1. O documento apresenta uma pesquisa sobre tratamentos metodológicos para o estudo das cónicas no ensino secundário, abordando sua história, problemas encontrados e objetivos do trabalho. 2. A pesquisa analisa possíveis dificuldades de alunos com cónicas, como identificação, tradução entre ferramentas e síntese dos requisitos. 3. O trabalho tem como objetivo demonstrar abordagens metodológicas para o estudo das cónicas, resolvendo exercícios relacionados

1. Introdução
1. Apresentação do Trabalho
O presente trabalho de pesquisa trata sobre o Tratamento Metodológico para o
Estudo Particular das Cónicas no IIº Ciclo do Ensino Secundário, porém com muita dedicação e
carinho, onde alunos, professores e responsáveis na área da educação possam ler,
avaliarem e talvez terem como parâmetro, o assunto contido neste trabalho que não tem a
pretensão de contemplar todas as questões em " geometria analítica plana, isto é, no que
concerne o Estudo Particular das Cónicas ".
O objectivo do nosso trabalho é a pesquisa sobre as curvas do 2º grau que consiste em
demonstrar alguns tratamentos metodológicos para o estudo particular das cónicas, as suas
equações, as suas obtenções, o estudo sistemático de cada uma das cónicas, assim como a
resolução de alguns exercícios ligados ao tema.
A presente pesquisa analisa a possibilidade de uso de uma abordagem metodológica
diversificada para o ensino-aprendizagem de Geometria Analítica Plana, particularizando,
no estudo das secções cónicas (a elipse, a hipérbole e a parábola).
A partir da pesquisa realizada no que tange o estudo particular das curvas do segundo grau
e a leitura feita dos livros didáticos disponíveis, observamos uma grande semelhança na
exposição desse assunto. Todos deduzem as equações analíticas a partir da propriedade
bifocal. Elas são representadas no plano cartesiano como curvas (vale lembrar que a
parábola foi apresentada anteriormente como função) e assim surgem as suas
representações geométricas. Os parâmetros escolhidos são a, b e c na elipse e na hipérbole
e p, na parábola. Eles são exibidos através das equações reduzidas e a caracterização
dominante.
Enfim, o nosso estudo será inicialmente introduzida duas equações das rectas que
originam a uma equação global da recta e por sua vez define as cónicas, segundo vamos
analisar o estudo particular de elipse, hipérbole e parábola apresentando sua definição,
equação reduzida em coordenadas cartesianas, representação gráfica e elementos
característicos, finalizando com a resolução de alguns exercícios. Eis as formam reduzidas
mais comuns:
1

2. (E)≡ 12
2
2
=+
b
y
a
x
é uma Elipse;
(H ) ≡ 12
2
2
=−
b
y
a
x
é uma Hipérbole;
( P) ≡ y2
= 2p x é uma Parábola.
No caso da elipse e da hipérbole, são escolhidos os mesmos parâmetros a, b e c. O
parâmetro c não aparece na equação. A origem do plano cartesiano é colocada no centro da
cônica. O coeficiente a representa a distância entre o centro e um vértice tanto na elipse
como na hipérbole. O coeficiente c representa a distância entre o centro e um foco nas duas
curvas. Mas o parâmetro b tem significado diferente para cada uma delas. Na elipse, ele
significa o semi-eixos menor, enquanto na hipérbole significa um cateto perpendicular à
recta que contém os focos e que passa pelo vértice, sendo o outro cateto o coeficiente a. A
hipotenusa c está contida na assíntota da hipérbole. Esta relação pitagórica citada existe
também na elipse, mas com a diferença que a hipotenusa é o coeficiente a.
No entanto o trabalho apresenta os seguintes capítulos:
Capítulo I apresenta a fundamentação teórica que abre espaço para entender o fundamento
e perceber alguns conceitos ligados ao tema definidos entre diferentes autores ou cientistas
matemáticos e as intenções que nos escolher o tema em estudo.
Capítulo II apresenta a parte prática ligada ao tema, isto é, a aplicabilidade das fórmulas
reduzidas às secções cónicas ou curvas do 2 º grau.
Deste modo, fomos buscar exemplos e exercícios que apoiam a concretização das teorias
às práticas e vice-versa para tornar a nossa pesquisa mais acessível aos leitores.
Capítulo III apresenta os dados e suas análises de uma forma sistemática e ordenada onde
colocamos a pergunta com seu objectivo, finalmente a nossa dedução é ponto de reflexão
para entender o quadro de frequência.
2. Problemática:
2

3. Neste presente trabalho vamos analisar os problemas ligados ao ensino do estudo particular
das cónicas chamadas as vezes curvas do segundo grau.
Obviamente, o estudo em tratamento para os alunos da 12ª classe refere-se das noções
básicas sobre o estudo particular das cónicas que se fazem constar no programa de
matemática /geometria analítica plana como parte integrante e em vigor no nosso País.
Debruça-se de um estudo sistemático que vai ser aprofundado depois de ter feito uma
análise sistemática das lições estudadas e aprendidas aos alunos no que diz respeito, o
tratamento metodológico para este estudo em desenvolvimento.
Será podemos confirmar que as dificuldades encontradas pelos alunos do estudo particular
das cónicas são ligados:
1. à identificação de uma determinada cónica? Demonstra-se dos erros
cometidos pelos alunos, isto é, a origem dos mesmos?
2. à incapacidade na tradução das ferramentas matemáticas à uma ferramenta
geométrica ou ainda de uma ferramenta verbal a uma ferramenta
matemática?
3. Será os alunos são incapazes de detalhar e particularizar as cónicas para
obtenção de uma forma não adequada?
4. Será que os alunos são incapazes de tirar uma síntese de todos os requisitos
que demonstrem o estudo particular das cónicas?
3. Hipóteses
Neste trabalho, vamos nos concentrar das realidades vividas e prévias no fracasso do
estudo particular das cónicas é a ausência de uma boa formação no processo de ensino-
aprendizagem da matéria em tratamento, como uma ferramenta que opta na solução dos
problemas ligados ao tema e a seu prévio aproveitamento na aquisição de hábitos e
habilidades.
4.Objectivos
O objectivo fundamental deste trabalho consiste em demonstrar alguns tratamentos
metodológicos para o estudo particular das cónicas, as suas equações, as suas obtenções, o
3

4. estudo sistemático de cada uma das cónicas, assim como a resolução de alguns exercícios
relativos ao tema.
5. Motivação do trabalho
 Neste trabalho, levantamos alguns dados relacionados ao tema no que concerne o
nível de aquisição de conhecimento na parte dos discentes na 12ª classe no IIº ciclo
do ensino secundário «Daniel Vemba» demonstrou-nos que, os alunos tiveram
grandes dificuldades na mesma matéria.
 Razão pela qual, sugerimos com toda a ansiedade o desenvolvimento e
apresentação deste tema julgando necessário a capacidade de ultrapassar as
respectivas lacunas de compreensão encaradas aos discentes.
 E daí, julgamos este tema é muito importante e irá resolver uma questão científica
no meio do trabalho docente e de um modo participativo a assimilação dos alunos
nas aulas de matemática.
6. Metodologia do trabalho
Para a realização desta pesquisa, pretendemos usar as estratégias de ir ao encontro dos
elementos envolvidos para nos perceber da situação em relação ao problema em estudo.
Foram usados os seguintes métodos:
Explicativo e Expositivo
A aplicação do método explicativo pois, quando se demonstram as cónicas deve se explicar
a sua essência aplicando assim a exposição dialogada.
Observação
Porém, a aplicação do método de observação será no centro das nossas atenções tendo em
conta a observância das aulas assistidas durante a realização da pesquisa do mesmo
trabalho em estudo e a participação do aluno em relação a sua aplicabilidade e a reacção do
aluno em relação ao mesmo método na sala de aula conforme exigido pela teoria do ensino
centrado no aluno.
Estatístico
4

5. Enquanto o método estatístico estabelece as debilidades e avanços observados ou
encontrados durante a realização da pesquisa desta monografia de uma forma crescente ou
decrescente.
Nesta conformidade, aplicou-se:
• Inquérito: permitiu-nos encarar as insuficiências da turma quanto à matéria
leccionada por meio de dados escritos, que neles recolhemos como fundamento da
nossa investigação.
• Entrevista: Este método auxiliou-nos na obtenção de uma ferramenta meramente
concreta a fim de procurar compreender as diferentes barreiras que impedem uma
boa aprendizagem do assunto em estudo.
• Questionário: foram elaboradas diferentes tipos de perguntas ou questões tendo
como finalidade a interação ou a participação dos discentes no que tange o grau de
assimilação e as suas habilidades referentes ao conteúdo em análise.
Análise Bibliográfica: consistindo em análise de livros didácticos, revistas, etc.,..
CAPÍTULO I. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
5

6. A. Introdução histórica sobre as cónicas
Neste capítulo será feito um relato das cónicas por meio dos séculos mostrando o
desenvolvimento do estudo das mesmas.
Egípcios e babilónios, há mais de 3000 anos, utilizavam a geometria nas regiões
inundáveis dos vales do Nilo, Tigre e Eufrates, na demarcação das terras a fim de organizar
o plantio e facilitar a cobrança de impostos. Durante o período Helénico (400 a.C. – 476
d.C) , Alexandre Magno construiu Alexandria em 331 a.C., que em pouco tempo
transformou-se no centro mais suntuoso e cosmopolita do mundo . Depois da morte de
Alexandre, o império se dividiu em três impérios.
Ptolomeu ficou com o governo do Egipto, escolheu Alexandria como sua capital e lá
construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber, cabendo a Euclides o
Departamento de matemática. Apolônio, que foi um dos maiores estudiosos das cónicas,
nasceu em Perga e estudou em Alexandria onde ficou por um bom tempo (RODRIGUES
FILHO, 2007).
Para Youssef (2005), Menaecmus, astrónomo e geómetra grego foi o primeiro a
utilizar duas curvas: a parábola e hipérbole. No século IV a.C., ele solucionou o problema
da ‘’ duplicação do cubo’’ que consistia em encontrar um cubo cujo seu volume fosse igual
a dois, utilizando-se dessas duas curvas. Consequentemente, a elipse surgiu mais tarde
quando se seleccionou uma superfície cónica perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o
nome sessões cónicas.
Segundo Lopes ( 2011) , para alguns historiadores a origem do estudo das cónicas
não é muito clara, mas tudo leva a crer que elas originaram-se no problema da duplicação
do cubo.
Hipócrates de Chios (470-410 a.C.) mostrou que esse problema ( a duplicação do
cubo ) se reduzia em encontrar curvas com propriedades expressas no proporção contínua
entre dois segmentos ,esse processo consistia em determinar médias proporcionais entre
duas grandezas dadas ,ou seja ,dados os segmentos a e b, encontrar dois outros x e y tais
que = = .
6

