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Plano numerico

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territo...
PLANO NUMÉRICO (CARTESIANO)
Un conjunto sumamente importante y qué aparecerá con mucha frecuencia
más adelante, es el conj...
Estas dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre
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Plano numerico

  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto-Edo Lara Integrante: Yigneth Araujo CI: 28.363.626 Sección (0102) PNF en Administración Barquisimeto, 12 de Febrero de 2021
  2. 2. PLANO NUMÉRICO (CARTESIANO) Un conjunto sumamente importante y qué aparecerá con mucha frecuencia más adelante, es el conjunto R2 formado por todos los pares ordenados (a, b) de números reales. Esto es, 𝑅2 {= (a,b)/a,b ∈ R} Estamos usando la misma notación para expresar tanto el par ordenado (a, b) como al intervalo (a, b). Para evitar confusiones, en el contexto seremos suficientemente explícitos para indicar cual de los dos conceptos se está tratando. Recordemos que un par ordenado d números reales es una pareja de números reales, en la cual se distingue un orden. Es decir, en general, (a, b) ≠ (b, a). Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales, si y sólo si a = c y b = d. Es de fundamental importancia tener una representación geométrica de R2. Para esto tomamos un plano cualquiera al cual fijamos. Sobre este plano tomamos dos rectas numéricas perpendiculares a la misma escala y cuyos orígenes coinciden.
  3. 3. Estas dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos P del plano y los pares ordenados (x, y) de números reales, en la forma que indica la figura anterior. A la recta X se le llama eje X o eje de las abscisas. La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas. El punto de intersección O de los ejes es el origen. Si al punto P le corresponde el par (x, y), diremos que x e y son las coordenadas de P, siendo x su abscisa e y su ordenada. Con el objeto de abreviar, identificamos el punto P con el par (x, y), y escribiremos P = (x, y). Así, tenemos, por ejemplo, O = (0, 0). Esta correspondencia biunívoca también nos permite identificar al plano R2. Ejercicio Sea P1 = (3, 2) a. Hallar el punto P2 que es simétrico respecto al eje X al punto P1 = (3, - 2) b. Hallar el punto P3 que es simétrico respecto al eje Y al punto P1 = ( 3, 2) c. Hallar el punto P4 que es simétrico respecto al origen al punto P1 = (3, 2) Solución: a. P2 = (3, -2) b. P3 = (3, 2) c. P4 = (3, 2)
  4. 4. DISTANCIA La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualesquiera A (x1y1), B (x2y2), definimos la distancia entre ellos, d(A, B), como la longitud del segmento que los separa. La distancia entre los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) es d(P1, P2)=√ (x2 – x1)² + (y2 – y1)² Demostración: Tomemos el triángulo que tiene por hipotenusa el segmento que une P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) y por catetos, los segmentos paralelos a los ejes indicados en la figura. Las longitudes de los catetos son |x2 – x1| y |y2 – y2|. La distancia d (P2, P1) es la longitud de la hipotenusa. Luego, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que: (d (P1, P2)) = |x2 – x1|2 + |y2 – y1|2
  5. 5. De donde obtenemos: d (P1, P2) = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 Ejercicio Empleando la fórmula de la distancia probar que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo: A = (1, 1), B = (3, 0) y C = (4, 7) Solución Calculamos la longitud de los lados del triángulo: d(A, B) = √(3 − 1)2 + (0 − 1)² = √2² + 1²= √5 d(A, C) = √(4 − 1)2 + (7 − 1)²= √3² + 6²=√45 d(B, C) = √(4 − 3)² + (7 − 0)²=√1² + 7²= √50 Como se cumple que: d(A, B)² + d(A, C)² = 5+ 45 = 50 = d(B, C)², el triángulo debe ser rectángulo, por el teorema recíproco al teorema de Pitágoras.
  6. 6. PUNTO MEDIO Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. El punto medio del segmento de recta de extremos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) es el punto M = (x1 + x2, y1 + y2) 2 , 2 Demostración Sea M = (x, y). Proyectamos el segmento sobre los ejes.
