matematica de ecuaciones

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Docente:
Wildor Merardo Diaz Barzan
Integrantes :
Diego Gustavo Chura Arocutipa 2017-111062
Yulisa Yomira Arocutipa Alanoca 2018-111041
Elam Eliana Ramirez Chambi 2019-111012
Alexandra Astrid Ticona Tuyo 2015-111061
"Año del Bicentenario del Perú: 200 años de Independencia"

2. INTRODUCCIÓN
La matemática es fundamental hoy en día ya que la reforma de la enseñanza, partiendo de la
naturaleza matemática, nos permite obtener conocimientos de evolución continua y, por tanto, de
razonamiento deductivo.
El presente trabajo, titulado Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer
grado, esta dividido en tres temas, que detallaremos a continuación.
En el tema 1 desarrollaremos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas.
En el tema 2 desarrollaremos las Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas.
En el tema 3 desarrollaremos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas.
Finalizando el trabajo se presentara un problema de aplicación en la Industria Alimentaria.

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
F(λx, λy) = λ n .F(x, y)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 4𝑦3
es homogénea de grado 3 en x e y
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
𝑡𝑔
𝑥
𝑦
es homogénea de grado 2 en x e y
𝑓 𝑥, 𝑦 =
3
𝑥3 − 𝑦3 es homogénea de grado 1 en x e y
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2−𝑦2
𝑥𝑦
es homogénea de grado 0 en x e y
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 no es homogénea
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 no es homogénea
Ejemplos de funciones homogéneas:
Función
Homogénea
Una función F(x, y) es homogénea de orden n, si para todo
λ > 0 se cumple la relación

4. Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas que pueden escribirse de la forma.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑦 = 𝑧 𝑥 . 𝑥
Se llama ecuación diferencial homogénea si la función f(x, y) es homogénea de orden cero. De una forma
equivalente, toda ecuación diferencial de la forma
Será homogénea si, las funciones M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo orden. Toda
ecuación diferencial homogénea se reduce a una ecuación diferencial con variables separables mediante la
sustitución

5. EJEMPLO 1:
𝑥 − 𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
𝑥𝑑𝑥 − 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑢 = 0
x𝑑𝑥 1 − 𝑢 + 𝑢 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 0
x𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 0
x𝑑𝑥 = − 𝑥2
𝑑𝑢
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 = − 𝑑𝑢
𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
Hacer cambio de variable:
y = ux
dy = udx + xdu
Separación de variables
Factorizamos
Separamos variables

6. 1
𝑥
𝑑𝑥 = − 𝑑𝑢
𝐿𝑛 𝑥 = −𝑢 + 𝑐
𝐿𝑛𝑥 = −
𝑦
𝑥
+ 𝑐
𝐿𝑛𝑥 − 𝑐 = −
𝑦
𝑥
𝑥𝐿𝑛𝑥 − 𝑥𝑐 = −𝑦
−𝑥𝐿𝑛𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑦
Integramos
Reemplazamos 𝑢 =
𝑦
𝑥
Despejamos las variables

7. EJEMPLO 2:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 − 𝑥
𝑦 + 𝑥
𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥
Hacer cambio de variable
y = ux
dy = udx + xdu
𝑢𝑥 + 𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑢𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑢2
𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑥2
𝑑𝑢 + 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 𝑢𝑥𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑥
𝑢𝑥2
𝑑𝑢 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 𝑢𝑥𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 − 𝑢2
𝑥𝑑𝑥 − 𝑢𝑥𝑑𝑥
𝑥2
𝑑𝑢 𝑢 + 1 = −𝑥𝑑𝑥(1 + 𝑢2
)
𝑢 + 1 𝑑𝑢
1 + 𝑢2
=
−𝑥𝑑𝑥
𝑥2
𝑢𝑑𝑢
1 + 𝑢2 +
𝑑𝑢
1 + 𝑢2 = −
𝑑𝑥
𝑥
Factorizamos
Separamos variables
Integramos

8. 1
2
𝐿𝑛 1 + 𝑢2 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢 = −𝐿𝑛𝑥 + 𝑐
Remplazamos
𝑦 = 𝑢𝑥
𝑦
𝑥
= 𝑢
𝐿𝑛 1 +
𝑦2
𝑥2 + 2𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
= −2 𝐿𝑛𝑥 + 2𝑐
𝐿𝑛
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥2
+ 𝐿𝑛𝑥2 = −2 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
+ 𝑐1
𝐿𝑛
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥2
. 𝑥2
= −2 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
+ 𝑐1
𝐿𝑛 𝑥2
+ 𝑦2
= −2 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
+ 𝑐1
𝑢𝑑𝑢
1 + 𝑢2
𝑑𝑣
2𝑣
=
1
2
𝐿𝑛(1 + 𝑢2
) Sustituimos
1 + 𝑢2
= 𝑣
2𝑢𝑑𝑢 = 𝑑𝑣
udu =
𝑑𝑣
2
Multiplicamos todos los términos por 2
Lna + Lnb = Lna.b
Simplificamos 𝑥2

