1. Université Mohammed V – Agdal – اآ ال ا
Faculté des Sciences Juridiques, د وا ما ا آ
Economiques et sociales وا
RABAT ط اا
http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S4
Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Matière : Algèbre II
CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE
CHAP TRE 2 :
I- Produit scalaire dans Թ et Espace euclidien Թ ........................................................... 2
I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2
I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne ............................................................................................................. 4
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs ...................................................................................................... 5
II- Orthogonalité .................................................................................................................. 5
II-1 Vecteurs orthogonaux ................................................................................................................................... 5
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ............................................................................................ 6
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux ............................................................................................................ 7
III- Projection - Projection orthogonale ............................................................................. 8
III-1 Définitions ................................................................................................................................................... 8
III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale .................................................................................. 9
III-1 Caractérisation et propriétés ...................................................................................................................... 10
IV-1 Droites dans Թଶ ......................................................................................................................................... 12
IV- Application aux droites et aux plans ........................................................................... 12
Equation d’une droite dans le plan ....................................................................................................... 12
IV-2 Plans et droites dans Թଷ ............................................................................................................................. 14
Projection orthogonale sur une droite du plan..................................................................................... 13
Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace .................................................................... 14
Projection orthogonale sur un plan ...................................................................................................... 16
Projection orthogonale sur une droite .................................................................................................. 17
V- Application aux matrices : images et noyaux orthogonaux ........................................ 17
VI- Retour aux systèmes linéaires (solution au sens des MCO) ...................................... 18
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2. I- Produiit scallaiire dans Թ et Espace euclliidiien Թ
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
I- Produ t sca a re dans Թ et Espace euc d en Թ
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
I-1 Définitions
On appelle produit scalaire dans Թ toute application ߮ de Թ ൈ Թ dans Թ qui possède les
Définition : (Produit scalaire)
On notera ۄݕ ,ݔۃఝ , ou simplement ,ۄݕ ,ݔۃle nombre réel ߮ሺݕ ,ݔሻ.
propriétés ci-dessus.
- Linéarité par rapport à la première variable : ሺ ݔ ,ݔᇱ , א ݕԹ ݁ א ߚ ,ߙ ݐԹሻ
(1) La bilinéarité.
߮ሺ ݔ ݔᇱ , ݕሻ ൌ ߮ሺݕ ,ݔሻ ߮ሺ ݔᇱ , ݕሻ
൜ ߮ሺߙ. ݔ ߚ. ݔᇱ , ݕሻ ൌ ߙ. ߮ሺݕ ,ݔሻ ߚ. ߮ሺ ݔᇱ , ݕሻ
߮ሺߙ. ݕ ,ݔሻ ൌ ߙ. ߮ሺݕ ,ݔሻ
ݔۃ ݔᇱ , ۄݕఝ ൌ ۄݕ ,ݔۃఝ ݔۃᇱ , ۄݕఝ
ou encore :
ቊ ݔ .ߙۃ ߚ. ݔᇱ , ۄݕఝ ൌ ߙ. ۄݕ ,ݔۃఝ ߚ. ݔۃᇱ , ۄݕఝ
ۄݕ ,ݔ .ߙۃఝ ൌ ߙ. ۄݕ ,ݔۃఝ
- Linéarité par rapport à la deuxième variable : ሺ ݕ ,ݕ ,ݔᇱ אԹ ݁ א ߚ ,ߙ ݐԹሻ
߮ሺ ݕ ,ݔ ݕᇱ ሻ ൌ ߮ሺݕ ,ݔሻ ߮ሺ ݕ ,ݔᇱ ሻ
൜ ߮ሺ ݕ .ߙ ,ݔ ߚ. ݕᇱ ሻ ൌ ߙ. ߮ሺݕ ,ݔሻ ߚ. ߮ሺ ݕ ,ݔᇱ ሻ
߮ሺݕ .ߙ ,ݔሻ ൌ ߙ. ߮ሺݕ ,ݔሻ
ݕ ,ݔۃ ݕᇱ ۄఝ ൌ ۄݕ ,ݔۃఝ ݕ ,ݔۃᇱ ۄఝ
ou encore :
ቊ ݕ .ߙ ,ݔۃ ߚ. ݕᇱ ۄఝ ൌ ߙ. ۄݕ ,ݔۃఝ ߚ. ݕ ,ݔۃᇱ ۄఝ
ۄݕ .ߙ ,ݔۃఝ ൌ ߙ. ۄݕ ,ݔۃఝ
א ݕ ,ݔԹ
߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ ߮ሺݕ ,ݔሻ ou encore ۄݕ ,ݔۃఝ ൌ ۄݔ ,ݕۃఝ
(2) La bilinéarité.
א ݔԹ ߮ሺݔ ,ݔሻ 0 ou encore ۄݔ ,ݔۃఝ 0
(3) La positivité.
א ݔԹ ߮ሺݔ ,ݔሻ ൌ 0 0 ؠ ݔou encore ۄݔ ,ݔۃఝ ൌ 0 0 ؠ ݔ
(4) La non dégénérescence.
Lorsqu'il est muni d'un produit scalaire ۄ . , .ۃఝ , Թ est appelé un espace vectoriel euclidien.
Définition : (Espace vectoriel euclidien)
On le note par ൫Թ , ۄ . , .ۃఝ ൯
(1) ߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ ∑ ݔ ݕ est un produit scalaire sur Թ : produit scalaire canonique ou usuel de Թ .
Exemples :
ୀଵ
(2) ߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ ∑ ܽ ݔ ݕ , ሺܽ 0, ݅ൌ 1, … ݊ሻ est un produit scalaire sur Թ .
ୀଵ
(3) ߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ 2ݔଵ 1ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଶ 2ݕest un produit scalaire sur Թଶ .
(4) ߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ 2ݔଵ 1ݕ 2ݔଶ 2ݕ 2ݔଷ 3ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଵ 3ݕ ݔଷ 1ݕ ݔଶ 3ݕ ݔଷ 2ݕest un produit
scalaire sur Թଷ .
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3. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
I-2 Matrice d'un produit scalaire
La matrice d’un produit scalaire ۄ . , .ۃఝ défini sur Թ , muni de sa base canonique ሼ݁ଵ , … , ݁ ሽ
Définition : (Matrice d’un produit scalaire)
c’est la matrice ܯdéfinie par ݉ ൌ ߮൫݁ , ݁ ൯, ሺ݅ ൌ 1, ݊ሻ .
Exemples :
(2) La matrice du produit scalaire défini ۄݕ ,ݔۃൌ ∑ ܽ ݔ ݕ , ܽ 0 c’est la matrice diagonale ሺܽ ሻଵஸஸ .
(1) La matrice du produit scalaire canonique c’est la matrice identité.
ୀଵ
2 1
(3) La matrice du produit scalaire défini ۄݕ ,ݔۃൌ 2ݔଵ 1ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଶ 2ݕc’est la matrice ቂ ቃ.
1 1
(4) La matrice du produit scalaire défini ۄݕ ,ݔۃൌ 2ݔଵ 1ݕ 2ݔଶ 2ݕ 2ݔଷ 3ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଵ 3ݕ ݔଷ 1ݕ
2 1 1
ݔଶ 3ݕ ݔଷ 2ݕc’est la matrice 1 2 1൩.
1 1 2
Définition : (Matrice symétrique définie positive)
Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement
positives.
Exemples :
(1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive.
(2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont
1 2
(3) La matrice symétrique ቂ ቃ n’est pas définie positive.
strictement positifs.
2 1
2 1
(4) La matrice symétrique ቂ ቃ est définie positive.
1 1
1 1 െ1
(5) La matrice symétrique 1 1 1 ൩ n’est pas définie positive car ܲ ሺߣሻ ൌ െሺߣ 1ሻሺߣ െ 2ሻଶ
െ1 1 1
2 1 1
(6) La matrice symétrique 1 2 1൩ est définie positive car ܲ ሺߣሻ ൌ െሺߣ െ 4ሻሺߣ െ 2ሻଶ
1 1 2
La matrice d’un produit scalaire sur Թ est une matrice symétrique définie positive.
