Resistência de materiais.pdf exercícios resolvidos em 26 mar 2016

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS (REMA) – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine o
deslocamento vertical de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 310 KN e a coluna tiver área de seção
transversal de 14.625 mm²
SOLUÇÃO:
2 6 2
AB BC
3 3
1 2
9
Dados :
L L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa

    
     
  
Trecho AB
 
2 6 2
AB
3 9
1
y AB 1 AB 1
AB
Dados :
L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N E 200 GPa 200 10 Pa
Assim :
F 0 P 2 P 0 P 2 P 2 200 kN 400 kN
P 400 kN contração

   
     
          
  


3 6
4AB AB
AB 9 6 9
4
AB
Assim :
P L 400 10 3,6 1, 44 10
m m 4,9231 10 m
E A 200 10 14.625 10 2,925 10
Assim :
4,9231 10 m



    
       
    
   
Trecho BC
 
2 6 2
BC
3 3
1 2
9
y BC 1 2 AB 1 2
BC
BC BC
BC
Dados :
L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Assim :
F 0 P 2 P 2 P 0 P 2 P 2 P 2 200 2 310 kN 1020 kN
P 1020 kN contração
Assim :
P L 1020
E A

   
     
  
                
  
 
  


   
3 6
3
9 6 9
4
BC
4 3 3
A AB BC
A
10 3,6 3,672 10
m m 1,2554 10 m
200 10 14.625 10 2,925 10
Assim :
1,2554 10 m
Dessa forma :
4,9231 10 1,2554 10 m 1,74771 10 m
Assim :
1,74771 mm



  
  
    
   
   
             
  

02) A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste for
60 mm2
, determine o deslocamento de B e A. Despreze o tamanho dos acoplamentos em B, C e D.
SOLUÇÃO:
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa

     
        
  
Trecho AB

 
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
y AB A AB A AB
3
AB AB
AB 9 6
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Assim :
F 0 P P 0 P P P 8 kN Tração
Assim :
P L 8 10 0,5 4 1
m
E A 200 10 60 10


     
        
  
       
   
   
   

3
4 4
AB6
0
m 3,3333 10 m 3,3333 10 m
12 10
 
     

Trecho BC
y
y y
y
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
B
B 3 3 3B
B B B
y BC B
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Pr oje tando a força P no eixo y :
PP 3
P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N
5 3 5
F 0 P 2 P

     
        
  
          
    
 
y
3 3
A BC A B
3
BC BC
3 3
3 3BC BC
BC BC9 6 6
P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N
P 10, 4 10 N P 10, 4 kN Tração
Assim :
P L 10, 4 10 1,5 15,6 10
m m 1,3 10 m 1,3 10 m
E A 200 10 60 10 12 10
 

         
   
   
         
    


Trecho CD
y
y y
y
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
B
B 3 3 3B
B B B
y BC B
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Pr oje tan do a força P no eixo y :
PP 3
P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N
5 3 5
F 0 P 2 P

     
        
  
          
    
 
 
y
y y
3 3
A BC A B
3
BC BC
C
3 3 3
C C C C C
y CD B C A Cd A B C
P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N
P 10, 4 10 N P 10, 4 kN Tração
Pr oje tan do a força P no eixo y :
P P sen 60 P 0,866P 0,866 3,3 10 N 2,8578 10 N P 2,8578 10 N
F 0 P 2 P 2 P P 0 P P 2 P 2 P 8
         
   
           
               

 CD CD
3 3
3 3CD CD
CD CD9 6 6
2 1,2 2 2,8578 kN
P 8 2, 4 5,7156 kN P 16,1156 kN Tração
Assim :
P L 16,1156 10 0,75 12,0867 10
m m 1,0072 10 m 1,0072 10 m
E A 200 10 60 10 12 10
 

  
    
   
         
    

4 3 3
AB BC CD
3 3 3
B BC CD B
4 3 3
A AB B A
Dados :
3,3333 10 m 1,3 10 m 1,0072 10 m
Assim :
1,3 10 1,0072 10 m 2,3072 10 m 2,3072 mm
e
3,3333 10 2,3072 10 m 2,6405 10 m 2,6405 mm
  
  
  
        
             
             

03) O conjunto é composto por uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com
diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar 2 mm para a direita e B se deslocar
0,5 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas. O comprimento de cada segmento quando não
alongado é mostrado na figura. Despreze o tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas.
SOLUÇÃO:
Roteiro:
(1) Listar os dados do problema, fazendo as devidas conversões.
(2) Separar a estrutura em partes, como indicado na figura abaixo:
(3) Aplicar as equações de deslocamento:
 
