ٥ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻋﻨﺪ ﺗﻘـﺴﻴﻢ‬ ‫ﺃﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ.‬ ‫٧٨٤ ﻋﻠﻰ ٥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ٢‬ ‫٦‬
  • 7. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٤( ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻮﺳـﻂ ﺍﳊـﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ:‬ ‫٨ ، ٢١ ، ٣١ .‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ =‬ ‫٧٢‬ ‫٨ + ٢١ + ٣١ ٣٣‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ‬ ‫= ١١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ:‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻮﺳـﻂ ﺍﳊـﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﲤﺜﻞ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ:‬ ‫٠٢ ، ١٢ ، ٢٢ ، ٣٢ ، .......... ، ٠٠٢ .‬ ‫ﺃﺻﻐﺮ ﻋﺪﺩ + ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ =‬ ‫٨٢‬ ‫٠٢٢‬ ‫٠٢ + ٠٠٢‬ ‫٢‬ ‫= ٠١١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ:‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳎﻤﻮﻉ ﻋﺸﺮﺓ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊـﺴﺎﰊ‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ٠٦ .‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ = ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ × ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ‬ ‫٩٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ = ٠١ × ٠٦ = ٠٠٦‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ٨ ، ٢١ ،‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :‬ ‫ﺱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ١١ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ =‬ ‫٠٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺱ = ) ١١ × ٣ (-) ٨ + ٢١( = ٣١‬ ‫)ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ×ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ(-ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ }٣ ، ٤ ، ٨‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ:‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﰲ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺑﻌـﺪ ﺗﺮﺗﻴـﺐ ، ٧ ، ٤ ، ٦ ، ٩ ، ٢ ، ٥{ .‬ ‫١٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺮﺗﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ } ٢ ، ٣ ، ٤ ، ٤ ، ٥ ،‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ ﺃﻭ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴﺎ.‬ ‫ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫٦ ، ٧ ، ٨ ، ٩ { ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ٥‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ }٣ ، ٤ ، ٨ ،‬ ‫ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ:‬ ‫٧ ، ٤ ، ٦ ، ٩ ، ٢ ، ٥{ .‬ ‫ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺷﻴﻮﻋﺎ.‬ ‫ﹰ‬ ‫٢٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻫﻮ ٤‬ ‫٧‬
  • 8. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٥( ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻭﺍﳌﻌﺪﻝ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺴﺒﺔ ٠٢ ﺑﺮﺗﻘﺎﻟﺔ ﺇﱃ ٢١ ﺗﻔﺎﺣﺔ .‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ :‬ ‫٠٢ ٥‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻧﻀﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﻪ ﻛﻠﻤﺔ ﺇﱃ ﰲ ﺍﳌﻘﺎﻡ‬ ‫٣٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﱪﺗﻘﺎﻝ ﺇﱃ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ = =‬ ‫٢١ ٣‬ ‫ﰒ ﻧﺒﺴﻂ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺇﻥ ﺃﻣﻜﻦ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺱ ، ٥ ، ٣ ،‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ :‬ ‫٤ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﱄ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﻘﺺ‬ ‫٤٣‬ ‫٥١‬ ‫ﺱ ٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: = ﺉ ٤ﺱ = ٥×٣ ﺉ ﺱ =‬ ‫٤‬ ‫٥ ٤‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻛﺘﺒﺖ ﻏﻴﺪﺍﺀ ٥٣ﻛﻠﻤﺔ ﺧﻼﻝ ﺩﻗﻴﻘﺔ ، ﻛﻢ ﻛﻠﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻄﺮﺩﻱ :‬ ‫• ﻳﻘﺎﻝ ﺃﻥ ﺱ ، ﺹ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺎﻥ ﻃﺮﺩﻳﺎ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺱ ، ﺗﻜﺘﺐ ﺧﻼﻝ ٥٨ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻭﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ؟.‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﻃﺮﺩﻳﺎ ﻣﻊ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺱ‬ ‫= ﺙ )ﻋﺪﺩ ﺛﺎﺑﺖ(‬ ‫ﺹ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﲝﻴﺚ ﻳﺒﻘﻰ‬ ‫٥٣‬ ‫٥٣ ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺉ ﺱ = ٥٣ × ٥٨‬ ‫=‬ ‫• ﰲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻄﺮﺩﻱ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺱ ﺯﺍﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ. ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫١ ٥٨‬ ‫ﺉ ﺱ = ٥٧٩٢ ﻛﻠﻨﺔ‬ ‫ﺹ.‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﻳﻨﻬﻲ ٦٥ ﻋﺎﻣﻼ ﻣﺸﺮﻭﻋﺎ ﺧﻼﻝ ٣ ﺃﻳﺎﻡ . ﻛـﻢ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ :‬ ‫• ﻳﻘﺎﻝ ﺃﻥ ﺱ ، ﺹ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺎﻥ ﻋﻜﺴﻴﺎ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺱ ، ﻋﺎﻣﻼ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺇﻬﻧﺎﺀ ﺍﳌﺸﺮﻭﻉ ﺧﻼﻝ ﻳﻮﻣﲔ ؟‬ ‫ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺹ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﲝﻴﺚ ﻳﺒﻘﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿـﺮ‪‬ﻤﺎ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ ﻳﺘﻨﺎﺳﺐ ﻋﻜﺴﻴﺎ ﻣـﻊ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﹰ‬ ‫٦٣‬ ‫ﺍﻷﻳﺎﻡ . ﺇﺫﻥ ٦٥ × ٣ = ﺱ×٢ ﺉ ﺱ= ٨ ﻋﺎﻣﻼ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﺙ. )ﺱ × ﺹ = ﺙ‬ ‫• ﰲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺱ ﻗﻞ ﺍﳌﺘﻐﲑ‬ ‫ﺹ.‬ ‫٨‬
  • 9. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٦( ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ٢١⊆ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٥٢ .‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ :‬ ‫٢١×٥٢‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ‬ ‫=٣‬ ‫×٠٠١ﺉ ﺍﳉﺰﺀ =‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٢١=‬ ‫× ٠٠١‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫٠٠١‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻜﻮﻥ ٣⊆ ﻣﻨﻪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ٥١ .‬ ‫٥١×٠٠١‬ ‫٥١‬ ‫٧٣‬ ‫=٠٠٥‬ ‫×٠٠١ﺉﺍﻟﻜﻞ=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٣=‬ ‫٣‬ ‫ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ٩ ﻣﻦ ٥٤ .‬ ‫٩‬ ‫×٠٠١ = ٠٢⊆‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫٥٤‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ، ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻـﻠﻲ ، ﻧـﺴﺒﺔ ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﻨﺪ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٠٤ ﲟﻘﺪﺍﺭ ٥٢⊆ ، ﻣـﺎ ﻫـﻮ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺍ⊆ :‬ ‫٠٠١+٥٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ = ) ٠٠١ ( × ٠٤ = ٠٥‬ ‫٠٠١ + ﺍ‬ ‫( × ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ = )‬ ‫٠٠١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺑﻌﺪ ﺯﻳﺎﺩﺓ ٥⊆ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟـﺴﻜﺎﻥ ٦٤٣٩٥‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ- ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫٨٣‬ ‫ﻓﻜﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ؟‬ ‫×٠٠١‬ ‫• ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ =‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫٠٠١ + ٥‬ ‫( × ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫٠٠١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ٦٤٣٩٥ = )‬ ‫٦٤٣٩٥×٠٠١‬ ‫=٠٢٥٦٥‬ ‫ﺉ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ =‬ ‫٥٠١‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ، ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻـﻠﻲ ، ﻧـﺴﺒﺔ ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﻨﺪ ﻧﻘﺼﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٠٥ ﲟﻘﺪﺍﺭ ٥٢⊆ ، ﻣﺎ ﻫـﻮ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﺍ⊆ :‬ ‫٠٠١ - ٥٢‬ ‫٠٠١ - ﺍ‬ ‫(×٠٥ = ٥,٧٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ =)‬ ‫( × ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ = )‬ ‫٠٠١‬ ‫٠٠١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺍﳔﻔﺾ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻷﺳﺒﻮﻋﻲ ﻷﺣﺪ ﺍﶈﻼﺕ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ- ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫٩٣‬ ‫×٠٠١ ﻣﻦ ٠٠٨٢ﺭﻳﺎﻝ ﺇﱃ ٤٦٤٢ﺭﻳﺎﻝ. ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ‬ ‫• ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ =‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﺺ ﰲ ﺍﻟﺪﺧﻞ .‬ ‫٠٠٨٢- ٤٦٤٢‬ ‫×٠٠١=٢١⊆‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﺺ=‬ ‫٠٠٨٢‬ ‫٩‬
