1. ESCUELA DE INGENIERIAS Y
ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
BASICAS
Introducción al Cálculo Diferencial
PRIMER SEMESTRE 2015
Taller 1
PROFESORA
Yolvi Adriana Córdoba Buitrago
ESPECIALISTA EN EDUCACION
MATEMATICA
SISTEMADE LOS NUMEROS REALES.
NÚMERO REALES.
Los conjuntos numéricos son los elementos iniciales con los cuales a los largo de la
historia se ha hecho matemáticas. El primer conjunto numérico generado, a partir de la
necesidad de hacer conteo, fue N0, (notación actual)  00  NN . A medida que
evolucionó el pensamiento humano, se fueron concibiendo otros conjuntos numéricos
como los siguientes:
 ,,,,N 4321  ,,,,,Z 54321 
  ,,,,,,,,,,,,Z 54321012345 






 0b,Zb,Za,
b
a
Q .
Una característica común para cada
uno de los elementos de los conjuntos
anteriores es que para cada uno de
ellos se puede encontrar una expresión decimal (ver diagrama).
Los números racionales también son aquellos que pueden expresarse como la razón,
o cociente, de dos enteros, siendo el divisor un entero no cero. En consecuencia, un
número racional es aquel que puede expresarse en la forma 𝑎
𝑏⁄ , donde a y b son
enteros y b no es cero (Establecido como 𝑏 ≠ 0). Los números
1
5
,−
2
7
,
23
455
𝑦 137(−750)
son ejemplos de números racionales.
Dado que cualquier entero a puede escribirse en forma de cociente 𝑎
1⁄ , todos los
enteros son demás números racionales. He aquí ejemplos: −5 = −5
1⁄ 𝑦 54 = 54
1⁄ .
Decimales
Finitos Infinitos
Periódicos
Puros Mixtos
No
Periódicos

2. Se considera que el cero es un entero (ni negativo ni positivo), y puede escribirse en
forma de cociente 0
𝑏⁄ = 0, 𝑏 ≠ 0.
Los números que poseen una expansión decimal infinita no periódica conforman el
conjunto de los irracionales, denotado por la letra I
Los Números Irracionales son números reales que no pueden expresarse como la
razón de dos enteros. Números como 𝜋 = 3.14159265 … (que es la razón de la
circunferencia de un círculo con su diámetro), √2 = 1.4142 … √3 = 1.7321 … 𝑦 √5 =
2.2361 … son ejemplos de números irracionales.X
R: El conjunto de los números reales R,
se forma a partir de la unión de los
números racionales y los números
irracionales. IQR  . Algunas
características de los números reales
son:
 A cada punto sobre la recta real
le corresponde un número real y
viceversa (correspondencia biunívoca)
 Entre dos números reales
siempre es posible encontrar otro número real (densidad)
 R es un conjunto ordenado.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES:
Se llama sistema de los números reales a un conjunto no vacío R dotado de las
operaciones llamadas adición y multiplicación, denotadas por (+) y (∙), que
satisfacen los siguientes axiomas:
Operaciones
Axiomas Adición Multiplicación
Clausurativid
ad
  Rba,Rb,a    Rba,Rb,a 
Conmutativid
ad
abba,Rb,a  abba,Rb,a 
Asociatividad    cbacba,Rc,b,a 
   cbacba,Rc,b,a 

3. Elemento
neutro aaa
queomodde,RaR!


00
0
aaa
queomodde,RaR!