 
3 3
A B AB
9 3
2
2 3 2 4 4
AB
3 3AB AB 1
A B 9 4
Trecho AB
2 mm 2 10 m 0,5 mm 0,5 10 m L 1,2 m
E 68,9 GPa 68,9 10 Pa d 25 mm 25 10 m
A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m
4
P L P 1,2
2 10 0,5 10
E A 68,9 10 4,906 10
Assim
 

  
 

          
     

        
 
         
   
3 3 6 31
1 16
3
! 1
:
P 1,2
2,5 10 1,2 P 2,5 10 33,802 10 1,2 P 84,505 10
33,802 10
Assim :
84,505
P N 70, 42 10 N P 70, 42 kN
1,2
 
           

    

 
 
 
3 9
B BC aço
3
2
2 3 2 4 4
BC
1 23BC BC
B 9 4
1 23
Trecho BC
0,5 mm 0,5 10 m L 0,6 m E 200 GPa 200 10 Pa
d 25 mm 25 10 m
A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m
4
P P 0,6P L
0,5 10
E A 200 10 4,906 10
Assim :
P P 0,6
0,5 10
9


  



         
  

        
 
     
   
 
    3 6 3
1 1 26
3
3 3
! 2 ! 2
3
1
3 3 3
! 2 2
2
1,2 P 0,5 10 98,12 10 0,6 P P 49,06 10
8,12 10
Assim :
49,06 10
P P N 81,77 10 N P P 81,77 10 N
0,6
Mas :
P 70, 42 10 N
Substituindo :
P P 81,77 10 70, 42 10 P 81,77 10 N
Assim :
P 81,77

            

 
         
 
         
    3 3 3
2
10 70, 42 10 152,19 10 N P 152,19 kN      

04) O eixo AC de aço A-36 com 15 mm de diâmetro é sustentado por um colar rígido fixado ao eixo B. Se for
submetido a uma carga axial de 80 kN em sua extremidade, determine a distribuição de pressão uniforme p no
colar exigida para o equilíbrio. Calcule também o alongamento nos segmentos BC e BA.
SOLUÇÃO:
Roteiro:
(1) Listar os dados e fazer as devidas conversões.
3 3
AB BC
3 3
AC colar
3 9
C aço
Dados :
L 200 mm 200 10 m L 500 mm 500 10 m
d 15 mm 15 10 m r 35 mm 35 10 m
P 80 kN 80 10 N E 200 GPa 200 10 Pa
 
 
     
     
     
(2) Cálculo da Distribuição de Pressão p
     
3 3 3
AC colar Colar
3
C
2 2
2 2 3 3 2
C colar AC
3 2 3 2
C C
3
C
3
C
Dados :
d 15 mm 15 10 m r 35 mm 35 10 m d 70 10 m
P 80 kN 80 10 N
Área do colar :
A d d 0,785 70 10 15 10 m
4
A 0,785 4,675 10 m A 3,67 10 m
Assim :
P 80 10
p Pa
A 3,67 10
  
 
 

        
  
       
  
     

 

6
21,80 10 p 21,80 MPa   

(3) Separar a estrutura em partes, conforme a figura:
 
3 3
BC AB
9 3
aço AC
3 3
colar Colar
3 3
C AB BC C
2
2 3 2
AC
Dados :
L 500 mm 500 10 m L 200mm 200 10 m
E 200 GPa 200 10 Pa d 15 mm 15 10 m
r 35 mm 35 10 m d 70 10 m
P 80 kN 80 10 N P 0 P P 80 kN 80 10 N
Deslocamentos :
A d 0,785 15 10 m A 1
4
 

 

     
     
     
       

      4 2
3 3 3
3BC BC
BC BC9 4 6
3
AB AB
AB AB9 4
,766 10 m
Assim :
P L 80 10 500 10 40 10
m m 1,1325 10 m 1,1325 mm
E A 200 10 1,766 10 35,32 10
e
P L 0 200 10
m 0 0
E A 200 10 1,766 10







    
        
    
  
      
   

05) O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida A C. A área da seção transversal de
cada haste é dada na figura. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel F, determine o deslocamento
vertical do ponto F. Eti = 350 GPa.
SOLUÇÃO:
Roteiro:
(1) Listar os dados e fazer as devidas conversões
BA DC AE EC EF
2 3 2 3 2 3
BA DC EF
3 9
ti
Dados :
L 2 m L 2 m L 0,5 m L 0,75 m L 1,5 m
A 60 mm 60 10 m A 45 mm 45 10 m A 75 mm 75 10 m
P 20 kN 20 10 N E 350 GPa 350 10 Pa
  
