UNIVERSIDAD DE INVESTIGACIÓN DE
TECNOLOGÍA EXPERIMENTAL YACHAY
Escuela de Ciencias Matemáticas y Computacionales
Proyecto de Álgebra Lineal
Autores:
Diego Andres Torres Chantera
Wilmer Steven Illescas Zhigue
Alexis Patricio Valdivieso Ormaza
Profesores:
Kevin Chamorro (Teorı́a), Juan Riofrio (Práctica)
Urcuquı́, marzo del 2023
1

Proyecto de Álgebra Lineal
Resumen
El álgebra lineal es una rama del conocimiento matemático el cual hace énfasis al estudio de
vectores y ecuaciones del tipo lineal, esto con el fin encontrar ciertos parámetros, que permi-
tan aplicar la teorı́a dentro y fuera de dominios, tales como los números reales, complejos,
enteros, etc. Además de hacer uso de ellos en la vida cotidiana e investigación.
Por esta razón se buscó desarrollar este proyecto, cuyo objetivo principal es demostrar el
desempeño de los estudiantes en la asignatura.
El trabajo se desarrollo a lo largo del semestre, donde los estudiantes empezaron con las
bases del tema del algebra. Sin embargo, a medida que se presentaban nuevos temas en las
clases, estas fueron herramientas que permitio el desarrollo de los ejecicios propuesto cada
semana.
Las siguientes actividades tuvieron un desarrollo muy variado, destacando principalmente
en una resolución que incentivaba a la investigación y dominio de ciertas aplicaciones como
octave y MATLAB, pues varios se proponı́an de forma explı́cita el uso de estas herramientas,
con junto a la materia, sin embargo, no eran directamente relacionadas con las preguntas que
pudieron tomar dentro del curso, sino como preguntas que se relacionan al uso del álgebra
en algunos casos de la vida e investigación y análisis, como descifrar un código mediante
el uso de una matriz, buscar como relacionar la teorı́a para hallar si un subespacio existe
en relación de otros vectores o simplemente saber cuantos gramos de ciertas sustancias son
necesarias para preparar una mezcla.
De esta forma, el proyecto ha consistido exclusivamente en la resolución de los problemas
propuestos,aplicando el analisis y herramientas necesarias en cada ejercicio
1. Introducción
El siguiente proyecto tiene como finalidad presentar, de forma sistemática y metodológica,
las diferentes soluciones a problemas que se han planteado. En ello se busca fortalecer las
competencias, habilidades y destrezas adquiridas en las clases, de tal manera que se puedan
aplicar en el uso diario por medio de programas de software como octave y LaTeX.
De esta manera se busca desarrollar el pensamiento lógico y critico de nosotros como estu-
diantes de álgebra Lineal, de forma que los problemas planteados sean detallados de forma
cohesiva para el lector.
para fortalecer las competencias de los estudiantes
2

2. Objetivos
Resolver y presentar los ejercicios propuestos.
Resumir el proceso y metodologı́a tomada en la elaboración del proyecto.
Generar dudas y resolverlas a lo largo de la guı́a.
Dar una visión general a la teorı́a que nos fue enseñada a lo largo del semestre.
Hacer uso del conocimiento adquirido en clase y los libros de estudio.
3. Materiales y Métodos
Múltiples herramientas tecnológicas, tales como Octave, LaTeX y Geogebra son usadas para
que la resolución de los ejercicios sea más amena. Donde el primero facilita los cálculos de
las matrices, el segundo facilita la escritura del documento y el tercer programa construye a
la generación de las figuras formadas por las matrices.
Además, aplicando el método de trabajo en equipo, esta integración facilita la resolución de
los ejercicios, ya que nuevas ideas y puntos de vista son presentados, logrando que el trabajo
tenga mejores resultados.
4. Conceptos previos
1. Matriz Según (de Ecuaciones, s.f.) Es un conjunto ordenado en una estructura que
consta de n número filas y n columnas.
2. Sistema de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecua-
ciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución en común.
3. Octave Según Por (i Nogueras, 2005) es un programa, que a su vez es un lenguaje de
programación, la cual está diseñada para realizar cálculos.
4. Overleaf Por (Jiménez y Mesa, 2021) Es una herramienta de redacción colaborativa
online que busca facilitar procesos como edición, publicación de documentos y una
correcta redacción de una forma rápida.
5. MATLAB Definido por (i Nogueras, 2005) es un sistema de cómputo numérico que
ofrece un desarrollo ante los sistemas y que también enseña su propio lenguaje de
programación.
6. Matriz identidad Por(Grossman, 2008) una matriz que tiene la principal propiedad
de ser un elemento neutro cuando se da un producto de matrices.
7. Determinante Según (Grossman, 2008) Es una forma multilineal alternada sobre un
espacio vectorial o el área de una figura geométrica, sea regular o no.
3