11
1
Elemento
Simétrico 0

)a(a
quetal,R)opuesto()a(!,Ra
1
1
1
0
1










a
a
quetal,R)inverso(a
a
!
,elexcepto,Ra
Distributivida
d
caba)cb(a,Rc,b,a 
Axiomas de la igualdad
Dicotomía baba,Rb,a 
Reflexividad aa,Ra 
Simetría abba,Rb,a 
Transitividad cacbba,Rc,b,a 
Uniformidad respecto a la
adición
Rc,cbcaba 
Uniformidad respecto a la
multiplicación
Rc,cbcaba 
Sustitución
,basi,Rb,a  entonces a puede ser sustituido por b
en cualquier expresión sin que se altere el valor de la
expresión.
El conjunto de los números reales puede representarse mediante una recta numérica
(Véase la Ilustración 2). La recta numérica tiene un punto cero, denominado origen,
que sirve para representar el número real 0. A cada punto de la recta numérica
corresponde un número real. La correspondencia escriba en que el número real
representado por un punto es igual a la distancia dirigida que se recorre al pasar el
origen a ese punto. Se considera que los movimientos de la izquierda a la derecha a lo
largo de la recta numérica se encuentran en una dirección positiva. Así, los puntos
situados a la derecha del origen corresponden a números reales positivos, y los
situados a la izquierda corresponden a números reales negativos. Obsérvese que a
cada número real corresponde un solo punto en la recta numérica.
Ilustración 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
√5−√3

4. ORDEN: Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos
conjuntos ajenos – los números reales positivos y los números reales negativos. Esto
nos permite introducir la relación de orden < (se lee: “es menor que”) mediante
positivoesxyyx  , de otra manera se puede ver como
ycxRcyx  
Propiedades de Orden
1. Tricotomía. Si x y y son números reales, se cumple una y sólo una de las siguientes
propiedades: .yxóyxóyx 
2. Transitividad. .zxzyyx  y
3. Aditiva. .zyzxyx 
4. Multiplicativa. Cuando z es positivo, .yzxzyx  Si z es negativo
.yzxzyx 
DESIGUALDADES EN R:
Una desigualdad es una expresión de la forma a<b, ba  , ba  , ba  , en la que a
y b son números reales.
INTERVALO: Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de los números reales.
Abierto  b,a Infinitos
   bx/axb,a  R
A pesar de que todos los intervalos son infinitos,
los siguientes reciben ese nombre dada la
naturaleza de sus extensiones.
   a/xx,a  R
   a/xx,a  R
   a/xxa,  R
   a/xxa,  R
Semiabierto o semicerrado  b,a  b,a
   bx/axb,a  R
   bx/axb,a  R
Cerrado  b,a
   bx/axb,a  R
R
a b
R
a b
R
a b
R
a b
R
a
R
a
R
a
R
a

5. OPERACIONES ENTRE INTERVALOS: Dados dos intervalos A y B es posible
considerar con ellos, las mismas operaciones entre conjuntos. El conjunto universal
será el conjunto de los números reales.
VALOR ABSOLUTO.
El Valor Absoluto de un número real es la magnitud o tamaño del número sin el signo.
La notación | 𝑎| expresa el valor absoluto de a.
Importante:
Para cualquier número real a,
| 𝑎| = {
𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜.
−𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
Ejemplo No 1:
El valor absoluto de +5 es |+5| = 5. El valor absoluto de −20 es |−20| = 20. El valor
absoluto de 0 es |0| = 0.
ACTIVIDAD 1
En los ejercicios 1 a 12, coloque el símbolo de desigualdad (< 𝑜 >) entre los dos
números dados para indicar la relación apropiada de desigualdad.
1. 10 ___6
2. 8___3
3. −1___ − 4
4. 2___ − 3
5. 20___10
6. −5___ − 2
7. −10___ − 15
8. 5___0
9. −3___0
10. 0___ − 2
11. 1___ − 1
12. 3___1
13. |−5|___5
14. |−3|___3
15. |−5 − 10|___15

6. 16. |−10 + 5|___5
17. |16|___16
18. |2|___2
19. |10 − (4 − 3)|___9
20. |−5 − (−5 + 2)|____2
ACTIVIDAD 2.
I. Representar en la recta real cada uno de los siguientes intervalos.
1.  85, 2.  82, 3.  64, 4.     ,, 765
5.  ,5
6.  1, 7.    8765 ,,  8.     ,, 32 9.  32, 10.
    ,, 21
II. Expresar como conjunto los siguientes intervalos
11.  33, 12.  64, 13.  67, 14.   ,1 15.  2, 16.  41,
17.    11886 ,,  18.     ,, 22 19.    1687 ,,  20.   ,
III. Escribir como intervalo cada conjunto
21.  8 x,Rx/xN 22.  126  x,Rx/xM
23.  x,Rx/xP  16
IV. Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores, realizar las operaciones indicadas
entre ellos y escribir los intervalos resultantes.
24. NM 25. NM 26. 'M 27. 'N 28.  'NM  29.  'NM 
30. 'NM 31. 'NM 32. N'M 33. N'M 34. NM 35. NP 
36. 'P 37.  'PM  38.  'NP  39.  NP 40.    'NPPM 
2. POLINOMIOS.
EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS.

