O documento apresenta um tutorial sobre o GLPK (GNU Linear Programming Kit), um software livre para resolução de problemas de programação linear. O tutorial descreve o formato LP utilizado pelo GLPK para entrada de modelos, exemplifica a formulação e resolução de um problema da dieta nesse formato, e introduz o formato MathProg, de nível mais alto, também suportado pelo GLPK.

1. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Notas
Introdução à Otimização
Utilizando o GLPK
Haroldo Gambini Santos
Universidade Federal de Ouro Preto
29 de março de 2011
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
1 / 30
Formato MathProg
Conteúdo
1
GLPK
2
Formato LP
3
Notas
Formato MathProg
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
2 / 30
Formato MathProg
GLPK
Notas
GNU Linear Programming Kit
resolvedor de problemas lineares, incluindo problemas de
programação inteira
código aberto, disponível gratuitamente
farta documentação
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
3 / 30

2. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
GLPK
Notas
Instalação
Windows:
http://glpklabw.sourceforge.net/
Linux (debian/ubuntu e derivadas):
sudo apt-get install glpk
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
4 / 30
Formato MathProg
GLPK
Notas
Obtendo Ajuda
Pacote disponível em: http://www.gnu.org/software/glpk/
doc)
examples)
Manuais em PDF (diretório
Exemplos (diretório
Lista de Discussão: help-glpk@gnu.org
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
5 / 30
Formato MathProg
Introdução
Notas
Formatos conhecidos para entrada de programas lineares:
MPS Mathematical Programming System :
padrão da indústria
pouco intuitivo, confuso e com limitações
LP CPLEX LP le format :
padrão criado para uso com o resolvedor CPLEX
mais fácil e prático do que o formato MPS
aceito nos principais resolvedores modernos
arquivos podem ser convertidos para MPS
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
6 / 30

3. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Formato LP
Notas
Componentes
função objetivo
restrições
informações de variáveis
limites
variáveis inteiras genéricas
variáveis binárias
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
7 / 30
Formato MathProg
Problema da Dieta
Notas
Dieta.lp
§
Minimize
¤
obj : 3 x1 + 2 . 5 x2
Subject to
v i t a m i n a s : 6 x1 + 4 x2 = 32
p r o t e i n a s : 5 x1 + 6 x2 = 36
End
¦
¥
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GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
8 / 30
Formato MathProg
Resolvendo
Notas
Comando
glpsol --cpxlp dieta.lp -o sol.txt
Problem:
Rows:
Columns:
Non-zeros:
Status:
Objective:
sol.txt
2
2
4
OPTIMAL
obj = 17.75 (MINimum)
No. Row name St
Activity
Lower bound Upper bound
------ ------------ -- ------------- ------------- ------------1 vitaminas
NL
32
32
2 proteinas
NL
36
36
No.
-----1
2
Column name
-----------x1
x2
St Activity
Lower bound Upper bound
-- ------------- ------------- ------------B
3
0
B
3.5
0
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Utilizando o GLPK
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4. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Limites e Integralidade
Notas
Podem ser especicadas restrições especícas sobre algumas
variáveis
Essas restrições são informadas após a seção das restrições
normais e podem ser dos seguintes tipos:
Restrição de limites - Seção Bounds:
Subject to
...
Bounds
0 = x1 = 40
2 = x4 = 3
Exemplo Limites
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
Limites e Integralidade
10 / 30
Formato MathProg
Notas
(cont.)
Para variáveis para as quais não são permitidos valores
fracionários temos as seções:
General: variáveis inteiras de modo geral
Binary: variáveis binárias que somente podem assumir
valor zero ou um
Exemplo Integralidade
Subject to
...
Binary
x3
General
x1
x2
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GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
11 / 30
Formato MathProg
Problema da Dieta
Notas
DietaInt.lp
§
Minimize
¤
obj : 3 x1 + 2 . 5 x2
Subject to
v i t a m i n a s : 6 x1 + 4 x2 = 32
p r o t e i n a s : 5 x1 + 6 x2 = 36
General
x1
x2
End
¦
¥
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
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5. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Nova Solução
Notas
sol.txt
Problem:
Rows:
2
Columns:
2 (2 integer, 0 binary)
Non-zeros: 4
Status:
INTEGER OPTIMAL
Objective: obj = 18.5 (MINimum)
No. Row name
Activity
------ -----------------------1 vitaminas
32
2 proteinas
40
No. Column name
Activity
------ -----------------------1 x1
*
2
2 x2
*
5
Lower bound
------------32
36
Lower bound
------------0
0
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Formato
Utilizando o GLPK
13 / 30
Formato MathProg
MathProg
Notas
Formato de mais alto nível, incluindo abstrações:
Comandos
Conjuntos
Parâmetros
Facilita a geração de problemas grandes e complexos
Permite a separação entre o modelo e os dados
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
Formato MathProg
Resolvendo a Dieta, versão
MathProg
Notas
Dieta.mod
§
14 / 30
¤
/∗ n u t r i e n t e s ∗/
set A;
/∗ a l i m e n t o s ∗/
param r {N} ;
/∗ r e q u e r i m e n t o d i a r i o p o r n u t r i e n t e ∗/
param v {A, N} ; / ∗ v a l o r q u e um a l i m e n t o o f e r e c e
de um n u t r i e n t e ∗ /
param c {A} ; / ∗ c u s t o u n i t . de c a d a a l i m e n t o ∗ /
N;
set
x { a i n A} = 0 ;
/ ∗ r e a i s do a l i m e n t o a q u e devem s e r comprados ∗ /
var
n u t r i r {n i n N} : sum{ a i n A} v [ a , n ] ∗ x [ a ] = r [ n ] ;
s a t i s f a z e r n e c e s s i d a d e de n u t r i e n t e n ∗ /
s.t.
/∗
minimize
¦
c u s t o : sum{ a i n A} c [ a ]
∗
x[a ];
Introdução à Otimização,
/∗ c o n t a
∗/
Utilizando o GLPK
¥
15 / 30

6. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Resolvendo a Dieta, versão
Dieta.dat (parte 1/2)
§
data
MathProg
¤
;
param
: N :
r :=
m i l h a r e s ∗/
∗/
Calcio
24 / ∗ gramas ∗ /
Ferro
33 / ∗ m i l i g r a m a s ∗ /
;
s e t A := T r i g o Q u e i j o F i g a d o Salmao E s p i n a f r e ;
param v d e f a u l t 0
:
Calorias
Proteinas
Calcio
F e r r o :=
Trigo
44 . 7
30
2 .0
20
Queijo
7 .4
44
16 . 4
19
Figado
2 .2
33
.2
80
Salmao
5 .8
70
6 .8
45
Espinafre
1 .1
10
9 .0
138
;
( continua )
Calorias
Proteinas
3 /∗
70 / ∗ gramas
¦
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GLPK
Formato LP
param
:
16 / 30
MathProg
Dieta.dat (parte 2/2)
§
Notas
¤
c :=
Trigo
0 .9
Queijo
1 .5
Figado
2 .1
Salmao
2 .4
Espinafre
2 .2
;
¥
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
¥
Formato MathProg
Resolvendo a Dieta, versão
¦
Notas
Formato LP
Resolvendo a Dieta, versão
Utilizando o GLPK
17 / 30
Formato MathProg
MathProg
Notas
Comando
glpsol -m dieta.mod -d dieta.dat -o dietaSol.txt
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
18 / 30

7. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Comando
set
Notas
(1/2)
§
¤
/∗ d e c l a r a
set
I;
set
I := 1 . . 1 0 ;
c o n j u n t o que s e r a informado
d e p o i s ∗/
/ ∗ d e c l a r a um c o n j u n t o
p r e e n c h e n d o com num. de 1 a 10 ∗ /
s e t A := T r i g o Q u e i j o F i g a d o Salmao E s p i n a f r e ;
/ ∗ d e c l a r a e i n f o r m a e l e m e n t o s de um c o n j u n t o ∗ /
set
Cidades ;
C a p i t a i s within C i d a d e s ;
/∗ c o n j u n t o c a p i t a i s f i c a r e s t r i t o
s u b c o n j u n t o de c i d a d e s ∗ /
set
a s e r um
¦
¥
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
Formato MathProg
Comando
set
Notas
(2/2)
§
¤
s e t C{1 . . m } ;
/ ∗ c o n j u n t o de m c o n j u n t o s ∗ /
s e t C [ 1 ] := 1 14 3 ;
s e t C [ 2 ] := 5 9 25 1 8 ;
...
/ ∗ p r e e n c h i m e n t o de C ∗ /
¦
¥
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Comando
Utilizando o GLPK
20 / 30
Formato MathProg
param
Notas
(1/2)
§
param
19 / 30
¤
n;
/∗ p a r a m e t r o q u e s e r a i n f o r m a d o
d e p o i s ∗/
c , 0;
/∗ p a r a m e t r o q u e s e r a i n f o r m a d o
d e v e s e r p o s i t i v o ∗/
depois e
param
n , integer , 0;
/∗ p a r a m e t r o q u e s e r a i n f o r m a d o d e p o i s e
d e v e s e r p o s i t i v o e i n t e i r o ∗/
param
¦
Introdução à Otimização,
¥
Utilizando o GLPK
21 / 30