  • 10. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٧( ﺍﻷﺳﺲ ﻭﺍﳉﺬﻭﺭ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺿﺮﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﻗﻮﺗﲔ ﻟﻌﺪﺩ:‬ ‫٧‬ ‫)٣ + ٤ (‬ ‫=ﺱ‬ ‫ﺱ٣ × ﺱ = ﺱ‬ ‫٤‬ ‫ﻡ+ﻥ‬ ‫• ﺱﻡ × ﺱ ﻥ = ﺱ‬ ‫٠٤‬ ‫٧‬ ‫) ٣١ – ٨(‬ ‫٨‬ ‫٣١‬ ‫ﻡ–ﻥ‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻡ‬ ‫=ﺱ‬ ‫ﺱ ÷ﺱ =ﺱ‬ ‫• ﺱ ÷ﺱ =ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻗﻮﺓ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ:‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫ﻥ‬ ‫١٤‬ ‫)ﺱ× ﺹ( = ﺱ × ﺹ‬ ‫) ﺱ × ﺹ (ﻥ = ﺱﻥ × ﺹ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻗﻮﺓ ﻗﻮﺓ ﻋﺪﺩ:‬ ‫٢١‬ ‫٣×٤‬ ‫٣ ٤‬ ‫ﻡ×ﻥ‬ ‫٢٤‬ ‫=ﺱ‬ ‫)ﺱ ( = ﺱ‬ ‫)ﺱﻡ(ﻥ = ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻗﻮﺓ ﻋﺪﺩ ﻧﺴﱯ:‬ ‫٢‬ ‫ﻥ‬ ‫٩‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫٣٤‬ ‫) (٢ = ٢ =‬ ‫( =‬ ‫ﻥ‬ ‫)‬ ‫٥ ٥٢‬ ‫٥‬ ‫ﻥ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﳓﻠﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﰒ ﳔﺮﺝ ﻣﻦ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﺍﻟﻌـﺪﺩ‬ ‫٤٤‬ ‫٢١ = ٤×٣ = ٢ ٣‬ ‫ﺍﳌﺮﺑﻊ )ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﺍﻟﺰﻭﺟﻲ(.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫٣‬ ‫ﳉﻤﻊ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻧﺒﺴﻄﻬﺎ ﺃﻭﻻ ، ﰒ ﳒﻤﻊ ﻋﻮﺍﻣـﻞ ٢ ٣ + ٣ ٣ = ) ٢ + ٣( ٣ = ٥‬ ‫ﹰ‬ ‫٥٤‬ ‫ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﳌﺘﺸﺎ‪‬ﺔ ﺑﻌﺪ ﺗﺒﺴﻴﻄﻬﺎ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺿﺮﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫٥١‬ ‫٣×٥ =‬ ‫٥ =‬ ‫٣×‬ ‫•‬ ‫ﺍ×ﺏ‬ ‫ﺏ =‬ ‫ﺍ×‬ ‫•‬ ‫٦٤‬ ‫٦‬ ‫٦‬ ‫ﺍ‬ ‫ﺍ‬ ‫٢‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫•‬ ‫=‬ ‫•‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺍﻷﺳﺲ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ:‬ ‫-٢ ١ ١‬ ‫-ﻥ ١‬ ‫=‬ ‫٣ =‬ ‫•‬ ‫• ﺱ =‬ ‫٣٢ ٩‬ ‫ﻥ‬ ‫ﺱ‬ ‫٥ -٢ ٣ ٢ ٣٢ ٩‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺱ‬ ‫٧٤‬ ‫=‬ ‫) ( =) ( =‬ ‫•‬ ‫ﻥ‬ ‫(‬ ‫(- ﻥ = )‬ ‫• )‬ ‫٥٢ ٥٢‬ ‫٥‬ ‫٣‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫١‬ ‫١‬ ‫٤=٢‬ ‫) ٤( ٢ =‬ ‫•‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫=‬ ‫ﺹ‬ ‫• )ﺱ(‬ ‫٠١‬
  • 11. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٨( ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﳉﱪﻳﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟـﺪ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳـﺔ ﻟﻠﻌﺒـﺎﺭﺓ ﺍﳉﱪﻳـﺔ‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ:‬ ‫ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺟﱪﻳﺔ ﻧﻌـﻮﺽ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺱ٢+٥ﺱ-٦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ=-٢ .‬ ‫٨٤‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ=)-٢(٢+٥)-٢(-٦ = ٤-٠١-٦ =-٢١‬ ‫ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺑﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﻭﺣﻴﺪﺍﺕ ﺍﳊﺪ ﺍﳌﺘﺸﺎ‪‬ﺔ:‬ ‫ﳒﻤﻊ ﻭﻧﻄﺮﺡ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳊﺮﰲ ﻳﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻣـﺎ ٢ﺱ+٣ﺱ = )٢+٣( ﺱ = ٥ﺱ‬ ‫٩٤‬ ‫ﻫﻮ ﻋﻠﻴﻪ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: )٣ﺱ٢+٥ﺱ-٧(-)ﺱ٢+٢١(‬ ‫ﲨﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﻛﺜﲑﺍﺕ ﺍﳊﺪﻭﺩ:‬ ‫= )٣ﺱ٢- ﺱ٢( + ٥ﺱ -٧-٢١‬ ‫ﳒﻤﻊ ﻭﻧﻄﺮﺡ ﺍﳊﺪﻭﺩ ﺍﳌﺘﺸﺎ‪‬ﺔ.‬ ‫٠٥‬ ‫= ٢ﺱ٢ + ٥ﺱ - ٩١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﻣﺮﺑﻌﲔ:‬ ‫١٥‬ ‫ﺱ٢ - ٩ = )ﺱ - ٣()ﺱ + ٣(‬ ‫ﺍ@- ﺏ@ = )ﺍ- ﺏ () ﺍ + ﺏ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﳎﻤﻮﻉ ﺣﺪﻳﻦ:‬ ‫٢٥‬ ‫)٢ﺱ + ٣(٢ = ٤ﺱ٢ + ٢١ﺱ + ٩‬ ‫) ﺍ + ﺏ (@ = ﺍ@ + ۲ﺍﺏ + ﺏ@‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ:‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﺣﺪﻳﻦ:‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٣٥‬ ‫)ﺱ - ٥( = ﺱ - ٠١ﺱ + ٥٢‬ ‫) ﺍ - ﺏ (@ = ﺍ@ - ۲ﺍﺏ + ﺏ@‬ ‫١١‬
  • 12. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٩( ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ٥ﺱ - ٢١ = -٢ﺱ + ٩ .‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ:‬ ‫ﳊﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻧﻔﻌﻞ ﻣﺎ ﻫـﻮ ﺿـﺮﻭﺭﻱ ﰲ ﻃـﺮﰲ ﺍﻟﺤﻞ: ﺉ ٥ﺱ + ٢ﺱ = ٩ + ٢١‬ ‫٤٥‬ ‫ﺉ ٧ﺱ = ١٢ ﺉ ﺱ = ٣‬ ‫ﻝ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﳉﻌﻞ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ ﻃﺮﻑ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﰲ ﻃﺮﻑ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ: ﺱ٢ + ٥ﺱ + ٦ = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫ﳊﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺃﻭ ﺇﻛﻤﺎﻝ ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮ‪‬ﻤﺎ ٦ ﻭﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﲨﻌﻬﻤﺎ ٥ ، ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻬﻧﻤﺎ ٢ ، ٣ . ﺇﺫﹰﺍ:‬ ‫ﺍﳌﺮﺑﻊ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﺍﳌﻤﻴﺰ.‬ ‫٥٥‬ ‫ﺱ٢ + ٥ﺱ + ٦ =٠ ﺉ )ﺱ+٢()ﺱ+٣(=٠‬ ‫ﺏ٢ - ٤ﺍﺝ‬ ‫-ﺏﱃ‬ ‫ﺱ=‬ ‫ﺉ )ﺱ+٢( = ٠ ﺃﻭ )ﺱ+٣(=٠‬ ‫٢ﺍ‬ ‫ﺉ ﺱ = -٢ ﺃﻭ ﺱ = -٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ: ﺱ+ ﺹ=٦ ، ٢ﺱ- ٣ﺹ=٧.