1. Séries numériques
Séries numériques
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2. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
1. Rappels sur les suites numériques
Définition
On appelle une suite numérique, dite aussi suite réelle, toute application u d’une
partie I de N dans R :
u : I ⊂ N −→ R
n 7−→ u (n) = un
On appelle un, le terme général de la suite u.
Si I = N, la suite de terme général un sera notée (un)n.
Si I = {n ∈ N/n ≥ n0} la suite de terme général un sera notée (un)n≥n0
.
Suites bornées
On dit que la suite (un)n est :
majorée si ∃M ∈ R tel que ∀n ∈ N on a : un ≤ M
minorée si ∃m ∈ R tel que ∀n ∈ N on a : un ≥ m
bornée si elle est majorée et minorée, soit encore :
∃M ∈ R tel que ∀n ∈ N on a : |un| ≤ M
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3. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
Suites monotones
On dit que la suite (un)n est :
croissante si ∀n ∈ N un+1 ≥ un.
décroissante si ∀n ∈ N un+1 ≤ un.
monotone si elle est croissante ou décroissante.
Suites convergentes
On dit que la suite (un)n tend vers ` ∈ R quand n tend vers l’infini si :
∀ 0 ∃N ∈ N tel que : ∀n ≥ N on a : |un − `|
On dit aussi que la suite (un)n converge vers ` ou encore que la suite (un)n est
convergente.
Dans ce cas on écrit lim
n→+∞
un = ` ou lim
n
un = ` ou parfois un −
−
−
−
→
n→+∞
`.
Une suite qui n’est pas convergente dite appelée suite divergente.
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4. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
Suites tendant vers l’infini
On dit que la suite (un)n
1 tend vers +∞ si : ∀A 0 ∃N ∈ N tel que : ∀n ≥ N on a : un A
Dans ce cas on écrit lim
n→+∞
un = +∞.
2 tend vers −∞ si : ∀A 0 ∃N ∈ N tel que : ∀n ≥ N on a : un −A
Dans ce cas on écrit lim
n→+∞
un = −∞.
Remarque :
Une suite divergente est une suite qui n’admet pas de limite ou qui a une limite infinie.
Propriétés des suites convergentes
La limite d’une suite lorsqu’elle existe est unique.
Toute suite convergente est bornée.
Si une suite (un)n converge vers ` alors la suite (|un|)n converge vers |`|. La
réciproque est fausse.
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5. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
Propriétés utiles
Soient (un)n, (vn)n et (wn)n trois suites réelles.
1 Si (un)n est croissante et majorée alors elle est convergente et sa limite ` vérifie
∀n ∈ N, un ≤ `
2 Si (un)n est décroissante et minorée alors elle est convergente et sa limite ` vérifie
∀n ∈ N, un ≥ `
3
®
∀n ∈ N, un ≤ vn ≤ wn
et lim
n→+∞
un = lim
n→+∞
wn = ` =⇒ lim
n→+∞
vn = `
4
®
∀n ∈ N, |un − `| ≤ vn
et lim
n→+∞
vn = 0 =⇒ lim
n→+∞
un = `
5
®
(un)n est bornée
et lim
n→+∞
vn = 0 =⇒ lim
n→+∞
unvn = 0
6
®
un ≤ vn
et lim
n→+∞
un = +∞ =⇒ lim
n→+∞
vn = +∞
7
®
un ≤ vn
et lim
n→+∞
vn = −∞ =⇒ lim
n→+∞
un = −∞
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6. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
Suites arithmétiques
1 La suite donnée par
u0 ∈ R (donné) et un+1 = un + r, ∀n ≥ 0
est dite arithmétique de premier terme u0 et de raison r ∈ R.