  7. 7. Por ser M = (x, y) el punto medio, x e y deben ser los puntos medios de los intervalos [x1, x2] e [y1, y2], respectivamente. Luego, x- x1 = x2 – x e y1 = y2 = y2 – y → 2x = x1 + x2 e 2y = y1 + y2 → x = x1 + x2 e y = y1 + y2 2 2 Ejercicio Hallar el punto medio del segmento de recta de extremos (-3, 0) y (1, 2) Solución M= (−3+1 2 , 0+2 2 ) = (-1, 1) ECUACIONES
  8. 8. Ecuación lineal recordemos que una ecuación lineal en dos variables, x e y, es una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, donde A ≠ 0 ó B ≠ 0 El gráfico de la ecuación lineal Ax +By + C = 0, A ≠ 0 ó B ≠ 0 es una recta. Además: 1. Si A ≠ 0 y B ≠ 0, la recta es oblicua. 2. Si A = 0 y B ≠ 0, la recta es horizontal. 3. Si A ≠ 0 y B = 0, la recta es vertical. Demostración Caso 1. Si A ≠ 0 y B ≠ 0, despejamos y: y = − 𝐴 𝐵 x − 𝐶 𝐵 Su gráfica es una recta oblicua, ya que su pendiente 𝑚 = − 𝐴 𝐵 ≠ 0. Caso 2. Si A = 0, la ecuación lineal se convierte en By + C = 0. De donde, despejando y obtenemos 𝑦 = − 𝐶 𝐵 , la cual tiene por gráfica una recta horizontal. Caso 3. Si B = 0, la ecuación se convierten Ax + C = 0. De donde, 𝑥 = − 𝐶 𝐴 , la cual tiene por gráfica una recta vertical. Ejercicio Dada la recta L: 2x – 3y + 12 = 0, hallar su pendiente, ordenada en el origen y abscisa en el origen. Graficarla. Solución: Despejamos y: 𝑦 = 2 3 𝑥 + 4. Luego la pendiente es 𝑚 2 3 Si en 𝑦 = 2 3 𝑥 + 4 hacemos x = 0 obtenemos que y = 4. Luego la ordenada en el origen es 4. Si en 2x – 3y +12 = 0 ó en 𝑦 = 2 3 𝑥 + 4 hacemos y = 0, obtenemos que x = -6.
  9. 9. Luego, la abscisa en el origen es -6. Para graficar una recta basta conocer dos de sus puntos. De esta recta ya conocemos los puntos (0, 4) y (-6, 0), obtenidos a partir de la ordenada y la abscisa en el origen. El gráfico se obtiene trazando la recta que une estos dos puntos. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La circunferencia de centro 𝐶 = (ℎ,𝑘) y radio r tiene por ecuación: (𝑥 – ℎ)² + (𝑦 − 𝑘)² = 𝑟² En particular, si el centro es el origen, 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² Demostración:
  10. 10. 𝑃 = (𝑥, 𝑦) Está en la circunferencia 𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑟 √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)² = r (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 Observar que la circunferencia (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Puede ser vista como la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 a la cual le hemos aplicado la traslación que lleva el origen (0,0) al punto (ℎ, 𝑘). Ejercicio Hallar una ecuación de la circunferencia de centro (2, 1) y radio 3. Solución: Por la proposición anterior, una ecuación de esta circunferencia es: (x - 2)² + (y -1)² = 3² Esta ecuación también podemos presentarla desarrollando los cuadrados y simplificando esto es, x² + y² - 4x – 2y – 4 = 0
  11. 11. PARÁBOLA La parábola es una curva simétrica. Se llama vértice de la parábola al punto donde el eje de simetría corta a la parábola. Llamaremos parábola al gráfico de cualquiera de las dos ecuaciones siguientes, donde a, b y c son constantes con a ≠ 0. (1) y = ax² + bx + c (2) x = ay² + by + c Las parábolas más simples, y de las cuales se pueden obtener todas las otras mediante traslaciones y reflexiones en la diagonal principal, son las parábolas que se obtienen por ecuación (3) y = ax², a ≠ 0 La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según a ˃ 0 o a ˂ 0
  12. 12. y = ax², a ˃ 0 y = ax², a ˂ 0 Ejercicio Graficar las siguientes parábolas: a. 𝑦 = − 1 2 𝑥² b. 2y = - x² - 2x + 5 Solución: a. El gráfico de 𝑦 = − 1 2 𝑥² es una parábola con vértice en el origen. Como a = - ½ ˂ 0, la parábola se abre hacia abajo. Para x = 1 ó x = -1, obtenemos y = -1/2 Luego, la curva pasa por los puntos (-1, -1/2) y (1, -1/2). b. Completamos cuadrados:
  13. 13. 2y = - x² - 2x + 5 → 2y = - (x² + 2x +1) + 1 + 5 → 𝑦 = − 1 2 (𝑥 + 1)2 + 3 → 𝑦 − 3 = − 1 2 (𝑥 + 1)² En consecuencia, la gráfica de 2y = - x² - 2x +5 se obtiene de la gráfica de 𝑦 = − 1 2 𝑥² mediante la traslación que lleva el origen al punto (-1, 3). ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Llamaremos elipse en posición normal al gráfico de la siguiente ecuación: 𝑥² 𝑎² + 𝑦² 𝑏² = 1 Donde a y b son dos números positivos. A esta ecuación llamaremos ecuación no se altera si cambiamos x por – x ó y por – y. Esto significa que la elipse es simétrica respecto a eje X, al eje Y y, por tanto, también al origen. Hallemos las intersecciones con los ejes: y = 0 → x² = a² → x = a ó x = - a. Luego, la curva intersecta al eje X en (a, 0) y (- a, 0). x = 0 → y² = b² → y = b ó y = - b. Luego, la curva intersecta al eje Y en (0, b) y (0, -b).