‬ ‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﺫﺍﺕ ﳎﻬﻮﻟﲔ:‬ ‫ﻧﻮﺣﺪ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﺇﱃ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﲝﻴﺚ ﻧﻘﻮﻡ ﲝـﺬﻑ ﺍﻟﺤﻞ: ﻟﻜﻲ ﳓﺬﻑ ﺹ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﰲ ٣ ﰒ‬ ‫ﳒﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ.‬ ‫ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ.‬ ‫٣ ﺱ + ٣ﺹ = ٨١‬ ‫⇐٥ﺱ=٥٢ ⇐ﺱ=٥‬ ‫٦٥‬ ‫٢ﺱ − ٣ﺹ = ٧‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ:‬ ‫٥+ﺹ=٦⇐ﺹ=١‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ : ﺣﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻫﻮ ) ٥ ، ١ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺣﻞ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ: ٢ﺱ+٥ > ٤ﺱ + ٧١‬ ‫ﺣﻞ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺉ ٢ﺱ -٤ﺱ > ٧١ - ٥‬ ‫• ﳒﻌﻞ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ ﻃﺮﻑ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﰲ ﻃﺮﻑ.‬ ‫٧٥‬ ‫ﺉ -٢ﺱ ﺁ ٢١ ) ﺑﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﻋﻠﻰ -٢(‬ ‫• ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺑﻌﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ ﻧﻌﻜﺲ‬ ‫ﺉ ﺱ ﻯ -٦‬ ‫ﺍﲡﺎﻩ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ.‬ ‫٢١‬
  • 13. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٠١( ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜـ ـﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــ‬ ‫ـﺖ ﺍ )-٢ ، ٧(، ﺏ )١ ، ٣(‬ ‫ـ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺑﲔ ﻧﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﺍﳌـﺴﺎﻓﺔ ﺑ ـﲔ ﺍﻟﻨﻘﻄ ـﺘﲔ )ﺱ١، ﺹ١( ، )ﺱ٢، ﺹ٢( ﻓﺎﺣﺴﺐ | ﺍ ﺏ | .‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫٢‬ ‫٨٥‬ ‫٢‬ ‫)-٢-١(٢ + )٧-٣(‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: | ﺍ ﺏ | =‬ ‫)ﺱ١- ﺱ٢(٢ + )ﺹ١- ﺹ٢(‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ‬ ‫٢‬ ‫٥٢ = ٥‬ ‫=‬ ‫)-٣(٢ + )٤(‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ)٧ ، ٦(، ﺏ )٥ ، -٢١( ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺼﻔﺔ ﺑﲔ ﻧﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺼﻔﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻨﻘﻄـﺘﲔ )ﺱ١،ﺹ١(،)ﺱ٢،ﺹ٢( ﺇﺣﺪﺍﺛﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺼﻔﺔ ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ ]ﺍ ﺏ[ .‬ ‫٩٥‬ ‫٧+٥ ٦-٢١‬ ‫ﺹ١ + ﺹ٢‬ ‫ﺱ١ + ﺱ٢‬ ‫( = )٦ ، -٣(‬ ‫،‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻲ )‬ ‫(‬ ‫،‬ ‫ﻫﻲ )‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ﺍ)٢ ، ٢( ،‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳌﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ )ﺱ١، ﺹ١(، )ﺱ٢، ﺹ٢( ﺏ )-١ ، -٤( .‬ ‫٠٦‬ ‫-٤-٢ -٦‬ ‫ﺹ٢ - ﺹ١‬ ‫=٢‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ =‬ ‫ﻫﻮ ﻡ=‬ ‫-١-٢ -٣‬ ‫ﺱ٢- ﺱ١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ٣ﺱ + ٢ﺹ = ٤ .‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳌﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﺮﺗﺐ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ: ٢ﺹ = -٣ﺱ + ٤‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺹ = ﺍﺱ + ﺏ ﻫﻮ ﺍ.‬ ‫١٦‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺉ ﺹ = - ﺱ + ٢ ﺇﺫﹰﺍ ﺍﳌﻴﻞ = -‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ﺍ)٢ ، ٢(‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺘﲔ:‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ )ﺱ١،ﺹ١(،)ﺱ٢، ﺹ٢( ، ﺏ )-١ ، -٤( .‬ ‫ﺹ- ٢ -٤-٢‬ ‫ﺹ٢ - ﺹ١‬ ‫ﺹ - ﺹ١‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ :‬ ‫=‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺱ- ٢ -١-٢‬ ‫ﺱ٢- ﺱ١‬ ‫ﺱ - ﺱ١‬ ‫٢٦‬ ‫ﺹ- ٢‬ ‫= ٢ ﺉ ﺹ-٢ = ٢ﺱ-٤‬ ‫ﺉ‬ ‫ﺱ- ٢‬ ‫ﺉ ﺹ = ٢ﺱ -٢‬ ‫٣١‬
  • 14. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)١١( ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ْ‬ ‫ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ:‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳊﺎﺩﺓ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ٠٩ ْ.‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٠٩ ْ.‬ ‫ﺣﺎﺩﺓ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫٣٦‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻨﻔﺮﺟﺔ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ٠٩ ْ ﻭﺃﻗـﻞ‬ ‫ﻣﻦ ٠٨١ ْ.‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺔ: ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٠٨١ ْ.‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﺘﺎﻣﺔ – ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﻜﺎﻣﻠﺔ:‬ ‫• ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﲔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ.‬ ‫٤٦‬ ‫• ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﲔ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤـﺎ‬ ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﳌﺘﻘﺎﻃﻌﺔ:‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﺯ ، ﻙﺯ .‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻙﺯ ،٠٦ ْ ﺭﺃﺳﻴﺘﺎﻥ ﻭﻋﻠﻴـﻪ‬ ‫٥٦‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺔ ﺃﻱ ) ﺍﺯ + ﻝﺯ =‬ ‫•‬ ‫ﺗﻜﻮﻧﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻙﺯ =٠٦ ْ‬ ‫٠٨١ ْ(‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻙﺯ + ﺍﺯ = ٠٨١ ْ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﺯ = ٠٢١ ْ‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺮﺃﺳﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺃﻱ ) ﻙﺯ = ﻝﺯ (‬ ‫•‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻩ ، ﻙ ؟‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﳌﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ﻭﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﳍﺎ:‬ ‫• ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﲔ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺭﺑﻊ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﻩﺯ‬ ‫ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺣﺎﺩﺓ ) ﺍ، ﺩ ، ﻩ ، ﻥ ( ﻛﻠﻬﺎ ﻣﺘـﺴﺎﻭﻳﺔ . ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻓﺈﻥ ﻩﺯ = ٠٥ ْ.‬ ‫٦٦‬ ‫ﻭﺃﺭﺑﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ ) ﺏ ، ﺝ ، ﻙ ، ﻝ( ﻛﻠـﻬﺎ ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﲔ ﻩﺯ ، ﻙﺯ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ ﻓﺈﻥ:‬ ‫ﻙﺯ = ٠٨١ ْ- ﻩﺯ ﺉ ﻙﺯ =٠٨١ ْ- ٠٥ ْ = ٠٣١ ْ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺔ ﻣﻊ ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ‬ ‫•‬ ‫ﻣﺜﻼ ﺍﺯ ﻣﻊ ﻙﺯ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﲔ.‬ ‫ﹰ‬ ‫٤١‬
  • 15. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٢١( ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟـﺪ ﻗﻴﻤـﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﺱ‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻭﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ:‬ ‫ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻙ .‬ ‫• ﳎﻤﻮﻉ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺜﻠﺚ ٠٨١ ْ) ﺍ+ ﺏ + ﺝ =٠٨١ ْ(‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﰲ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﲔ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﺝ + ٠٠١ ْ + ٠٥ ْ = ٠٨١ ْ‬ ‫٧٦‬ ‫ﺉ ﺝ = ٠٣ ْ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺘﲔ ﻏﲑ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭﺓ ﳍﺎ ) ﺃﻱ ﻙ = ﺍ + ﺏ (‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﻙ = ٠٠١ ْ + ٠٥ ْ = ٠٥١ ْ‬ ‫• ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳋﺎﺭﺟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺗﺴﺎﻭﻱ ٠٦٣ ْ.‬ ‫) ﺃﻱ ﺃﻥ ﻙ + ﻡ + ﻝ = ٠٦٣ ْ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ .‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ:‬ ‫١‬ ‫٥ﺳﻢ‬ ‫٧ﺳﻢ‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ = ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫٢‬ ‫٤ﺳﻢ‬ ‫• ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻫﻮ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻟـﱵ ﰎ‬ ‫٨٦‬ ‫٤ ٢ ﺳﻢ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻩ ﻛﻘﺎﻋﺪﺓ ﻭﺍﻟﺮﺃﺱ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ.‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = × ٧ × ٤ = ٤١ﺳﻢ‬ ‫٢‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﻀﻠﻌﺎﻥ ﻭﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻷﺿﻼﻉ:‬ ‫• ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻟﻀﻠﻌﺎﻥ ﻟﻪ ﺿـﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘـﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻭ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠﺘـﺎﻥ ﻟﻠـﻀﻠﻌﲔ ﺍﳌﺘـﺴﺎﻭﻳﲔ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ.‬ ‫٩٦‬ ‫• ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺗﻜـﻮﻥ ﲨﻴـﻊ ﺃﺿـﻼﻋﻪ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﲨﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳـﺔ‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ ٠٦ ْ.‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻌﲔ ﺍﳌﺘﻌﺎﻣـﺪﻳﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ:‬ ‫٢‬ ‫٢ﺳﻢ ، ٣ﺳﻢ . ﻣﺎ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ؟‬ ‫)ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ(٢ + )ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ(٢ = )ﺍﻟﻮﺗﺮ(‬ ‫٠٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ =ﺍﻟﻮﺗﺮ = ٩+٤ = ٣١‬ ‫٥١‬