7. Cuando un número real a se multiplica por sí mismo, a ese producto se le denota
mediante 𝑎 ∙ 𝑎, o bien 𝑎𝑎. Si el mismo número se multiplica por sí mismo cinco veces,
el producto se expresa con 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. Una notación abreviada que puede utilizarse para
expresar estos productos es,
𝑎𝑎 = 𝑎2
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎5
Y
El número escrito arriba y a la derecha de a recibe el nombre de exponente. El
exponente indica el número de veces que a se repite como factor.Importante:
Si n es un entero positivo y a es un número real cualquiera,
𝑎 𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ⋯ 𝑎, 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠.
El término 𝑎 𝑛 puede expresarse con palabras como “a elevada a la n-ésima potencia”,
donde se considera que a es la base y que n es el exponente o potencia.
Ejemplo:
a. (−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2) = (−2)6
b. (5)(5)(5) = (5)3
c. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏 = 𝑎4 𝑏3
d. 𝑎𝑎
( 𝑏𝑏𝑏𝑏)⁄ = 𝑎2
𝑏4⁄
Importante:
Si n es un entero positivo y 𝑎 ≠ 0,
𝑎−1 =
1
𝑎 𝑛
Si a es real y no es igual a 0, 𝑎0 = 1.
Ejemplo:
a. 𝑎−2 = 1
𝑎2⁄
b. (2)3 = 1
(2)3⁄ =
1
8

8. c. (10)0 = 1
d. (4𝑥)0 = 1
e. −5𝑦0 = −5(1) = −5, 𝑦 ≠ 0
Las siguientes leyes de los exponentes son aplicables cuando a y bson números
reales cualesquiera, y m y n son enteros positivos.
Leyes de los Exponentes.
I. 𝑎 𝑚 ∙ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛
II. ( 𝑎 𝑚) 𝑛 = 𝑎 𝑚𝑛
III. ( 𝑎𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
IV.
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ 0
V. (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 ≠ 0
Ejemplo:
a. ( 𝑏5)( 𝑏) = 𝑏5+1 = 𝑏6
b. (−2)3(−2)2 = (−2)3+2 = (−2)5
c. (2)(2)3(2)−2 = (21+3)(2−2) = (24)(2−2) = 22 = 4
d. ( 𝑎2)3 = 𝑎2∙3 = 𝑎6
e. [(3)2]4 = (3)2∙4 = 38
f. [(−1)3]5 = (−1)3∙5 = (−1)15 = −1
g. ( 𝑎𝑏)4 = 𝑎4 𝑏4
h. (2𝑥)3 = (2)3( 𝑥)3 = 8𝑥3
i.
𝑎6
𝑎3
= 𝑎6−3 = 𝑎3
j.
𝑥2
𝑥4
= 𝑥2−4 = 𝑥−2 =
1
𝑥2
k.
(2)3
(2)7⁄ = (2)3−7 = (2)−4 = 1
(2)4⁄ = 1
16⁄
l. ( 𝑥
𝑦⁄ )
5
= 𝑥5
𝑦5⁄
m. (2𝑎
5𝑏2⁄ )
3
=
(2𝑎)3
(5𝑏2)3⁄ = 8𝑎3
125𝑏6⁄
n. 𝑥5
𝑥5⁄ = 𝑥5−5 = 𝑥0 = 1
EXPRESIONES POLINOMIALES.