Proposition :
Exemples :
La matrice du produit scalaire ۄݕ ,ݔۃൌ ∑ ܽ ݔ ݕ , ܽ 0 est symétrique définie positive.
(1) La matrice du produit scalaire canonique est symétrique définie positive (la matrice identité).
ୀଵ
La matrice du produit scalaire ۄݕ ,ݔۃൌ 2ݔଵ 1ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଶ 2ݕest symétrique définie positive.
(2)
La matrice du produit scalaire ۄݕ ,ݔۃൌൌ 2ݔଵ 1ݕ 2ݔଶ 2ݕ 2ݔଷ 3ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଵ 3ݕ ݔଷ 1ݕ
(3)
ݔଶ 3ݕ ݔଷ 2ݕest symétrique définie positive.
(4)
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4. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Une matrice carrée d’ordre ݊ définit un produit scalaire sur Թ si et seulement si elle est
Proposition :
Soit ܯune matrice symétrique définie positive d’ordre ݊.
symétrique définie positive.
L’application ߮ de Թ ൈ Թ dans Թ par ߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ ௧ ݕ .ܯ .ݔest un produit scalaire sur Թ .
On notera ۄݕ ,ݔۃெ , le nombre réel ߮ሺݕ ,ݔሻ.
1 2
(1) La matrice symétrique ቂ ቃ ne définit pas de produit scalaire sur Թଶ car elle n’est pas définie positive.
Exemples :
2 1
2 1
(2) La matrice symétrique ቂ ቃ définit un produit scalaire Թଶ (car elle est définie positive) par
1 1
2 1 1ݕ
߮ሺݕ ,ݔሻ ൌ ሺݔଵ ݔଶ ሻ ቂ ቃ ቀ ቁ ൌ 2ݔଵ 1ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଶ 2ݕ
1 1 2ݕ
1 1 െ1
(3) La matrice 1 1 1 ൩ ne définit pas de produit scalaire sur Թଷ car elle n’est pas définie positive.
െ1 1 1
2 1 1
(4) La matrice symétrique 1 2 1൩ définit un produit scalaire Թଷ (car elle est définie positive) par
1 1 2
2 1 1 1ݕ
ۄݕ ,ݔۃൌ ሺݔଵ ݔଶ ݔଶ ሻ 1 2 1൩ ൭ 2ݕ൱
1 1 2 3ݕ
ۄݕ ,ݔۃൌ 2ݔଵ 1ݕ 2ݔଶ 2ݕ 2ݔଷ 3ݕ ݔଵ 2ݕ ݔଶ 1ݕ ݔଵ 3ݕ ݔଷ 1ݕ ݔଶ 3ݕ ݔଷ 2ݕ
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne
Soit ۄݕ ,ݔۃఝ un produit scalaire sur Թ . On notera ԡݔԡఝ simplement par ԡݔԡ.
Définition :
L’application définie de Թ vers Թ par : ԡݔԡ ൌ ඥۄݔ ,ݔۃఝ s’appelle norme euclidienne.
Le nombre ԡݔԡ s’appelle norme du vecteur .ݔ
L’application définie de Թ vers Թ par : ݀ሺݕ ,ݔሻ ൌ ԡ ݔെ ݕԡ s’appelle distance euclidienne.
La distance d’un point ݔà un sous espace vectoriel ܨest donnée par : ݀ሺܨ ,ݔሻ ൌ minԡ ݔെ ݕԡ
௬אி
Homogénéité : ԡߣ. ݑԡ ൌ |ߣ|. ԡݑԡ
Propriétés : (norme euclidienne)
Norme d’une somme de deux vecteurs : ԡ ݑ ݒԡଶ ൌ ԡݑԡଶ ԡݒԡଶ 2. ۄݒ ,ݑۃ
(1)
Inégalité de Schwarz : | |ۄݒ ,ݑۃ ԡݑԡ. ԡݒԡ
(2)
Inégalité de Minkowski : ԡ ݑ ݒԡ ԡݑԡ ԡݒԡ
(3)
(4)
(1) ݀ሺݕ ,ݔሻ ൌ ݀ሺݔ ,ݕሻ
Propriétés : (distance euclidienne)
(2) ݀ሺݕ ,ݔሻ ൌ 0 ݔൌ ݕ
(3) ݀ሺݖ ,ݔሻ ݀ሺݕ ,ݔሻ ݀ሺݖ ,ݕሻ
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5. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Proposition :
Si ൫Թ , ۄ . , .ۃఝ ൯ est un espace euclidien, alors : א ݒ ,ݑԹ ; ۄݒ ,ݑۃൌ ସ ሺԡ ݑ ݒԡଶ െ ԡ ݑെ ݒԡଶ ሻ
ଵ
Pour désigner un espace euclidien, on note alors aussi ൫Թ , ԡ. ԡఝ ൯ au lieu de ൫Թ , ۄ . , .ۃఝ ൯,
La connaissance de la norme détermine complètement le produit scalaire.
ԡ. ԡఝ étant la norme euclidienne associée au produit scalaire ۄ . , .ۃఝ .
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs
Si ݑet ݒsont deux vecteurs non nuls de ሺԹ୬ , ۄ . , .ۃሻ alors il existe un unique angle θ אሾ0, πሿ tel
Proposition :
| |ۄݒ ,ݑۃ ԡݑԡ. ԡݒԡ
que cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ : ൜ ฺ െ1 ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ 1 ฺ א ߠሾ0, ߨሿ/ cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ
ۃ௨,௩ۄ ۃ௨,௩ۄ ۃ௨,௩ۄ
ԡݑԡ. ԡݒԡ ് 0
Si ݑet ݒsont deux vecteurs non nuls de ሺԹ , ۄ . , .ۃሻ alors l’unique angle ߠ אሾ0, ߨሿ vérifiant
Définition :
cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ s’appelle angle des deux vecteurs ݑet . ݒ
ۃ௨,௩ۄ
On considère dans toute la suite l’espace euclidien ሺԹ , ۄ . , .ۃሻ : où Թ est muni du produit scalaire usuel :
א ࢟ ,࢞Թ ۄ࢟ ,࢞ۃ ൌ ࢞ ࢟ ; ԡ࢞ԡ ൌ ඩሺ࢞ ሻ
ൌ ൌ
II- Orthogonalliité
II- Orthogona té
II-1 Vecteurs orthogonaux
On dit que deux vecteurs ݑet ݒde Թ sont orthogonaux et on note ݒ ٣ ݑssi ۄݒ ,ݑۃൌ 0.
Définition :
Propriétés :
(1) L’angle de deux vecteurs orthogonaux ݑet ݒest égal à : cosሺݒ ,ݑሻ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ ൌ 0
గ ۃ௨,௩ۄ
ଶ
(2) Deux vecteurs ݑet ݒsont orthogonaux ssi ԡ ݑ ݒԡଶ ൌ ԡݑԡଶ ԡݒԡଶ (l’identité de Pythagore)
Un système de vecteurs ሼݑଵ , … , ݑ ሽ de Թ est un système orthogonal ssi ݑۃ , ݑ ۄൌ 0 .݆ ് ݅ ݅ݏ
Définition :
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6. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Proposition :
Un système orthogonal est libre.
Un système, de n vecteurs de Թ , ሼݑଵ , … , ݑ ሽ est une base orthonormée ssi :
Définition :
0 ݆ ് ݅ ݅ݏ ݑۃ , ݑ ۄൌ 0 ݆ ് ݅ ݅ݏ
ݑۃ , ݑ ۄൌ ߜ ൌ ൜ ݅ݏݏቊ
1 ݆ ് ݅ ݅ݏ ݑۃ , ݑ ۄൌ ԡݑ ԡଶ ൌ 1
.
Tout sous espace vectoriel de ሺԹ , ۄ . , .ۃሻ admet une base orthonormée.