2 Si (un)n est une suite arithmétique de raison r alors
un = up + (n − p)r ∀n, p ∈ N
En particulier, un = u0 + nr ∀n ∈ N
3 Si (un)n est une suite arithmétique, alors :
up + up+1 + · · · + uq =
(q − p + 1)
2
(up + uq)
4 Si (un)n est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors :
lim
n→+∞
un =
(
+∞ si r 0
u0 si r = 0
−∞ si r 0
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7. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
Suite géométrique
1 La suite donnée par
u0 ∈ R (donné) et un+1 = qun, ∀n ≥ 0
est dite géométrique de premier terme u0 et de raison q ∈ R.
2 Si (un)n est une suite géométrique de raison q alors
un = q(n−p)
up ∀n, p ∈ N
En particulier, un = qn
u0 ∀n ∈ N
3 Si (un)n est une suite géométrique de raison q 6= 1, alors :
up + up+1 + · · · + un = up
1 − qn−p+1
1 − q
4 Si (un)n est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors :
lim
n→+∞
un =





±∞ si q 1
u0 si q = 1
0 si −1 q 1
pas de limite si q ≤ −1 et u0 6= 0
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8. Séries numériques Rappels sur les suites numériques
Suites adjacentes
Les suites (un)n et (vn)n sont dites adjacentes si
1 (un)n est croissante et (vn)n est décroissante,
2 lim
n→+∞
(vn − un) = 0.
Théorème
Si les suites (un)n et (vn)n sont adjacentes, elles convergent vers une même limite `
vérifiant :
∀n ∈ N, un ≤ ` ≤ vn
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9. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
2. Généralités sur les séries numériques
2.1 Définition
Définition
Soit (un)n≥n0
une suite numérique. On appelle série de terme général un la suite
(Sn)n≥n0
où :
∀n ≥ n0 , Sn =
n
X
k=n0
uk = un0 + un0+1 + · · · + un
Cette série est notée
X
n≥n0
un ou tout simplement
X
un s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le
premier terme.
Pour n ≥ n0, Sn est appelée somme partielle de rang n de cette série.
Remarque : Une série est donc un cas particulier de suite.
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10. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
2.2 Nature et somme d’une série
Définition (série convergente)
On dit que la série
X
un est convergente si la suite de ses sommes partielles
(Sn)n≥n0
est convergente. On note alors
lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
n
X
k=n0
uk =
+∞
X
k=n0
uk
Dans ce cas, le nombre S = lim
n→+∞
Sn est appelé somme de la série
X
un
Attention! La notation
+∞
X
k=n0
uk n’a pas de sens que si la série
X
un converge. Il faut
donc prouver la convergence de la série avant d’employer cette notation.
Définition (série divergente)
Une série qui n’est pas convergente est dite divergente.
(c’est le cas lorsque la suite (Sn)n≥n0
n’a pas de limite ou lim
n→+∞
Sn = ∞ )
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11. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
Exemples :
1 Soit la série de terme général un =
1
n(n + 1)
avec n ≥ 1. On peut écrire après
décomposition en éléments simples que : un =
1
n
−
1
n + 1
. D’où
Sn =
n
X
k=1
uk
=
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
+
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
Comme lim
n→+∞
Sn = 1 alors la série
X 1
n(n + 1)
est convergente et sa somme
vaut 1.
2 Soit la série de terme général un =
1
n
avec n ≥ 1. Montrons que cette série n’est
pas convergente.
En effet, posons Sn =
n
X
k=1
uk =
1
1
+
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
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12. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
Alors
S2n − Sn =
1
1
+
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
+
1
n + 1
+ · · · +
1
2n
−
1
1
+
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ · · · +
1
2n
Or pour tout p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n, on a n + 1 ≤ p + n ≤ 2n et par suite :
n + 1 =⇒
1
n + 1
≥
1
2n
n + 2 =⇒
1
n + 2
≥
1
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2n ≤ 2n =⇒
1
2n
≥
1
2n
Ainsi,
S2n − Sn ≥ n
1
2n
=
1
2
(1)
Si la suite (Sn) converge alors la suite (S2n) converge aussi et lim S2n = lim Sn et par
conséquent lim (S2n − Sn) = 0. Or, il en résulte de (1) que l’on a :lim (S2n − Sn) ≥
1
2
d’où une contradiction. La série
X 1
n
est donc divergente.