    
        
     
(2) Aplique as equações de equilíbrio para encontrar BA DC
F e F
(3) Calcule os deslocamentos

 
DC DC BA BA EF
C A EF
DC BA EF
EC
E C A C F E EF
AC
F L F L P L
E A E A E A
Assim :
L
L
  
     
  
            
06) A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A -36. Se ela for
submetida a uma força axial de 150 kN, determine a tensão normal média no concreto e em cada haste. Cada
uma tem diâmetro de 20 mm.
SOLUÇÃO:
 
 
3
conc conc aço
9 9
aço conc
22 2 3 2
conc conc conc
2
2 3 2
aço aço aço
Dados :
L 1,2 m r 100mm 0,1 m d 0,2 m d 20 mm 20 10 m
P 150 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 29 GPa 29 10 Pa
Assim :
A d A 0,785 0,2 m 31, 4 10 m
4
e
A 6 d A 6 0,785 20 10 m 1,88
4



       
      

     

        3 2
4 10 m


3
conc conc aço
9 9
aço conc
3 2 3 2
conc aço
aço
aço conc
Dados :
L 1,2 m r 100mm 0,1 m d 0,2 m d 20 mm 20 10 m
P 150 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 29 GPa 29 10 Pa
A 31, 4 10 m A 1,884 10 m
Compatibilidade :
P L

 
       
      
   
    conc
aço aço
P L
E A


aço conc
conc conc aço aço conc conco
aço açoconc
9 3 9 3 6
P P
E A E A E A
Substituindo :
P PP
200 10 1,884 10 29 10 31, 4 10 376,8 10
 
 
  
 
      
conc
6
P
910,6 10


 aço conc
conc aço conc aço
Assim :
P P 910,6
P P P 2, 417 P 1
376,8 910,6 376,8
      
 y aço conc aço conc aço conc
Equações de Equilíbrio :
F 0 : P P P 0 P P 150 0 P P 150 2          
   
conc aço
aço conc
aço aço aço
aço aço
conc aço conc conc
1 2 :
P 2, 417 P
P P 150
Assim :
P 2, 417 P 150 3, 417 P 150
Assim :
150
P kN 43,90 kN P 43,90 kN
3, 417
Mas :
P 2, 417 P P 2, 417 43,90 kN 106,10 kN P 106,10 kN

 

 
     
   
       

aço
3 2
aço
3
aço 6
aço aço3
aço
Tensão Normal Média em uma Haste :
P 43,90 kN
A 1,884 10 m
Assim :
P 43,90 10
Pa 23,30 10 Pa 23,30 MPa
A 1,884 10



 

       

3
conc
3 2
conc
3
6conc
conc conc3
conc
Tensão Normal Média no Concreto :
P 106,10 kN 106,10 10 N
A 31, 4 10 m
Assim :
P 106,10 10
Pa 3,38 10 Pa 3,38 MPa
A 31, 4 10


  
 

       

07) O tubo de aço A-36 tem núcleo de alumínio 6.061-T6 e está sujeito a uma força de tração de 200 kN.
Determine a tensão normal média no alumínio e no aço devido a essa carga. O tubo tem diâmetro externo de 80
mm e diâmetro interno de 70 mm.
SOLUÇÃO:
 
   
int ext
9 9
aço alum
22 2 3 2
alum int alum
2 2 2 2 2
aço ext int aço
Dados :
L 400 mm 0, 4 m d 70mm 0,07 m d 80 mm 0,08 m
P 200 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 68,9 GPa 68,9 10 Pa
Assim :
A d A 0,785 0,07 m 3,847 10 m
4
e
A d d A 0,785 0,08 0,07 m 1,1
4

     
      

     

       3 2
775 10 m


aço
aço alum
Compatibilidade :
P L
    alum
aço aço
P L
E A


aço
9
alum alum
P
E A 200 10

  3
1,1775 10
 
alum
9
P
68,9 10

 3
3,847 10
 
 
aço açoalum alum
alum aço
alum aço
Assim :
P PP P 265,06
P P
200 1,1775 68,9 3,847 235,5 265,06 235,5
Assim :
P 1,1255 P 1
     
 
 
 
   
y aço alum aço alum aço alum
alum aço
aço alum
aço alum aço aço aço
aço
Equações de Equilíbrio :
F 0 : P P P 0 P P 200 0 P P 200 2
1 2 :
P 1,1255 P
P P 200
Assim :
P P 200 P 1,1255 P 200 2,1255 P 200
Assim :
200
P kN 94,10 k
2,1255
          