Proposition :
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Soit ܧun sous espace de ሺԹ , ۄ . , .ۃሻ . Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt consiste à
construire une base orthonormée ൛ߝଵ , … , ߝ ൟ de ܧà partir d’une base quelconque ൛ݑଵ , … , ݑ ൟ de . ܧ
Étapes du procédé :
Départ : ൛ݑଵ , … , ݑ ൟ une base de .ܧ
Étape 1 : construire le 1er vecteur de la base orthonormée ߝଵ
ߝԢଵ
ߝԢଵ ൌ ݑଵ ื ߝଵ ൌ
ԡߝԢଵ ԡ
Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée ߝଶ
ߝԢଶ
ߝԢଶ ൌ ݑଶ െ ݑۃଶ , ߝଵ ߝ .ۄଵ ื ߝଶ ൌ
ԡߝԢଶ ԡ
Étape r : construire le rième vecteur de la base orthonormée ߝ
ߝԢ
ߝԢ ൌ ݑ െ ݑۃ , ߝଵ ߝ .ۄଵ … െ ݑۃ , ߝିଵ ߝ .ۄିଵ ื ߝ ൌ
ԡߝԢ ԡ
Étape p : construire le pième vecteur de la base orthonormée ߝ
ߝԢ
ߝԢ ൌ ݑ െ ݑۃ , ߝଵ ߝ .ۄଵ … െ ݑۃ , ߝିଵ ߝ .ۄିଵ ื ߝ ൌ
ฮߝԢ ฮ
Arrivée : ൛ߝଵ , … , ߝ ൟ est une base orthonormée de ܸ.
Exemple :
Une base orthonormée du sous espace vectoriel ܸ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ൌ 0ሽ
1ݑൌ ሺെ1,1,0,0ሻ
Départ : On construit une base ሼݑଵ , ݑଶ , ݑଷ ሽ de ܸ ቐ 2ݑൌ ሺെ1,0,1,0ሻ
3ݑൌ ሺെ1,0,0,1ሻ
Étape 1 : On construit le 1er vecteur de la base orthonormée ߝଵ ൌ ቀ , , 0,0ቁ
ିଵ ଵ
√ଶ √ଶ
ߝ ᇱଵ ൌ ݑଵ ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ
ԡߝ ᇱଵ ԡ ൌ √2
ߝଵ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଵ ൌ . ሺെ1,1,0,0ሻ
ଵ ଵ
భ √ଶ
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7. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée ߝଶ ൌ ቀ , , , 0ቁ
ିଵ ିଵ ଶ
√ √ √
ߝ ᇱ ଶ ൌ ݑଶ െ ݑۃଶ , ߝଵ ߝ .ۄଵ ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ െ ቀ , , 0,0ቁ ൌ ቀ ଶ , ଶ , 1,0ቁ ; ݑۃଶ , ߝଵ ۄൌ
ଵ ିଵ ଵ ିଵ ିଵ ଵ
√ଶ √ଶ √ଶ √ଶ
ିଵ ଶ ିଵ ଶ
ԡߝ ᇱ ଶ ԡ ൌ ටቀ ቁ ቀ ቁ ሺ1ሻଶ ൌ ට
ଷ
ଶ ଶ ଶ
ߝଶ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଶ ൌ ටଷ . ቀ ଶ , , 1,0ቁ
ଵ ଶ ିଵ ିଵ
మ ଶ
Étape 3 : construire le 3ème vecteur de la base orthonormée ߝଷ ൌ ቀଶ , , , ቁ
ିଵ ିଵ ିଵ ଷ
√ଷ ଶ √ଷ ଶ √ଷ ଶ √ଷ
ߝ ᇱ ଷ ൌ ݑଷ െ ݑۃଷ , ߝଵ ߝ .ۄଵ െ ݑۃଷ , ߝଶ ߝ .ۄଶ ; ݑۃଷ , ߝଵ ۄൌ ଶ , ݑۃଷ , ߝଶ ۄൌ
ଵ ଵ
√ √
ߝ ᇱ ଷ ൌ ሺെ1,0,0,1ሻ െ ቀ , , 0,0ቁ െ . ቀ , , , 0ቁ ൌ ቀ , , , 1ቁ
ଵ ିଵ ଵ ଵ ିଵ ିଵ ଶ ିଵ ିଵ ିଵ
√ ଶ √ଶ √ଶ √ √ √ √ ଷ ଷ ଷ
ଶ ଶ ଶ
ԡߝ ᇱ ଷ ԡ ൌ ටቀ ቁ ቀ ቁ ቀ ቁ ൌ ሺ1ሻଶ ൌ
ିଵ ିଵ ିଵ ଶ
ଷ ଷ ଷ √ଷ
ߝଷ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଷ ൌ . ቀ , , , 1ቁ
ଵ √ଷ ିଵ ିଵ ିଵ
ଶ ଷ ଷ ଷ
Arrivée : ሼߝଵ , ߝଶ , ߝଷ ሽ est une base orthonormée de ܸ.
య
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux
Soit ܸ un sous-espace vectoriel de Թ . On appelle sous-espace orthogonal de ܸ et on note
Définition :
ܸ ୄ l’ensemble : ܸ ୄ ൌ ሼ א ݒԹ / ۄݒ ,ݑۃൌ 0 ܸ א ݑሽ
Deux sous espaces vectoriels ܨet ܩde Թ sont supplémentaires ssi Թ est leur somme directe :
Rappel :
ܩ۩ܨൌ Թ א ݔ ݅ݏݏԹ ; !ሺݖ ,ݕሻ ܨ אൈ ݔ / ܩൌ ݕ ݖ
L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de ሺԹ , ۄ ,ۃሻ est un sous espace vectoriel de ሺԹ , ۄ ,ۃሻ.
Proposition :
Un sous espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires dans Թ : ܸ۩ܸ ୄ ൌ Թ .
L’orthogonal de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel lui est égal : ሺܸ ୄ ሻୄ ൌ ܸ
En particulier, on a : ሺሼ0, … ,0ሽሻୄ ൌ Թ et ሺԹ ሻୄ ൌ ሼ0, … ,0ሽ
Si ܸ ൌ ݐܿ݁ݒ൛ ݑ , … , 1ݑൟ est un sous-espace vectoriel de Թ alors :
Proposition :
ܸ ୄ ൌ ൛ א ݒԹ / ݑۃଵ , ۄݒൌ ڮൌ ݑۃ , ۄݒൌ 0ൟ
Exemple : ܸ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ൌ 0ሽ
1ݑൌ ሺെ1,1,0,0ሻ
ܸ ൌ ݐܿ݁ݒሼ 3ݑ , 2ݑ , 1ݑሽ avec ቐ 2ݑൌ ሺെ1,0,1,0ሻ ; car ሼݑଵ , ݑଶ , ݑଷ ሽ est une base de ܸ.
3ݑൌ ሺെ1,0,0,1ሻ
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8. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
ۄݔ , 1 ݑ ۃൌ 0 െ 1ݔ 2ݔൌ 0 െ 1ݔ 2ݔൌ 0
ݔൌ ሺ 4ݔ , 3ݔ , 2ݔ , 1ݔሻ ܸ אቐ ۄݔ , 2ݑۃൌ 0 ൝െ 1ݔ 3ݔൌ 0 ൝െ 1ݔ 3ݔൌ 0
ୄ
ۄݔ , 3 ݑ ۃൌ 0 െ 1ݔ 4ݔൌ 0 െ 1ݔ 4ݔൌ 0
ܸ ୄ ൌ ሼሺ 4ݔ , 3ݔ , 2ݔ , 1ݔሻ אԹ / െ 1ݔ 2ݔൌ 0 ; െ 1ݔ 3ݔൌ 0 ; െ 1ݔ 4ݔൌ 0ሽ
4
ܸ ୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼ 1ݒሽ ; avec ݒଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ une base de ܸ ୄ .