7. Hipócrates afirmou que para b = 2ª, a proporção contínua traduzia a solução do problema
da duplicação do cubo, pois isolando e eliminando y, conclui-se que x3 = 2a3
.
Isto equivale, na notação actual, resolver simultaneamente quaisquer duas das três
equações x2
= ay; y2
= 2ax e xy = 2a2
que representam Parábolas nos dois primeiros casos e
hipérbole no Terceiro.
Mas a descoberta dessas curvas se deu por Menaechmus (380-320 a.C.) por volta de 360
ou 350 a.C.. Ele construiu as curvas com essas propriedades algébricas e consequente
mente mostrou que ponto de intersecção delas daria as médias proporcionais desejadas.
A descoberta da elipse parece ter sido feita também por ele como um simples
subproduto dessa sua pesquisa (LOPES,2011,p.33-34
Para Venturi (1949), foi Apolônio quem introduziu os nomes elipse e hipérbole. Já
a parábola, provavelmente, foi nomeada por Arquimedes.
As secções cónicas eram conhecidas havia cerca de um século e meio quando Apolônio
escreveu seu célebre tratado sobre essas curvas. O tratado sobre Cónicas de Apolônio
derrotou todos os rivais no campo das secções cónicas, inclusive As cónicas de Euclides
(BOYER, 2010, p.99).
De acordo com Boyer (2010), Apolônio foi o primeiro a mostrar que as três
secções cónicas não eram obtidas necessariamente de três cones diferentes, mas poderiam
ser encontradas variando o ângulo de inclinação do plano da secção . Esse facto, foi
relevante para identificar e relacionar os três tipos de curvas. Apolônio também provou que
o cone pode ser oblíquo ou escaleno, não precisando ser recto e que as propriedades das
curvas não se modificam de acordo com o cone de origem.
Ainda para Boyer (2010), Apolônio poderia ter partido de qualquer cone e ter
obtido as mesmas curvas, ou seja, qualquer secção plana de qualquer cone poderia servir
de curva base em sua definição.
Menaecmus afirmava que cada secção cónica era encontrada em um formato
diferente de cone. Assim, as cónicas eram tratadas de forma separada. Somente com
Apolônio houve a unificação das mesmas (BORDALLO, (2011).
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8. De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como rectos
ou de revolução (rectângulo) quando este ângulo formado entre as geratrizes que
pertencem a um dado plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da circunferência
da base é recto: obtusângulo, quando este ângulo é obtuso e acutângulo, quando é agudo.
Arquimedes deu nome de ‘’ Orthotome’’ para parábola, que surgia de cone rectângulo,
‘’Oxythome’’ para elipse, que surgia do cone acutângulo e ‘’ Amblythome’’ para a
hipérbole que surgia do cone obtusângulo.
Menaecmus afirmava que cada secção cónica era encontrada em um formato
diferente de cone. Assim, as cónicas eram tratadas de forma separada. Somente com
Apolônio houve a unificação das mesmas (BORDALLO, 2011).
De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como recto ou de
revolução (rectângulo) quando o ângulo formado entre as geratrizes que pertencem a um
dado plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da circunferência da base é recto;
obtusângulo, quando este ângulo é obtuso e acutângulo, quando é agudo. Arquimedes deu
nomes de ``orthotome´´ para parábola, que surgia do cone rectângulo, ``oxythome’’ para a
elipse, que surgia do cone acutângulo e ``amblythome´´ para a hipérbole que surgia do
cone obtusângulo.
Segundo Youssef (2005), Apolónio de parga (262-190 a.c.) escreveu um importante
documento sobre as cónicas. Neste documento, acrescentou aos estudos de menaecmus
várias proposições, mas de forma puramente geométrica. Pode-se destacar uma proposição
sobre a posição do plano secante em relação ao eixo de rotação ou a geratriz de uma
superfície cónica de resolução.
Para Boyer (2010), o cone de duas folhas surgiu quando Apolónio fez uma reta de
comprimento indefinido que passava por um ponto fixo mover-se sobre uma circunferência
de um círculo que não é coplanar ao ponto de origem, passando por todos os pontos dessa
circunferência, a reta móvel dará origem a superfície de um cone duplo. Com isso surge o
segundo ramo da hipérbole.
Apolónio foi o autor que mais contribuiu para o estudo das cónicas. Ele escreveu
oito livros, dos quais os quatro primeiros apresentam resultados de outros matemáticos
anteriores e os quatro últimos apresentam resultados desenvolvidos por ele mesmo.
Apolónio é o primeiro a unificar as secções cónicas e afirmar que elas poderiam ser obtidas
a partir de um único cone. Ele também duplicou o cone e dai a hipérbole passa a ter duas
folhas (QUARANTA, 2008).
Segundo Bordallo (2011), Pappus fez um comentário sobre todos os matemáticos
gregos de seu tempo em sua obra ``colecção matemática´´. Ele contribuiu para o estudo das
cónicas com seus resultados sobre foco, diretriz e excentricidade. E de acordo com a
variação da execentridade ele define cada curva.
8

9. Boyer (2010,p.101) afirma as cónicas eram conhecidas como ``lugares sólidos´´,
pois as cónicas não eram definidas como secções planas, mas secções de figuras
tridimensionais. Apolónio usava o cone para obter as cónicas, mas o dispensou logo que
possível. A partir do cone ele desenvolveu uma propriedade plana fundamental
(symptome) para a secções e a partir daí iniciou um estudo somente no plano, baseado
nessa propriedade.
Ainda para Boyer (2010), Apolónio provou que quando um ramo de uma hipérbole
intersecta os dois ramos de outra hipérbole, o outro ramo da primeira hipérbole não
intersectara nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, também se uma hipérbole
encontra uma segunda hipérbole com sua concavidade em sentido oposto em um único
ponto, o outro ramo da primeira não encontrara o outro ramo da segunda.
De acordo com Venture (1949,p. 20),Kepler foi fortemente influenciado pelo livro
``as cónicas´´ de Apolónio. Em 1609 ele mostra uma fundamental lei da astronomia: os
planetas descrevem órbitas elípticas em torno do sol, com o sol ocupando um dos focos.
Kepler também introduziu a palavra foco, que vem do latim focos que galileu (1632)
desprezando a resistência do ar diz que a trajectória de um projéctil é uma parábola.
Para Quaranta (2008), Kepler (1571-1630) também apresenta as cónicas de forma
unificada usando a hipérbole para medições do fenómeno de reflexão. Ele também mostra
pela primeira vez a parábola ele utiliza a mesma distância dos pontos ate o foco e ate a
diretriz. Ele também afirma que a parábola tem o segundo foco no infinito, que ate então
não era utilizado na geometria.
A.1. A parábola
É muito importante para aprendizagem dos alunos a demonstração da fórmula da
parábola e não somente apresentá-la de forma pronta. Obviamente, Lehmann (1996) traz a
seguinte definição para um lugar geométrico.
Lenmann (1996) ressalta ainda que importante é que se as coordenadas de um
ponto satisfazem uma equação, esse ponto pertence ao gráfico dessa equação e
reciprocamente, se um ponto está sobre o gráfico de uma equação suas coordenadas
satisfazem a equação. Isto é, evidentemente, o enunciado de uma condição necessária e
suficiente. Como as coordenadas dos pontos de um lugar geométrico estão restringidos por
sua equação tais pontos estão localizados, em geral, em posição tais que, tomadas em
conjunto, formem um traço definido chamado curva, gráfico ou lugar geométrico.
De acordo com CBC (CARNEIRO,2007), demonstrar factos geométricos é um
instrumento formativo muito importante no processo de ensino-aprendizagem. Portanto, a
habilidade de argumentar usando a linguagem matemática na demonstração dos factos só
se adquire praticando com bastante paciência e que pode ser conquistada por todos os
alunos.
9

10. Para Quaranta et Al.(20079, o ensino das cónicas ficou restrito ao Ensino médio,
apesar de ter uma importância histórica. Sendo abordado de forma analítica e trabalhado
somente com manipulação e memorização de fórmulas, levando os alunos e até os
professores a não quererem trabalhar com as cónicas. Assim, não é fácil transmitir esses
conhecimentos e sua importância.
Lehmann 1996) afirma que a equação da parábola é deduzida a partir de sua
definição como lugar geométrico de um ponto que se move de acordo com uma lei
específica.
A.2. Elipse
Apolônio de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de
uma família de curvas denominadas de cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde
os quatro primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das
cônicas. Os volumes 5 a 7, bastante originais, Apolônio discute normais às cônicas
mostrando quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Além disso, deu
proposições que determinavam o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à
equação cartesiana. Desenvolveu o hemicyclium (um relógio de sol, que tinha as linhas das
horas desenhadas na superfície de uma secção cônica, obtendo grande precisão). Apolônio
de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de
curvas denominadas de cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde os quatro
primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das cônicas.
Os volumes 5 a 7, bastante originais, Apolônio discute normais às cônicas mostrando
quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Além disso, deu proposições que
determinavam o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à equação cartesiana.
Desenvolveu o hemicyclium (um relógio de sol, que tinha as linhas das horas desenhadas
na superfície de uma secção cônica, obtendo grande precisão).
Os primeiros modelos de que há registro consideravam que as órbitas planetárias
eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler, chegando à
discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrônomo dinamarquês
Tycho Brahe, em que se apoiou.
Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram
elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é
uma elipse.
A partir daí as cônicas, objetos até então exclusivamente matemáticos, revelaram a
sua estreita ligação com a Natureza, em particular com as trajetórias dos planetas no
Sistema Solar. Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em
1680) Isaac Newton a formular a sua lei da gravitação universal.
Apolônio de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de uma
família de curvas denominadas de — cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde os
quatro primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das
cônicas.
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11. Os primeiros modelos de que há registro consideravam que as órbitas
planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler,
chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrônomo
dinamarquês Tycho Brahe, em que se apoiou.
Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram
elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é
uma elipse.
A partir daí as cônicas, objetos até então exclusivamente matemáticos, revelaram a sua
estreita ligação com a Natureza, em particular com as trajetórias dos planetas no Sistema
Solar. Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680)
Isaac Newton a formular a sua lei da gravitação universal.
I.1.Noção de Curvas do 2º grau: As Cónicas
I.1.1.Equação Geral das Cónicas
Fermat mostrou que xy = k2
é uma hipérbole, que a2
± x2
= by é uma parábola, que
x2
+ y2
+ 2ax + 2by = c2
é um círculo, que a2
- x2
= ky2
é uma elipse e que a2
+ x2
= ky2
é
uma hipérbole.
Das suas investigações Descartes derivou que as curvas do plano são representadas
por equações de segundo grau assim expressa:
f( x,y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0 ( 1 ) ou
f( x,y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) . Sem expressar as formas
canônicas, «ele indicou condições sobre os coeficientes sob as quais a cónica é uma recta,
uma parábola, uma elipse, ou uma hipérbole﴾ …﴿»
(BOYER, 1992, p.251).
Elegendo-se um sistema conveniente de coordenadas cartesianas o Aleksandrov
(1994) faz a exposição das formas canônicas que podem ser derivadas da equação
f( x,y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 ou
f( x,y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0 .
11

