Avaliação de Teoria dos Números da UnB.

1. Primeira Avalia¸c˜ao de Teoria dos N´umeros
Problema 1 Usando indu¸c˜ao prove que 1010n
≡ 4(mod 7), para todo n ≥ 1. (2,5 ptos)
Sugest˜ao: Use o pequeno teorema de Fermat.
Problema 2 Resolva:
(a) Encontre o menor n´umero natural n tal que n! ´e divis´ıvel por 990. (1 pto)
(b) Os n´umeros a e b satisfazem 56a = 65b. Prove que a + b ´e composto. (1 pto)
(c) Uma equa¸c˜ao do 2o
grau, cujos coeficientes s˜ao todos primos, pode apresentar duas
ra´ızes iguais? Justifique. (1 pto)
Problema 3 Encontre o resto da divis˜ao de 722010
+ 702011
por 71. (2 ptos)
Problema 4 Resolva:
(a) Encontre um n´umero natural x, tal que 7x ≡ 11(mod 17). (1 pto)
(b) Encontre o resto da divis˜ao de
1010
+ 10100
+ 101000
+ · · · + 1010.000.000.000
por 7. (2 ptos)