Un sous espace vectoriel de Թ est dit hyperplan s’il est de dimension ݊ െ 1.
Définition :
ܸ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ : dimሺԹସ ሻ ൌ 4 et dimሺܸሻ ൌ 3
Exemple :
Soit H un hyperplan de ሺԹ୬ , ۄ . , .ۃሻ alors il existe un vecteur א ݒԹ୬ tel que ܪୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼݒሽ.
Proposition :
ܸ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ .
Exemple :
ݒଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ אԹସ / ܸ٣ ൌ ݐܿ݁ݒሼݒଵ ሽ.
Soit H un hyperplan de ሺԹ୬ , ۄ . , .ۃሻ et ܪୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼݒሽ.
Définition :
Le vecteur ݒs’appelle "vecteur normal" ou "une normale" à H.
Si ԡݒԡ ൌ 1, ݒest un "vecteur normal unitaire" ou "normale unitaire" à H.
ܸ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ .
Exemple :
ܸ ୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼ 1ݒሽ, avec 1ݒൌ ሺ1,1,1,1ሻ.
Le vecteur ݒଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ est un vecteur normal à ܸ.
Le vecteur ݒଵ ൌ ԡ௩ ԡ . ݒଵ ൌ ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ est un vecteur normal unitaire à ܸ.
ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ
భ
III- Projjectiion -- Projjectiion orthogonalle
III- Pro ect on Pro ect on orthogona e
III-1 Définitions
Si ܨet ܩsont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ alors l’application définie
Proposition :
par : א ݔԹ୬ , ሺݔሻ ൌ ݔ ݅ݏ ݕൌ ݕ ܩ א ݖ ݐ݁ܨ א ݕ ܿ݁ݒܽ ݖest une application linéaire.
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9. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Soient ܨet ܩsont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ : Թ୬ ൌ ܩ ْ ܨ
Définition :
L’application linéaire définie sur Թ୬ par ሺݔሻ ൌ ݔ ݅ݏ ݕൌ ݕ ܩ א ݖ ݐ݁ܨ א ݕ ; ݖs’appelle la
projection sur ࡲ parallèlement à ࡳ .
L’application linéaire ݍൌ ݀ܫோ െ définie sur Թ୬ par ݍሺݔሻ ൌ ݔെ ሺݔሻ est la projection sur ܩ
parallèlement à . ܨ
Si ܨest un sous espace vectoriel de ሺԹ୬ , ۄ . , .ۃሻ alors la projection sur ܨparallèlement à ܨୄ
Définition :
s’appelle la projection orthogonale sur .ܨOn la notera ி .
III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale
Soit ܨun sous-espace de ሺԹ୬ , ۄ . , .ۃሻ.
Proposition :
Si ܤி ൌ ൛ܾଵ , … , ܾ ൟ est une base orthonormée de ,ܨet si ி est la projection orthogonale sur ܨ
alors : א ݔԹ୬ ; ܨሺݔሻ ൌ ∑ୀܾ ,ݔۃ ܾ .ۄ
ୀଵ
La projection orthogonale sur ܨୄ est alors donnée par : א ݔԹ୬ ; ி఼ ሺݔሻ ൌ ݔെ ∑ୀܾ ,ݔۃ ܾ .ۄ
ୀଵ
(1) ܹ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ൌ ݔଶ ൌ ݔଷ ൌ ݔସ ሽ
Exemples :
dimሺܹሻ ൌ 1 : ሼߝଵ ሽ est une base orthonormée de ܸ avec ߝଵ ൌ ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ.
ଵ ଵ ଵ ଵ
La projection orthogonale sur ܹ est donnée par : א ݔԹସ , ܹሺݔሻ ൌ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ
ௐ ሺݔሻ ൌ ߝ ,ݔۃଵ ߝ .ۄଵ ൌ ଶ ሺ 1ݔ 2ݔ 3ݔ 4ݔሻ. ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ
ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ
o
Donc, x אԹସ , on a :
1 1 1 1
ௐ ሺݔሻ ൌ ቆ ሺ 1ݔ 2ݔ 3ݔ 4ݔሻ ; ሺ 1ݔ 2ݔ 3ݔ 4ݔሻ ; ሺ 1ݔ 2ݔ 3ݔ 4ݔሻ ; ሺ 1ݔ 2ݔ 3ݔ 4ݔሻቇ
4 4 4 4
(2) ܸ ൌ ሼሺݔଵ , ݔଶ , ݔଷ , ݔସ ሻ אԹସ / ݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ൌ 0ሽ
dimሺܸሻ ൌ 3 : ሼߝଵ , ߝଶ , ߝଷ ሽ est une base orthonormée de ܸ avec
o ߝଵ ൌ ቀ ଶ , ଶ , 0,0ቁ , ߝଶ ൌ ቀ , , , 0ቁ , ߝଷ ൌ ቀଶ ଷ , ଶ ଷ , ଶ ଷ , ଶ ଷቁ
ିଵ ଵ ିଵ ିଵ ଶ ିଵ ିଵ ିଵ ଷ
√ √ √ √ √ √ √ √ √
La projection orthogonale sur ܸ est donnée par :
o א ݔԹସ , ܸሺݔሻ ൌ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ 3ߝ .ۄ 3ߝ ,ݔۃ
1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃۓൌ √2 ሺ 1ݔെ 2ݔሻ ቀ√2 , √2 , 0,0ቁ
െ1 െ1 1
ۖ
2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃൌ ሺ 1ݔ 2ݔെ 2 3ݔሻ ቀ , , , 0ቁ
െ1 െ1 െ1 2
۔ √6 √6 √6 √6
ۖ ߝ .ۄ ߝ ,ݔۃൌ െ1 ሺ ݔ ݔ ݔെ 3 ݔሻ ቀ െ1 , െ1 , െ1 , 3 ቁ
o
ە 3 3 2 √3 1 2 3 4 2 √3 2 √3 2 √3 2 √3
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o qui donne :
1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ ۓൌ ቀ2 ሺ 1ݔെ 2ݔሻ, െ 2 ሺ 1ݔെ 2ݔሻ, 0,0ቁ
1 1
ۖ
2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃൌ ቀ ሺ 1ݔ 2ݔെ 2 3ݔሻ, ሺ 1ݔ 2ݔെ 2 3ݔሻ, െ ሺ 1ݔ 2ݔെ 2 3ݔሻ, 0ቁ
1 1 2
۔
6 6 6
ۖ ߝ .ۄ ߝ ,ݔۃൌ ൬ ሺ ݔ ݔ ݔെ 3 ݔሻ, ሺ ݔ ݔ ݔെ 3 ݔሻ, 1 ሺ ݔ ݔ ݔെ 3 ݔሻ, െ 3 ሺ ݔ ݔ ݔെ 3 ݔሻ൰
1 1
ە 3 3 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4
Donc, x אԹସ , on a :
1 1 1 1
ሺݔሻ ൌ ቆ ሺ3ݔଵ െ ݔଶ െ ݔଷ െ ݔସ ሻ ; ሺെݔଵ 3ݔଶ െ ݔଷ െ ݔସ ሻ ; ሺെݔଵ െ ݔଶ 3ݔଷ െ ݔସ ሻ ; ሺെݔଵ െ ݔଶ െ ݔଷ 3ݔସ ሻቇ
4 4 4 4
♦ Une méthode plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur ܸ consiste à déterminer
Remarque :
avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite : dimሺܸ ୄ ሻ ൌ 4 െ dimሺܸሻ ൌ 1.