  • 16. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٣١( ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳏﻴﻂ ﻭﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟـﺬﻱ ﻃﻮﻟـﻪ‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ:‬ ‫٧ﺳﻢ ﻭﻋﺮﺿﻪ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﺃﺭﺑﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻗﺎﺋﻤﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ=٢)٧+٣(=٢×٠١=٠٢ﺳﻢ‬ ‫• ﺍﻷﻃﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫١٧‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ٧ × ٣ = ١٢ﺳﻢ‬ ‫• ﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ.‬ ‫• ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ٢) ﺍﻟﻄﻮﻝ + ﺍﻟﻌﺮﺽ(‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ﺍﻟﻄﻮﻝ × ﺍﻟﻌﺮﺽ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻭﺟـﺪ ﻃـﻮﻝ ﺍﻟـﻀﻠﻊ ﺱ‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ:‬ ‫ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﺯ .‬ ‫• ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﳌﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ.‬ ‫• ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫• ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﳎﻤﻮﻋﻬﺎ ٠٨١ ْ.‬ ‫٢٧‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ =ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺤﻞ: ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺬﻱ ﻃﻮﻟﻪ ﺱ ﻳﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺬﻱ‬ ‫ﻃﻮﻟﻪ ٥ﺳﻢ ﻓﺈﻥ ﺱ = ٥ﺳﻢ .‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ٠١١ ْ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﺯ ﻣﺘﺠﺎﻭﺭﺗﺎﻥ ﻓـﺈﻥ‬ ‫٠١١ ْ + ﺍﺯ = ٠٨١ ْ ﺉ ﺍﺯ = ٠٧ ْ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ٢ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﳏﻴﻄﻪ ﻭﻣﺴﺎﺣﺘﻪ؟‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﳌﺮﺑﻊ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ﺍﻟﻀﻠﻊ × ٤ =٢×٤ =٨ﺳﻢ‬ ‫• ﲨﻴﻊ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ.‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = )ﺍﻟﻀﻠﻊ(٢ = )٢(٢ = ٤ﺳﻢ‬ ‫• ﲨﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻭﻗﻄﺮﺍﻩ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ.‬ ‫٣٧‬ ‫• ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ٤ × ﻃﻮﻝ ﺃﺣﺪ ﺃﺿﻼﻋﻪ.‬ ‫٢‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ) ﺍﻟﻀﻠﻊ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﻤﺎﱐ.‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ:‬ ‫٤٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ = )٨-٢(×٠٨١ ْ=٠٨٠١ ْ‬ ‫= ) ﻥ – ٢ ( × ٠٨١ ْ ﺣﻴﺚ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫٦١‬
  • 17. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٤١( ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﳏﻴﻂ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ٣ﺳﻢ .‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ:‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ٢ﻁ)٣( = ٦ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ٢ﻁ ﻗﻖ‬ ‫٥٧‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ:‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ٤ﺳﻢ .‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ﻁﻗ‬ ‫ﻖ‬ ‫٦٧‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ﻁ)٤( = ٦١ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﺏ ؟ﺝ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ .‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻭﺍﶈﻴﻄﻴﺔ:‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺍ‬ ‫ﺝ‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻳﻘﻊ ﺭﺃﺳﻬﺎ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍ ﻡ ؟ﺝ ٠١١ ْ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )ﻡ(.‬ ‫= ٥٥ ْ‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﺏ ؟ﺝ =‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫• ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ = ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺱ ﺍﶈﺪﺩ‬ ‫٧٧‬ ‫ﺑﲔ ﺿﻠﻌﻴﻬﺎ = ﺍ ﻡ ؟ﺝ‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﶈﻴﻄﻴﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﻭﺗـﺮﺍﻥ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺭﺃﺳﻬﺎ ﻳﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )ﺍﺏ ؟ﺝ(‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ = ٢ × ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﺍﶈﻴﻄﻴـﺔ‬ ‫)ﺍﳌﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﻬﺎ ﺑﺎﻟﻘﻮﺱ(‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺏ ﺍ ؟ﺝ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ .‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻤﺎﺳﻴﺔ:‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻤﺎﺳﻴﺔ ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺭﺃﺳﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﳏﻴﻂ‬ ‫٨٧‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺃﺣﺪ ﺿـﻠﻌﻴﻬﺎ ﻭﺗـﺮ ﰲ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻭﺍﻵﺧﺮ ﳑﺎﺱ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫ﺍ ﻡ ؟ﺝ ٠١١ ْ‬ ‫= ٥٥ ْ‬ ‫٢‬ ‫=‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺏ ﺍ ؟ﺝ =‬ ‫• ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ = ٢ × ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻤﺎﺳﻴﺔ‬ ‫٧١‬
  • 18. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﰲ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫـﺎ ٥ﺳـﻢ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ:‬ ‫ﻭﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٢٧ ْ. ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍ ﺝ ﻝ .‬ ‫• ﺍﻟﻘﻮﺱ ﻫﻮ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫ﻥ‬ ‫× ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫• ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ =‬ ‫٠٦٣‬ ‫٩٧‬ ‫ﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻟﻠﻘﻮﺱ‬ ‫٢٧‬ ‫)٢ﻁ ×٥(=٢ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ =‬ ‫٠٦٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻱ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻩ ٦ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ:‬ ‫• ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﻫﻮ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣـﻦ ﻣـﺴﺎﺣﺔ ﻭﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ٠٣ ْ .‬ ‫٠٣‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫٢‬ ‫× ﻁ )٦(‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ =‬ ‫٠٨‬ ‫٠٦٣‬ ‫ﻥ‬ ‫× ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ=‬ ‫٢‬ ‫= ٣ﻁ ﺳﻢ‬ ‫٠٦٣‬ ‫ﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ‬ ‫٨١‬
  • 19. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٥١( ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍ‪‬ﺴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺃﺑﻌﺎﺩﻩ ٢ﺳﻢ ،‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ:‬ ‫٣ﺳﻢ ، ٤ ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ=‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ = ٢×٣×٤‬ ‫٤)ﺍﻟﻄﻮﻝ×ﺍﻟﻌﺮﺽ(+٢)ﺍﻟﻌﺮﺽ×ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ(‬ ‫١٨‬ ‫٣‬ ‫= ٤٢ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ =‬ ‫ﺍﻟﻄﻮﻝ × ﺍﻟﻌﺮﺽ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ ﻭﺍﳊﺠﻢ ﳌﻜﻌﺐ ﻃـﻮﻝ‬ ‫ﺍﳌﻜﻌﺐ:‬ ‫٢‬ ‫ﺿﻠﻌﻪ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ٦ × )ﺍﻟﻀﻠﻊ(‬ ‫٣‬ ‫٢٨‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ٦)٣(٢ = ٤٥ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = )ﺍﻟﻀﻠﻊ(‬ ‫٣‬ ‫ﺣﺠﻢ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ) ٣ (٣ = ٧٢ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪ‪‬ﺎ ٢ﺳﻢ‬ ‫ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ:‬ ‫٢‬ ‫ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ = ٢ﻁ‪Ω‬ﻉ + ٢ﻁ‪Ω‬‬ ‫٣٨‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ = ﻁ )٢(٢ )٣(‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ = ﻁ‪٢Ω‬ﻉ‬ ‫٣‬ ‫= ٢١ﻁ ﺳﻢ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻉ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ، ‪ Ω‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﳐﺮﻭﻁ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ٢ﺳـﻢ‬ ‫ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ:‬ ‫٢‬ ‫ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ = ﻁ‪Ω‬ﻝ + ﻁ‪Ω‬‬ ‫١‬ ‫١‬ ‫٤٨‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ = ﻁ)٢(٢×٣= ٤ﻁ ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ = ﻁ‪٢Ω‬ﻉ‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻝ ﺍﻟﺮﺍﺳﻢ ، ﻉ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ، ‪ Ω‬ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻭﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻛﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﻜﺮﺓ:‬ ‫٢‬ ‫٣ﺳﻢ .‬ ‫• ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ٤ ﻁ ) ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ (‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٥٨‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ﻁ )٣(٣ = ٦٣ﻁ ﺳﻢ‬ ‫• ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ﻁ )ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ(‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻜﺮﺓ = ٤ ﻁ )٣( = ٦٣ﻁ ﺳﻢ‬ ‫٩١‬