5. Resolución de ejercicios
5.1. Ejercicio 1
Suponga que de cuatro sustancias S1,S2,S3,S4 contienen los siguientes porcentajes de vita-
minas A,B,C y F por peso
Vitamina S1 S2 S3 S4
A 25 % 19 % 20 % 3 %
B 2 % 14 % 2 % 14 %
C 8 % 4 % 1 % 0 %
F 25 % 31 % 25 % 16 %
Mezcle las sustancias S1, S2, S3 y S4 para que la mezcla resultante contenga exactamente
3.85 gramos de vitamina A, 2.30 gramos de vitamina B, 0.80 gramos de vitamina C y 5.95
gramos de vitamina F.
1. ¿Cuántos gramos de cada sustancia debe contener la mezcla?
Process:
To solve this matrix all that is required to be done is to applied the formula used in
questions 3 and 4 where the values of A, x and b are set:
Where A is my matrix of coefficients, x are my variables and b my answers :
A ∗ x = b
A−1
∗ Ax = b
A−1
∗ Ax = A−1
b
I ∗ x = A−1
b
x = A−1
b
First create the coefficient matrix, variables matrix and answer matrix. Remember
to change the percentage values in A
A =




0,25 0,19 0,20 0,03
0,02 0,14 0,02 0,14
0,08 0,04 0,01 0,00
0,25 0,31 0,25 0,16



 X =




S1
S2
S3
S4



 b =




3,85
2,30
0,80
5,95




4

Now let us used the formula x = A−1
b to find the values of the substances.
Octave is used to set a, b, and x to use the formula.
OCTAVE: 1> A = [ 0.25, 0.19, 0.20 , 0.03; 0.02, 0.14 , 0.02 , 0.14; 0.08 , 0.04 ,
0.01 ,0.00; 0.25 ,0.31 , 0.25 , 0.16 ]
OCTAVE: 2> b = [ 3.85;2.30;0.80;5.95 ]
OCTAVE: 3> x = inv(A) · b
Using these algorithms our answers are:
X =




7,3828
4,1016
4,5312
10,6250



 = A−1




−69,1406 −50,0651 63,6719 56,7708
144,9219 106,4453 −103,5156 −120,3125
−26,5625 −25,2604 4,6875 27,0833
−131,2500 −88,5417 93,7500 108,3333



·b =




3,85
2,30
0,80
5,95




The values in X are the amount of substance that is required, in which 7,32828 is S1,
4.1016 S2 and 10.6250 S3.
2. Discuta qué sucede si requerimos que la mezcla resultante contenga 2.00
gramos de vitamina B en lugar de 2.30 gramos.
Process:
First create the coefficient matrix, variables matrix and answer matrix. Remember
to change the value of B of the subtance b to 2.00
A =




0,25 0,19 0,20 0,03
0,02 0,14 0,02 0,14
0,08 0,04 0,01 0,00
0,25 0,31 0,25 0,16



 X =




S1
S2
S3
S4



 b =




3,85
2,00
0,80
5,95




Now let us used the formula x = A−1
b to find the values of the substances.
5

Octave is used to set a, b, and x to use the formula.
OCTAVE: 1> A = [ 0.25, 0.19, 0.20 , 0.03; 0.02, 0.14 , 0.02 , 0.14; 0.08 , 0.04 ,
0.01 ,0.00; 0.25 ,0.31 , 0.25 , 0.16 ]
OCTAVE: 2> b = [ 3.85; 2.00; 0.80; 5.95 ]
OCTAVE: 3> x = inv(A) · b
Using these algorithms our answers are:
X =




22,402
−27,832
12,109
37,188



 = A−1




−69,1406 −50,0651 63,6719 56,7708
144,9219 106,4453 −103,5156 −120,3125
−26,5625 −25,2604 4,6875 27,0833
−131,2500 −88,5417 93,7500 108,3333



·b =




3,85
2,00
0,80
5,95




Conclusion: If the value of B is changed to 2.30 grams, its solution gives us a negative
number. Since negative values cannot be used to mix all the S substances, it is concluded
that there is not solution when this vitamin measures 2.00 grams.
6

5.2. Ejercicio 2
Introduzca la matriz
A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9


Verifique que A no es invertible. En lo que sigue A se cambia a una matriz invertible C que
es cercana a A, modificando uno de los elementos de A:
OCTAVE: 1> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9


OCTAVE: 2> det(A)
ans= 0
Since the determinant of A is 0 it cannot be inverted. The theorem is showed above.
New matriz
C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9 + ϵ