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13. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
2.3 Exercice 1 :
Étudier la nature des séries numériques dont les termes généraux sont :
1 un =
1
n + 1
−
2
n + 2
+
1
n + 3
avec n ≥ 0
2 un = (−1)n
avec n ∈ N
3 un = a, ∀n ∈ N avec (a 6= 0)
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14. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
Proposition (condition nécessaire de convergence)
Si la série
X
un converge, alors lim
n→+∞
un = 0
Attention!
La réciproque est absolument fausse. ( lim
n→+∞
un = 0 ;
X
un converge)
Par exemple, si un =
1
n
, on a lim
n→+∞
un = lim
n→+∞
1
n
= 0, mais la série
X
un diverge.
Remarque : Le résultat de la proposition précédente est surtout utilisé sous sa
forme contraposée :
Si lim
n→+∞
un 6= 0 alors la série
X
un diverge
On dira que la série est grossièrement divergente.
Exemple :
La série
X n
n + 1
est divergente, car lim
n→+∞
n
n + 1
= 1 6= 0
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15. Séries numériques Généralités sur les séries numériques
2.5 Opérations sur les séries convergentes
Proposition
Soient
X
un et
X
vn deux séries convergentes respectivement vers α et β. Alors :
1 La série
X
(un + vn) est convergente et on a
+∞
X
k=n0
(uk + vk ) = α + β
2 Pour tout λ ∈ R, la série
X
(λun) est convergente et on a
+∞
X
k=n0
(λuk ) = λα
Remarque :
La somme de deux séries divergentes n’est pas nécessairement divergente.
Il suffit de prendre, par exemple, une série divergente de terme général un, alors la
série de terme général −un diverge aussi, mais
X
(un − un) = 0
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16. Séries numériques Séries usuelles
3. Séries usuelles
3.1 Série géométrique
Définition
Soit q ∈ R, on appelle série géométrique toute série de terme général un = qn
.
La série géométrique
X
qn
converge si et seulement si |q| 1.
Dans ce cas,
+∞
X
k=n0
qk
=
qn0
1 − q
Exemples :
1 La série de terme général un =
3
4
n
converge vers
+∞
X
k=0
3
4
k
=
1
1 −
3
4
= 4
2 La série de terme général un = 3n
diverge (car |q|=3 1).
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17. Séries numériques Séries usuelles
3.2 Série arithmétique
Définition
On appelle série arithmétique toute série de terme général un = u0 + nr avec u0 6= 0
et r une constante réelle. La série
X
un est divergente.
Exemple :
On pose un = n, on a
Sn =
n
X
k=1
uk = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)
2
Or lim
n→+∞
n(n + 1)
2
= +∞ d’où
X
un diverge.
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18. Séries numériques Séries usuelles
3.3 Série de Riemann
Définition
On appelle série de Riemann toute série de terme général un =
1
nα
, (n ≥ 1) où α est
une constante (indépendante de n).
La série de Riemann
X 1
nα
, converge si et seulement si α 1
Exemples :
1 La série de terme général un =
1
n
(appelée série harmonique) est divergente;
2 Les séries de terme général (resp.) : un =
1
n2
, un =
1
n3
, un =
1
n
√
n
sont
convergentes (resp. α = 2, α = 3, α =
3
2
)
3 La série de terme général un =
1
√
n
est divergente (α =
1
2
)
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19. Séries numériques Séries usuelles
3.4 Série Exponentielle
Définition
Pour tout x ∈ R, la série de terme général un =
xn
n!
, n ≥ 0 est dite série exponentielle.
La série exponentielle
X xn
n!
est convergente, et on a :
+∞
X
k=0
xk
k!
= ex
Exemples :
1
+∞
X
k=0
1
k!