ܸୄ ൌ ܹ
La projection orthogonale ௐ ሺݔሻ sur ܹ est donnée par :
1 1 1 1
ௐ ሺݔሻ ൌ ቆ ሺݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ሻ ; ሺݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ሻ ; ሺݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ሻ ; ሺݔଵ ݔଶ ݔଷ ݔସ ሻቇ
4 4 4 4
La projection orthogonale sur ܸ définie par ሺݔሻ ൌ ݔെ ௐ ሺݔሻ est alors donnée par :
1 1 1 1
ሺݔሻ ൌ ቆ ሺ3ݔଵ െ ݔଶ െ ݔଷ െ ݔସ ሻ ; ሺെݔଵ 3ݔଶ െ ݔଷ െ ݔସ ሻ ; ሺെݔଵ െ ݔଶ 3ݔଷ െ ݔସ ሻ ; ሺെݔଵ െ ݔଶ െ ݔଷ 3ݔସ ሻቇ
4 4 4 4
III-1 Caractérisation et propriétés
Soient ܨet ܩsont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ .
Proposition :
Si est une projection sur ܨparallèlement à ܩalors :
(1) ଶ ൌ ל ൌ
(2) ל ሺ݀ܫா െ ሻ ൌ ሺ݀ܫா െ ሻ לൌ 0
(3) ݉ܫሺሻ ൌ ܨൌ ݎ݁ܭሺ݀ܫா െ ሻ ; ݉ܫሺ݀ܫா െ ሻ ൌ ܩൌ ݎ݁ܭሺሻ
Une projection est une projection orthogonale sur ܨssi sa matrice dans une base orthonormée
de Թ୬ est symétrique.
Un endomorphisme de Թ୬ est une projection ssi ଶ ൌ ל ൌ .Dans ce cas,
Proposition :
est la projection sur ݉ܫሺሻ parallèlement à ݎ݁ܭሺሻ.
ݍൌ ݀ܫԹ െ est la projection sur ݎ݁ܭሺሻ parallèlement à ݉ܫሺሻ.
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IV- Applliicatiion aux droiites et aux pllans
IV- App cat on aux dro tes et aux p ans
Dans Թଶ , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites.
Tout sous espace vectoriel non trivial de Թଶ est de dimension 1 : c’est un hyperplan de Թଶ .
o un hyperplan de Թଶ est une droite du plan.
Dans Թଷ , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites et des plans.
Tout sous espace vectoriel non trivial de Թଷ est
• soit de dimension 2 : un hyperplan de Թଷ , un hyperplan de Թଷ est un plan de l’espace.
• ou de dimension 1 : c’est une droite de l’espace.
IV-1 Droites dans Թ
Equation d’une droite dans le plan
Une droite ሺܦሻ dans le plan Թଶ a une équation, dite cartésienne, de la forme :
Définition :
ሺܦሻ: ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾሻ ് ሺ0,0ሻ
െܾ
Le vecteur ݑൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de la droite ሺܦሻ.
ܽ
Le coefficient directeur est ݉ ൌ െ .
♦ L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : ݕൌ ݉ ݔ ݉ ;
Remarque :
est le coefficient directeur de la droite et l’ordonnée à l’origine.
♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : ݔൌ .
Toute équation de la forme ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾሻ ് ሺ0,0ሻ, définit une droite ሺDሻ dans le
Proposition :
plan Թଶ .
െܾ
le vecteur ݑൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺDሻ.
ܽ
ܽ
Le vecteur ݒൌ ቀ ቁ est un vecteur normal à ሺDሻ.
ܾ
ሺܦሻ ݔ 2 ݕ 3 ൌ 0
L’équation réduite de la droite ሺܦሻ est donnée par : ݕൌ െ ଶ ݔെ ଶ
ଵ ଷ
Exemple :
1
Le vecteur ݒൌ ቀ ቁ est un vecteur normal à ሺܦሻ
2
െ2
Le vecteurs ݒൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺܦሻ.
1
Un vecteur directeur de la droite passant par deux points ܯሺݕ ,ݔሻ et ܰሺ ݔᇱ , ݕᇱ ሻ est donné par :
Proposition :
ሬሬሬሬሬሬሬԦ ݔെ ݔԢ
ܰܯൌ ݒൌ ൬ ൰
ݕെ ݕԢ
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Toute droite ሺDሻ du plan passant par l’origine a une équation de la forme : ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0.
Proposition :
La droite ܦൌ ሼሺݕ ,ݔሻ אԹଶ / ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଶ .
L’hyperplan ܦൌ ሼሺݕ ,ݔሻ אԹଶ / ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0ሽ a pour base ൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ : ܦൌ ݐܿ݁ݒ൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ.
L’orthogonal de l’hyperplan ܦൌ ݐܿ݁ݒ൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ est l’hyperplan ܦୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺܽ, ܾሻሽ.
Un vecteur normal à ܦୄ est un vecteur directeur de ܦሺሺܦୄ ሻୄ ൌ ܦሻ
L’hyperplan ܦୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺܽ, ܾሻሽ est la droite d’équation െܾ ݔ ܽ ݕൌ 0
Exemple : ሺܦሻ ݔ 2 ݕൌ 0
ܦൌ ሼሺݕ ,ݔሻ אԹଶ / ݔ 2 ݕൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଶ .
െ2
Le vecteur ݒൌ ቀ ቁ définit une base ሼሺെ2,1ሻሽ de ܦ : ܦൌ ݐܿ݁ݒ൛൫– 2,1൯ൟ
1
L’orthogonal de l’hyperplan ܦest ܦୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺ1,2ሻሽ
ܦୄ est la droite d’équation െ2 ݔ ݕൌ 0.
Projection orthogonale sur une droite du plan
Soit ሺDሻ est une droite du plan d’équation ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0 : D ൌ ሼሺݕ ,ݔሻ אԹଶ / ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0ሽ
ି
ሼߝଵ ሽ une base orthonormée de D avec ߝଵ ൌ ቌ√ ቍ
మ ାమ
√మ ାమ
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
െܾ ܽ െܾ ܽ
ሺݕ ,ݔሻ אԹଶ ; ൫ሺݕ ,ݔሻ൯ ൌ ۃሺݕ ,ݔሻ, ߝଵ ߝ .ۄଵ ൌ ൬ ݔ ݕ൰ . ൬ , ൰
√ܽଶ ܾ ଶ √ܽଶ ܾ ଶ √ܽଶ ܾ ଶ √ܽଶ ܾ ଶ
1
ሺݕ ,ݔሻ אԹଶ ; ൫ሺݕ ,ݔሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ݔെ ܾܽܽ ,ݕଶ ݕെ ܾܽݔሻ
qui donne :
ܽ ܾଶ
Soit ሺDሻ une droite dans le plan Թଶ d’équation : ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0.
Proposition :
La projection orthogonale sur la droite ሺDሻ est donnée par :
1
ሺݕ ,ݔሻ אԹଶ ; ൫ሺݕ ,ݔሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ݔെ ܾܽܽ ,ݕଶ ݕെ ܾܽݔሻ
ܽ ܾଶ
Si ܯሺݕ ,ݔሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺDሻ est le point :
ܾ ଶ ݔെ ܾܽܽ ݕଶ ݕെ ܾܽݔ
ܯቆ ଶ , ଶ ቇ
ܽ ܾଶ ܽ ܾଶ
♦ La projection orthogonale sur la droite ሺDሻ d’un point ܯሺݕ ,ݔሻ de cette droite ሺDሻ est lui-même :
Remarque :
ܯሺݕ ,ݔሻ אሺܦሻ: ܽ ݔ ܾ ݕൌ 0 ܾ ଶ ݔെ ܾܽ ܾ ݕଶ ݔ ܽଶ ݔ
ۓଶ ൌ ଶ ൌ ݔ௫ et ௬
ܽ
ቐ ܾ ଶ ݔെ ܾܽܽ ݕଶ ݕെ ܾܽ ݔሳልልልልልሰ ଶ ܾ ܽ ܾଶ
௬ୀ ି௫ ଶ ොୀ௫ ොୀ௬
ሳልልልልልልሰ ܯ ؠ ܯ
ܯቆ ଶ , ଶ ቇ ݕ ܽ۔െ ܾܽ ݕ ܽ ݔ ܾ ݕ
ଶ ଶ
ܽ ܾ ܽ ܾ
ܽ ەଶ ܾ ଶ ൌ ܽଶ ܾ ଶ ൌ ݕ
ଶ ଶ
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14. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Exemple : ሺܦሻ ݔ 2 ݕൌ 0
െ2
Le vecteurs ݒൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺܦሻ.
