CUADRO SINÓPTICO - Rigorización de las matemáticas.pptx

Trabajo Colaborativo Epistemología
de las Matemáticas
Paso 4. Realizar transferencia del
conocimiento.
Presentado por:
Yuri Andrea Quintero Pérez
Código #: 1.110.595.717
Celular #: 318 562 6295
Fernanda Milena Yacuechime Poche
Código #: 1.062.075.087
Celular #: 311 5520379
Universidad Nacional Abierta y a Distancia –
UNAD
Escuela Ciencias de la Educación – ECEDU
Licenciatura en Matemáticas
Mayo 27 de 2023
Código del curso: 551103 Grupo: 44
Tutora: María Gladis Osorio
Introducción
A continuación, se presenta el trabajo colaborativo analizando los problemas de la
fundamentación matemática a lo largo de la historia y el tiempo, con el fin de rescatar las
principales características y causas del proceso de rigorización de las matemáticas que
conllevo a una crisis de los fundamentos de las matemáticas; además nos acercamos a
nuevos conceptos matemáticos que se destacan en la historia, como la aritmetización del
análisis, el reduccionismo y la universalidad de los fundamentos matemáticos, a través de
actividades que implican el uso de estrategias cognitivas, como la elaboración de
organizadores gráficos, en este caso, un cuadro sinóptico como estrategia didáctica para
recoger los aportes de los compañeros del curso y realizar una presentación de las ideas
principales, también, se investigaron algunas corrientes epistemológicas que resultaron del
proceso de rigorización de las matemáticas, nos centramos en el estudio del intuicionismo
y algunas características de la epistemología de las matemáticas, conceptualizando sobre
objeto matemático, modelo matemático, registros semióticos, entre otros; para así
comprender el alcance teórico del estudio de la epistemología de las matemáticas.
Objetivo
General
Analizar los problemas de la
fundamentación matemática por medio
de procesos de resignificación,
verificación y profundización del
conocimiento, observando a través del
tiempo las principales causas y
características de la rigorización de las
matemáticas y de la crisis de los
fundamentos matemáticos, hechos
importantes de la historia de las
matemáticas.
Objetivos
Específicos
• Hacer uso de estrategias cognitivas para presentar la información de
manera didáctica y organizada.
• Participar activamente en el foro compartiendo información según
las orientaciones dadas por la Guía de Actividades del curso
epistemología de las matemáticas.
• Analizar las principales posturas de autores sobre la rigorización de
las matemáticas respondiendo preguntas orientadoras sobre los
textos propuestos.
• Analizar la aritmetización del análisis, el reduccionismo y
universalidad en los fundamentos matemáticos a través de preguntas
contextualizadas de los artículos científicos propuestos.
• Describir los problemas de la fundamentación matemática a lo largo
de la historia de acuerdo con el proceso de rigorización y de la crisis
de los fundamentos matemáticos.
LA
RIGORIZACIÓN
DE LAS
MATEMÁTICAS
CAUSAS
CARACTERÍSTICAS
LA CRISIS DE LOS
FUNDAMENTOS
En matemática por mucho tiempo se manejaban conceptos sin precisarlos, pero se intuía que
estos conceptos eran básicos y debía tenerse en cuenta para los desarrollos matemáticos.
El “análisis no estándar” se da como inicio del periodo de rigorización o fundamentación del
análisis, y consistió en cimentar sobre un piso firme el edificio matemático.
El descubrimiento de las antinomias hacia 1900 supuso una grave crisis para la concepción
conjuntista de los fundamentos, que entonces estaba perfectamente asentada.
Muchas de las soluciones que se daban a un problema se buscaban con ensayo y error, por
ejemplo, los polinomios que no se lograban solucionar se manejaba el concepto de soluciones
con números imaginarios.
En el periodo de la rigorización de las matemáticas se buscó darle una estructura ordenada a la
matemática.
A partir del descubrimiento de las antinomias surgirían los diversos intentos de clarificar los
fundamentos matemáticos, enmarcados y reducidos en tres formas de análisis: logicismo,
intuicionismo y formalismo; en los años 1920, con los desarrollos enfrentados del programa de
Hilbert y la matemática intuicionista, hasta llegar al desenlace de los teoremas de
incompletitud de Gödel.