= e
2
+∞
X
k=0
(−2)k
k!
= e−2
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20. Séries numériques Séries à termes positifs
4. Séries à termes positifs
4.1 Définition
Définition
Une série
X
un est dite à termes positifs si un ≥ 0, ∀n ∈ N
Exemple :
La série de terme général un =
n + 1
n2
(n ≥ 1) est une série à terme positif.
4.2 Règles de comparaison
Proposition (Règle de comparaison par inégalités)
Soient
X
un et
X
vn deux séries à termes positifs. On suppose que
0 ≤ un ≤ vn à partir d’un certain rang n0 ∈ N
Alors
1 Si
X
vn converge alors
X
un converge.
2 Si
X
un diverge alors
X
vn diverge.
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21. Séries numériques Séries à termes positifs
Exemples :
1 On considère un =
n − 3
n2(n − 2)
, on a
• un ≥ 0 pour tout n ≥ 3
•
n − 3
n − 2
≤ 1 pour tout n ≥ 3
D’où 0 ≤ un ≤
1
n2
pour tout n ≥ 3
Et comme la série de Riemann
X 1
n2
est convergente (car α = 2) alors la série
X
un est aussi convergente.
2 On considère un =
n2
+ 1
n3
, on a
un =
n2
+ 1
n3
=
1
n
+
1
n3
1
n
Or la série harmonique
X 1
n
diverge, alors la série
X
un diverge aussi.
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22. Séries numériques Séries à termes positifs
Proposition (Règle de comparaison logarithmique)
Soient
X
un et
X
vn deux séries à termes strictement positifs. On suppose que :
0 ≤
un+1
un
≤
vn+1
vn
à partir d’un certain rang n0 ∈ N
Alors
1 Si
X
vn converge alors
X
un converge.
2 Si
X
un diverge alors
X
vn diverge.
Exemple :
On considère un =
n + 2
3n
et vn =
1
2n
, on a
un+1
un
=
n + 3
3n+1
×
3n
n + 2
=
n + 3
3(n + 1)
≤
1
2
=
vn+1
vn
Or la série
X
vn est série géométrique convergente, alors la série
X
un converge
aussi.
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23. Séries numériques Séries à termes positifs
Proposition (Règle d’équivalence)
Soient
X
un et
X
vn deux séries à termes strictement positifs. On suppose que :
lim
n→+∞
un
vn
= `, ` 6= 0, ` 6= +∞
Alors, les deux séries
X
un et
X
vn sont de même nature.
Exemples :
1 On considère un = ln
1 +
1
2n
et vn =
3
2n
, on a
lim
n→+∞
un
vn
=
1
3
, et comme
X
vn est une série géométrique convergente, alors la
série
X
un converge aussi.
2 On considère un =
1
n
et vn = ln
1 +
1
n
, on a
lim
n→+∞
un
vn
= 1, et comme
X
un est une série harmonique qui est divergente, alors
la série
X
vn est aussi divergente.
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24. Séries numériques Séries à termes positifs
4.3 Critères de convergence
Règle de D’Alembert
Soit (un)n une suite numérique à termes strictement positifs telle que
lim
n→+∞
un+1
un
= `
1 Si ` 1, alors
X
un converge;
2 Si ` 1, alors
X
un diverge;
3 Si ` = 1 on ne peut rien conclure.
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25. Séries numériques Séries à termes positifs
Exemples :
1 Soit la série de terme général un =
1
n!
, on a
lim
n→+∞
un+1
un
= lim
n→+∞
n!
(n + 1)!
= lim
n→+∞
1
n + 1
= 0 1
D’où la série
X
un converge.
2 Soit la série de terme général vn =
n!
5n
, on a
lim
n→+∞
vn+1
vn
= lim
n→+∞
n + 1
5
= +∞
D’où la série
X
vn diverge.