12. Ela contém seis coeficientes que são A, B, C, D, E e F. Como um ao menos é diferente de
zero, pode se dividir os dois membros da equação para este coeficiente: assim, temos cinco
parâmetros realmente independentes. Uma cónica é então determinada por cinco condições
tais que elas permitem de calcular os cinco parâmetros.
Uma condição é dita simples, dupla, triplo,...seguindo que ela permite de calcular um, dois,
três,...parâmetros da equação da cónica .
Se uma equação contém ainda um, dois,…parâmetros indeterminados, ela representa uma
família contendo uma infinidade simples, duplo,…das cónicas.
1.1.1.1.Obtenção da Equação geral das Cónicas
Sejam (r1) e (r2) duas rectas distintas, tem-se:
(r1) A1x + B1y + C1 = 0 (2) e (r2) A2x + B2y + C2 = 0 (3) , as duas versões utilizam-se
nos países lusófonos
Mas:
(r1) A1y + B1x + C1 = 0 (2´) e (r2) A2y + B2x + C2 = 0 ( 3´), utilizam-se muito nos
países francófonos e anglófonos.
Consideramos as duas rectas r1 e r2 .
Vamos multiplicar também as mesmas, tem-se:
r1. r2 (A1x + B1y + C1)( A2x + B2y + C2 ) = 0
r1. r2 A1x . A2x + A1B2x y + A1C2x + A2B1xy + B1y. B2y + B1C2y + A2 C1x+ B2C1y+ C1.
C2= 0
r1. r2 A1A2x2
+ (A1B2 + A2B1 ) xy + B1B2y2
+ (A1C2 + A2 C1 ) x + (B1C2+ B2C1) y + C1.
C2 = 0
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13. Vamos agrupar os monómios semelhantes.
Assim, obtemos a equação global de duas rectas:
r1. r2 A1A2x2
+ (A1B2 + A2B1 ) xy + B1B2y2
+ (A1C2 + A2 C1 ) x + (B1C2+ B2C1) y + C1.
C2 = 0 (4)
Suponhamos:
 A1A2= A
 A1B2 + A2B1 = 2B
 B1B2 = C
 A1C2 + A2 C1 = 2D
 B1C2+ B2C1 = 2E
 C1. C2 = F
Vamos substituir as expressões supostas na equação global de duas rectas, tem-se:
r1. r2 Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2E y + F = 0
Assim, a equação obtida depois da suposição dos termos forma uma curva do
segundo grau em x e y e obtemos:
f( x,y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 (5), é uma versão que se utiliza
muito nos países lusófonos.
Também podemos consideramos as duas rectas r1 e r2 , distintas.
Vamos multiplicar também as mesmas, tem-se:
r1. r2 ( A1y + B1x + C1)(A2y + B2x + C2) = 0
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14. r1. r2 ( A1 A2)y2
+( A1 B2)xy + (A1C2)y +( A2 B1)xy + (B1 B2) x2
+( B1 C2)x + (A2 C1)y + (
B2 C1)x + C1 C2 = 0
Vamos agrupar os monómios semelhantes.
Assim, obtemos a equação global de duas rectas:
r1. r2 ( A1 A2)y2
+( A1 B2 + A2 B1)xy + (B1 B2) x2
+ (A1C2 + A2 C1)y +( B1 C2 + B2 C1)x +
C1 C2 = 0
Suponhamos :
 A1A2= A
 A1B2 + A2B1 = 2B
 B1B2 = C
 A1C2 + A2 C1 = 2D
 B1C2+ B2C1 = 2E
 C1. C2 = F
Vamos substituir as expressões supostas na equação global de duas rectas, tem-se:
r1. r2 Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F= 0 (4)
Assim, a equação obtida depois da suposição dos termos forma uma curva do
segundo grau em x e y e obtemos:
f( x,y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0 ( 5´ ), é uma versão que se
utiliza muito nos países francófonos e anglófonos.
f( x, y ,z) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D yz + 2E xz + Fz2
= 0 (6) , é uma equação da
cónica homogénea
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15. Os pontos a infinito são: ( 1,m, 0)
• Equação às direcções assintóticas onde A,B e C são tirados a partir da
equação geral da cónica, tem-se:
Am2
+ 2Bm + C = 0 (7)
• Natureza da Cónica
A natureza de uma cónica é determinada a partir do binómio característico anota-
se ∆ ou δ.
A expressão ∆ ou δ calcula-se a partir da equação geral da cónica às suas direcções
assintóticas, obtemos:
Am2
+ 2Bm + C = 0
∆ = δ = (2B)2
- 4 AC
∆ = δ = 4B2
- 4 AC
Factorizando a expressão por 4, tem-se:
∆ = δ = 4( B⇔ 2
- AC )
∆ = δ = B⇔ 2
- AC ( 8), é chamado binómio característico da equação da cónica.
( C ) Forma da equação geral da cónica utilizada nos Países Lusófonos
• f( x,y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 (5) ( uma equação do
segundo grau com as variáveis x e y ), é uma equação da cónica ou de uma
cónica degenerada Uma equação degenerada em que a sua natureza pode
ser uma recta, circunferência , ponto, cónica, etc…..
• Tendo a equação f( x, y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 (5), a
sua natureza é determinada pela fórmula (8) .
∆ = δ = B2
- AC ( 8 )
15

16. • Condições necessárias
Se ∆ = δ > 0 : a cónica é uma hipérbole
Se ∆ = δ < 0 : a cónica é uma elipse
Se ∆ = δ = 0 : a cónica é uma parábola
• Se B = 0, a cónica tem eixos de simetria paralelos aos eixos
coordenados.
• Tomando a forma da equação geral da cónica chamada forma
universal ou francófona, tem-se:
f( x, y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0 ( 5´ ).
A determinação do binómio característico não fogem a da forma lusófona
que é :
∆ = δ = B2
- AC ( 8 )
Se ∆ = δ > 0 ⇔ B2
- AC > 0 (9)
A cónica é uma hipérbole e admite duas assíntotas reais (m1 ≠ m2) a partir
das equações às direcções assintóticas.
Se ∆ = δ <0 ⇔ B2
- AC <0 (10)
A cónica é uma elipse e possui duas assíntotas imaginárias. Não m real.
Se ∆ = δ = 0 ⇔ B2
- AC = 0 (11)
A cónica é uma parábola e admite duas assíntotas reais ( m1 = m2) a partir
das equações às direcções assintóticas.
1. Observações
16

17. A equação da cónica f( x, y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0, representa
também:
(1) Duas rectas sse:
A B D
B C E
= 0
D E F
É um determinante de Hesse
(2) Um Círculo sse A = C e B = A Cos⍬
I.1.1.2.Exemplo numéricos
Determine a natureza das seguintes cónicas:
(a) f( x, y ) ≡ 9y2
- 16x2
- 144y + 224x - 352 = 0
(b) f( x, y ) ≡ 017682
=++− yxy
(c) f( x, y ) ≡ 03624844 22
=+−+−+ yxxyyx
(d) f( x, y ) ≡ 6y2
- 6x2
- 36y + 24x - 54 = 0
Resolução
(a) f( x, y ) ≡ 9y2
- 16x2
- 144y + 224x - 352 = 0
1º Passo : Determinar os coeficientes que envolvem a cónica
17

18. A = 9 B = 0 C = -16 D = - 72 E = 112 F = -352
2º Passo : determinar o binomio característico
∆ = B2
– AC ⇔ ∆ = 02
– 9( -16) ⇔ ∆ = 0 + 144 ⇔ ∆ = 144
Logo , concluimos que ∆ = 144 > 0 , é uma hipérbole
(b) f( x, y ) ≡ 017682
=++− yxy
1º Passo : Determinar os coeficientes que envolvem a cónica
A = 1 B = 0 C = 0 D = 3 E = - 4 F = 17
2º Passo : determinar o binomio característico
∆ = B2
– AC ⇔ ∆ = 02
– 1( 0) ⇔ ∆ = 0 – 0 ⇔ ∆ = 0
Logo , concluimos que ∆ = 0 , é uma parábola
(c) f( x, y ) ≡ 036248445 22
=+−+−+ yxxyyx
1º Passo : Determinar os coeficientes que envolvem a cónica
A = 4 B = -2 C = 5 D = - 12 E = 4 F = 36
2º Passo : determinar o binomio característico
∆ = B2
– AC ⇔ ∆ = (-2)2
– 4( 5) ⇔ ∆ = 4 - 20 ⇔ ∆ = -16
Logo , concluimos que ∆ = -16 < 0 , é uma elipse
(d) f( x, y ) ≡ 6y2
+ 6x2
- 36y + 24x - 54 = 0
1º Passo : Determinar os coeficientes que envolvem a cónica
A = 6 B = 0 C = 6 D = -18 E = 12 F = -54
Mas constatamos que A = C= 6 e vamos normalizar a equação dividindo-a por 6, tem-se:
f( x, y ) ≡ y2
+ x2
- 6y + 4x - 9 = 0 , representa um círculo de centro C ( 3, -2 ).
I.2. Definição das Curvas do 2º grau: as cónicas
18

19. Todavia o conceituado docente e matemático grego apolónio de Perga fez
referência as propriedades fundamentais das cónicas com bastante ênfase e amplitude, em
sua obra, se comparado às publicações da época. Isso pode ser claramente constatado em
sua primeira publicação que aborda a teoria dos diâmetros conjugados, que segundo Boyer
(1989, p.108), «Apolónio mostrou que os pontos médios de um conjunto de cordas
paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formarão um segundo diâmetro, os
dois sendo chamados diâmetros conjugados».
Portanto, as cónicas se construíram as maiores descobertas matemáticas de todos os
tempos, estudadas pelos maiores matemáticos da antiguidade estão presentes em quase
tudo na vida actual desde a arquitectura, monumentos, estradas e outros se fazem presente
às secções cónicas (Parábola, elipse e hipérbole).
Portanto, tem-se que vários pesquisadores abordaram as secções cónicas no
decorrer das épocas, para que estas servissem de base para evolução dos conceitos e
demonstrações da actualidade.
Denomina-se cónica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as
distâncias a um ponto fixo F e a uma recta fixa d ou r é igual a uma constante não negativa
e. O ponto fixo é chamado de foco, a recta fixa de directriz e a razão constante de
excentricidade da cónica. Quando e = 1 a cónica é chamada de parábola, quando 0 < e < 1
de elipse e quando e > 1 de hipérbole.
Adoptando um sistema cartesiano de coordenadas rectangulares podemos supor:
• foco: ponto ;
• directriz: recta ;
• excentricidade: constante
19

20. Figura 1
De acordo com a definição, um ponto pertence à cónica .
Desenvolvendo os produtos notáveis e ordenando as potências de acordo com as potências
das variáveis e temos uma igualdade da forma:
f( x,y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0 ( 5´ )
que é a forma geral da equação cartesiana geral das cónicas. Os vários valores que as
constantes A, B, C, D, E e F podem assumir fornecem: pontos, rectas, círculos, parábolas,
elipses e hipérboles.
Este capítulo tem por objectivo a classificação e a dedução das cónicas sendo assim, em
geometria, cónicas são as curvas geradas ou encontradas na intersecção de um plano que
atravessa um cone, ou melhor, um lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão
entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma recta fixa d ou r é igual a uma constante não
negativa C. as cónicas de apolónio foram caracterizadas por suas propriedades focais
(lugares geométricos), que dependendo do corte classificam – se em Parábolas, Elipses e
Hipérboles.
Euler (1707-1783) desenvolveu com detalhes o teorema sobre a possibilidade de
reduzir toda a equação de segundo grau a uma das formas canônicas
(ALEKSANDROV,1994)
20

21. CAPÍTULO II. TRATAMENTO METODOLÓGICO PARA O
ESTUDO PARTICULAR DA ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA.
2.1. Tratamento Metodológico para o estudo particular das cónicas
2.1.1. Tratamento Metodológico para o estudo particular da Elipse
2.1.1.1.Definição
(a) Uma elipse é um lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias desses
pontos a dois pontos fixos chamados focos é igual a uma constante K= 2c.
(b) Uma elipse,Ε, de focos F1 e F2, é o conjunto do ponto que consiste de todos os
pontos P cuja soma das distâncias a F
1
e F2 é igual a uma constante 2a > 0, maior do
que a distância entre os focos 2c ≥ 0. Ou seja:
21