9. Las constantes son cantidades o magnitudes cuyo valor no cambia. Una constante
puede representarse con una letra o con el número real que equivalga a la constante.
Por ejemplo, 5 es una constante, lo mismo que la letra b si 𝑏 = −20. Las Variables son
cantidades cuyo valor puede cambiar. Generalmente, se simbolizan mediante letras.
Así, la letra t puede servir para representar la temperatura medida cada hora en una
ciudad mediante la escala Fahrenheit o Celsius. El valor de t diferirá entre una hora y
la siguiente.
Una expresión algebraica es un conjunto de constantes y variables unidas por una
serie de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, signos radicales y
paréntesis u otros símbolos de agrupamiento. Por ejemplo,
5𝑥2 𝑦 − 10𝑥3 + 75
Es una expresión algebraica. Esta expresión consta de los tres términos 5𝑥2 𝑦, 10𝑥3 y
75. Un término se compone de un solo número o del producto de un número y las
potencias de una o más variables. El término 5, 𝑥2 y 𝑦. El factor constante 5 recibe el
nombre de coeficiente del término. Coeficiente se referirá siempre a una constante que
sea factor en un término. Por ejemplo, 10 es el coeficiente en el término 10𝑥3. El
término de la expresión algebraica no contiene variables y se llama término constante.
Un polinomio es la suma de uno o más términos, con las siguientes restricciones:
 Los términos de un polinomio consta de un número o del producto de un
número y las potencias enteras positivas de una o más variables. Esta
definición excluye términos que tengan variables bajo un signo de radical o los
que contengan variables en el denominador.
 Un polinomio compuesto por un término se denomina monomio. El que tenga
dos términos recibe el nombre de binomio. Si un polinomio consta de tres
términos se llama trinomio. Se da el nombre de polinomio a la expresión
algebraica que tenga más de tres términos.
Ejemplo:
a. La expresión algebraica 25 es un polinomio que tiene un término; por lo tanto
se le llama monomio.

10. b. La expresión algebraica 5𝑥2 − 𝑥 + 1 es un polinomio compuesto de tres
términos; por eso se le da el nombre de trinomio.
c. La expresión algebraica
2𝑥2 𝑦
𝑧⁄ no es un polinomio, porque la variable z
aparece en el denominador del término.
d. La expresión algebraica √ 𝑥 no es un polinomio, porque la variable aparece
debajo de un radical.
e. La expresión algebraica 𝑥5 − 2𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 9 es un polinomio que
consta de seis términos.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables contenidas en
él. En el caso de uno que incluya una variable, el grado es simplemente el exponente
de esta última. El grado del término 5𝑥3 es 3, puesto que el exponente es 3. El grado
del término 5𝑥2 𝑦3 𝑧 es 6 porque la suma de los exponentes de x, de yy de zes 6. El
grado de un término constante no cero es 0. Como un ejemplo, el término -20 puede
escribirse en la forma equivalente −20𝑥0. Así pues, el grado del término es 0.
Además de la clasificación de los términos por el grado, los polinomios pueden
clasificarse atendiendo a su grado. El grado de un polinomio se define como el grado
del término de mayor grado en el polinomio.
Ejemplo:
a. El polinomio 2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 10 tiene términos de grados 3, 2, 1 y 0,
respectivamente. Por tanto, el grado del polinomio es 3.
b. El polinomio 4𝑥2 𝑦3 − 6𝑥𝑦5 + 2𝑥𝑦 tiene términos de grados 5, 6 y 2,
respectivamente. En consecuencia, el grado del polinomio es 6.
ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS.
Al sumar y restar polinomios se combinan términos semejantes. Los términos
semejantes son aquellos que contienen las mismas variables elevadas a una misma
potencia. Se considera que los términos 3𝑥 y −4𝑥 son semejantes por contener ambos
la variable x elevada (implícitamente) a su primera potencia. El hecho de que sus
coeficientes (3 y -4) sean diferentes no influye en la semejanza de los términos. Todas
las constantes reales son consideradas como términos semejantes. Las constantes -5
y 18 pueden considerarse que tienen la forma −5𝑥0 y 18𝑥0 que las califica como
términos semejantes.

