Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Territorial de Lara “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto Estado-Lara
Alumno: Francis Sivira
Materia: Matemática.
Prof. Mayra Ramírez.
Pnf: Contaduría Pública.
Sección: 0202

¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es la agrupación, de diferentes elementos que
comparten entre sí, características y propiedades
semejantes.
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que
estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina
por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al
conjunto como la colección de elementos finitos o
infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.
A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la
agrupación de los elementos que lo conforman puede
variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que
son:

Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o
enumerarse en su totalidad.
Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o
enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin.
Conjunto unitario. Está compuesto por un único
elemento.
Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.
Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una
misma clase o categoría.
Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase
y categoría.
Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:
Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos
entre dos o más conjuntos es la misma.
Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están
compuestos por elementos idénticos.

Podemos crear otro conjunto
conformado con los elementos que
pertenezcan a M o a N . A este
nuevo conjunto le llamamos unión
de M y N, y lo notamos de la
siguiente manera: M u N.
Al elegir qué elementos estarán en
Unión de conjuntos: la unión de nuestros
conjuntos M y N, debes
preguntarte cuáles están en el
conjunto M “o” en el conjunto N. El
resultado de la operación será
el conjunto conformado por todos
los elementos del conjunto
universal U, que cumplan la
condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso: M u N =
(a,c,b,g,e,l).

Para determinar que elementos
pertenecen a la intersección
de los conjuntos M y N te
puedes preguntar qué
elementos están en M “y”
en N. Todos los elementos
del conjunto U que cumplan
esta condición deberán estar
en el conjunto M ∩ N.
Intersección de conjuntos.
Podemos determinar un
nuevo conjunto conformado
por los elementos que
nuestros conjuntos M y
N tienen en común. A este
nuevo conjunto le
llamamos intersección
de M y N, y lo notamos de la
siguiente manera: M ∩ N.

En este caso se deben seleccionar los elementos de un
conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas
la operación M menos N, debes seleccionar los
elementos de M que no están en N. Representamos la
diferencia M menos N así: MN . Observa que en este
caso MN = (a,c).
Diferencia de conjuntos

Diferencia simétrica de conjuntos
En esta ocasión se
deben escoger los
elementos de M que no
están en N, y los
elementos de N que no
están en M. Puedes
ver el resultado de
la diferencia simétrica
entre M y N en la
figura de
abajo. Representamos
la diferencia simétrica
a través del
símbolo ∆. En el caso
de nuestros
conjuntos y tenemos:
M∆N= (a,c,g,l,e) .

Complemento de un conjunto
Decimos que el complemento de M es el conjunto
conformado por todos los elementos del conjunto universal
U, que no pertenecen al conjunto M.

 Son el conjunto que incluye los números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
 La palabra real se usa para distinguir estos números del
número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o
√-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación
matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.
 Características

Integral
 La característica de integridad de los números reales es que
no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto
significa que cada conjunto que tiene un límite superior,
tiene un límite más pequeño.

Infinitud
Los números irracionales y racionales son infinitamente
numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo
como del negativo.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada
como una expansión decimal infinita. Se usan en
mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el
tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los
números irracionales tienen cifras decimales interminables
e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es
aproximadamente 3,14159265358979...

Clasificación Números naturales
De la necesidad de contar
objetos surgieron los
números naturales. Estos
son los números con los
que estamos más
cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
...hasta el infinito.
El conjunto de los números
naturales se designa con
la letra mayúscula N.
Todos los números están
representados por los diez
símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
7, 8, y 9, que reciben el
nombre de dígitos.

Números enteros
El conjunto de los números
enteros comprende los
números naturales y sus
números simétricos. Esto
incluye los enteros
positivos, el cero y los
enteros negativos. Los
números negativos se
denotan con un signo
"menos" (-). Se designa
por la letra mayúscula Z y
se representa como:
Z= (… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, 4, 5 …)
Un número simétrico es
aquel que sumado con su
correspondiente número
natural da cero. Es decir,
el simétrico de n es -n, ya
que:
n+ (-n)=0
5+(-5)=0
27+(-27)
Los enteros positivos son
números mayores que cero,
mientras que los números
menores que cero son los
enteros negativos.
Los números enteros nos
sirven para:
 representar números
positivos: ganancias,
grados sobre cero,
distancias a la derecha;
 representar números
negativos: deudas,
pérdidas, grados bajo cero
y distancias a la izquierda.

 Números racionales
 Los números fraccionarios surgen por la necesidad de
medir cantidades continuas y las divisiones inexactas.
Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las
fracciones. El conjunto de números racionales se designa
con la letra Q:
Propiedades
 La suma de dos números reales es cerrada, es decir,
si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
 La suma de dos números reales es conmutativa, entonces
a+b= b+a.
 La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c=
a+(b+c).
 La suma de un número real y cero es el mismo número;
a+0=a.