22. E ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a (12)
0 ≤ c < a : d(F1, F2 ) = 2c
(c) Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2c um número
real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos
do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual
a 2c.
Elementos principais da Elipse
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
• Figura 2. Elipse
• Focos: os pontos F1 e F2
• Centro: o ponto O, que é o ponto médio de
• Semi-eixos maior: a
• Semi-eixos menores: b
• Semi-distância focal: c
• Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
• Eixo maior:
• Eixo menor:
• Distância focal:
Lactus Rectum: corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos, isto é ;
=
22

23. Relação fundamental
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em
O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2
= b2
+ c2
2.1.1.1.1.Elipse e a Recta
Como dissemos na definição, os pontos F1 e F2 são os focos da elipse.
A recta r ou l que contém os focos é a recta focal.
F1 F2 r ou l
A intersecção da elipse com a recta r ou l consiste de exactamente dois pontos, A1 e A2,
chamados vértices da elipse sobre a recta focal.
2.1.1.1.2.Elipse com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos ox e oy
2.1.1.1.2.1.Elipse com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos ox
Como o centro O´= ( xo , yo ) pertence à recta focal , temos que ( r) y = yo é a equação
cartesiana da recta focal.
Além disso, como d (F1 , O´ ) = d (F2 , O´) = c , onde F1 e F2 são os focos da elipse ,
temos que F1= ( xo – O´, yo ) e F2= ( xo + O´, yo ).
Seja P = ( x´ + xo , y´ + yo ) um ponto pertencente à elipse , onde x ,y são suas coordenadas
no sistema O´ X´Y´, obtido transladando o sistema CXY para a origem O´ = ( xo , yo ).
Então, P pertence à elipse se , e somente se,
d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a
⇔ d ( ( x´ + xo , y´ + yo ) , ( xo - c, yo ) ) + d ( ( x´ + xo , y´ + yo ) , ( xo + c, yo ) ) = 2 a
23

24. ⇔ d ( ( x´ , y´ ) , ( -c, 0 )) + d ( ( x´ , y´ ) , ( c, 0 )) = 2a
+ ⇔ +
Logo , a forma cánica da equação da elipse com centro no ponto ( xo , yo ) e eixo focal
paralelo ao OX é :
+ , onde b2
= a2
- c2
(13)
Os focos são F1 ( xo - c, yo ) , F2 ( xo + c, yo ); a recta focal é :
( r) - e ( r) +
• Figura 2.1- Elipse
2.1.1.1.2.2.Elipse com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos oy
Procedendo de maneira análoga ao caso anterior , pode-se verificar que a forma canónica
da equação da elipse com centro no ponto ( xo , yo ) e eixo focal paralelo ao eixo OY é :
24

25. + , onde b2
= a2
- c2
(13´)
Neste caso , os focos são F1 ( xo , yo - c ) , F2 ( xo , yo + c ) ; a recta focal é
( r) - e ( r) +
• Figura 2.2 - Elipse
2.1.1.1.3.Direcção de uma Elipse
Considera a elipse E de centro na origem do sistema Oxy e focos em F1 ( c,0) e F2 ( -c,0).
Portanto, a equação que representa o lugar geométrico dos seus pontos é :
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
25

26. (14)
Sendo assim, as equações das directrizes �1 e �2 de hipérbole são da forma x = � e
x = -�, respectivamente.
Ora � = a/e , então: x = a/e e x = - a/e
2.1.1.1.4.Excentricidade
Chamamos de excentricidade (e ) da elipse éa razão entre os comprimento do segmento
F1F2 e do segmento A1A2. Neste caso, temos:
e = c/a < 1.
2.1.1.2.Equação Cartesiana
Ilustrações
26

27. • Figura 2.3 . Elipse Figura 2.4. Elipse
Seja E uma elipse , F1 e F2 ou ainda F e F´ seus focos . Escolhemos os eixos das
coordenadas de tal maneira que :
 O eixo dos x passa por F1 e F2 .
 O eixo dos y seja a mediatriz do segmento .
O segmento .
Temos o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2 de
medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.
Chamamos 2c ou 2k , a distância dos focos : = 2c
Neste caso, vamos fazer uma demonstração resultante das coordenadas dos F1 e F2 são
respectivamente ( -c , 0 ) e ( c, 0) ,isto é , um ponto P( x,y) está na elipse se a soma das
distâncias de P a F1 e F2 for constante.
Seja P(x,y) é um ponto da elipse.
Por definição
Temos : d( P, F1) + d( P, F2 ) =k, onde k é uma constante qualquer que chamamos de 2c,
tem-se:
d( P, F1) + d( P, F2 ) =2a
( = 2a , usando a fórmula da distancia entre dois pontos, escrevemos:
⇔ a>0
⇔
27

28. Vamos aplicar o método de resolução de uma equação irracional simples , transferindo um
dos sinais radical no 2º membro e eleva-se os dois membro ao quadrado.
⇔
⇔
⇔ = 4 +
⇔ = 4 +
⇔ =4 -4cx
⇔ =4 -cx)
⇔ = -cx
Como o sinal radical está persistindo vamos continuar a elevar os dois membro ao
quadrado.
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ = ( )
28

29. Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima, obtém-se a relação :
= ( )
Como no triângulo F1F2P, tem-se :
(uma desigualdade triangular)
⇒ 2a > 2c
⇒ a > c
⇒
⇒
Logo existe um número real b>0 ,tal que
Suponhamos , a equação
obtida torna-se:
⇔ = ( )
⇔ =
Dividindo ambos membro pela expressão , tem-se:
⇔ + =
29

30. ⇔
(14)
É a equação reduzida da elipse
(a) Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
Figura 2.5. Elipse
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ (14)
(b) Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y:
30
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+

31. Figura 2.6. Elipse
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+ (14´ )
Exemplo numérico
1- Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior
medindo 12 e eixo menor 8.
Solução:
Temos que
2a=12 →a = 6
2b = 8 → b = 4
Assim,
2-Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o
eixo menor mede 8.
Solução:
Temos que
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a2
= b2
+c2
, obtemos:
a2
= 42
+32
→ a2
= 16 + 9 → a2
= 25 → a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será:
31

32. II.1.1.3. Forma da Curva
(a) Se o centro é ( 0,0) e o eixo focal é 0y então :
 Sua equação é: ,onde a b˂
 Os focos são F´( 0, -c) e F(0, c) ou F2( 0, -c) e F1(0, c)
 As directrizes associadas a F´ e F têm por equações: y + = 0 e y - = 0
(b) Se a elipse tem por centro ( e eixo focal paralela ao eixo 0x, então :
 Sua equação é : = 1
 Os focos são : F´( α-c,�) e F(α+c, �) ou F2(α-c,�) e F1(α+c, �)
 As directrizes associadas a F´ e F têm por equações respectivas:
X=α- e x =α+
32

33. (c) Se a elipse tem por centro ( α,�) e eixo focal paralela ao eixo 0y , então :
 Sua equação é : : = 1
 Os focos são : F´( α,c-�) e F(α, c+�) ou F2(α, c-�) e F1(α, c+�)
 As directrizes associadas a F´ e F têm por equações respectivas:
y=�- e y =�+
(d) Se a=b , então a equação da elipse torna-se como aquela da circunferência
2.1.2. Tratamento Metodológico para o estudo particular da Hipérbole
2.1.2.1.Definição
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real
menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do
33

34. plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre
igual a 2a.
Elementos da Hipérbole
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c entre os focos,
• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices: são os pontos A1 e A2,
• Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,
• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,
• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1.
• Lactus Rectum: corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos,
isto é ; =
2.1.2.1.1.Hiperbole e a Recta
Para todo ponto P do plano, temos que:
│ d(P, F1 ) – d (P, F2 ) │≤ d (F1 , F2 )
E a igualdade ocorre se e somente se, P pertence à semi-recta de origem F1 que não contém
F2, ou à semi-recta de origem F2 que não contém F1. Em particular, como 2a <2c, nenhum
ponto sobre essas semi-rectas pertence à hipérbole.
2.1.2.1. 2.Hiperbole com Centro C de Coordenada (xo ,yo) e com eixos paralelos ox e
oy
2.1.2.1. 2.1. Hiperbole com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos ox
Como o centro O´ =( xo ,yo ) pertence à recta focal , temos que (r)≡ y= yo é a equação
cartesiana da recta focal .
34

35. Além disso,como: d ( F1 , O´) = d( F2 , O´) = c,
Onde F1 eF2 são os focos da elipse , temos que F1 = ( xo –c, yo ) e F2 = ( xo + c, yo ).
Seja P = ( x´+ xo , y´+ yo ) um ponto pertencente à hipérbole , onde X= x´+ xo , y = y´+ yo,
São as coordenadas no sistema OXY e x´,y´ são as suas coordenadas no sistema O´X´Y´,
obtido transladando OXY para a origem O´ =( xo ,yo ).
Então , P pertence à hipérbole se, e somente se.
⇔
⇔
⇔ – ⇔ –
Logo, a forma canônica da equação da hipérbole com centro no ponto ( xo ,yo ) e a recta
focal paralela ao eixo OX é
– ( 15 )
Ilustração
Y y´
35

36. B2
F1
F
2
Yo X´
B1
X
O Xo
Figura 2. Hipérbole
Onde b2
= c2
– a2
Os focus são F1 = ( xo –c, yo ) e F2 = ( xo + c, yo ) , a recta focal é (r )≡ y = yo, os vértices
são A1 = ( xo –a, yo ) e A2 = ( xo + a, yo ) ; recta não focal é (r )≡ x = xo,; os vértices
imaginários são B1 = ( xo , yo – b) e B2 = ( xo , yo + b), e as assimptotas são as rectas
b( x- xo) – a(y – yo ) = 0 e b( x- xo) + a(y – yo ) = 0
2.1.2.1. 2.1. Hipérbole com Centro C de Coordenada (xo,yo) e com eixos paralelos oy
Procedendo como no caso anterior , se verifica que a forma canônica da equação da
hipérbole com centro no ponto ( xo , yo ) e recta focal paralela ao eixo Oy é :
– (16)
Onde b2
= c2
– a2
Neste caso , os focos são F1 = ( x0 ,y0 – c ) e F2 = ( x0 ,y0 + c ); a recta focal ( r )≡ x = x0.
A1 = ( x0 ,y0 - a ) e A2 = ( x0 ,y0 + a ) são os vértices , a recta não focal é : ( r ) ≡ y = y0 ;
36

37. B1 = ( xo –b , yo ) e B2 = ( xo +b , yo ) são os vértices imaginários , e as assíntotas são as
rectas
a( x- xo) + b(y – yo ) = 0 e b( x- xo) -b(y – yo ) = 0.
Ilustração:
Y y´
F2
A2
Yo X´
A1
F
1
X
O Xo
Figura 3.1.Hipérbole
2.1.2.1.3. Direcção de uma Hipérbole
Considera a hipérbole H de centro na origem do sistema Oxy e focos em F1 ( c,0) e F2 (
-c,0). Portanto, a equação que representa o lugar geométrico dos seus pontos é :
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
(17 )
Sendo assim, as equações das directrizes �1 e �2 de hipérbole são da forma x = � e
37