11. Cuando se suman o restan polinomios, pueden combinarse términos y obtenerse una
forma más simple. Así, los términos semejantes 4𝑥 𝑦 3𝑥 se sumarán del siguiente
modo,
4𝑥 + 3𝑥 = (4 + 3) 𝑥
= 7𝑥
De manera análoga,
5𝑦2 − 2𝑥𝑦2 + 6𝑥𝑦2 = [15 + (−2) + 6] 𝑥𝑦2
= 9𝑥𝑦2
Los términos que no son semejantes no pueden combinarse en una forma más simple
(el conocido problema de sumar “manzanas y naranjas”). La suma 5𝑥 + 2𝑦 no puede
escribirse en una forma más simple.
Cuando se suman o restan polinomios, se identificarán y combinarán los términos
semejantes. Los términos no semejantes se suman o restan como se ha indicado. Con
los siguientes ejemplos se explica este proceso.
Ejemplos:
(2𝑥2 − 5𝑥 + 10) + (4𝑥2 + 3𝑥 − 5) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 10 + 4𝑥2 + 3𝑥 − 5
= 2𝑥2 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 3𝑥 + 10 − 5
= 6𝑥2 − 2𝑥 + 5
(5𝑥2 𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 4𝑦3) − (−3𝑥2 𝑦 + 𝑦3 − 10) = 5𝑥2 𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 4𝑦3 + 3𝑥2 𝑦 − 𝑦3 + 10
= 5𝑥2 𝑦 + 3𝑥2 𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 4𝑦3 − 𝑦3 + 10
= 8𝑥2 𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 5𝑦3 + 10
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
Todas las reglas y propiedades de la multiplicación para números reales se aplican
cuando se multiplican polinomios. Se expondrá dos casos de multiplicación: 1) la
multiplicación de dos monomios y 2) la multiplicación de dos polinomios.

12. 1) Para multiplicar dos monomios, se multiplican sus coeficientes y luego los
términos variables usando las reglas de los exponentes.
a. (2𝑥)(3𝑥) = (2)(3) 𝑥𝑥 = 6𝑥2
b. (5𝑥2)(−2𝑥3) = (5)(−2) 𝑥2 𝑥3 = −10𝑥5
c. (3𝑎𝑏2)(6𝑎3 𝑏) = (3)(6) 𝑎𝑎2 𝑏2 𝑏 = 18𝑎4 𝑏3
d. ( 𝑚𝑛2)(4𝑚2 𝑛3)(−3𝑚3 𝑛) = −12𝑚6 𝑛6
2) Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de un polinomio por
todo término del otro polinomio.
a. (2)(4𝑥 − 2𝑦) = (2)(4𝑥) + (2)(−2𝑦) = 8𝑥 + 4𝑦
b. 4𝑥2 𝑦( 𝑥2 + 2𝑥 − 1) = 4𝑥2 𝑦( 𝑥2) + (4𝑥2 𝑦)(2𝑥) + (4𝑥2 𝑦)(−1) = 4𝑥4 𝑦 + 8𝑥3 −
4𝑥2 𝑦
c. (2𝑥 − 6)(4𝑥 + 7) = (2𝑥)(4𝑥 + 7) − 6(4𝑥 + 7) = 8𝑥2 + 14𝑥 − 24𝑥 − 42 =
8𝑥2 − 10𝑥 − 42
d. (5𝑥2 − 2𝑥)( 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥) = (5𝑥2)( 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥) − 2𝑥( 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥) =
5𝑥2 + 10𝑥4 − 25𝑥3 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 10𝑥2 = 5𝑥5 + 8𝑥4 − 29𝑥3 + 10𝑥2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
El púnico tipo de división de polinomios requerido explícitamente en este libro será la
división de un polinomio entre un monomio. Cuando se necesite dividir dos polinomios,
el cociente puede obtenerse con sólo simplificar las formas factorizadas de ambos. La
factorización de polinomios se repasa en la siguiente sección.
Para dividir un monomio entre otro monomio, se dividen los coeficientes de cada
monomio y las variables haciendo uso de las reglas apropiadas de los exponentes.
Ejemplos:
a.
12𝑥5
3𝑥2
= (
12
3
) (
𝑥5
𝑥2
) = 4𝑥5−2 = 4𝑥3
b.
−8𝑥3 𝑦2
2𝑥 𝑦2
= (
−8
2
) (
𝑥3
𝑥
)(
𝑦2
𝑦2
) = 4𝑥3−1 𝑦2−2 = −4𝑥2(1) = −4𝑥2

13. Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre
el monomio y se obtiene la suma algebraica de cada cociente.
Ejemplos:
a.
4𝑥3−8𝑥2+6𝑥
2𝑥
=
4𝑥3
2𝑥
−
8𝑥2
2𝑥
+
6𝑥
2𝑥
= 2𝑥2 − 4𝑥 + 3
b.
24𝑎4 𝑏5
−3𝑎2 𝑏4
=
24𝑎4 𝑏5
−3𝑎2 𝑏4
+
18𝑎2 𝑏3
−3𝑎2 𝑏4
= −8𝑎2 𝑏 −
6
𝑏
Nota: siempre se puede verificar la respuesta en una división con sólo multiplicar la
respuesta por el divisor. Si la respuesta es correcta, este producto deberá ser igual al
dividendo (numerador).
ACTIVIDAD 3
I. En los ejercicios 1 a 12, exprese como exponentes las operaciones
indicadas.
1. (5)(5)(5)(5) =
2. (−1)(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)(−1) =
3. (3)(3)(−2)(−2)(−2) =
4.
(7)(7)(7)
(3)(3)
=
5. (−𝑥)(−𝑥)(−𝑥) =
6. 𝑎𝑎𝑎
𝑏𝑏⁄ =
7.
𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑧𝑧𝑧⁄ =
8. 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑐𝑐 =
9. 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧⁄ =
10.
𝑝𝑝𝑞𝑞𝑞
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠⁄ =
11. ( 𝑥𝑦)( 𝑥𝑦)( 𝑥𝑦)( 𝑥𝑦) =
12.
( 𝑎𝑏𝑐)( 𝑎𝑏𝑐)( 𝑎𝑏𝑐)
(3)(3)(3)(3)(3)⁄ =
II. En los ejercicios 13 a 32 realice las operaciones indicadas.
13. (2)3(2)4 =
14. (3)3(3)2 =
15. 𝑥3 𝑥5 =

14. 16. 𝑦𝑦4 𝑦3 =
17. 𝑥2 𝑦3 𝑥3 𝑦 =
18. ( 𝑥2)3 =
19. ( 𝑎2)5 =
20. 𝑎𝑎3 𝑎2 𝑎 =
21. ( 𝑥3)2( 𝑥2)4 =
22. 𝑎3( 𝑎3)4 =
23. [( 𝑎2)3]2 =
24. [(−1)4]3 =
25. (3𝑥2)3 =
26. (5𝑎3)2 =
27. (2𝑚3)2 =
28. (4𝑏4)3 =
29. 12( 𝑎2)4( 𝑏)3 =
30. 2(2𝑥2)3(3𝑦3)2 =
31. [(2𝑥2)3]4 =
32. [2(3𝑎2)3]2=
𝐼𝐼𝐼.En los ejercicios 33 a 40 reescriba la expresión, empleando exponentes
positivos.
33. 𝑎−4 =
34. ( 𝑥𝑦)−2 =
35. (
1
2
)
−3
=
36. 𝑥−1 =
37. (
1
3
)
−4
=
38. ( 𝑎𝑏𝑐)−3 =
39. ( 𝑥𝑦)−5 =
40. (4𝑥)−2 =
IV.En los ejercicios 41 a 60 efectúe la operación indicada.
41. 𝑥3
𝑥⁄ = 𝑥3−1 =
42. 𝑚7
𝑚4⁄ =
43.
(2)5
(2)8⁄ =