9. Las ecuaciones de la forma
Son homogéneas si se tiene c1 = c2 = 0
Cuando se tiene c1≠ c2 ≠ 0, la anterior ecuación puede transformarse en homogénea mediante una
traslación de ejes, es decir, poniendo x = z + h ; y = w+ k, donde h y k vienen dados por el sistema:
L1=
L2=
(1)
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS

10. SE REDUCE A HOMOGÉNEA
PRIMER CASO
a1b2≠a2b1 entonces las rectas son no paralelas en este caso el procedimiento es el siguiente:
1. Trasladar el origen de coordenadas al punto (h,k) de intersección de las rectas
2. Hacer cambio de variable
X=u + h →dx=du (2)
Y=v + k → dy=dv
3. Reemplazar (2) en (1) con lo cual quedara una ecuación homogénea en las variables u y v
(ᾳ)

11. Y’=
𝑥+𝑦+1
𝑥−𝑦−3
x+y+1=0
X-y-3 =0
2x-2 =0
X=1
y=-2
(1,-2)
Cambio de variable
X=x-1 ,x=X+1 x’=X’
Y= y+2 ,y=Y-2 y’=Y’
𝑥 + 1 + 𝑦 − 2 + 1
𝑥 + 1 − 𝑦 + 2 − 3
Y’= =
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
Y=ux Y’=u’x+u
u’x+u=
𝑋 + 𝑢𝑋
𝑋 − 𝑢𝑋
=
1+𝑢
1−𝑢
u’x=
1+𝑢
1−𝑢
− u = 1 + 𝑢 − 𝑢(1 − 𝑢)
1 − 𝑢
=
1+𝑢2
1−𝑢
EJEMPLO

12. SEGUNDO CASO
𝑎1𝑏2=𝑎2𝑏1 entonces las rectas son paralelas
El procedimiento será
1. Hacer el cambio
2. Reemplazar (3) en (1) con lo cual nos queda una ecuación diferencial reducible a variables separadas

13. Y’=
𝑥+𝑦−1
2𝑥+2𝑦+1
Z=x+y → z’=1+y’ → y’=z’-1
Sustituimos en la ecuación
Z’-1 =
𝑧−1
2𝑧+1
Z’=
𝑧−1
2𝑧+1
+ 1 =
𝑧+2𝑧+1
2𝑧+1
=
3𝑧
2𝑧+1
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
3𝑧
2𝑧+1
→
2𝑧+1
3𝑧
dz=dx
integrando
2𝑧+1
3𝑧
dz= 𝑑𝑥
2𝑧
3𝑧
+
1
3𝑧
)dx =
2
3
z +
1
3
ln(z)
2
3
𝑧 +
1
3
ln(z)=
x+ c
2
3
𝑥 + 𝑦 +
1
3
ln(x+y)=x+c
EJEMPLO

14. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS
Definición: Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones reales continuas en un dominio D. Se dice que la
ecuación
Es diferencial exacta si existe una función real F(x, y) tal que en el dominio D cumple:
La función F(x, y) es una primitiva de la ecuación y la integral general es:
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =0
∂F
∂x
= P (x,y)
F(x, y) = cte.
∂F
∂y
= Q (x,y)

15. TEOREMA:
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación P· dx + Q· dy = 0 sea diferencial exacta
en un dominio D, siendo P(x, y), Q(x, y) y sus derivadas parciales continuas en D es que se
cumpla:
EJEMPLO 1:
∂𝑃
∂y
= 2𝑥 + 2𝑦
Diferencial exacta
F(x,y) = 2𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑥 + 𝑎(𝑦)
∂𝐹
∂y
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑎′
𝑦
= 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 − 𝑦
Integral general
∂𝑃
∂y
=
∂𝑄
∂x
2𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑑𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0
∂𝑄
∂x
= 2x + 2y
𝒙𝟐
𝒚 + 𝒚𝟐
𝒙 −
𝒚𝟐
2
= 𝐊
𝑎 𝑦 = −
𝑦2
2
+ cte
𝑎´ 𝑦 = −𝑦