1
ିଶ
ݔ
Le vecteur ߝଵ ൌ ቌ√ହቍ forme une base ሼߝଵ ሽ de D ൌ ቄቀݕቁ אԹଶ / ݔ 2 ݕൌ 0ቅ.
ଵ
√ହ
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
1
ሺݕ ,ݔሻ אԹଶ ; ൫ሺݕ ,ݔሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ݔെ ܾܽܽ ,ݕଶ ݕെ ܾܽݔሻ
ܽ ܾଶ
1
qui donne :
ሺݕ ,ݔሻ אԹଶ ; ൫ሺݕ ,ݔሻ൯ ൌ ሺ4 ݔെ 2 ݕ ,ݕെ 2ݔሻ
5
െ2 1 െ2 1 1
ሺݕ ,ݔሻ אԹଶ ; ൫ሺݕ ,ݔሻ൯ ൌ ۃሺݕ ,ݔሻ, ߝଵ ߝ .ۄଵ ൌ ൬ ݔ ݕ൰ . ൬ , ൰ ൌ ሺ4 ݔെ 2 ݕ ,ݕെ 2ݔሻ
ou encore :
√5 √5 √5 √5 5
Si ܯሺݕ ,ݔሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺܦሻ est le point :
4 ݔെ 2 ݕ ݕെ 2ݔ
ܯ൬ , ൰
5 5
La projection orthogonale du point ܯሺ1,2ሻ sur la droite ሺܦሻ est le point ܯሺ0,0ሻ : origine.
െ2
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ۄݒ ,ܯܯۃ ݒൌ ۄݒ ,ݓۃൌ 0; ݒൌ ቀ ቁ ݁ ݓ ݐൌ ቀ
ሬሬሬሬሬሬሬԦ
0െ1 െ1
ܯܯ ቁൌቀ ቁ
1 0െ2 െ2
La projection orthogonale du point ܯሺെ2,1ሻ sur la droite ሺܦሻ est le point ܯlui-même ሺܦ א ܯሻ.
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ۄݒ ,ܯܯۃ ݒൌ ۄݒ ,ݓۃൌ 0; ݒൌ ቀെ2ቁ ݁ ݓ ݐൌ ቀെ2 2ቁ ൌ ቀ0ቁ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
1 1െ1 0
La projection orthogonale du point ܯሺ0,5ሻ sur la droite ሺܦሻ est le point ܯሺെ2,1ሻ.
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ۄݒ ,ܯܯۃ ݒൌ ۄݒ ,ݓۃൌ 0; ݒൌ ቀെ2ቁ ݁ ݓ ݐൌ ቀെ2 െ 0ቁ ൌ ቀെ2ቁ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
1 1െ5 െ4
IV-2 Plans et droites dans Թ
Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace
Un plan ሺܲሻ dans l’espace Թଷ a une équation, dite cartésienne, de la forme :
Définition :
ሺܲሻ: ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖ ݀ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾ, ܿሻ ് ሺ0,0,0ሻ
Une droite ሺܦሻ dans l’espace Թଷ a une équation, dite cartésienne, de la forme :
ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖ ݀ ൌ 0 ሺܽ, ܾ, ܿሻ ് ሺ0,0,0ሻ
ሺܦሻ: ൜ , avec ൜
ܽԢ ݔ ܾԢ ݕ ܿԢ ݖ ݀Ԣ ൌ 0 ሺܽԢ, ܾԢ, ܿԢሻ ് ሺ0,0,0ሻ
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15. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Toute équation de la forme ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖ ݀ ൌ 0, définit un plan ሺܲሻ dans l’espace Թଷ .
Proposition :
ܽ
Le vecteur ݒൌ ቆܾ ቇ est un vecteur normal à ሺܲሻ.
ܿ
ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖ ݀ ൌ 0
Toute équation de la forme ൜ , définit une droite ሺܦሻ dans l’espace Թଷ .
ܽԢ ݔ ܾԢ ݕ ܿԢ ݖ ݀Ԣ ൌ 0
ሺܲሻ: ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖ ݀ ൌ 0
La droite ሺܦሻ est l’intersection des deux plans ൜ ᇱ
ሺܲ ሻ: ܽԢ ݔ ܾԢ ݕ ܿԢ ݖ ݀Ԣ ൌ 0
Tout plan ሺܲሻ passant par l’origine a une équation de la forme : ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖൌ 0.
Proposition :
Le plan ܲ ൌ ሼሺݖ ,ݕ ,ݔሻ אԹଷ / ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ݖൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଷ .
L’orthogonal de l’hyperplan ܲ est ܲ ୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺܽ, ܾ, ܿሻሽ.
Le sous espace vectoriel ܲୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺܽ, ܾ, ܿሻሽ est une droite.
ሺܲሻ ݔ 2 ݕ 3 ݖൌ 0
Exemple 1 (plan) :
1
Le vecteur ݒൌ ൭2൱ est un vecteur normal à ሺܲሻ
3
െ2 െ3
Les vecteurs ݑൌ ൭ 1 ൱ et ݓൌ ൭ 0 ൱ forment une base du plan vectoriel ܲ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺݓ ,ݑሻሽ
0 1
ݔ ݔ െ2 ݕെ 3ݖ
ቆݕቇ ܲ אssi ݔ 2 ݕ 3 ݖൌ 0 ssi ݔൌ െ2 ݕെ 3 ݖssi ቆݕቇ ൌ ൭ ݕ ൱
ݖ ݖ ݖ
ݔ ݔ െ2 െ3
ቆݕቇ ܲ אssi ቆݕቇ ൌ .ݕ൭ 1 ൱ .ݖ൭ 0 ൱
ݖ ݖ 0 1
L’orthogonal de l’hyperplan ܲ est ܲ ୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺ1,2,3ሻሽ, de dimension 1.
ݔ ݔ ݔ
ۄݒ ,ݑۃൌ 0 െ2 ݔ ݕൌ 0
ݒൌ ቆݕቇ ݅ݏݏ ܲ א൜
ୄ
ssi ቄ ssi ቆݕቇ ൌ ቆ2 ݔቇ
ۄݓ ,ݑۃൌ 0 െ3 ݔ ݖൌ 0
ݖ ݖ 3ݔ
െ2 ݔ ݕൌ 0
Le sous espace vectoriel ܲୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺ1,2,3ሻሽ est la droite d’équation ቄ
െ3 ݔ ݖൌ 0
.
ݔݕݖൌ0
ሺܦሻ ൜
Exemple 2 (droite) :
ݔെݕݖൌ0
1
Le vecteur ݒൌ ൭ 0 ൱ forme une base de la droite ሺDሻ : ܦൌ ݐܿ݁ݒሼݒሽ
െ1
ݔ ݔ ݔ
ݔݕ ݖൌ0 ሺ݁1 ݁2ሻ ݔ ݖൌ 0
ቆݕቇ ܦ אssi ൜ ssi ൜ ssi ቆݕቇ ൌ ቆ 0 ቇ
ݔെݕ ݖൌ0 ሺ݁1 െ ݁2ሻ ݕൌ 0
ݖ ݖ െݔ
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16. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
L’orthogonal de la droite ܦest ܦୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺ1,0,1ሻ, ሺ0,1,0ሻሽ, de dimension 2 :
ݔ ݔ ݔ
ݑൌ ቆݕቇ ۄݒ ,ݑۃ ݅ݏݏ ܦ אൌ 0 ssi ݔെ ݖൌ 0 ssi ቆݕቇ ൌ ቆ ݕቇ
ୄ
ݖ ݖ ݔ
Le sous espace vectoriel ܦୄ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺ1,0,1ሻ, ሺ0,1,0ሻሽ est le plan d’équation ݔെ ݖൌ 0.