 

 
        
 

aço
alum aço conc alum
N P 94,10 kN
Mas :
P 1,1255 P P 1,1255 94,10 kN 105,9 kN P 105,9 kN
 
       
3
aço
3 2
aço
3
aço 6
aço aço3
aço
Tensão Normal Média do Aço :
P 94,10 kN 94,10 10 N
A 1,1775 10 m
Assim :
P 94,10 10
Pa 79,92 10 Pa 79,92 MPa
A 1,1775 10


  
 

       


3
alum
3 2
alum
3
6alum
alum alum3
alum
Tensão Normal Média no Alumínio :
P 105,9 kN 105,9 10 N
A 3,847 10 m
Assim :
P 105,9 10
Pa 27,53 10 Pa 27,53 MPa
A 3,847 10


  
 

       

08) A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a
uma força axial de 800 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1/4 da carga seja
suportada pelo aço e 3/4, pelo concreto. E aço = 200 GPa e Ec = 25 GPa.
SOLUÇÃO:
 
conc conc
aço aço
2 2
aço aço aço aço conc aço
22 2 2
conc conc aço conc aço
aço
Dados :
3
P 800 kN P P 0,75 800 kN 600 kN P 600 kN
4
1
P P 0,25 800 kN 200 kN P 200 kN
4
A 4 d A 3,14d L L
4
L 300mm 0,3 m A L A 0,3 m A 0,09 3,14d m
E 200 GPa 2
       
      

    
        
  9 9
conc
aço conc
aço aço conc conc
aço aço conc conc
00 10 Pa E 25 GPa 25 10 Pa
Compatibilidade :
Assim :
P L P L
E A E A
   
  
 

 

aço conc
aço aço
Como L L
P L

 conc conc
aço aço
P L
E A



aço conc
conc conc aço aço conc conc
P P
E A E A E A
Substituindo :
200
 
  
200
9
200 10

 2
aço
600
3,14d


200
9
25 10

  
 
2 2
aço aço
2 2
aço aço2 2
aço aço
2 2 2 2 2
aço aço aço aço aço
2
aço
1 3
200 3,14d 25 0,09 3,14d0,09
Assim :
1 3
3 628d 1 2,25 78,5d
628d 2,25 78,5d
Assim :
1884d 2,25 78,5d 1884d 78,5d 2,25 1962,5d 2,25
Assim :
2,25
d m 0,0338
1962,5
 
  
     

      
  aço
6 m 33,86 mm d 33,86 mm  

09) O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão
apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25 kN à tampa rígida, determine o diâmetro d
exigido para o poste de aço para que a carga seja compartilhada igualmente entre o poste e o tubo.
SOLUÇÃO:
aço latão
3 3 3
0 0
3 3 3 3
i 0 i
2 2
aço aço aço aço conc aço
2
latão 0
Dados :
1
P 25 kN P P P 0,5 25 kN 12,5 kN
2
r 75 mm 75 10 m d 150 10 m c 12 mm 12 10 m
Assim :
r r c 75 10 12 10 63 10 m d 126 10 m
A d A 0,785d L L 200 mm 0,2 m
4
A d
4
  
   
      
        
          

     

        
2 2
2 2 2 3 3 2
i 0 i
3 2 3 2 3 2
latão latão
9 9
aço latão
aço conc
aço aço
aço aço
d 0,785 d d 0,785 150 10 126 10 m
A 0,785 6,624 10 m 5,2 10 m A 5,2 10 m
E 193 GPa 193 10 Pa E 101 GPa 101 10 Pa
Compatibilidade :
Assim :
P L
E A
 
  
         
  
       
     
  


latão latão
latão latão
P L
E A




aço tatão aço latão
aço
Como L L 0,2 m P 25 kN P P 12,5 kN
P
    
latão
aço aço
P
E A


aço aço latão latão
latão latão aço aço latão latão
2 2
aço aço latão
9 9
aço latão
9
aço aço latão latão
1 1
E A E A
E A E A E A
Onde :
A 0,785d A 0,01246 m
E 193 GPa 193 10 Pa E 101 GPa 101 10 Pa
Substituindo :
E A E A 193 10
     
  
 
     
     2 9
aço
0,785d 101 10   3
2 3
aço
2 2 2
aço aço aço
2
aço aço
5,2 10
Assim :
193 0,785d 101 5,2 10
Assim :
0,5252
151,51d 0,5252 151,51d 0,5252 d
151,51
Assim :
0,5252
d m 0,05888 m 58,88 mm d 58,88 mm
151,51


 
   
    
    

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