2. Biografía
 Nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg.
 Estudió en las universidad de Königsberg, de
Heidelberg y de Berlín.
 Obtiene el doctorado en 1885 en matemáticas
con su tésis titulada: Über invariante
Eigenschaften specieller binärer Formen,
insbesondere der Kugelfunctionen ("Sobre las
propiedades invariantes de formas binarias
especiales, en particular las funciones
circulares").

3.  Comentario de Gordan a Klein sobre Teorema de finitud
“El problema no es la forma… sino algo mucho más
profundo. Hilbert ha desdeñado presentar sus ideas siguiendo
las reglas formales, y piensa que es suficiente con que nadie
contradice su demostración… está contento pensando que la
importancia y corrección de sus proposiciones son suficientes…
para un trabajo en Annalen no es suficiente.”
 Y el comentario a Hilbert fue:
“Esto es teología, ¡no matemática!”
 Hilbert le envió una carta a Klein en términos muy duros:
“…No estoy preparado para alterar o eliminar nada, y en
relación con el artículo, y con toda modestia, esta es mi ultima
palabra, ya que no se ha producido ninguna objeción definitiva e
irrefutable contra mi razonamiento.”

4.  Klein le escribió a Hilbert:
“Sin duda éste es el trabajo más importante en
álgebra general que los Annalen han publicado
nunca.”
 Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había
sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría:
“He de admitir que incluso la teología tiene
sus méritos.”
 En 1892 se le concede una plaza como
catedrático en la Universidad de Königsberg.

5. Los 23 problemas de Hilbert
 Los problemas resueltos son:
 3er Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es
siempre posible cortar el primero en una
cantidad finita de piezas poliédricas que
puedan ser ensambladas de modo que quede
armado el segundo? No es posible y se resolvió
usando invariantes de Dehn
 5º ¿Son los grupos continuos grupos
diferenciales de forma automática? Resuelto
por Andrew Gleason (1952)
 6º Axiomatizar toda la física
 7º ¿Es a b trascendental, siendo a ≠ 0,1
algebraico y b irracional algebraico? Si es
trascendental, ilustrado por el teorema de Gelfond
o el teorema de Gelfond-Schneider

6.  10º Encontrar un algoritmo que determine si una
ecuación diofántica polinómica dada con
coeficientes enteros tiene solución entera. El
teorema de Matiyasevich (1970) implica que no existe
tal algoritmo
 13º Resolver todas las ecuaciones de 7º grado
usando funciones de dos parámetros. Resuelto
negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov
en 1957.
 14º Probar la finitud de ciertos sistemas completos
de funciones. En general no es posible, debido a un
contraejemplo dado por Nagata (1962).
 17º Expresión de una función definida racional
como cociente de sumas de cuadrados. Se
estableció un límite superior para el número de términos
cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución
negativa en general se debe a Du Bois (1967).
 18º ¿Existe un poliedro irregular y que construya
otros poliedros? ¿Cual es el apilamiento compacto
más denso?

7.  19º ¿Son siempre analíticas las soluciones de los
Lagrangianos? Resuelto positivamente por
Bernstein (1904).
 20º ¿Tienen solución todos los problemas
variacionales con ciertas condiciones de
contorno?
 21er Probar la existencia de ecuaciones lineales
diferenciales que tengan un grupo monodrómico
prescrito. Sí o no, dependiendo de una formulación
más exacta del problema. Según Gray resuelto de
forma negativa por Anosov y Bolibruch (1994).
 22º Uniformización de las relaciones analíticas
por medio de funciones automórficas. Resuelto
por Koebe (1907) y Poincaré independientemente
(1907).
 23er Extensión de los métodos del cálculo de
variaciones.

8.  El Programa de Hilbert. Hilbert convirtió las
demostraciones de la teoría formal en el
objeto de una nueva teoría, Teoría de la
Demostración o Metamatemática.
 Unificó el campo de la teoría algebraica de
números con su tratado de 1897
Zahlbericht (literalmente 'informe sobre
números').
 Murió el 14 de febrero de 1943 en Gotinga.