38. x = -�, respectivamente.
Ora � = a/e , então: x = a/e e x = - a/e
2.1.2.1.4. Excentricidade
Uma excentricidade ℮ da hipérbole é a razão entre os comprimentos dos segmentos F1 F2 e
A1 A2.
Neste caso, temos:
℮= c/a > 1
Exemplo numérico
Determine a excentricidade da hipérbole cujos comprimentos dos eixos transversos e
conjugados são iguais a 4 e 6 respectivamente.
Solução:
Temos que :
2a = 4 ⇒ a = 2
38

39. 2b = 6 ⇒ b = 3
Tendo a relação c2
= a2
+ b2
, tem-se :
c2
= 22
+ 32
⇒ c2
= 4 + 9 ⇒ c2
= 13 ⇒ C = ⇒ C =
Ora : e = c/a ⇒ e = /2
2.1.2.1.5. Equação Cartesiana
Figura 3.2.Hipérbole Figura 3.3.Hipérbole
39

40. Figura 3.4.Hipérbole
Seja H uma hipérbole ,F1 e F2 seus focos .
Escolhemos os eixos das coordenadas de tal maneira que :
 o eixo dos x passe por F1 e F2.
 o eixo dos y seja a mediatriz do segmento .
Suponhamos =2c, a distância dos focos.
Neste caso, vamos fazer uma demonstração resultante das coordenadas dos F2 e F1 que são
respectivamente ( -c , 0 ) e ( c, 0) e tomando um ponto P( x,y) da hipérbole.
Seja P(x,y) é um ponto da hipérbole.
Por definição
Temos : d( P, F2) - d( P, F1 ) =k, onde k é uma constante qualquer que chamamos de 2c,
tem-se:
d( P, F2) - d( P, F1 ) =2a
= ( a> 0 )
usando a fórmula da distancia entre dois pontos, escrevemos:
40

41. ⇔
⇔
Vamos aplicar o método de resolução de uma equação irracional simples, transferindo um
dos sinais radical no 2º membro e eleva-se os dois membro ao quadrado.
⇔ =
⇔ = 4 4a +
⇔ = 4 4a +
⇔ = 4 - -
⇔ = 4 -
⇔ 4 = 4 ( + )
⇔ = +
Como o sinal radical está persistindo vamos continuar a elevar os dois membro ao
quadrado.
⇔ =
⇔ =
41

42. ⇔
⇔ =
⇔
Pondo a variável no primeiro membro e a expressão , tem-se:
⇔ + =
Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima, obtém-se a relação :
⇔ + =
A expressão , é uma desigualdade triangular.
Neste triângulo MF1F2, (2a onde (a
⇔
Ora c > a
Então
ou ainda
Ilustração
42

43. Logo existe um número real b>0 ,tal que ou aplicando o teorema de
Pitágoras , tem-se:
C2
= a2
+ b2
Suponhamos , a equação obtida torna-se:
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + =
Dividimos os dois membros por
⇔ + =
⇔ (17 ) É a equação reduzida da hipérbole
Ou ainda multiplicando a expressão: + = ,em ambos
membros por (-1) , tem-se:
⇔ + = / (-1)
⇔ - =
Logo existe um número real b>0 ,tal que
43

44. Suponhamos , a equação obtida torna-se:
⇔ - =
⇔ - =
Dividindo ambos membro pela expressão , tem-se:
⇔ -
⇔ É a equação reduzida da hipérbole
(a) Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos
x:
Figura 3.5.Hipérbole
A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é
44

45. 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
b) Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos
y:
Figura 3.6.Hipérbole
A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é:
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=−
( 17´ )
Exemplo numérico
1-Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).
Solução: Temos que
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5
Da relação notável, obtemos:
c2
= a2
+ b2 →
52
= 32
+ b2
→ b2
=25 – 9 → b2
= 16 → b = 4
45

46. Assim, a equação reduzida será dada por:
2- Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0,
10) e eixo imaginário medindo 12.
Solução: Temos que
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Utilizando a relação notável, obtemos:
102
= a2
+ 62
→ 100 = a2
+ 36 → a2
= 100 – 36 → a2
= 64 → a = 8.
Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:
2.1.2.1.6. Equação das Assimptotas
II.1.2.1.6. 1.Definição
São as rectas da forma x
a
b
y ±= , chamadas assimptotas da hipérbole.
Figura 4. Parábola
46

47. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se
afastam dos focos.
Cada hipérbole tem duas rectas determinadas assimptóticas que se interceptam no centro
da curva .
2.1.3. Forma da Curva
(a) Se o centro é ( 0,0) e o eixo focal é Oy então :
 Sua equação é: 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− ( com b2
= c2
– a2
)
 Os focos são F´( 0, -c) e F(0, c) ou F2( 0, -c) e F1(0, c)
 As directrizes associadas a F´ e F têm por equações: y + = 0 e y - = 0 ,
que podem se escrever : y =
c
a2
e y = -
c
a2
 As assíntotas têm por equação : y = x
b
a
e y = - x
b
a
(b) Se a hipérbole tem como centro ( e eixo focal paralela ao eixo 0x,
então :
 Sua equação é :
 Os focos são : F´( α-c,�) e F(α+c, �) ou F2(α-c,�) e F1(α+c, �)
 As directrizes associadas a F´ e F têm por equações respectivas:
47

48. y = � - e y= � +
 As assíntotas tem por equações : y - � = )( α−x
b
a
e y - � = - )( α−x
b
a
(c) Se a hipérbole tem por centro ( α,�) e eixo focal paralela ao eixo 0y , então :
 Sua equação é :
 Os focos são : F´( α, �-c) e F(α, �+c) ou F2( α, �-c) e F1(α, �+c)
 As directrizes associadas a F´ e F têm por equações respectivas:
y = �-
c
a2
e y = � +
c
a2
 As assíntotas tem por equações :
48

49. y - � = )( α−x
b
a
e y - � = - )( α−x
b
a
(d) A hipérbole equilátero é : x2
– y2
= a2
2.1.3. Tratamento Metodológico para o estudo particular da parábola
2.1.1.1.Definição
A parábola (do grego: παραβολή) é uma sessão cónica gerada pela intersecção de uma
superfície cónica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone
(chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos
pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma repta dada
(chamada de directriz). É uma curva plana.
(a) Uma parábola é um lugar geométrico dos pontos do plano situado a igual distância
de um ponto fixo e de uma recta fixa.
(b) Uma parábola é um lugar geométrico dos pontos do plano tal que as distâncias de
um qualquer desses pontos a uma recta fixa, chamada directriz e a um ponto fixo
chamado foco sejam iguais.
Elementos principais da Paráola
• Focos ( F) : ponto fixo
• Recta directriz ( d ou r ) : recta fixa
• Eixo focal ( e.f) : recta perpendicular à recta directriz passando pelo foco
• Vértice ( V ) : intersecção do eixo focal com a parábola ( ponto médio entre F e d )
• Corda : segmento de recta ligando um ponto da parábola com o foco
49

50. • Corda focal: corda que passa pelo foco
• Lactus rectum : corda focal perpendicular ao eixo focal, isto é , = 4 p
2.1.1.2.Equação Cartesiana
Figura 4.1. Parábola
Seja dada uma parábola de recta r e foco F . Escolhemos o eixo y perpendicular à directriz
e contendo o foco. A origem é tomada como o ponto médio sobre o eixo dos y entre o foco
e a directriz . Observa-se que os eixos ( não a parábola ) estão sendo escolhidos de uma
maneira particular.
Neste sistema de coordenadas o foco é (F,p) , e a directriz é a recta horizontal de equação
y = -p. Um ponto P (x, y) está se e somente se P for equidistante de F e da directriz.
Resulta-se que a coordenada do foco é ( , 0 ) e a equação da directriz é x = -
Dando a F , as coordenadas ( , 0 ) e à A, as coordenadas (- , 0 ) e considera-se p > 0 .
P é um ponto qualquer do lugar geométrico , no qual vamos dar as coordenadas ( x, y).
Traçamos PV perpendicular à (r) e PF.
50

51. Por definição , = ⇔
Elevando ao quadrado ambos membros e reduzindo os termos semelhantes, a equação
torna-se:
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
( 18)
2p chama-se o parâmetro da parábola e permite sua abertura
Exemplo numérico
Dada a parábola de equação 2
8y x= − pedem-se
a) As coordenadas do foco
b) O gráfico
RESOLUÇÃO:
51

52. a) Sendo x o eixo de simetria, então ,0
2
P
F
 
=  ÷
 
e a equação reduzida: 2
2y px= então
2 8 4 2
2
p
p p= − ⇒ = − ⇒ = − sendo o foco ( )2,0F = − .
b)
Figura 4.3.Parábola
2.1.1.3.Forma da Curva
(a) Se o eixo focal é Oy e o vértice ( 0,0 ) , então a equação da parábola é :
X2
= 2py ou X2
= - 2py
 O foco é F ( 0 , p/2 ) ou F ( 0 ,- p/2 )
 As directrizes tem por equações y = -p/2 ou y = p/2
(b) Se o vértice é V( � ,� ) e o eixo focal paralelo a Ox então:
b.1. A equação da parábola é:
( y- � )
2
= 2p( x- � ) (i)
52
Equação da diretriz:
: 2 0d x − =

53.  O foco é F (� + p/2 , � )
 As directrizes tem por equações y = � -p/2
b.2. A equação da parábola é :
( y- � )
2
= -2p( x- � ) (ii)
 O foco é F (� - p/2 , � )
 As directrizes têm por equações y = � + p/2
Logo, a expressão (i) e (ii) podem-se escrever:
53

54. y2
+ Ay + Bx + F = 0
2.2. Estudo detalhado das cónicas
Considerar o determinante de Hesse da curva do seguinte grau.
- A∆, isto é,
= -A∆
ANÁLISE DOS CASOS
Primeiro Caso : A ≠ 0
II.2.1. O Estudo detalhado da Elipse
(1) Para δ < 0
(1.1) Se ─ A ∆ < 0 : ( Ei ) ⇒Elipse imaginária
( 1.2) Se ─ A ∆ > 0 : ( Er ) ⇒Elipse real.
54

55. ( 1. 3) Se ─ A ∆ = 0 : ( Ee ) ⇒Elipse evanouissante.
II.2.2. O Estudo detalhado da Parábola
( 1) Para δ = 0 : Parábola
(1.1) Se ─ A ∆ > 0 e p= BD ─ AE ≥ 0 : A parábola é dita : parábola propriamente dita
voltada para as abscissas positivas ⇒ ( Ppd +)
(1. 2) Se ─ A ∆ > 0 e p < 0 : ( Ppd ─) ⇒ A parábola é dita : parábola propriamente dita
voltada para as abscissas negativas.
( 1.3) Se ─ A ∆ = 0 ; p = 0 e q = D2
─AF > 0: ( Pdr) ⇒ Parábola degenerada em duas
rectas paralelas reais e distintas.
55