Donde ϵ es un número pequeño.
In order to find the solution to question two, it is important to know how to demonstrate
whether a matrix is invertible or not as well as the ways to find its inverse.
How to demonstrate the invertibility
If A is any matrix of n x n (square matrix).
det(A) ̸= 0 → A.A−1
= I
In other words A is invertible
How to find the inverse of a matrix?
Multiple ways stand to obtain the inverse of a matrix, namely using the adjunct of the
matrix formula and the elemental operations. Be that as it may, the inverse of the matrix is
calculated using a math lab code inv(A) in order to find it.
7

1. Considere ϵ = 10−
5. Verifique que C es invertible y encuentre su inversa
C−
1.
First, declare the variable E amounts to e-5 10−5
Octave: 5> ϵ = 10−5
E = 1.0000e-05
Important details:
Then, we insert the matrix value
OCTAVE: 6> C = [ 1,2,3; 4,5,6;7,8,9 + ϵ ]
C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9


It turned out that we got the same values as in our first. For that reason, a code to
expand the number of decimal is used in this part.
Output precision(your amount of numbers)
With this command will be allow to express our matrix into more decimals, basically,
the only thing we have to do is to insert the amounts of numbers we require the machine
to show, in our case our number is 6 since it is in the fifth decimal where we have our
important value.
octave: 7 > output precision (6)
octave: 8 > C = [1,2,3; 4,5,6;7,8,9 + ϵ]
C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9


As stated before, in this way is how we get the most accurate value of or matrix (3, 3).
Verify that C is invertible:
Now let’s find the determinant of this matrix C.
Theorem to assess invertible matrices:
If det(c)̸=0 → C · C−1
= I
Octave: 9> det(C)
ans = −3,0000e − 05
8

Det(c) ̸= 0 therefore matrix C is invertible.
e- 05 represents the base 10 squares that number.
e−05
→ 10−05
= 0.31622776601
Then we multiply times -3
Det(C) = -3x0.31622776601 = 0.94868329805
As a result C is invertible.
Find the inverse of C
Now that we know that C is invertible, the next step is to declare the function “inv
(variable)” in order to find C−1
.
octave: 10> inv(C)
inv(C) =


9,99983e + 04 −1,999999e + 05 1,000000e + 05
−1,99999e + 05 4,00000e + 05 −2,00000 + 05
1,00000e + 05 −2,00000 + 05 1,00000e + 05


As you might have noticed, our values are represented in scientific notation.
2. Repita para ϵ = 10−7
, ϵ = 10−10
y ϵ = 10−15
. Comente los resultados.
Now let us repeat the same process with these values. For them we change the name of
E for F , G , H respectively in order not to confuse with the matrixed assessed above.
Where:
ϵ = 10x
value:
F = e−7
, G = e−10
and E = e−11
9

F ° Prove that C is invertible and find it.
Theorem:
If det (F) ̸= 0 → (F · F)−1
= I C · C−1
̸= I
Else
F.F−1
̸= I
First F is declared in the programme
Octave: 11> F = 10−7
F = 1,0000e − 07
Else:
octave: 12> output precision (8)
octave: 13> C = [ 1,2,3; 4,5,6; 7,8,9+F ]
C =


1,0000000 2,0000000 3,0000000
4,0000000 5,0000000 6,0000000
7,0000000 8,0000000 9,0000001


Determinant det(C)
octave: 14> det(C)
ans = -3.0000000e-07
As a result C in F is invertible:
octave: 15 > inv(C)
inv(C) =


9,9999984e + 06 −1,9999999e + 07 1,0000000e + 07
−1,9999999e + 07 4,0000000e + 07 −2,0000000e + 07
1,0000000e + 07 −2,0000000e + 07 1,0000000e + 07


10

G° Prove that C in G is invertible and find it.
Matrix C in G:
octave: 16 > C = [ 1 ,2 ,3; 4, 5 ,6 ; 7, 8, 9+G ]
C =


1,0000000000 2,0000000000 3,0000000000
4,0000000000 5,0000000000 6,0000000000
7,0000000000 8,0000000000 9,0000000001


Determinant:
octave: 17> det(C)
ans = -3.0000002482e-10
Inverse of C in G
octave: 18> inv(C)
inv(C) =


9,9999991709e + 09 −1,9999998345e + 10 9,9999991726e + 09
−1,9999998344e + 10 3,9999996690e + 10 −1,9999998345e + 10
9,9999991726e + 09 −1,9999998345e + 10 9,9999991726e + 09


Conclusion:The invertibility of C in G has been showed owing to the fact that the
determinant is different from 0.
Prove that H is invertible.
11

Matrix C in H
octave: 19 > C = [ 1 ,2 ,3; 4, 5 ,6 ; 7, 8, 9+H ]
C =


1,000000000000000 2,000000000000000 3,000000000000000
4,000000000000000 5,000000000000000 6,000000000000000
7,000000000000000 8,000000000000000 9,000000000000002