9. Espacios de Hilbert
 En la serie de artículos Fundamentos
de una teoría general de las
ecuaciones integrales analiza las
técnicas desarrolladas a finales del
XIX por matemáticos como Poincaré
y Fredholm.
 En el cuarto artículo, publicado en 1906,
Hilbert nos muestra como las
ecuaciones integrales son en realidad
un sistema de “infinitas ecuaciones
lineales con infinitas incógnitas”.

10.  Espacio de Hilbert (matemáticas): generalización
de espacio euclídeo.
 Ej. de las técnicas: ángulo entre vectores,
ortogonalidad de vectores, el teorema de
Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre
vectores y convergencia de una sucesión.
 Formalmente: espacio de producto interior que es
completo con respecto a la norma vectorial
definida por el producto interior.
 Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y
para generalizar el concepto de series de Fourier.

11. 

12. 

13.  BASES ORTONORMALES
 Tienen que cumplir:
-Elementos normalizados: ||ek|| = 1
para todo k en B
-Elementos ortoganales: <ek, ej> = 0
para todo k, j en B , j ≠ k.
- Expansión densa: La expansión
lineal de B es densa en H.

14. 

15. 

16. 

17. 

18. Teorema de finitud (1888)
 Paul Gordan (20 años antes)
 Teorema fundamental de Hilbert:
mostrar la existencia de un conjunto
finito de generadores, para las
invariantes cuánticas en cualquier
número de variables, pero de forma
abstracta.

19. Curva de Hilbert
 En 1878 Cantor demostró que un cuadrado
y una línea tienen el mismo número de
puntos ( biyección no continua (E.Netto))
 En 1890, Peano da el primer ejemplo de
una curva continua que rellena el plano (no
inyectiva (E.Netto))
 Hilbert en 1891 da una variante de esta
curva fractal continua:

20. Para dibujarla, tomamos el cuadrado
unidad y lo dividimos en cuatro
partes iguales. Luego unimos los
centros de los mismos con una
curva y vamos repitiendo el proceso.

21. Posibles aplicaciones de
la curva de Hilbert
 Informática: direcciones IP (se genera
una imagen utilizando dicha curva y se
emplea un código que tendría que hacer
una correspondencia 2D a 1D)
 Fotografía: convertir una fotografía en
escala de grises a una en blanco y
negro interpolada (evitando patrones de
distracción visibles al ojo)
 Bases de datos multidimensionales

22.  Axiomatización de la Geometría
“Grundlagen der Geometrie”, Fundamentos de
la Geometría, en 1899.
 El hotel infinito de Hilbert
Metáforas que describen cuatro paradojas de
las encontradas por Georg Cantor:
1. El hotel más grande del mundo
2. Infinito más uno
3. Dos infinitos
4. Infinito número de infinitos

23. Matriz de Hilbert
 En álgebra lineal, una matriz de Hilbert es
una matriz cuadrada cuyos campos
constituyen una fracción de la unidad.
 Representa la aproximación de mínimos
cuadrados a funciones arbitrarias por
polinomios.
 Es un ejemplo de matriz mal condicionada
(ill-conditioned).

24. Física Teórica (1912-1914)
 Hasta 1912, Hilbert fue de forma casi exclusiva un matemático
puro.
 En 1912, aumentó notablemente su interés por la física.
 Tras el estallido de la guerra en 1914, continuó celebrando
seminarios y clases donde se seguían de cerca los trabajos de
Einstein entre otros.
 Entre junio y julio de 1915, Hilbert invitó a Einstein a Göttingen
para que impartiera una semana de lecciones sobre relatividad
general y su teoría de la gravedad en desarrollo.
 El trabajo de Hilbert anticipó y asistió a varios avances en la
formulación matemática de la mecánica cuántica.
 Trabajó en darle rigor a la matemática que sostiene a la física.

25. Transformada de Hilbert


27. Legado
 Contribuyó al establecimiento de los fundamentos
formales de la matemática, y tras establecer estos
fundamentos marcó una gran diferencia en el
desarrollo de la lógica.
 Creó la Teoría de Invariantes, la Axiomatización de
la Geometría, la noción de espacio de Hilbert.
 Fue uno de los fundadores de la teoría de la
demostración, la lógica matemática y la distinción
entre matemática y metamatemática.
 Contribuciones a la Física, mecánica cuántica, en la
Teoría de los Gases o en la misma Teoría General
de la Relatividad.