56. ( 1. 4) Se ─ A ∆ = 0 ; p = 0 e q = D2
─AF < 0: ( Pdi) ⇒ Parábola degenerada em
duas rectas paralelas imaginárias conjugadas.
( 1. 5) Se ─ A ∆ = 0 ; p = 0 e q = 0 : ( Pdc ) ⇒ Parábola degenerada em duas rectas
reais paralelas e confundidas.
2.2.3. O Estudo detalhado da Hipérbole
( 1) Para δ > 0 : Hipérbole
(1. 1) Se ─A∆ > 0 : a hipérbole é dita Hipérbole transversa. ( Ht) anota-se : Ht.
( 1.2) Se ─A∆ < 0 : a hipérbole é dita Hipérbole não transversa e anota-se Hnt.
(1.3) se ─A∆ = 0 : a hipérbole é dita Hipérbole degenerada em duas rectas reias secantes
e anota-se : Hd
2.2.4. Tabela sintética do estudo detalhado da Elipse, Hipérbole e Parábola
F ( x, y ) ≡ Ay2
+ 2Bxy + Cx2
+ 2 Dy + 2Ex +F = 0, é uma equação geral da cónica.
δ ─A∆ p Q CURVA δ ∆ r CURVA
─ † Er † †/─ ou Hpd
─ 0 Ee † 0 Hd
─ ─ Ei 0 †/─ Ppd
† † Ht 0 0 † Pdr
† 0 Hd 0 0 0 Pdc
56

57. † ─ Hnt 0 0 ─ Pdi
0
† † Ppd+ Pdr: Parábola degenerada em 2
duatas //
0 † ── Ppd── reias e distintas
0 0 0 † Pdr
0
0 0 0 Pdc Pdc : parábola degenerada em 2
rectas //
0 0 0 ─ Pdi reais confundidas
Tabela nº1. Tabela sintética do estudo detalhado da Elipse, Hipérbole e Parábola
2.3. Alguns exercícios Resolvidos Aplicando o Tratamento Metodológico para o
estudo particular e detalhado ou classificado das Cónicas.
2.3.1. Alguns exercícios Resolvidos Aplicando o Tratamento Metodológico para o
estudo particular das Cónicas.
(1) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os
nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.
Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.
A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na
sequencia de cima para baixo, é:
a) I, IV, II, V e III
b) I, V, III, IV e II
c) II, III, V, I e IV
d) III, II, IV, I e V
57

58. e) IV, II, V, I e III
Solução:
Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas
características das equações, observe:
Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no
denominador, nesse caso item (II)
Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de
x² e y² nesse caso o item (V)
Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y²,
item (I)
Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)
Parábola: temos só x² ou só y², item (III)
Alternativa letra A
(2) . Determine a distância focal da hipérbole com equação
Solução: Como a equação da hipérbole é do tipo
temos que:
a2
= 16 e b2
=9
Da relação notável obtemos: c2
= 16 + 9 → c2
= 25 → c = 5
A distância focal é dada por 2c. Assim,
2c = 2*5 =10
Portanto, a distância focal é 10.
Dada a elipse : 16x²+12y²=192, determinar:
a. o semi-eixo horizontal.
b. o semi-eixo vertical.
58

59. c. a semi-distância focal.
d. a excentricidade da elipse.
e. as equações das rectas directrizes.
Resolução
Seja f( x,y) 16x²+12y²=192
Vamos verificar o binómio característico .
A= 16 , B= 0 ,C= 12
12.16
192 , é uma elipse
Vamos decompor a cónica na forma f( x,y) , dividindo toda a equação dada
por 192, tem-se:
f(x,y)
f(x,y) , onde:
= 12⇒ b =
59

60. ⇒ b =
⇒ b = e
= 16 ⇒ a =
⇒ a =
ora
(a) o eixo maior é 2a = ⇒ o semi-eixo vertical é a = 4 .
(b) O eixo menor é 2b = ⇒ o semi-eixo horizontal é b =
60

61. (c) A distância focal é 2c ,enquanto C2
= a2
b2
⇒ c =
⇒ c = ⇒ c = ⇒ c =
Logo a semi-distância focal é c = 2
(d) A excentricidade é ou ⇒ ⇒ ⇒
⇒
Logo, a excentricidade é :
(e) As equações das rectas directrizes são: X + = 0 e X - = 0 ou
X = e X =
61

62. ⇒ X + = 0 ⇒ X + 4 = 0 ⇒ X + 8 = 0 e X - = 0⇒X - 4 = 0⇒ X-8 = 0 ou
⇒ X = e
⇒ X = ⇒ X = ⇒ X = ⇒ X =
(4) Determinar na hipérbole: 1
64
x
100
y 22
=−
a) A medida dos semi-eixos
b) Os focos
c) A excentricidade
d) As equações das assínotas
Resolução
Seja f (y, x) 1
64
x
100
y 22
=− ,
62

63. onde = ⇒ a = 10 e = ⇒ b = 8
(f) Consideramos o eixo maior é : 2a = 2.10 ⇒ a =20 ⇒ a =10 e o eixo menor é :
2b = 2.8⇒ b = 16 ⇒b = 8
Logo , as medidas do semi-eixo maior é a = 10 e do sem-eixo menor é b= 8
(g) Na determinação dos focos, considera-se a distância focal 2c ou Os focos são
determinados através a fórmula F´ ( -c , 0 ) e F ( c, 0 ) no eixo Ox e F´ ( 0, -c ) e
F (0, c ) no eixo Oy.
Ora o eixo focal da hipérbole determina-se na expressão :
C2
= a2
+ b2
⇒ C =
Como temos o valor de , vamos determinar assim o valor dos
focos .
63

64. ⇒ C =
⇒ C =
⇒ C =
Logo , os focos são: F´ ( 0, - ) e
F (0, )
(h) A excentricidade é ou ⇒ ⇒
Logo, a excentricidade é
(i) As equações das assímptotas são : e
64

65. ⇒ ⇒ e
⇒ ⇒
(5) Determinar a equação da elipse transportada aos eixos Ox e Oy se seu maior eixo vale
8 e a distância focal é 4.
Resolução
Conhecendo o eixo maior : 2a = 8 ⇒ a =
⇒ a = 4
A distância focal : 2C = 4 ⇒ C=
65

66. ⇒ C = 2
A equação reduzida da elipse é :
Ora : C2
= a2
b2
Como o valor do eixo menor é desconhecido , vamos determiná-lo através a relação:
C2
= a2
b2
⇒ b2
= a2
C2
⇒ b =
⇒ b =
⇒ b =
66

67. ⇒ b =
⇒ b =
⇒ b =
Logo , o valor de b =
Tendo o valor do eixo maior e menor , vamos determinar a equação reduzida da elipse
centrada á origem.
f( x , y ) ≡
f( x , y ) ≡
f( x , y ) ≡
vamos determinar o denominador comum de (12 e 16 ) = 48
67

68. f( x , y ) ≡
Aplicando a proporcionalidade, tem-se:
Logo, a equação da elipse é :
(6) Dada a elipse : 16x²+12y²=192, determinar:
f. o semi-eixo horizontal.
g. o semi-eixo vertical.
h. a semi-distância focal.
i. a excentricidade da elipse.
j. as equações das rectas directrizes.
Resolução
Seja f( x,y) 16x²+12y²=192
Vamos verificar o binómio característico .
A= 16 , B= 0 ,C= 12
12.16
68

69. 192 , é uma elipse
Vamos decompor a cónica na forma f( x,y) , dividindo toda a equação dada
por 192, tem-se:
f(x,y)
f(x,y) , onde:
= 12⇒ a =
⇒ a =
⇒ a = e
= 16 ⇒ b =
69

70. ⇒ b =
ora o eixo maior é 2a = ⇒ o semi-eixos vertical é a = .
O eixo menor é 2b =2. 4⇒ 2b =8⇒ b = 8 ⇒ o semi-eixo horizontal é b = 2
(7) As coordenadas dos focos da hipérbole da equação :
, vale :
A. ( 0, -4 ) e ( -6, 0 ) B. ( -6, 0) e ( 6, 0 ) C. ( -4, 0 ) e ( 4, 0 )
D. ( -8, 0 ) e ( 8, 0 ) E. ( 0, -8 ) e ( 8, 0 )
Resolução
Vamos determinar primeiramente a forma reduzida de uma equação da hipérbole
centrada á origem que é :
Neste caso , temos que transformar a equação dada na forma da equação reduzida da
hipérbole, dividindo-a por 252 ambos membros , tem-se:
70

71. ⇒
⇒
⇒ , onde:
36 ⇒ a = ⇒ a = 6 e ⇒ b = 2
Os focos são determinados através a fórmula F´ ( -c , 0 ) e F ( c, 0 )
Ora o eixo focal da hipérbole determina-se na expressão :
C2
= a2
+ b2
⇒ C =
Como temos o valor de , vamos determinar assim o valor dos focos .
71

72. C = ⇒ C = C =⇒
Logo , os focos são : F´ ( -8 , 0 ) e F ( 8, 0 )
A opção certa é D.
(8) Determinar na hipérbole 06379 =−− 22
yx
a) A medida dos semi-eixos
b) Os focos
c) A excentricidade
d) As equações das assínotas
Resolução
Vamos determinar primeiramente a forma reduzida de uma equação da hipérbole centrada
á origem que é :
Neste caso , temos que transformar a equação dada na forma da equação reduzida da
hipérbole, dividindo-a por 63 ambos membros , tem-se:
f( x,y) 06379 =−− 22
yx ⇒ f( x,y) 9x2
– 7 y2
= 63
⇒ f( x,y)
72

73. ⇒ f( x,y) =
⇒ f( x,y) = , onde:
9 a =⇒ a = 3 e b⇒ 2
= 7 b =⇒
(a) Consideramos o eixo maior é : 2a = 3.2 a = 6 e o eixo menor é :⇒
2b = 2
Logo , as medidas do semi-eixo maior é a = 3 e do sem-eixo menor é b =
(b) Na determinação dos focos, considera-se a distância focal 2c ou Os focos são
determinados através a fórmula F´ ( -c , 0 ) e F ( c, 0 ) no eixo Ox e F´ ( 0, -c ) e
F (0, c ) no eixo Oy.
Ora o eixo focal da hipérbole determina-se na expressão :
C2
= a2
+ b2
C =⇒ C =⇒ C =⇒ 4
Como temos o valor de a2
= 9 e b2
= 7 , vamos determinar assim o valor dos
focos .
C =⇒ C =⇒ C =⇒ 4
Logo , os focos são: F´ ( 0, -4 ) e
F (0, 4)
73

74. A excentricidade é ou ⇒ e =
Logo, a excentricidade é e =
(c) As equações das assímptotas são : e
(d)
⇒ e
(e) ⇒
(9). Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida
6.
Resolução:
C = 5
2a = 6 ⇒ a= 3
Ora ( H) ≡ 1=− 2
2
2
2
b
y
a
x
, mas como a hipérbole está representada no eixo Oy ,tem-se:
( H) ≡ 1=− 2
2
2
2
b
x
a
y
74

75. Se c2
= a2
+ b2
⇒ 25 = 9 + b2
⇒ b2
= 25 – 9 ⇒ b2
= 16 ⇒ b = 4.
Logo , a equação da hipérbole é ( H)≡ 1
16
x
9
y 22
=−
(10) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da
parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.
Resolução:
(10) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0,10) e pelos focos da
hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144.
75