16. EJEMPLO 2:
𝑃𝑦 =
1
𝑦
+
1
𝑥
, 𝑄𝑥 =
1
𝑦
+
1
𝑥
Diferencial exacta
𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑒𝑥
+ 𝑙𝑛𝑦 +
𝑦
𝑥
) 𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
+ 𝑥 𝑙𝑛𝑦 + 𝑦𝑙𝑛𝑥𝑥 + 𝑎 𝑦
∂𝐹
∂y
=
𝑥
𝑦
+ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑎´ 𝑦
= 𝑄 𝑥, 𝑦 =
𝑥
𝑦
+ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦
Integral general
𝒆𝒙 + 𝒙 𝒍𝒏𝒚 + 𝒚 𝒍𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒚 = 𝟎
(𝑒𝑥+ 𝑙𝑛𝑦 +
𝑦
𝑥
) 𝑑𝑥 +
𝑥
𝑦
+ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑎´ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑎 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑡𝑒

17. Un termómetro se lleva al interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5ºF.
Después de un minuto, el termómetro indica 55ªF, cinco minutos después de marca 30ªF. ¿Cuál es la
temperatura del interior?
SOLUCION
De la ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘 (𝑇 − 𝑇𝑚)
Asumimos que
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘 (𝑇 − 5)
Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos:
PROBLEMA DE APLICACIÓN EN LA INDUSTRIA ALIMENTARIA

18. 𝑑𝑇
(𝑇 − 5)
= 𝑘 𝑑𝑡 →
𝑑𝑇
(𝑇 − 5)
= 𝑘 𝑑𝑡
𝐿𝑛 𝑇 − 5 = 𝑘𝑡 + 𝐶1 → 𝑒𝐿𝑛 𝑇−5 = 𝑒𝑘𝑡+ 𝐶1
T − 5 = 𝑒𝑘𝑡 𝑒 𝐶1 → T t = 5 + 𝐶2 𝑒𝑘𝑡
Utilizamos las condiciones iniciales del problema
T 1 = 55º
T 5 = 30º
T t = 5 + 𝐶2 𝑒𝑘𝑡
T 1 = 55
55 = 5 + 𝐶2 𝑒 1 𝑘 → 50 = 𝐶2 𝑒𝑘 … … … … … 1
T 5 = 30
30 = 5 + 𝐶2 𝑒 5 𝑘 → 25 = 𝐶2 𝑒5𝑘 … … … … … 2

19. Dividiendo la ecuación (1) entre la ecuación (2)
50 = 𝐶2 𝑒𝑘
25 = 𝐶2 𝑒5𝑘
→ 2 = 𝑒−4𝑘
→ ln 2 = 𝑙𝑛 𝑒−4𝑘
→ ln 2 = −4𝑘
k = −
1
4
ln 2
Utilizamos la segunda condición para calcular 𝐶2
T t = 5 + 𝐶2 𝑒𝑘𝑡 → 30 = 5 + 𝐶2 𝑒(5)𝑘
con k = −
1
4
ln2 → 25 = 𝐶2 𝑒5(−0,173286795)
25 = 𝐶2 (0,420448207)
𝐶2 = 59,46035575
Por lo tanto T(0) tenemos:
T t = 5 + 𝐶2 𝑒𝑘𝑡
T 0 = 5 + (59,46035575)𝑒(0)(−0,173286795)
T 0 = 64,4611 º

20. CONCLUSION
La aplicación en la rama de la ingeniería en industrias alimentarias es importante
ya que se pueden aplicar modelos matemáticos para resolver un problema,
modelos como los isotermas de adsorción y desorción, ley de enfriamiento de
Newton, problemas de evaporación en alimentos, movimiento de fluidos y
otros.

21. BIBLIOGRAFIA
• Lenin, Q., & Huatangari. (n.d.). Separata de: ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.
http://m.repositorio.unj.edu.pe/bitstream/handle/UNJ/28/ECUACIONES%20DIFERENCI
ALES%20ORDINARIAS%20DE%20PRIMER%20ORDEN.pdf?sequence=1&isAllowed=y
• Guzmán Y Valle, E., Máter, A., Magisterio, D., Facultad, N., Ciencias, D., Ojeda, O., & Carlos, R.
(n.d.). Examen de Suficiencia Profesional Resolución N° 1242-2018-D-FAC.
https://repositorio.une.edu.pe/bitstream/handle/UNE/4365/Ecuaciones%20diferenciales%20o
rdinarias.pdf?sequence=1&isAllowed=y
• Rodríguez, B. (n.d.). Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6024/mod_resource/content/1/tema5/ME5-
ecdiferenciales.pdf