15. 44. 𝑥6
𝑥6⁄ =
45.
(3)4
(3)3⁄
46.
(2𝑥2)2
2( 𝑥2)⁄
47. ( 𝑥𝑦)0 =
48. −(25𝑥0)2 =
49. ( 𝑥
𝑦⁄ )
3
=
50. (
4
5
)
3
=
51. ( 𝑥2
𝑦⁄ )
4
=
52. ( 𝑥𝑦
𝑧⁄ )
3
=
53. ( 𝑎2 𝑏
𝑐3⁄ )
4
=
54. (2𝑥2
5𝑦𝑧3⁄ )
3
=
55. (3𝑥𝑦2
𝑧3⁄ )
3
=
56. [( 𝑥2
𝑦⁄ )
3
]
2
=
57. −5[2( 𝑥0)5]2
58. 2𝑎2 [ 𝑎3
4𝑏⁄ ]
2
59. ( 𝑎2
𝑏3⁄ )
2
=
60. ( 𝑎𝑏
𝑐⁄ )
3
( 𝑐
𝑎𝑏⁄ )
3
=
VI. En los ejercicios 61 a 94 efectúe la operación,
61. 10𝑥 + 3𝑥 =
62. 5𝑥2 − 4𝑥2 + 2𝑥2
63. (5𝑦3 − 2𝑦2 + 𝑦) + (4𝑦2 − 5𝑦) =
64. (2𝑚2 − 3𝑚) + (4𝑚2 + 2𝑚) − ( 𝑚2 + 6)
65. (40𝑥3 𝑦2 − 25𝑥𝑦3) − (15𝑥3 𝑦2) = 25𝑥3 𝑦2 − 25𝑥𝑦3 =
66. 𝑎𝑏𝑐 − 𝑐𝑎𝑏 − 4𝑏𝑎𝑐 =
67. ( 𝑥 − 2𝑦) − (2𝑥 − 3𝑦) + ( 𝑥 − 𝑦) = 2𝑥 − 2𝑥 + 3𝑦 − 3𝑦 =
68. (−5𝑥)(4𝑥2) =
69. (7𝑥3)(3𝑥𝑦2) =

16. 70. (3𝑥2)(2𝑥)(−4𝑥3) =
71. ( 𝑎2)(4𝑎5)(−2𝑎3) =
72. 5𝑥( 𝑥 − 10) =
73. (−2𝑥2)( 𝑥2 − 𝑦) =
74. 2𝑎( 𝑎2 − 2𝑎 + 5) =
75. 𝑥2 𝑦( 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2) =
76. ( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 6) =
77. ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) =
78. (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3) =
79. ( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎 − 𝑏) =
80. ( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 4) =
81. ( 𝑥 − 2)( 𝑥2 − 4𝑥 + 4) =
82. 21𝑥5
3𝑥⁄ =
83.
16𝑥2 𝑦3
4𝑥𝑦2⁄
84. 10𝑎4 𝑏2
(5𝑎𝑏2 𝑐4)⁄
85.
−9𝑥𝑦2
3𝑥𝑦3⁄ =
86. 25𝑎2 𝑏𝑐3
5𝑎𝑏2 𝑐4⁄ =
87.
(15𝑥2 − 24𝑥)
(−3𝑥)⁄
88.
(4𝑥3 𝑦 − 2𝑥2 𝑦 + 8𝑥𝑦)
2𝑥⁄ =
89.
(12𝑎3 − 9𝑎2 + 6𝑎)
−3𝑎⁄ =
90.
(3𝑥2 𝑦𝑧3 − 4𝑥𝑦2 𝑧)
(−𝑥𝑦𝑧)⁄ =
91.
(4𝑥6 + 6𝑥3 − 8𝑥2)
2𝑥⁄ =
92.
(8𝑎3 𝑏2 𝑐− 4𝑎2 𝑏3 𝑐2)
4𝑎2 𝑏𝑐
⁄ =
93.
(48𝑥3
𝑦2
− 16𝑥2
𝑦4
+ 24𝑥𝑦3)
−4𝑥𝑦2⁄ =
94.
(−12𝑥8 𝑦6 𝑧2 + 28𝑥5 𝑦4 𝑧5)
(−4𝑥3 𝑦)⁄ =