76. Resolução:
2.3.2. Alguns exercícios Resolvidos Aplicando o Tratamento Metodológico para o
estudo detalhado ou classificado das Cónicas
2.3.2.1. Discutir a natureza das cónicas seguintes e fazer o esquema
(a) f ( x, y ) ≡ y2
+ 4kxy + x2
+ 5ky +2x+1 = 0
1º Passo: Determinar os coeficientes que envolvem a cónica
A = 1 B = 2k C = 1 D = 5/2 E = 1 F = 1
2º Passo: determinar o binomio característico
∆ = B2
– AC ⇔ ∆ = (2k)2
– 1( 1) ⇔ ∆ = 4k2
– 1
k -∞ -1/2 1/2 +∞
76

77. 4k2
– 1 + + + + 0 ─ 0 + + + + +
Observação
(a) Para k ⇒ a cónica é uma elipse pois δ < 0
( b) Para k ⇒ a cónica é uma hipérbole pois δ > 0
( c) Para k ⇒ a cónica é uma parábola pois δ = 0
Vamos determina o determinante de Hesse
- A∆, isto é, = -A∆
( 1+ 5k2
+ 5k2
) – ( )
1+ 5k2
+ 5k2
─ = 0
77

78. 10 k2
─ = 0 ⇒
⇒
⇒
Então , =
Vamos fazer estudo de sinais, tem-se
k 0
+ 0 +
 P = BD AE
P = 2k . 1 .1 p = 5k⇒ 2
1
Vamos fazer estudo de sinais , tem-se
k
78

79. + 0 0 +
Esquema da descrição
K 0
+ 0 0 +
+ + + + + 0 + + + + +
P + + 0 0 + + +
Conclusão da curva Ht Ppd+ Er Er Er Ee Er Er Er Ppd+ Ht
Tabela nº 2. Tabela sintética do estudo detalhado da cónica:
f ( x, y ) ≡ y2
+ 4kxy + x2
+ 5ky +2x+1 = 0
b) f ( x, y ) ≡ (k- 2 )y2
+ 2xy + x2
+ 2y +5x+1 = 0
Resolução
1º Passo : Determinar os coeficientes que envolvem a cónica
A = k-2 B = 1 C = 1 D = 1 E = 5/2 F = 1
2º Passo : determinar o binomio característico
∆ = B2
– AC ⇔ ∆ = (k-2)2
– 1( 1) ⇔ ∆ = k2
-4k +4 -1 ⇔ ∆ = k2
-4k +3
⇔ k2
-4k +3 = 0
⇔ ∆ = (-4)2
-4.(1)(3)
⇔ ∆ = 16 – 12
⇔ ∆ = 4
2 raízes reais distintas⇔
79

80. x1 = -1 e x2 = - 3
k -∞ -3 -1 +∞
k2
-4k +3 + + + + 0 ─ 0 + + + + +
Observação
(a) Para k ⇒ a cónica é uma elipse pois δ < 0
(b) Para k ⇒ a cónica é uma hipérbole pois δ > 0
( c) Para k ⇒ a cónica é uma parábola pois δ = 0
Vamos determinar o determinante de Hesse.
80

81. - A∆, isto é, = -A∆
∆ = k -2 +3 +3 – ( 1 + 9( k – 2 ) +1 )
∆ = k +4 – ( 1 + 9k – 18 +1 )
∆ = k +4 – ( 9k – 16 )
∆ = k +4 – 9k + 16
∆ = -8k + 20
Então, - A∆ ⇒ k - 2 ( - 8k + 20 ) = - 8k2
+36k -40
Vamos fazer o estudo de sinais, tem-se:
k -∞ -5/2 -2 +∞
- 8k2
+36k -40 + + + + 0 ─ 0 + + + + +
p = BD- AE
p= 1.1 – 6( k-2) ⇒ p= 1 – 6k + 12 ⇒ p = 13– 6k
Vamos fazer o estudo de sinal de p
k -∞ 13/6 +∞
81

82. 13 – 6k + + + + 0 ─ ─ ─
Esquema da descrição
k -5/2 -2 -1
+ 0 + +
- - - 0 + 0 - - - - -
p + + + + + + + + + 0 -
Conclusão da curva Hnt Ppd+ Ei Ee Er Ee Er Ppd- Hnt hnt Hnt
Tabela nº 3. Tabela sintética do estudo detalhado da cónica:
f ( x, y ) ≡ (k- 2 )y2
+ 2xy + x2
+ 2y +5x+1 = 0
2.3.2.Alguns Exercícios propostos
2.3.2.1.Determine a natureza das seguintes cónicas
2.3.2.1.1. f( x, y ) ≡ 0114822
=+−−− yxyx
2.3.2.1.2. f( x, y ) ≡ 07924764820 2
=−+−+ yxxyx
2.3.2.1.3. f( x, y ) ≡ 0436894 22
=+−−+ yxyx
2.3.2.1.4. f( x, y ) ≡ 043161849 22
=−−−− yxyx
2.3.2.1.5. f( x, y ) ≡x2
– 6x – 4y + 17 = 0
2.3.2.2. Determine as equações reduzidas,a distância focal, a excentricidade e os semi-
eixos das seguintes curvas:
( a) f ( x, y ) ≡
( b) f ( x, y ) ≡
( c) f ( x, y ) ≡
(d) f ( x, y ) ≡
( e) f ( x, y ) ≡
82

83. ( f) f ( x, y ) ≡ 4843 22
=+ yx .
CAPÍTULO III- TRATAMENTO E ANÁLISE DE DADOS RECOLHIDOS
Este capítulo relata as normas e explica os diferentes modelos aplicados no trabalho
realizado no capítulo anterior é a preocupação de investigar as dificuldades que os
encontram ao tema em estudo.
3.1. Amostra e sua caracterização
Consideramos um número de 100 pessoas e denominamos do universo no qual fazem parte
4 directores, 5 professores e 91 alunos no conjunto de 2 escolas do 2º ciclo do ensino
secundário no Município de Mbanza Kongo, Província do Zaire, onde se realizou a nossa
pesquisa. Fez-se considerar em cada escola turmas de 10ª e 12 ª classe para a escolha de
forma aleatória a nossa amostra.
O quadro a baixo explica com mais detalha sobre o universo considerado.
Categorias Sexos
Homens Mulheres Total
Directores 4 0 4
Professores 5 0 5
Alunos 55 36 91
Total 64 36 100
Tabela nº4. Elementos que constituem o universo repartida em categorias e sexos
Para aquisição de informações referente a nossa pesquisa, partimos numa escolha aleatória
de amostra entre ambos sexos cuja faixa etária varia entre 18 á 49 anos de idade e tivemos
a razão de considerar 20 alunos como amostra em cada turma que escola possui. Eis a
razão da diferencia de número de aluno em cada turma, dos quais 4 directores, 5
professores na qual todos leccionam 10ª e 12ª classe e 91 alunos no total de 100 elementos.
O quadro a baixo explica e caracteriza a nossa amostra.
Categoria Escola do II º Cíclo do Ensino Secundário ´´
Daniel Vemba``
Escola de
formação de
Total
83

84. ProfessoresTurma A Turma B Turma C
H M HM H M HM H M HM H M HM
Directores 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 4
Professores 1 - 1 1 - 1 1 - 1 2 - 2 5
Alunos 13 7 20 12 8 20 10 10 20 20 11 31 91
Total 15 7 22 14 8 22 12 10 22 23 11 34 100
Tabela nº5. Amostra repartida em categorias, escolas e sexos
3.2. Observação Participativa e inquéritos.
De modo geral, o trabalho ocorreu nas turmas devidamente selecionadas tendo a
oportunidade de observar em diferentes salas, por outro notou-se a ausência de meios de
ensino e o elevado número de alunos nas salas, com estas realidades os alunos
apresentavam poucas probabilidades na assimilação da matéria, e o uso dos métodos,
também dificulta os professores exercer uma boa docência. Daí apontam os aspectos
negativos na aprendizagem desta matéria.
3.3. Teste Diagnósticos (Pré-teste)
Nós elaboramos um questionário de modo a avaliar o grau de dificuldade e o nível de
conhecimento que os alunos trazem nas classes anteriores.
3.4. Ficha de Trabalho
Usamos um trabalho de qualidade e com êxito, procedeu-se à realização de quatro aulas
em cada turma aplicando um algoritmo para servir de um instrumento válido ao tema em
estudo.
3.5. Questionário Pós-Teste
Depois de inquérito e alguma orientação de aulas foi aplicado um questionário ao mesmo
número de alunos nas turmas selecionadas, de maneira a comprovar o procedimento
didáctico aplicado sobre o estudo particular das cónicas.
3.6. Dados de Pré-Teste
84

85. 3 .6. 1-Apresentação dos dados recolhidos na aplicação da definição das cónicas, isto é
o pré-teste e os seus dados.
Os dados que abaixo se apresentam são produtos de análise de uma pesquisa realizada nas
escolas do Município de Mbanza Kongo, Província do Zaire na República de Angola,
relativo ao problema em estudo.
As perguntas são feitas de uma forma fácil para permitir aos elementos envolvidos
responder com mais precisão e de uma forma rápida. Também permite aos investigadores
recolher, analisar e interpretar as informações com mais eficiência e adequação nas tabelas
de frequência.
Todos dados estão devidamente mencionados nas tabelas de frequência em forma de
resultados, frequência e percentagem. Abaixo de cada tabela segue uma pergunta e seu
objectivo depois análise e interpretação das respostas.
O inquérito levado a cabo postou com a presença de 91 intervenientes das 4 diferentes
turmas a fim de obtermos resultados satisfactórios tendo em conta a primeira colecta de
dados realizada partindo dum questionário constituído por 5 questões conforme mostra a
tabela de distribuição descrita abaixo.
Tabela Nº 6: Apresentação das questões certas e erradas no pré-teste
QUESTÕES CERTAS % ERRADAS % TOTAL
1ª QUESTAO 40 43,95604 51 56,04396 100
2ª QUESTAO 35 38,46154 56 61,53846 100
3ª QUESTAO 8 8,791209 83 91,20879 100
4ª QUESTAO 5 5,494505 86 94,50549 100
5ª QUESTAO 2 2,197802 89 97,8022 100
Gráfico Nº 1: Representação dos dados do Pré-teste
85

86. No que concerne a verificação da compreensão do tema em estudo fomos obrigados de
realizarmos uma pesquisa profunda culminando na aplicação de um teste denominado pré-
teste, isto é, para saber o grau de conhecimentos que os envolventes neste processo
possuem. Das cinco questões postas à disposição dos intervenientes envolvidos no
processo de ensino-aprendizagem obtivemos os seguintes resultados: 56% a 98 % dos
alunos não conseguiram acertar as questões ligadas ao tema enquanto 2% a 44% dos
alunos conseguiram acertar as questões.
Chegamos ao consenso que 56% a 98 % dos alunos permaneciam com lacunas a respeito
do tema em estudo. Neste âmbito, fomos intensificando vários algoritmos para que o
assunto seja percebido de maneira fiável.
Tabela Nº 7: Tratamento Estatístico de dados do Pré-teste
0 10 10 0 -6,3186813 39,9257336 399,2573
2 5 15 10 -4,3186813 18,6510083 93,25504
3 12 27 36 -3,3186813 11,0136457 132,1637
4 9 36 36 -2,3186813 5,37628306 48,38655
5 15 51 75 -1,3186813 1,73892042 26,08381
6 1 52 6 -0,3186813 0,10155778 0,101558
86

