2. E C U A C I O N E S P A R A M E T R I C A S
En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias
curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o
mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable
independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo
(t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
Definición de curva plana: Si f y g son funciones continúas de t en un
intervalo I las ecuaciones: e se denominan
Ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro. El par formado por las
ecuaciones paramétricas y su gráfica recibe el nombre de curva plana, que esta
denominada por c.
Supón que un bote zarpa de un muelle. Podrías usar las coordenadas x y y
para describir la ubicación del bote en cualquier punto de su recorrido. Sin
embargo, las coordenadas no indicarían cuándo el bote se encuentra en cada
ubicación. En ocasiones, dos variables no son suficientes para describir
completamente una situación de gráfica. Puedes usar las ecuaciones
paramétricas para describir las coordenadas x y y de un punto como funciones
de una tercera variable, t ,que se llama el parámetro. Por ejemplo, podrías
expresar las coordenadas x y y del bote como funciones del tiempo.
3. E C U A C I O N E S P A R A M E T R I C A S
El uso de ecuaciones paramétricas para representar una trayectoria te
permite ver la naturaleza dinámica del movimiento y te permite ajustar la rapidez
de la ruta al cambiar el paso t. El parámetro, no tiene que ser el tiempo, puede
ser un número sin unidades.
1. La ecuación vectorial de una recta en el plano es determina su
ecuación paramétrica.
Partiendo de la ecuación vectorial
y desarrollando la igualdad se tiene:
Igualando componente a componente se
tiene la ecuación paramétrica de la recta en
el plano
Ejemplo:
4. Partamos de la ecuación vectorial y despejemos igualando componente a
componente
Luego
2. Halla la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P(1,-1) y
Q(0,-3).
Como tenemos dos puntos determinemos un vector de dirección de la recta.
Ahora basta con sustituir en la fórmula de la ecuación paramétrica las coordenadas
de un punto, por ejemplo, P y las del vector de dirección que hemos calculado.
E C U A C I O N E S P A R A M E T R I C A S
5. E C U A C I O N E S D E L A R E C T A E N E L E S P A C I O
Ecuación vectorial de la recta
Sea P(x0, y0, z0) un punto de la recta r y su
vector director. Para cualquier otro punto de la
recta X, el vector tiene igual dirección que
, luego es igual a multiplicado por un
escalar:
Ecuaciones paramétricas de la recta
Operando en la ecuación vectorial de la recta
llegamos a la igualdad:
Esta igualdad se verifica si:
6. E C U A C I O N E S D E L A R E C T A E N E L E S P A C I O
Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y
pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.
1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta
que pasa por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director es .
7. E C U AC I O N E S PA R A M E T R I C A S D E U N A G R A F I C A
Tenemos una ecuación rectangular ( y su gráfica) y deseamos obtener unas
ecuaciones paramétricas.
Sabemos que esta representación no es única, por lo que existen varias
soluciones posibles al problema.
Si nos dan alguna indicación debemos seguirla, si no es el caso, una
posibilidad es igualar una variable(x ó y) al parámetro t y obtener la expresión de
la otra función de la anterior:
Ejemplo 1. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la
grafica y= 1- x2 usando los parámetros siguientes:
a. t= x
b. la pendiente m=dy/dx en el pinto (x,y).
solución:
x= t
y= 1- x2 = 1- t2, derivando esto resulta
m= dy/dx = -2x
x= -m/2
y= 1- x2 = 1- (-m/2)2 = 1+m2/4
por lo tanto las ecuaciones paramétricas serán:
x= - m/2
y= 1+m2/4