3 Soit la série de terme général wn =
1
n(n + 1)
, on a
lim
n→+∞
wn+1
wn
= lim
n→+∞
n
n + 2
= 1
Donc on ne peut rien conclure. Cependant, wn =
1
n(n + 1)
=
1
n2 + n
1
n2
D’où la série
X
wn converge (car
X 1
n2
converge).
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26. Séries numériques Séries à termes positifs
Règle de Cauchy
Soit (un)n une suite numérique à termes strictement positifs telle que
lim
n→+∞
n
√
un = `
1 Si ` 1, alors
X
un converge;
2 Si ` 1, alors
X
un diverge;
3 Si ` = 1 on ne peut rien conclure.
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27. Séries numériques Séries à termes positifs
Exemples :
1 Soit la série de terme général un =
3n + 5
4n + 1
n
, on a
lim
n→+∞
n
√
un = lim
n→+∞
3n + 5
4n + 1
=
3
4
1
D’où la série
X
un converge.
2 Soit la série de terme général vn =
5n + 2
3n − 1
n
, on a
lim
n→+∞
n
√
un = lim
n→+∞
5n + 2
3n − 1
=
5
3
1
D’où la série
X
vn diverge.
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28. Séries numériques Séries à termes positifs
4.4 Exercice 2 :
Étudier la nature des séries numériques dont les termes généraux sont :
1 un =
2n + 3
n + 2
2 un =
3
n2 + 5
3 un =
1
n(n + 1)(n + 2)
4 un =
√
n + 1 −
√
n
n
5 un =
1
n cos2(n)
6 un =
1
5n
7 un = ne
1
n − n
8 un =
−1
3
n
9 un =
2n
3n−2
(où n ≥ 3)
10 un =
an
n!
(où a 6= 0)
11 un =
nn
n!
12 un =
n
n + 1
n2
13 un =
1 +
1
2n
n2
14 un =
2n
nk
(où k ≥ 0)
15 un =
n
2n
16 un =
n10000
n!
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29. Séries numériques Séries alternées
5. Séries alternées
Définition (Série alternée)
On appelle série alternée une série de la forme
X
(−1)n
an
où (an) est une suite à termes positifs (c-à-d an ≥ 0, ∀n ∈ N)
Critère de Leibniz
Une série alternée
X
(−1)n
an est convergente si les deux conditions suivantes sont
satisfaites :
17
1 La suite (an) est décroissante;
2 lim
n→+∞
an = 0.
Exemple :
La série de terme général vn =
(−1)n
n
(avec n ≥ 1) converge, car la suite de terme
général an =
1
n
est décroissante et converge vers 0.
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30. Séries numériques Convergence absolue et semi convergence
6. Convergence absolue et semi convergence
6.1 Convergence absolue
Définition
On dit que la série
X
un est absolument convergente si la série
X
|un| converge.
Théorème
Toute série absolument convergente est convergente. (CV absolue ⇒ CV simple)
Exemple :
Soit la série de terme général un =
(−1)n
nα
avec α 1, on a la série
X
|un| =
X 1
nα
converge (car α 1)
D’où la série
X
un est absolument convergente.
Attention!
La réciproque du théorème ci-dessus est fausse. (CV simple ; CV absolue)
Par exemple, la série de terme général vn =
(−1)n
n
(avec n ≥ 1) est une série alternée
convergente, mais la série
X
|un| =
X 1
n
diverge (série harmonique).
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31. Séries numériques Convergence absolue et semi convergence
6.2 Semi convergence
Définition
On dit que la série
X
un est semi convergente si et seulement si elle est
convergente sans qu’elle soit absolument convergente.
6.3 Exercice 3 :
1 Étudier la nature des séries numériques dont les termes généraux sont :
1 un =
(−1)n(n + 1)
n2 + n + 1
2 un =
(−1)n
√
n + 1 +
√
n
3 un = (−1)n sin
Äπ
n
ä
∀n ≥ 2
4 un =
(−1)nn3
n!
2 Montrer que la série de terme général un =
(−1)n
ln
√
n + 1
est semi convergente.
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