Projection orthogonale sur un plan
Exemple : ሺܲሻ ݔ ݕ ݖൌ 0
1 1
Les vecteurs ݑଵ ൌ ൭െ1൱ et ݑଶ ൌ ൭ 0 ൱ forment une base du plan vectoriel ܲ ൌ ݐܿ݁ݒሼሺݑଵ , ݑଶ ሻሽ
0 െ1
ଵ
ଵ
ۇଵۊ
√
√ଶ
ሼߝଵ , ߝଶ ሽ est alors une base orthonormée de ܲ avec ߝଵ ൌ ൮ିଵ൲ , ߝଶ ൌ .ۋ ۈ
√
√ଶ
0
ିଶ
ی√ۉ
La projection orthogonale sur ܲ est alors donnée par :
o ൫ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ൯ ൌ ۃሺݖ ,ݕ ,ݔሻ, ߝଵ ߝ .ۄଵ ۃሺݖ ,ݕ ,ݔሻ, ߝଶ ߝ .ۄଶ
o ൫ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ൯ ൌ ቀ ሺ ݔെ ݕሻቁ ቀ , , 0ቁ ቀ ሺ ݔ ݕെ 2ݖሻቁ ቀ , , ቁ
ଵ ଵ ିଵ ଵ ଵ ଵ ିଶ
√ଶ √ଶ √ଶ √ √ √ √
൫ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ൯ ൌ ൬ଷ ሺ2 ݔെ ݕെ ݖሻ ; ଷ ሺെ ݔ 2 ݕെ ݖሻ; ଷ ሺെ ݔെ ݕ 2ݖሻ൰
ଵ ଵ ଵ
o
Si ܯሺݖ ,ݕ ,ݔሻ est un point de l’espace alors sa projection orthogonale sur le plan ሺܲሻ est le point :
2 ݔെ ݕെ ݖെ ݔ 2 ݕെ ݖെ ݔെ ݕ 2ݖ
ܯ൬ ; ; ൰
3 3 3
La projection orthogonale du point ܯሺ1,1,1ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point origine ܯሺ0,0,0ሻ :
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ݑ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ݑ ,ܯܯۃଵ ۄൌ ݑ ,ݓۃଵ ۄൌ 0 1 1 0െ1 െ1
൝ ଵ
൝ ; ݑଵ ൌ ൭െ1൱ , ݑଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁ ݓ ݐൌ ൭0 െ 1൱ ൌ ൭െ1൱
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ݑ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ݑ ,ܯܯۃଶ ۄൌ ݑ ,ݓۃଶ ۄൌ 0
ଶ 0 െ1 0െ1 െ1
La projection orthogonale du point ܯሺ1, െ2,1ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ܯlui-même ሺܲ א ܯሻ :
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ݑ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ݑ ,ܯܯۃଵ ۄൌ ݑ ,ݓۃଵ ۄൌ 0 1 1 1െ1 0
൝ ଵ
൝ ; ݑଵ ൌ ൭െ1൱ , ݑଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁ ݓ ݐൌ ൭െ2 2൱ ൌ ൭0൱
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ݑ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ݑ ,ܯܯۃଶ ۄൌ ݑ ,ݓۃଶ ۄൌ 0
ଶ 0 െ1 1െ1 0
La projection orthogonale du point ܯሺ0,3,0ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ܯሺെ1,2, െ1ሻ :
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ݑ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ݑ ,ܯܯۃଵ ۄൌ ݑ ,ݓۃଵ ۄൌ 0 1 1 െ1 െ 0 െ1
൝ ଵ
൝ ; ݑଵ ൌ ൭െ1൱ , ݑଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁ ݓ ݐൌ ൭ 2 െ 3 ൱ ൌ ൭െ1൱
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ݑ
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ݑ ,ܯܯۃଶ ۄൌ ݑ ,ݓۃଶ ۄൌ 0
ଶ 0 െ1 െ1 െ 0 െ1
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17. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Projection orthogonale sur une droite
ݔݕ ݖൌ0
ሺܦሻ ൜
ݔെݕ ݖൌ0
Exemple :
1
Le vecteur ݒൌ ൭ 0 ൱ forme une base de la droite ሺDሻ : ܦൌ ݐܿ݁ݒሼݒሽ
െ1
ଵ
√ଶ
ሼߝଵ ሽ est alors une base orthonormée de ܦavec ߝଵ ൌ ൮ 0 ൲.
ିଵ
√ଶ
La projection orthogonale sur ܦest alors donnée par :
o ൫ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ൯ ൌ ۃሺݖ ,ݕ ,ݔሻ, ߝଵ ߝ .ۄଵ ൌ ቀ ሺ ݔെ ݖሻቁ ቀ , 0, ቁ
ଵ ଵ ିଵ
√ଶ √ଶ √ଶ
൫ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ൯ ൌ ൬ ሺ ݔെ ݖሻ ; 0; ሺെ ݔ ݖሻ൰
ଵ ଵ
ଶ ଶ
o
Si ܯሺݖ ,ݕ ,ݔሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺܦሻ est le point :
ݔെݖ െ ݔ ݖ
ܯ൬ ; 0; ൰
2 2
La projection orthogonale du point ܯሺ1,1,1ሻ sur la droite ሺܦሻ est le point origine ܯሺ0,0,0ሻ :
1 0െ1 െ1
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ۄݒ ,ܯܯۃ ݒൌ ۄݒ ,ݓۃൌ 0 ; ݒൌ ൭ 0 ൱ ݁ ݓ ݐൌ ൭0 െ 1൱ ൌ ൭െ1൱
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
െ1 0െ1 െ1
La projection orthogonale du point ܯሺ1,2, െ1ሻ sur la droite ሺܦሻ est le point ܯlui-même ሺܦ א ܯሻ :
1 1െ1 0
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ۄݒ ,ܯܯۃ ݒൌ ۄݒ ,ݓۃൌ 0 ; ݒൌ ൭ 0 ൱ ݁ ݓ ݐൌ ൭ 2 െ 2 ൱ ൌ ൭0൱
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
െ1 െ1 1 0
La projection orthogonale du point ܯሺ1,2,3ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ܯሺെ1,2,1ሻ :
1 െ1 െ 1 െ2
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ۄݒ ,ܯܯۃ ݒൌ ۄݒ ,ݓۃൌ 0 ; ݒൌ ൭ 0 ൱ ݁ ݓ ݐൌ ൭ 2 െ 2 ൱ ൌ ൭ 0 ൱
ܯܯ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
െ1 1െ3 െ2
V- Applliicatiion aux matriices :: iimages et noyaux orthogonaux
V- App cat on aux matr ces mages et noyaux orthogonaux
Soit ܣune matrice carrée d’ordre ݊ .
Définition :
݉ܫሺܣሻ est le sous espace vectoriel de Թ engendré par les colonnes de : ܣ
݉ܫሺܣሻ ൌ ሼܻ אԹ / א ܺԹ : ܺ .ܣൌ ܻሽ ൌ ሼ א ܺ ; ܺ .ܣԹ ሽ
Le noyau de ܣest le sous espace vectoriel de Թ dont l’image est nulle.
ݎ݁ܭሺܣሻ ൌ ሼܺ אԹ / ܺ .ܣൌ 0 ሽ
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Soit ܣest une matrice carrée d’ordre ݊ .
Remarque :
݉ܫሺܣሻ c’est le sous espace vectoriel de Թ des seconds membres du système linéaire ܺ .ܣൌ ܻ
ImሺAሻ c’est le sous espace vectoriel de Թ୬ , solution du système linéaire homogène A. X ൌ 0୬ .
pour lesquels ce système est compatible.