Surgieron diversas controversias entre los matemáticos de la época, que se empezaron a
cuestionar la aceptación de los nuevos resultados, debido a que la falta de consistencia y rigor
llevó a una constante fuente de paradojas y contradicciones.
La fundamentación y rigorización de las matemáticas se inicia con Bernhard Bolzano,
considerado el padre de la aritmetización.
El proceso de rigorización es un sumario de profundas revisiones de los fundamentos
matemáticos, y uno de los conceptos matemáticos revisados fue el “infinito”. La importancia
de este concepto matemático se explicita en la información concisa y rotunda de Hermann
Weyl (2009): “La matemática es la ciencia del infinito”.
CAMBIOS
O
AVANCES
EN
LAS
MATEMÁTICAS
Durante los primeros años del siglo
XX, coexisten diferentes visiones de la
matemática que implican distintos
métodos lógicos. Se trata de
fundamentar a la matemática como
unidad. La fundamentación como una
visión totalizante que intenta
racionalizar y justificar una praxis de
hacer global.
La obra de Carl Friedrich Gauss en
1963 Disquisitiones Arithmeticae es
una de las primeras obras en las que
aparece el rigor matemático, se toma
como guía la rigorización del análisis.
Se pasó de un tratamiento
geométrico de las matemáticas a un
tratamiento algebraico - analítico,
cuyos principales valedores fueron
Leonhard Euler y Joseph-Louis
Lagrange.
En la búsqueda de la fundamentación
de las matemáticas aparece la
caracterización de Turing de la Teoría
del Algoritmo, luego el Análisis no
Estándar de Robinson en 1961,
seguido de La Teoría del caos y las
catástrofes en 1963.
Las corrientes filosóficas como El
Realismo, Platonismo, Formalismo,
Didacticismo, Intuicionismo,
Constructivismo, Estructuralismo, El
Empirismo matemático y el Cuasi –
empirismo matemático aparecieron
después de la crisis de los
fundamentos matemáticos.
LA
RIGORIZACIÓN
DE LAS
MATEMÁTICAS
MORRIS
KLINE
ARITMETIZACION
DEL ANÁLISIS
REDUCCIONISMO
Y
UNIVERSALIDAD
Se destaca la solidez de las matemáticas, puesto que, ningún teorema de los fundamentos
matemáticos fue cambiado, sino que fue sometido a un análisis profundo y formulados de
manera más cuidadosa.
Que la rigorización de las matemáticas pudo haber sido una necesidad en cierta época de la
historia, sin embargo, lo que develó fue la solidez de las matemáticas
El proceso de rigorización de las matemáticas no cambió teoremas ya existentes, sino que se
aplicó un proceso con mucho más rigor para formularlos de manera más precisa
La aritmética, un fundamento básico de las matemáticas que estudia de manera detallada el
número como objeto matemático desde sus propiedades, y el análisis como estrategia para
estudiar cada una de las cualidades del número obteniendo conclusiones
Según el autor Luis Alberto Canela se plantea la siguiente pregunta frente a la aritmetización
del análisis, “¿Qué significa decir que el concepto de número natural y la aritmética de los
números naturales constituyen la base de análisis?”
Se deduce que hay una necesidad de generalizar y estandarizar las matemáticas,
estableciendo como principio básico, la posibilidad de reducir y fundar de un modo seguro
todo el análisis superior de las matemáticas
El reduccionismo consiste en reducir todos los conceptos y principios de las matemáticas a
aquellos que son tomados como fundamentales.
El logicismo y el intuicionismo son las corrientes epistemológicas que justifican el
reduccionismo de los fundamentos matemáticos.
Desde el álgebra de relativos de Schröder plantea un sentido de universalidad, en el que se
entiende la universalidad de un lenguaje o una teoría en términos de “generalidad”. Una
teoría o un lenguaje son universales cuando son universalmente aplicables, es decir aplicables
a cualquier dominio.
CORRIENTES
EPISTEMOLÓGICAS
LOGICISMO:
Es el logicismo de Gottlob Frege,
limitado al caso de la aritmética,
defendiendo los fundamentos de la
aritmética y desarrollando leyes
fundamentales de la aritmética.