  14. 14. Por ser la elipse en posición normal simétrica respecto al origen, diremos que éste es su centro. Ejemplo Identificar y bosquejar el gráfico de la ecuación: 4x² + 9y² = 36 Solución: Dividimos ambos lados de la ecuación entre 36: 4𝑥² 36 + 9𝑦² 36 = 36 36 → 𝑥² 3² + 𝑦² 2² = 1 Vemos que se trata de una elipse en posición normal con centro en el origen. Además, tenemos que a = 3 y b = 2. Esto significa que corta al eje X en los puntos (-3, 0) y (3, 0), y al eje Y en (0, -2) y (0, 2). HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto. Llamaremos hipérbola en posición normal al gráfico de cualquiera de las dos ecuaciones siguientes, donde a y b son dos constantes positivas. A estas ecuaciones las llamaremos ecuaciones normales de la hipérbola con centro en origen.
  15. 15. (1) 𝑥² 2² − 𝑦² 𝑏² = 1 (2) 𝑦² 𝑎² − 𝑥² 𝑏² = 1 Analicemos cada una de estas ecuaciones: 1. La ecuación 𝑥² 2² − 𝑦² 𝑏² = 1 no se altera si se cambia x por – x ó y por – y. Luego, esta hipérbola es simétrica respecto a los dos ejes y al origen. Esta hipérbola intersecta al eje X. En efecto: y = 0 → x² = a² → x = a ó x = -a. Estos dos puntos de intersección: V1 = (-a, 0) y V2 = (a, 0), Son los vértices de la hipérbola. Esta hipérbola no intersecta al eje Y. En efecto: x = 0 → y² = -b², pero esta última ecuación no tiene soluciones reales. De (1) obtenemos:
  16. 16. 𝑥² 𝑎² = 1 + 𝑦² 𝑏² ≥ 1 → 𝑥² ≥ 𝑎² → |x| ≥ a → x ≥ a ó x ≤ −a Esto quiere decir que la hipérbola se compone de dos partes, a las que se les llama ramas. Se llaman asíntotas de esta hipérbola a las rectas: 𝑦 = 𝑏 𝑎 𝑥, 𝑦 = − 𝑏 𝑎 𝑥, Estas rectas se obtienen igualando a 0 el primer miembro de la izquierda de la ecuación de la hipérbola. Así: 𝑥² 𝑎² − 𝑦² 𝑏² = 0 → ( 𝑥 𝑎 − 𝑦 𝑏 ) ( 𝑥 𝑎 − 𝑦 𝑏 ) = 0 → 𝑥 𝑎 − 𝑦 𝑏 = 0 ó 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 0 → 𝑦 = 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑏 𝑎 𝑥. Las asíntotas tienen la particularidad de que ambas ramas de la hipérbola se van aproximando cada vez más a ellas, a medida que nos alejamos del origen. Para graficar la hipérbola se recomienda trazar las asíntotas primero. 2. Para la ecuación (2), 𝑦² 𝑎² − 𝑥² 𝑏² = 1, esta ecuación se puede obtener de la (1) intercambiando la x por la y. Esto significa que la hipérbola correspondiente a (2) se obtiene reflejando en la diagonal principal la hipérbola correspondiente a (1). Para esta hipérbola se tiene: Vértices: V1 = (0, -a), V2 = (0, a). Asíntotas: 𝑦 = 𝑎 𝑏 𝑥, 𝑦 = − 𝑎 𝑏 𝑥 Ejercicio Identificar y bosquejar la gráfica de la siguiente ecuación: 9x² - 4y² = 36 Solución: Dividiendo entre 36 obtenemos:
  17. 17. 𝑥² 4 − 𝑦² 9 = 1 Es una hipérbola en posición normal y centro en el origen. Vértices: y = 0→ x² = -2 ó x = 2. Luego, V1 = (-2, 0) y V2 = (2, 0) Asíntotas: 𝑥² 4 − 𝑦² 9 = 0 → ( 𝑥 2 − 𝑦 3 )( 𝑥 2 + 𝑦 3 ) =→ 𝑦 = 3 2 𝑥 ó 𝑦 = − 3 2 𝑥.

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