87. 7 5 57 35 0,68131868 0,46419515 2,320976
8 5 62 40 1,68131868 2,82683251 14,13416
9 5 67 45 2,68131868 7,18946987 35,94735
10 3 70 30 3,68131868 13,5521072 40,65632
11 6 76 66 4,68131868 21,9147446 131,4885
12 4 80 48 5,68131868 32,277382 129,1095
13 7 87 91 6,68131868 44,6400193 312,4801
14 3 90 42 7,68131868 59,0026567 177,008
15 1 91 15 8,68131868 75,365294 75,36529
= 91 575 1617,758
Como já salientamos na parte introdutória que ,para compreender melhor o assunto em
estudo requer uma apreciação estatística que por sua vez irá demonstrar o fio lógico ou
verdadeiro conteúdo investigativo através da sua veracidade.
Média aritmética
Obviamente a média aritmética é uma média tendencial central e às vezes expressas em
valor médio atribuído a todos intervenientes como se mostra na fórmula abaixo citada:
Correspondendo os dados na fórmula, obtém-se:
= 6,318681
Destes dados podemos verificar que, nesta primeira fase de inquérito ainda há uma
insuficiência de informação tendo em conta os resultados esperados são ainda distantes dos
20 pontos.
3. 7. Dados de Pós-Teste
3. 7. 1-Apresentação e tratamento estatístico dos dados do pós-teste.
87

88. Os dados que abaixo se apresentam são produtos de análises de uma pesquisa realizada nas
escolas do Município de Mbanza Kongo, Província do Zaire na República de Angola,
relativo ao problema em estudo.
As perguntas são feitas de uma forma fácil para permitir aos elementos envolvidos
responder com mais precisão e de uma forma rápida. Também permite aos investigadores
recolher, analisar e interpretar as informações com mais eficiência e adequação nas tabelas
de frequência.
Todos dados estão devidamente mencionados nas tabelas de frequência em forma de
resultados, frequência e percentagem. Abaixo de cada tabela segue uma pergunta e seu
objectivo depois análise e interpretação das respostas.
A realização desta pesquisa envolveu também 91 intervenientes a fim de obtermos
resultados significativos (ver tabela abaixo)
Tabela Nº 8: Apresentação das Questões Certas e Erradas no Pós-teste
Gráfico Nº2: Representação dos dados do pós-teste
88
QUESTÕES CERTAS % ERRADAS % TOTAL
1ª QUESTÃO 87 95,6044 4 4,395604 100
2ª QUESTÃO 86
94,5054
9 5 5,494505 100
3ª QUESTÃO 81
89,0109
9 10 10,98901 100
4ª QUESTÃO 75
82,4175
8 16 17,58242 100
5ª QUESTÃO 60
65,9340
7 31 34,06593 100

89. Tendo em conta os resultados inadequados obtidos no pré-teste levaram-nos na
aplicabilidade do pó- teste para que o assunto seja percebido ou compreendido para todos
os envolventes no processo de ensino-aprendizagem. Os resultados obtidos nos mostram
que das cinco questões aplicadas , a percentagem varia de 66% a 96% das respostas certas
enquanto as respostas erradas varia de 4% a 34%.
Tabela Nº 9: Tratamento Estatístico dos dados do Pós-teste
89

90. 5 2
0,02197
8 2,1978 10 10 -9,21978 85,00435 170,0087
6 1
0,01098
9 1,0989 15 6 -8,21978 67,56479 67,56479
8 3
0,03296
7 3,2967 18 24 -6,21978 38,68567 116,057
9 1
0,01098
9 1,0989 19 9 -5,21978 27,24611 27,24611
10 6
0,06593
4 6,5934 25 60 -4,21978 17,80655 106,8393
12 7
0,07692
3 7,6923 32 84 -2,21978 4,927424 34,49197
13 10 0,10989 10,989 42 130 -1,21978 1,487864 14,87864
14 30 0,32967 32,967 72 420 -0,21978 0,048303 1,4491
15 9
0,09890
1 9,8901 81 135 0,78022 0,608743 5,478686
16 5
0,05494
5 5,4945 86 80 1,78022 3,169182 15,84591
18 6
0,06593
4 6,5934 92 108 3,78022 14,29006 85,74037
19 4
0,04395
6 4,3956 96 76 4,78022 22,8505 91,402
20 3
0,03296
7 3,2967 99 60 5,78022 33,41094 100,2328
22 2
0,02197
8 2,1978 101 44 7,78022 60,53182 121,0636
24 2
0,02197
8 2,1978 103 48 9,78022 95,6527 191,3054
= 91 1 100 1294 1149,604
Como referimos na parte pré-teste que a conclusão de uma monografia nas ciências exactas
requer uma ferramenta estatística para demonstrar de uma forma sadia a evolução do
processo correr ao conteúdo propriamente dito e concluímos que a parte pós-teste também
não foge a regra.
Média aritmética
90

91. Obviamente a média aritmética é uma média tendencial central e às vezes expressas em
valor médio atribuído a todos intervenientes como se mostra na fórmula abaixo citada
conforme a calculamos no pré-teste.
Correspondendo os dados na fórmula, obtém-se:
= 14,21978
Concluímos que o resultado é satisfactório em relação ao resultado do pré-teste.
3. 8. Abordagem comparativa e objetiva entre os dados recolhidos nos testes
Tabela Nº 10: Comparação entre as respostas certas e erradas nos dois testes
principais.
QUESTÕES
Pré-teste Pós-teste
CERTAS % ERRADAS % CERTAS % ERRADAS %
1ª QUESTÃO 40 43,95604 51 56,04396 87 95,604396 4 4,3956044
2ª QUESTÃO 35 38,46154 56 61,53846 86 94,505495 5 5,4945055
3ª QUESTÃO 8 8,791209 83 91,20879 81 89,010989 10 10,989011
4ª QUESTÃO 5 5,494505 86 94,50549 75 82,417582 16 17,582418
5ª QUESTÃO 2 2,197802 89 97,8022 60 65,934066 31 34,065934
Gráfico Nº3: Comparação entre os dados do Pré-teste e Pós-teste
91

92. Tendo em conta a análise feita antes e depois de uma longa pesquisa, concluímos que, no
computo geral o assunto mereceu uma melhor atenção tanto aos alunos como professores
demonstrando assim um interesse significativo em termo da sua percentualidade na
aquisição de novos conhecimentos.
Todavia, o nosso aspecto comparativo vai abranger em dois diferentes eixos que são pré-
teste e pós-teste através das medidas de tendências centrais.
No que concerne a média
• No pré-teste: na opção de teste diagnóstico, revelando o quociente da turma no que
tange o grau de aquisição de conhecimento através da nossa metodologia aplicada
no processo chegou a consenso que tivemos um resultado de 6,318681 valores, que
é de uma forma geral não satisfactório.
• No pós-teste: na opção deste teste é a persistência da aplicabilidade de um
tratamento metodológico adequado, isto é, a aplicação de um algoritmo matemático
conduzindo a uma compreensão clara e significativa.
Concluímos que a média aritmética subiu para 14,21978 valores que é um
rendimento muito significativo no processo de aprendizagem.
92

93. III.9.Conclusões e Sugestões
3.9.1. Conclusões
O estudo realizado a volta do tema tratamento metodológico sobre o estudo particular
das cónicas no IIº ciclo do ensino secundário ligado ao processo de aprendizagem da
disciplina de geometria analítica plana – 12ª Classe na escola do IIº ciclo do ensino
secundário «Daniel Vemba» e escola de formação dos professores concluímos que através
deste trabalho procuramos oferecer uma diferenciada forma de estudo das curvas do
segundo grau ou cónicas usando diferentes recursos na obtenção das suas equações
reduzidas. Desenvolvemos e demonstramos a obtenção das mesmas e atribuí-las,
actividades que acreditamos possibilitar dinamismo às aulas. Não propomos aqui uma nova
forma de ensinar o tema, mas sim outras possibilidades de explorar o tema em estudo.
O nosso trabalho é fruto de uma pesquisa aprofundada nas escolas do segundo ciclo,
entretanto é importante que seja observada e considerada pela comunidade para que possa
ser aprimorada a fim de garantir bons resultados para o processo de ensino-aprendizagem.
As actividades foram propostas com intuito de trazer informações úteis ou interessantes
e paralelamente abrir margens a muitas observações, proporcionando discussões entre
professores e alunos.
93

94. 3.9.2. Sugestões
Dentre de várias questões que constatamos durante a nossa investigação em ralação ao
tema em causa, aos objectivos educacionais no tratamento metodológico sobre o estudo
particular das cónicas no IIº ciclo do ensino secundário ligado ao processo de ensino-
aprendizagem da disciplina de geometria analítica na 12ª Classe no Município de Mbanza
Kongo, na província do Zaire, República de Angola; verifica que existe grandes problemas
no estudo da mesma como é exigido pelo Ministério da educação, Ciência e Tecnologia.
Não só também para o cumprimento dos planos estratégicos, surge a necessidade de propor
algumas sugestões para a melhoria da qualidade do ensino nesta disciplina:
Aos directores
• Criar um sistema pedagógico de controlo das actividades de ensino sobre o uso dos
métodos adequados na disciplina de matemática;
• Garantir que os professores da 12ª classe tenham conhecimentos suficientes à
matéria e o livro sobre Ensino Centrado aos alunos em uso nas Escolas do IIº Cíclo
do Ensino secundário;
• Assistem professores durante a leccionação da disciplina de matemática para
verificar o seu grau de atuação no processo de ensino-aprendizagem;
Aos Professores
• Usar as estratégias didácticas adequadas que proporcionam na participação activa
dos discentes no processo do ensino-aprendizagem na disciplina de matemática
directamente para explorar o conhecimento dos alunos (pressupõe que o aluno tem
vasto conhecimento sobre a natureza da sua vida) considerando aluno o central na
aprendizagem assegurando o cumprimento das orientações metodológicas desta
disciplina;
• Os professores devem dar tempo suficiente aos alunos para trocas das expressões
nas salas de aulas durante as aulas de matemática criando assim grupo na resolução
94

95. de exercícios e, promovendo ambiente de debates no meio dos alunos a fim de
exprimir as suas experiências.
• Estar à possessão dos manuais de actividades relacionadas ao ensino-aprendizagem
da matéria em uso na Escola do IIº Cíclo do Ensino secundário;
• Sugerimos portanto que, o professor, segundo suas experiências, seja criativo em
metodologia que mostre a validade de colocar o aluno no centro das atenções.
95

96. Bibliografia
1. GRAAS,L. (1971).Geometrie Analytique Plane. Bruxelles: La procure Numur.
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6. BEYER, William H.(1978). Standard Mathematical Tables. Florida: Mathematics and
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97. 13. BOYER, Carl Benjamim. (1994).História da Matemática. São Paul: Edgar Blucher.
14. VENTURINI, Jacir J., Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, 8ª edição (atualizada)
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www.geometriaanalítica.com.br.
16. SANTOS, Reginaldo. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, disponível
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17. POSTNIKOV,M. (1988).Lições de Geometria.Moscovo:Editora Mir.
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98. 17.
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Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983,
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Kibulu Dino MPAKASA et Kimuanga Jean-Baptiste YOUBO, Maitriser les Maths
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UFMG – Departamento de matemática http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/sec19.html
Universidade de Coimbra – Departamento de matemática
http://www.mat.uc.pt/~ed9702/conicas/
99