INTUICIONISMO:
La aparición de esta nueva escuela
matemática tiene sus raíces en
algunas controversias que se
suscitaron a comienzos del siglo XX,
tales como la aceptación que la
matemática sea una extensión de la
lógica, y que la consistencia sea un
requisito suficiente de la existencia de
objetos matemáticos.
FORMALISMO:
En los inicios del siglo XX, Hilbert
empieza a preocuparse por el
problema de la consistencia de los
axiomas y de sus demostraciones.
Entre las convicciones de Hilbert
puedo citar la que se refiere a que
todo problema matemático, una vez
definido ha de tener su solución
basada en la pura razón, como lo
expresa: “En la matemática no
existe el ignorabimus”.
OTRAS ESCUELAS:
Realismo, Platonismo, Didacticismo,
Constructivismo, Estructuralismo, El
Empirismo matemático y el Cuasi –
empirismo.
Referencias
Bibliográficas
Canela Morales, L. (2016). Aritmetización del análisis y
construcción formal: Husserl como alumno de Weierstrass y
Kronecker. Revista de filosofía Eikasia, p. 131-141.
https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/49246909/Articulo._
La_posicion_en_Husserl_en_la_Escuela_de_Berlin._Aritm
etizacion_del_analisis_y_construccion_formal-
libre.pdf?1475261988=&response-content-
disposition=inline%3B+filename%3DLa_posicion_en_Hus
serl_en_la_Escuela_de.pdf&Expires=1684190715&Signatu
re=RNrXMgaS5LFtNxTxasibktlo5miRSnETz0NVmJks5jD
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Referencias
Bibliográficas
Ferreirós, J. F. (2004). Un episodio de la crisis de fundamentos:
1904. La Gaceta de la RSME. Vol. (7.2), 449-467.
https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/
historia72.pdf
Gómez, R., & Recalde, L. (2013). Epistemología de las
matemáticas. Modulo. Repositorio UNAD.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/10981
Legris, J. (2005). Reduccionismo y universalidad en los
fundamentos de la matemática a finales del siglo XIX.
Epistemología e historia de la ciencia. Volumen (11), p. 411-
418. https://rdu.unc.edu.ar/bitstream/handle/11086/3907/60%20
%20Reducionismo.pdf?sequence=1&isAllowed=y
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  • 1. Trabajo Colaborativo Epistemología de las Matemáticas Paso 4. Realizar transferencia del conocimiento. Presentado por: Yuri Andrea Quintero Pérez Código #: 1.110.595.717 Celular #: 318 562 6295 Fernanda Milena Yacuechime Poche Código #: 1.062.075.087 Celular #: 311 5520379 Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela Ciencias de la Educación – ECEDU Licenciatura en Matemáticas Mayo 27 de 2023 Código del curso: 551103 Grupo: 44 Tutora: María Gladis Osorio
  • 2. Introducción A continuación, se presenta el trabajo colaborativo analizando los problemas de la fundamentación matemática a lo largo de la historia y el tiempo, con el fin de rescatar las principales características y causas del proceso de rigorización de las matemáticas que conllevo a una crisis de los fundamentos de las matemáticas; además nos acercamos a nuevos conceptos matemáticos que se destacan en la historia, como la aritmetización del análisis, el reduccionismo y la universalidad de los fundamentos matemáticos, a través de actividades que implican el uso de estrategias cognitivas, como la elaboración de organizadores gráficos, en este caso, un cuadro sinóptico como estrategia didáctica para recoger los aportes de los compañeros del curso y realizar una presentación de las ideas principales, también, se investigaron algunas corrientes epistemológicas que resultaron del proceso de rigorización de las matemáticas, nos centramos en el estudio del intuicionismo y algunas características de la epistemología de las matemáticas, conceptualizando sobre objeto matemático, modelo matemático, registros semióticos, entre otros; para así comprender el alcance teórico del estudio de la epistemología de las matemáticas.
  • 3. Objetivo General Analizar los problemas de la fundamentación matemática por medio de procesos de resignificación, verificación y profundización del conocimiento, observando a través del tiempo las principales causas y características de la rigorización de las matemáticas y de la crisis de los fundamentos matemáticos, hechos importantes de la historia de las matemáticas.