Si la matrice ܣest inversible alors
Si ܣest une matrice carrée d’ordre ݊ alors :
Proposition :
݉ܫሺܣሻ ൌ ൣݎ݁ܭ൫ ௧ܣ൯൧ dimሾ ݉ܫሺܣሻሿ ൌ dimൣ ݉ܫ൫ ௧ܣ൯൧
ୄ
൝ ୄ ; ݀ ܿ݊ቊ
ݎ݁ܭሺܣሻ ൌ ൣ݉ܫ൫ ௧ܣ൯൧ dimሾ ݇݁ݎሺܣሻሿ ൌ dimൣ ݇݁ݎ൫ ௧ܣ൯൧
Si la matrice ܣest symétrique alors : ݉ܫሺܣሻ ൌ ሾݎ݁ܭሺܣሻሿୄ ; ݀ ܿ݊Թ ൌ ݎ݁ܭሺܣሻ۩݉ܫሺܣሻ
VI- Retour aux systèmes lliinéaiires (sollutiion au sens des MCO)
VI- Retour aux systèmes néa res (so ut on au sens des MCO)
Si le système ܺ .ܣൌ ܾ est incompatible alors il n’admet pas de solutions :
On se contente alors de trouver un vecteur ܺ qui rend ܺ .ܣaussi proche que possible de ܾ.
Ce qui revient à déterminer un vecteur ܺ tel que ฮ ܺ .ܣെ ܾฮ ԡ ܺ .ܣെ ܾԡ, א ܺԹ݊
Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système linéaire.
Définition :
Une solution au sens des moindres carrées du système ܺ .ܣൌ ܾ est un vecteur tel que :
X
െ bฮ ԡA. X െ bԡ, X אԹ୬
ฮA. X
Résoudre le système ܺ .ܣൌ ܾ au sens des moindres carrées revient à trouver un vecteur ܺ tel
que :
ฮ ܺ .ܣെ bฮ ൌ minאԹ ԡ ܺ .ܣെ bԡ
Proposition :
Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système compatible.
෨
si ܺ est une solution de ܺ .ܣൌ ܾ alors :ฮ ܺ .ܣെ bฮሺൌ 0ሻ ൌ minאԹ ԡ ܺ .ܣെ bԡ
les solutions et solutions au sens des moindres carrées de ܺ .ܣൌ ܾ sont alors confondues.
Un vecteur ܺ est une solution, au sens des MCO, d’un système ܺ .ܣൌ ܾ ssi ܺ est une solution du système
ܺ .ܣൌ ܾ, où ܾ ൌ ݉ܫሺܣሻ ሺܾሻ :
Puisque ܾ ൌ
ሺܾሻ alors :
݉ܫሺܣሻ
ூሺሻൌ൛אܺ ; ܺ.ܣԹ݊ ൟ
ฮܾ െ ܾฮ ൌ min ԡܾ െ ܻԡ ሯልልልልልልልልልልልልልሰ ฮܾ െ ܾฮ ൌ min ԡܾ െ ܺ .ܣԡ
ܻ݉ܫאሺܣሻ ݊
ܺאԹ
Or, une solution ܺ, au sens des MCO, du système ܺ .ܣൌ ܾ est caractérisée par :
ฮܾ െ ܺ .ܣฮ ൌ ݉݅݊ ԡܾ െ ܺ .ܣԡ
אԹ
Donc : ൌܾ
ܺ .ܣ
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Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système linéaire.
Proposition :
ܺ est une solution, au sens des MCO, du système ܺ .ܣൌ ܾ ssi ܺ est une solution du système ܺ .ܣൌ ܾ, où
ܾൌ
ሺܾሻ.
݉ܫሺܣሻ
Proposition :
Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système linéaire.
Le système ௧ ܺ .ܣܣൌ ௧ ܾ .ܣadmet toujours au moins une solution.
Toute solution du système ௧ ܺ .ܣܣൌ ௧ ܾ .ܣest une solution au sens des moindres carrées du
système ܺ .ܣൌ ܾ.
Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système linéaire.
Définition :
Le système ௧ ܺ .ܣܣൌ ௧ ܾ .ܣs’appelle « système des équations normales ».
Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système linéaire.
Proposition :
Si les colonnes de la matrice ܣsont linéairement indépendantes alors le système ܺ .ܣൌ ܾ a exactement
une seule solution au sens des MCO.
Soit ܺ .ܣൌ ܾ un système linéaire, avec ࣧ א ܣሺ݉, ݊ሻ.
Proposition :
Si ݊ ݉ ݁݃ݎ ݐሺܣሻ ൌ ݊ alors le système ܺ .ܣൌ ܾ a exactement une seule solution au sens des MCO.
ݔ ݕൌ4 1 1 4
ݔ
൝ ݔൌ 5 ܺ .ܣൌ ܾ ܽ ܣ ܿ݁ݒൌ 1 0 ൩ , ቀݕቁ ݁ ܾ ݐൌ ൭5൱
ݔെ ݕൌ9 1 െ1 9
Exemple :
(1) En utilisant les équations normales ࢚. ࢄ ൌ ࢚. ࢈ :
1 1
ۓ௧ ܣܣൌ ቂ1 1
1
ቃ 1 0 ൩ ൌ ቂ
3 0
ቃ
ۖ െ11 0 0 2
On calcule ௧ ܺ .ܣܣet ௧: ܾ .ܣ 1 െ1
۔௧ 4
1 1 1 18
ۖ ܾ .ܣൌ ቂ ቃ . ൭5 ൱ ൌ ቀ ቁ
ە 1 0 െ1 െ5
9
3 0 ݔ 18
Les équations normales ܺ .ܣܣൌ ܾ .ܣs’écrivent alors :
௧ ௧
ቂ ቃ . ቀ ݕቁ ൌ ቀ ቁ
0 2 െ5
6
La solution du système ௧ ܺ .ܣܣൌ ௧ ܾ .ܣest alors donnée par : ܺൌ൬ ൰
5/2
7/2 4 െ1/2
On calcule ฮ ܺ .ܣെ ܾฮ : ฮ ܺ .ܣെ ܾฮ ൌ ะ൭ 6 ൱ െ ൭5൱ะ ൌ ะ 1 ะ ൌ ටଶ
ଷ
17/2 9 െ1/2
On a alors :
minאԹ ԡ ܺ .ܣെ bԡ ൌ ฮ ܺ .ܣെ bฮ ൌ ටଶ
ଷ
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(2) En utilisant la projection orthogonale de ࢈ sur ࡵሺሻ :
On détermine ݉ܫሺܣሻ : ݉ܫሺܣሻ ൌ ݐܿ݁ݒሼ݁ .ܣଵ , ݁ .ܣଶ ሽ, ሼ݁ଵ , ݁ଶ ሽ étant la base canonique de Թଶ
1 െ1
ݒଵ ൌ ݁ .ܣଵ ൌ ൭1൱ et ݒଶ ൌ ݁ .ܣଶ ൌ ൭ 0 ൱ ฺ ሼݒଵ , ݒଶ ሽ est une base de ݉ܫሺܣሻ , ܿܽ ݎሼݒଵ , ݒଶ ሽ est libre
1 1
1 െ1
On construit une base orthonormée ሼߝଵ , ߝଶ ሽ de ݉ܫሺܣሻ : ߝଵ ൌ ൭1൱ ; ߝଶ ൌ ൭ 0 ൱
ଵ ଵ
1 1
√ଷ √ଶ
4 7/2
On calcule ܾ ൌ ூሺሻ ሺܾሻ, ܾ ൌ ൭5൱ ܾ ൌ ߝ ,ܾۃଵ ߝ .ۄଵ ߝ ,ܾۃଶ ߝ .ۄଶ ฺ ܾ ൌ ൭ 6 ൱
9 17/2
6
La solution du système ܺ .ܣൌ ܾ est alors donnée par : ܺ ൌ ൬ ൰
5/2
On calcule ฮ ܺ .ܣെ ܾฮ : ฮ ܺ .ܣെ ܾฮ ൌ ฮܾ െ ܾฮ ൌ ටଶ
ଷ
On retrouve alors :
minאԹ ԡ ܺ .ܣെ bԡ ൌ ฮ ܺ .ܣെ bฮ ൌ ටଶ
ଷ
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