8. GLPK
Formato LP
Comando
Formato MathProg
param
Notas
(2/2)
§
¤
c {A} ;
/∗ p a r a m e t r o q u e d e v e s e r i n f o r m a d o p a r a ca da
e l e m e n t o do c o n j u n t o A ∗ /
param
param
:
c :=
elementoDeA1
valorDeCparaA1
elementoDeA2
valorDeCparaA2
...
;
/ ∗ v a l o r do p a r a m e t r o c p a r a c a d a e l e m e n t de A ∗ /
¦
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
Comando
¥
22 / 30
Formato MathProg
var
Notas
§
¤
x = 0 ;
var
/ ∗ uma v a r i a v e l
positiva
∗/
x { I , J } , i n t e g e r , = 0 ;
/ ∗ c r i a uma v a r i a v e l x p a r a c a d a p a r ( i , j ) de I e J ,
v a r i a v e l i d e n t i f i c a d a p o r x [ i , j ] ∗/
var
z { i i n I , j i n J } = i+j ;
/ ∗ c r i a uma v a r i a v e l z p a r a c a d a p a r ( i , j ) de I e J ,
v a r i a v e l i d e n t i f i c a d a por z [ i , j ] ,
c a d a v a r i a v e l p o d e a s s u m i r v a l o r minimo i+j ∗ /
var
¦
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
23 / 30
Formato MathProg
Comando de Adição de Restrições:
s.t.
§
Notas
¤
s.t.
/∗
¥
r:
x + y + z , = 0 , = 1 ;
r e s t r i c a o com nome r , r e s t r i n g i n d o o s o m a t o r i o
de x + y + z p a r a o i n t e r v a l o [ 0 , 1 ] ∗ /
s . t . c a p a c i d a d e : sum{ i i n I } p [ i ] ∗ x [ i ] = c ;
/ ∗ uma r e s t r i c a o g e r a d a s o b r e o s o m a t o r i o da
x [ i ] m u l t i p l i c a n d o uma c o n s t a n d e p [ i ] ∗ /
s.t.
variavel
e s t o q u e F i n a l {p i n P } :
e s t o q u e [ 1 2 , p ] + compras [ 1 2 , p ]
/ ∗ uma r e s t r i c a o
¦
sera
− v e n d a s [ 1 2 , p ] = 5 0 0 ;
g e r a d a p a r a cada p r o d u t o p ∗/
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
¥
24 / 30

9. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Exemplo: Problema da Mochila - Modelo
§
Notas
¤
param
n,
param
c;
itens
∗/
/∗ c a p a c i d a d e ∗/
I := 1 . . n ;
set
/ ∗ numero de
integer , 0;
param
/∗ l u c r o ∗/
l {I };
param
/∗ i t e m s ∗/
p{ I } ;
/∗ p e s o ∗/
x{ I } b i n a r y ;
/∗ 1 s e i n c l u i r , 0 c a s o
var
maximize
l u c r o : sum{ i
c a p a c i d a d e : sum{ i
s.t.
¦
c o n t r a r i o ∗/
in
in
I}
l [ i ]∗x [ i ] ;
I } p [ i ] ∗ x [ i ] = c ;
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
¥
Utilizando o GLPK
25 / 30
Formato MathProg
Exemplo: Problema da Mochila - Dados
§
Notas
¤
data
;
param
n:=
7;
param
c :=
10;
param
l
param
p := 1 3 , 2 4 , 3 1 , 4 1 ,
:= 1 7 , 2 7 , 3 2 , 4 1 ,
5 5, 6 5, 7
5 3, 6 3, 7
¦
8;
6;
¥
Introdução à Otimização,
GLPK
Formato LP
Utilizando o GLPK
26 / 30
Formato MathProg
O Problema da Alocação Generalizada
Notas
Denição
Temos um conjuntos de tarefas a realizar e um conjunto de
agentes que podem realizá-las.
Cada agente tem uma determinada habilidade para cada tarefa,
inuenciando no tempo que o mesmo leva para concluir a tarefa
e também determinando o custo do mesmo realizar aquela
tarefa. Além disso, os agentes tem uma capacidade limitada.
Deve-se determinar quais agentes farão cada tarefa respeitando
suas capacidades e minimizando o custo total.
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
27 / 30

10. GLPK
Formato LP
Formato MathProg
Problema da Alocação Generalizada Modelo
Notas
(1/2)
§
¤
/∗ n
param m, i n t e g e r , 0 ; / ∗ m
s e t J := 1 . . n ;
/∗ c o n j u n t o
s e t I := 1 . . m ;
/∗ c o n j u n t o
param a { i i n I , j i n J } , =
param
n,
param
b{ i
in
param
c{ i
in
t a r e f a s ∗/
a g e n t e s ∗/
de t a r e f a s ∗ /
de a g e n t e s ∗ /
0 ; /∗ r e c u r s o s q u e o a g . i
g a s t a p a r a t a r e f a j ∗/
I } , = 0 ;
/ ∗ c a p a c i d a d e em
r e c u r s o s do a g . i ∗ /
I , j i n J } , = 0 ; / ∗ c u s t o do a g e n t e i
f a z e r t a r e f a j ∗/
integer , 0;
¦
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
¥
28 / 30
Formato MathProg
Problema da Alocação Generalizada Modelo
§
var
Notas
(2/2)
¤
x{ i
I ,
in
j
/∗ x [ i , j ] = 1 :
J} ,
in
binary ;
agente
i
s . t . p r o c e s s a r { j in J } :
/∗ cada t a r e f a d e v e s e r
faz
tarefa
j ∗/
sum{
i in I } x [ i , j ] = 1 ;
p r o c e s s a d a p o r um a g e n t e ∗ /
s . t . l i m { i i n I } : sum{ j i n J } a [ i , j ] ∗ x [ i , j ] = b [ i ] ;
/ ∗ c a p a c i d a d e do a g e n t e ∗ /
minimize
/∗ a c h a r
¦
o b j : sum{ i
in I , j in J} c [ i , j ] ∗ x [ i , j ] ;
a l o c a c a o mais b a r a t a ∗ /
Introdução à Otimização,
GLPK
Utilizando o GLPK
Formato LP
¥
29 / 30
Formato MathProg
Problema da Alocação Generalizada -
Notas
Dados
§
¤
data ;
param
m :=
5;
param
n
:=
15;
a
:
param
3
4
10
11
12
15
14
23
8
16
8
25
9
17
25
15
10
8
24
15
7
23
22
11
11
12
10
17
16
7
16
10
18
22
3
21
20
6
22
14
11
19
16
4
20
11
8
14
9
5
6
19
19
7
6
6
13
9
18
5
param
2
8
2
param
1
1
8
13
13
13
10
20
25
16
16
17
10
10
5
12
23
;
1
36 ,
:=
b
:=
c
:
2
34 ,
5
24
3
6
10
38 ,
7
24
4
8
9
27 ,
9
21
14
5
11
13
14
15
:=
33;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
17
21
22
18
24
15
20
18
19
18
16
22
24
24
16
2
23
16
21
16
17
16
19
25
18
21
17
15
25
17
24
3
16
20
16
25
24
16
17
19
19
18
20
16
17
21
24
4
19
19
22
22
20
16
19
17
21
19
25
23
25
25
25
5
18
19
15
15
21
25
16
16
23
15
22
17
19
22
24
;
end ;
¦
¥
Introdução à Otimização,
Utilizando o GLPK
30 / 30