  • 4. Objetivos Específicos • Hacer uso de estrategias cognitivas para presentar la información de manera didáctica y organizada. • Participar activamente en el foro compartiendo información según las orientaciones dadas por la Guía de Actividades del curso epistemología de las matemáticas. • Analizar las principales posturas de autores sobre la rigorización de las matemáticas respondiendo preguntas orientadoras sobre los textos propuestos. • Analizar la aritmetización del análisis, el reduccionismo y universalidad en los fundamentos matemáticos a través de preguntas contextualizadas de los artículos científicos propuestos. • Describir los problemas de la fundamentación matemática a lo largo de la historia de acuerdo con el proceso de rigorización y de la crisis de los fundamentos matemáticos.
  • 5. LA RIGORIZACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS CAUSAS CARACTERÍSTICAS LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS En matemática por mucho tiempo se manejaban conceptos sin precisarlos, pero se intuía que estos conceptos eran básicos y debía tenerse en cuenta para los desarrollos matemáticos. El “análisis no estándar” se da como inicio del periodo de rigorización o fundamentación del análisis, y consistió en cimentar sobre un piso firme el edificio matemático. El descubrimiento de las antinomias hacia 1900 supuso una grave crisis para la concepción conjuntista de los fundamentos, que entonces estaba perfectamente asentada. Muchas de las soluciones que se daban a un problema se buscaban con ensayo y error, por ejemplo, los polinomios que no se lograban solucionar se manejaba el concepto de soluciones con números imaginarios. En el periodo de la rigorización de las matemáticas se buscó darle una estructura ordenada a la matemática. A partir del descubrimiento de las antinomias surgirían los diversos intentos de clarificar los fundamentos matemáticos, enmarcados y reducidos en tres formas de análisis: logicismo, intuicionismo y formalismo; en los años 1920, con los desarrollos enfrentados del programa de Hilbert y la matemática intuicionista, hasta llegar al desenlace de los teoremas de incompletitud de Gödel. Surgieron diversas controversias entre los matemáticos de la época, que se empezaron a cuestionar la aceptación de los nuevos resultados, debido a que la falta de consistencia y rigor llevó a una constante fuente de paradojas y contradicciones. La fundamentación y rigorización de las matemáticas se inicia con Bernhard Bolzano, considerado el padre de la aritmetización. El proceso de rigorización es un sumario de profundas revisiones de los fundamentos matemáticos, y uno de los conceptos matemáticos revisados fue el “infinito”. La importancia de este concepto matemático se explicita en la información concisa y rotunda de Hermann Weyl (2009): “La matemática es la ciencia del infinito”. CAMBIOS O AVANCES EN LAS MATEMÁTICAS Durante los primeros años del siglo XX, coexisten diferentes visiones de la matemática que implican distintos métodos lógicos. Se trata de fundamentar a la matemática como unidad. La fundamentación como una visión totalizante que intenta racionalizar y justificar una praxis de hacer global. La obra de Carl Friedrich Gauss en 1963 Disquisitiones Arithmeticae es una de las primeras obras en las que aparece el rigor matemático, se toma como guía la rigorización del análisis. Se pasó de un tratamiento geométrico de las matemáticas a un tratamiento algebraico - analítico, cuyos principales valedores fueron Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange. En la búsqueda de la fundamentación de las matemáticas aparece la caracterización de Turing de la Teoría del Algoritmo, luego el Análisis no Estándar de Robinson en 1961, seguido de La Teoría del caos y las catástrofes en 1963. Las corrientes filosóficas como El Realismo, Platonismo, Formalismo, Didacticismo, Intuicionismo, Constructivismo, Estructuralismo, El Empirismo matemático y el Cuasi – empirismo matemático aparecieron después de la crisis de los fundamentos matemáticos.