 Para cada número real existe otro número real
simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
 La multiplicación de dos números reales es
cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
 La multiplicación de dos números es conmutativa,
entonces a . b= b. a.
 El producto de números reales es asociativo: (a.b)
.c= a.(b .c)
 En la multiplicación, el elemento neutro es el 1:
entonces, a . 1= a.
 Para cada número real a diferente de cero, existe
otro número real llamado el inverso multiplicativo,
tal que: a . a-1 = 1.
 Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

La desigualdad
matemática es aquella
proposición que
relaciona dos
expresiones algebraicas
cuyos valores son
distintos. Se trata de
una proposición de
relación entre dos
elementos diferentes, ya
sea por desigualdad
mayor, menor, mayor o
igual, o bien menor o
igual. Cada una de las
distintas tipologías de
desigualdad debe ser
expresada con diferente
signo (> o <, etcétera)
y tendrá una reacción a
operaciones
matemáticas
diferente según su
naturaleza.
Por lo tanto, si queremos
explicar cuál es la
finalidad de este
concepto con el menor
número de palabras
posibles diremos que;
el objetivo de la
desigualdad
matemática es mostrar
que dos sujetos
matemáticos expresan
valores diferentes.


Signos
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Tipos
Existen dos tipos distintos de
desigualdades
dependiendo de su nivel de
aceptación. Ninguna de
ellas no incluye la
desigualdad general (≠).
Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas:
son aquellas que no
aceptan la igualdad entre
elementos. De este modo,
entenderemos como
desigualdades de este tipo
el “mayor que” (>) o “menor
que” (<).
 Desigualdades amplias o
no estrictas: todas
aquellas en las que no se
especifica si uno de los
elementos es mayor/menor
o igual. Por lo tanto,
estamos hablando de
“menor o igual que” (≤), o
bien “mayor o igual que”
(≥).

 Propiedades
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el
mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 >
9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo
valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 =
(4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o
restados por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2
+3 > 9+3
 Y también debes saber aquellas propiedades en las que la
desigualdad sí que cambia de sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un
valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) <
-3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor
negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

 Se llama valor absoluto de un número, al mismo
número, si este es positivo, y al opuesto, si es negativo.
 El valor absoluto se simboliza cerrando el número con
dos barras.
 Las operaciones en el conjunto de los números
enteros Z, pueden dar resultados numéricamente
iguales, pero de signo opuesto. Esto puedo complicar
los análisis numéricos, ya que cuando se efectúan,
habrá que tener en cuenta todas las posibilidades de
signo que se presenten. Es por ello, que es importante
el concepto de "valor absoluto" en matemática, ya que
permite expresar e interpretar cuestiones numéricas
prescindiendo de los signos.
 Esto se define de la siguiente manera:
|a|=a si a ≥ 0
|a|=-a si a < 0

Esta interpretación
geométrica del valor absoluto
nos puede ayudar a conseguir
un método para resolver
ecuaciones en valor absoluto.
|x| = <2
-2<x<2
--- - -- -- - -- - -- --
- ( | )
-2 0 2
|x|>2
x<-2 ò x>2
------------- --------------
) | (
-2 0 2
La expresión |x|<2 la podemos interpretar como
los x cuya distancia al origen es menor que 2,
estos x son todos los números que están entre
-2 y 2. Así la desigualdad:
|x|<2 es equivalente a -2<x<2
La expresión |x|>2 la podemos
interpretar como los x cuya distancia
al origen es mayor que 2, estos x son
todos los números mayores que 2 y los
menores que -2. Así la desigualdad:
|x|>2 es equivalente a
x<-2 ò x>2

Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un
plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama
eje de las ”x”, o, abscisas y a la recta vertical se llama eje de
las “y” u ordenadas. Formando de esta manera cuatro
cuadrantes.
Distancia.
La distancia entre dos puntos equivale
a la longitud del segmento de recta que
los une, expresado numéricamente.
El plano cartesiano se usa como un
sistema de referencia para localizar
puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los
conceptos sobre el Plano cartesiano
radica en que, a partir de la ubicación
de las coordenadas de dos puntos es
posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el
eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1)
 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el
eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)
 Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar
del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación:

Punto Medio.
 Punto medio o
punto
equidistante:
en matemática,
es el punto que
se encuentra a
la misma
distancia de
cualquiera de
los extremos.
Antes debemos conocer que un
punto es una figura geométrica
a dimensional: no tiene
longitud, área, volumen, ni otro
ángulo dimensional. No es un
objeto físico. Describe una
posición en el espacio,
determinada respecto de un
sistema de coordenadas
preestablecido.

 Las cónicas, se pueden obtener como
intersección de una superficie cónica con
un plano. Lamamos superficie cónica de
revolución a la superficie engendrada por
una línea recta que gira alrededor de un
eje manteniendo un punto fijo sobre
dicho eje; mientras que denominamos
simplemente Cónica a la curva obtenida
al cortar esa superficie cónica con un
plano. las diferentes posiciones de dicho
plano nos determinan distintas
curvas: circunferencia, elipse, hipérbola
y parábola.