  • 20. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫)٦١( ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﻠﻔﻈﻴﺔ - ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳌﻨﻄﻘﻴﺔ - ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻠﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻣﺜﺎﻝ ﻣﺎ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳊﺴﺎﺑﻴﺔ:‬ ‫ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ ، ﻭﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎ ﻣﻌﻬﻤﺎ ٠٢٣ﺭﻳﺎﻻ ، ﻓﻤـﺎ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﳊﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ ؟‬ ‫• ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮﻝ ﰲ ﺍﳌﺴﺄﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺱ.‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ = ﺱ ﺭﻳﺎﻝ ، ﻓﺈﻥ ﻣﺎ ﻣﻊ‬ ‫• ﻧﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮﻝ ﺱ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻄﻴﺎﺕ‬ ‫٦٨‬ ‫ﺳﻠﻴﻢ = ٣ﺱ ﺭﻳﺎﻝ .‬ ‫ﳓﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﱪﻳﺎ.‬ ‫ﹰ‬ ‫•‬ ‫ﺇ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ: ﺱ + ٣ﺱ = ٠٢٣‬ ‫ﺉ ٤ﺱ= ٠٢٣ ﺉ ﺱ = ٠٨‬ ‫ﻣﺎ ﻣﻊ ﺳﻌﻴﺪ = ﺱ = ٠٨ ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﻋﺪﺍﺀ ﻣﻌﺪﻝ ﺳﺮﻋﺘﻪ ٠٠٢ﻡ / ﺍﻟﺪﻗﻴﻘـﺔ . ﻛـﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺍﳊﺮﻛﺔ ﰲ ﺍﲡﺎﻩ ﻭﺍﺣﺪ :‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺍﻟﱵ ﳛﺘﺎﺟﻬﺎ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٠٠٤ﻡ ؟‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ =‬ ‫٧٨‬ ‫٠٠٤‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺍﻟﺰﻣﻦ‬ ‫= ٢ﺩﻗﻴﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ : ﻉ = ﺉ ﺯ = =‬ ‫ﻉ ٠٠٢‬ ‫ﺯ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺗﻀﻢ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺍﻟﻄﻌﺎﻡ ﻷﺣﺪ ﺍﳌﻄﺎﻋﻢ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻧﻮﻉ ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ:‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻣﻌﲔ ﻳﺘﻢ ﺑـ ﻡ١ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﰒ ﻳﺘﺒﻌـﻪ ﺍﻟﺸﻮﺭﺑﺔ ﻭﲬﺴﺔ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻮﻡ ﺑﻜﻢ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﳝﻜﻨﻚ‬ ‫٨٨‬ ‫ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻣﻌﲔ ﻳﺘﻢ ﺑـ ﻡ٢ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻹﺟﺮﺍﺀﻳﻦ ﻳﺘﻢ ﺑــ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻭﺟﺒﺔ ﺗﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻮﺭﺑﺔ ﻭﺍﻟﻠﺤﻢ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﺮﻕ = ٣ × ٥ = ٥١ ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ﻡ١ × ﻡ٢ ﻃﺮﻳﻘﺔ.‬ ‫ﻣﺜـﺎﻝ: ﺻﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠـﻰ ٩ﻛـﺮﺍﺕ ﺑﻴـﻀﺎﺀ ﻭ‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ:‬ ‫٣ﻛﺮﺍﺕ ﲪﺮ ، ﺇﺫﺍ ﺳﺤﺒﻨﺎ ﻛﺮﺓ ﺑﺸﻜﻞ ﻋـﺸﻮﺍﺋﻲ ﻣـﺎ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﳊﺎﺩﺛﺔ‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ =‬ ‫٩٨‬ ‫ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺑﻴﻀﺎﺀ؟‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻓﻀﺎﺀ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‬ ‫٩ ٣‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ: ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺑﻴﻀﺎﺀ = = =٥٧,٠‬ ‫٢١ ٤‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻃـﻼﺏ‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ :‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻫﻮ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻮﺿﺢ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻭﻧـﺴﺐ ﺍﻟﻔﺼﻮﻝ ﺍﻟﻌﻠﻴﺎ ٠٢١ ﻃﺎﻟﺐ ،‬ ‫ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ﺍﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ﲝﻴﺚ ﺗﺴﻬﻞ ﻓﻴﻬـﺎ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﺑﻴﻨـﻬﺎ، ﻓﻜﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﻋـﺪﺩ ﻃـﻼﺏ‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺑﻌﺪﺓ ﻃﺮﻕ ﻣﻨﻬﺎ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﻨﻜﺴﺮ ﻭ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ؟‬ ‫٠٩‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻭ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌـﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺃﻭ ﺍﻷﻋﻤـﺪﺓ ﻭ ﺍﻟﺤـﻞ: ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﳝﺜﻞ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ.‬ ‫١‬ ‫= ٠٢١ × = ٠٣ ﻃﺎﻟﺐ‬ ‫٤‬ ‫٠٢‬
  • 21. ‫ﺍﻷﻣﺜﻞ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ‬ ‫١٢‬