  • 6. LA RIGORIZACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS MORRIS KLINE ARITMETIZACION DEL ANÁLISIS REDUCCIONISMO Y UNIVERSALIDAD Se destaca la solidez de las matemáticas, puesto que, ningún teorema de los fundamentos matemáticos fue cambiado, sino que fue sometido a un análisis profundo y formulados de manera más cuidadosa. Que la rigorización de las matemáticas pudo haber sido una necesidad en cierta época de la historia, sin embargo, lo que develó fue la solidez de las matemáticas El proceso de rigorización de las matemáticas no cambió teoremas ya existentes, sino que se aplicó un proceso con mucho más rigor para formularlos de manera más precisa La aritmética, un fundamento básico de las matemáticas que estudia de manera detallada el número como objeto matemático desde sus propiedades, y el análisis como estrategia para estudiar cada una de las cualidades del número obteniendo conclusiones Según el autor Luis Alberto Canela se plantea la siguiente pregunta frente a la aritmetización del análisis, “¿Qué significa decir que el concepto de número natural y la aritmética de los números naturales constituyen la base de análisis?” Se deduce que hay una necesidad de generalizar y estandarizar las matemáticas, estableciendo como principio básico, la posibilidad de reducir y fundar de un modo seguro todo el análisis superior de las matemáticas El reduccionismo consiste en reducir todos los conceptos y principios de las matemáticas a aquellos que son tomados como fundamentales. El logicismo y el intuicionismo son las corrientes epistemológicas que justifican el reduccionismo de los fundamentos matemáticos. Desde el álgebra de relativos de Schröder plantea un sentido de universalidad, en el que se entiende la universalidad de un lenguaje o una teoría en términos de “generalidad”. Una teoría o un lenguaje son universales cuando son universalmente aplicables, es decir aplicables a cualquier dominio. CORRIENTES EPISTEMOLÓGICAS LOGICISMO: Es el logicismo de Gottlob Frege, limitado al caso de la aritmética, defendiendo los fundamentos de la aritmética y desarrollando leyes fundamentales de la aritmética. INTUICIONISMO: La aparición de esta nueva escuela matemática tiene sus raíces en algunas controversias que se suscitaron a comienzos del siglo XX, tales como la aceptación que la matemática sea una extensión de la lógica, y que la consistencia sea un requisito suficiente de la existencia de objetos matemáticos. FORMALISMO: En los inicios del siglo XX, Hilbert empieza a preocuparse por el problema de la consistencia de los axiomas y de sus demostraciones. Entre las convicciones de Hilbert puedo citar la que se refiere a que todo problema matemático, una vez definido ha de tener su solución basada en la pura razón, como lo expresa: “En la matemática no existe el ignorabimus”. OTRAS ESCUELAS: Realismo, Platonismo, Didacticismo, Constructivismo, Estructuralismo, El Empirismo matemático y el Cuasi – empirismo.
  • 7. Referencias Bibliográficas Canela Morales, L. (2016). Aritmetización del análisis y construcción formal: Husserl como alumno de Weierstrass y Kronecker. Revista de filosofía Eikasia, p. 131-141. https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/49246909/Articulo._ La_posicion_en_Husserl_en_la_Escuela_de_Berlin._Aritm etizacion_del_analisis_y_construccion_formal- libre.pdf?1475261988=&response-content- disposition=inline%3B+filename%3DLa_posicion_en_Hus serl_en_la_Escuela_de.pdf&Expires=1684190715&Signatu re=RNrXMgaS5LFtNxTxasibktlo5miRSnETz0NVmJks5jD ja1tjW6zq0orx3Wg3-nhBwUN- RJkkU2pzPJ8hZycF0mh~SF48uGOStcUZAXyaSXD8LDa FrrljPMBRDjiTwQvGl3qqrKi19WmRsYoCF- aqX~HplVsyeeSCtF2Ee- I2YMJsg0M5dn3NZH0VmLveNO3BVDC~geFd44kTKP3 nxWbSFI4Pq1tYNMyZw~2Y7b98eChkep~I4vKOg2FqPw KYgVsCoqBYmUYVi73pDQ001vZQdIICUldoM6iD~Ltu YGuaSJXih8C3pWJBeF7FN92t2QrfnEIzUKrg8Ssnrf6He7 GhIQ__&Key-Pair-Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA
  • 8. Referencias Bibliográficas Ferreirós, J. F. (2004). Un episodio de la crisis de fundamentos: 1904. La Gaceta de la RSME. Vol. (7.2), 449-467. https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/ historia72.pdf Gómez, R., & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo. Repositorio UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/10981 Legris, J. (2005). Reduccionismo y universalidad en los fundamentos de la matemática a finales del siglo XIX. Epistemología e historia de la ciencia. Volumen (11), p. 411- 418. https://rdu.unc.edu.ar/bitstream/handle/11086/3907/60%20 %20Reducionismo.pdf?sequence=1&isAllowed=y