 Circunferencia:
 Se denomina
circunferencia al lugar
geométrico de los puntos
del plano que equidistan
de un punto fijo llamado
centro. El radio de la
circunferencia es la
distancia de un punto
cualquiera de dicha
circunferencia al centro.
• Ecuación analítica de la
circunferencia:
• Si hacemos coincidir
el centro con el origen
de coordenadas, las
coordenadas de cualquier
punto de la circunferencia
(x, y) determina un
triángulo rectángulo, y por
supuesto que responde al
teorema de Pitágoras:
r2 = x2 + y2.

Puesto que la distancia entre
el centro (a,b) y uno
cualquiera de los puntos
(x, y) de la circunferencia es
constante e igual al radio r
tendremos que: r2 = (x – a)2 +
(y – b)2
 Llamada canónica
podemos
desarrollarla
resolviendo los
cuadrados (trinomio
cuadrado perfecto) y
obtenemos
 x2 + y2 – 2ax –2by –
r2 = 0.
 Si reemplazamos –
2a = D; – 2b =
E; F = a2 + b2 – r2
 tendremos que:
 x2 + y2 + Dx + Ey + F =
0

 Elipse:
 Es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya
suma de distancias a dos
puntos fijos es constante.
Estos dos puntos fijos se
llaman focos de la elipse.
 Ecuación analítica de
la elipse: para simplificar la
explicación ubiquemos a los focos
sobre el eje de las x, situados en los
puntos F (c,0) y F' (– c,0).
Tomemos un punto cualquiera P de
la elipse cuyas coordenadas son
(x, y). En el caso de la elipse la suma
de las distancias entre PF y PF' es
igual al doble del radio sobre el eje x.
Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando
Pitágoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos
miembros para sacar las
raíces y desarrollamos los
cuadrados y queda
finalmente:
Si la elipse estuviese
centrada en un punto
cualquiera (p, q) la ecuación
debería de ser:
Si desarrollamos los
cuadrados obtendremos que:
b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 +
p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0

Hipérbola:
Es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya
diferencia de distancias
entre dos puntos fijos es
constante. Estos dos puntos
fijos se llaman focos de la
hipérbola .
Ecuación analítica de la hipérbola:
nuevamente ubiquemos los focos sobre
el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y
tomemos un punto cualquiera P = (x, y)
de la hipérbola. En este caso, la
diferencia de las distancias entre PF y
PF' es igual al doble de la distancia que
hay entre el centro de coordenadas y
la intersección de la hipérbola con el
eje x. Entonces tendremos que: PF –
PF' = 2a

Elevando al cuadrado ambos
miembros y procediendo
matemáticamente podemos
llegar a esta expresión: (c2 –
a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0
pero puedes guiarte con el
desarrollo que hicimos para la
elipse). Nuevamente a partir
del dibujo y aplicando
Pitágoras podemos obtener
que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la
ecuación nos queda: b2x2 –
a2y2 = a2b2. Dividiendo cada
término por a2b2obtenemos:
Si la hipérbola estuviese
centrada en un punto
cualquiera (p, q) la ecuación
debería ser:
Si desarrollamos los
cuadrados obtendremos
que:
b2x2 – a2y2 – 2xpb2 +
2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 =
0

Parábola:
Es el lugar geométrico de
los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta
fija llamada directriz .
Ecuación analítica de la parábola:
Supongamos que el foco esté
situado en el punto (0,c) y la
directriz es la recta y = – c, por lo
tanto el vértice está en su punto
medio (0,0), si tomamos un punto
cualquiera P = (x , y) de la parábola y
un punto Q = (x, – c) de la recta debe
de cumplirse que: PF = PQ

Dados los conjuntos
A= (1,2,3,4,5) y B= (4,5,6,7,8,9)
En este caso el conjunto9 resultante es el que tendrá todos los
elementos del pertenecientes a al primero pero no al segundo:
AB

De tal forma que el resultado es:
Entonces:
AB= (1,2,3)

a.) |-17| - |13| - |-22+| |-9||
= 17- |13| - |-22+| |-9||
= 17- 13 - |-22+| |-9||
= 4 - |-22+| |-9||
= 4 - |-22+9|
= 4 - |- 13|
= 4 – 13
= - 9
Resolver los siguientes ejercicios:
b.) |-2-| - 3 |- |2 - 3||
= |- 2 – 3 -| 2 – 3 ||
= |- 5 -|2- 3||
= |- 5 -| - 1 ||
= |- 5 - 1|
= |- 6|
= 6

 https://concepto.de/que-es-un-conjunto/
 https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/operaciones-
entre-conjuntos/1/
 https://www.todamateria.com/numeros-reales/
 https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-matematica/
 https://matematicaparaestudiantes.net/p/060-valor-
absoluto
 https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos_puntos
 http://objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematica
s/02/2_014/index.html
 https://www.ecured.cu/Punto_medio