Determinant of C in H
octave: 21> det(C)
ans = -5.329070518200751e-15
Inverse of C in H
octave: 22 > inv(C)


5,629499534213106e+14 −1,125899906842623e+15 5,629499534213119e+14
−1,125899906842623e+15 2,251799813685248e+15 −1,125899906842624e+15
5,629499534213122e+14 −1,125899906842624e+15 5,629499534213119e+14


Conclusion:The invertibility of C in H has been proved due to the fact that the
determinant is different from 0.
12

3. Comente acerca del tamaño de los elementos de C−1
(realizando una com-
paración con el tamaño de los elementos de C) conforme E se hace pequeño,
es decir, conforme C se acerca más a no ser invertible.
F, G, H are returned to E again.
C values in E:
octave: 23> ϵ = 10−5
C =


1,00000 2,00000 3,00000
4,00000 5,00000 6,00000
7,00000 8,00000 9,00001


octave: 24> ϵ = 10−7
C =


1,0000000 2,0000000 3,0000000
4,0000000 5,0000000 6,0000000
7,0000000 8,0000000 9,0000001


octave: 25> ϵ = 10−10
C =


1,0000000000 2,0000000000 3,0000000000
4,0000000000 5,0000000000 6,0000000000
7,0000000000 8,0000000000 9,0000000001


octave: 26> ϵ = 10−15
C =


1,000000000000000 2,000000000000000 3,000000000000000
4,000000000000000 5,000000000000000 6,000000000000000
7,000000000000000 8,000000000000000 9,000000000000002


13

Comparando con las invesas C−1
in ϵ
ϵ = 10−5
octave: 10> inv(C)
inv(C) =


9,99983e + 04 −1,999999e + 05 1,000000e + 05
−1,99999e + 05 4,00000e + 05 −2,00000 + 05
1,00000e + 05 −2,00000 + 05 1,00000e + 05


ϵ = 10−7
octave: 14> inv(C)
inv(C) =


9,9999984e + 06 −1,9999999e + 07 1,0000000e + 07
−1,9999999e + 07 4,0000000e + 07 −2,0000000e + 07
1,0000000e + 07 −2,0000000e + 07 1,0000000e + 07


ϵ = 10−10
octave: 18> inv(C)
inv(C) =


9,9999991709e + 09 −1,9999998345e + 10 9,9999991726e + 09
−1,9999998344e + 10 3,9999996690e + 10 −1,9999998345e + 10
9,9999991726e + 09 −1,9999998345e + 10 9,9999991726e + 09


ϵ = 10−15
octave: 22> inv(C)


5,629499534213106e + 14 −1,125899906842623e + 15 5,629499534213119e + 14
−1,125899906842623e + 15 2,251799813685248e + 15 −1,125899906842624e + 15
5,629499534213122e + 14 −1,125899906842624e + 15 5,629499534213119e + 14


CONCLUSION : C values approximate to not be invertible as the value of E shrinks.
Conversely, the smaller E is the bigger the elements of C−1
.
14

4. Se investiga la exactitud de las soluciones a los sistemas en los que la matriz
de coeficientes es cercana a ser invertible. Observe que si
C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9 + ϵ

 y b =


6
15
24 + ϵ


Entonces Cx = b donde x = ( 1,1,1)T
; es decir, x es la solución exacta.
Para cada E tilizando en los literales a y b, forme C y b y resuelva el sistema Cy =
b haciendo uso de C−1
. Encuentre z = x -y.
¿Qué tan ceracana es la solución calculada y a la solución exacta x?
¿Cómo cambia la exactitud conforme ϵ se hace más pequeño, es decir, conforme C se
acerca a no ser invertible?
First of all, in order to find “y” the equation “Cx= b” has to be organised into matrices in
order to assess them:
C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9 + ϵ

 X =


1
1
1

 b =


6
15
24 + ϵ


The next step to take is to determine the value of ”Xı̈n the different E values.
In order to do that the equation to be used have to be expressed as: Cy= b , In which Y is
merely x transposed but for the new matrices with the value of E.
Cy = b
In order to solve y multiple steps have to be followed:
1. We multiply C−1
in both sides in order to find the Identity on the left.
2. The multiplication of C−1
times C is equal to the identity.
3. The identity matrix times another matrix is equal to the identity.
15

As a result we get the equation:
y = c−1
· b
After getting the value of y, the formula:
z = x - y
It is used to see the change in x when ϵ has different values.
Finding the value of ((y)) on each ϵ = 10n
Steps:
set the variables C,X, and b in Octave
Find y and z with the given formulas above
octave: 1 > output precision(15)
ϵ = 10−5
, ϵ = 10−7
, ϵ = 10−10
and ϵ = 10−15
octave: 1> output precision(15)
octave: 2> ϵ = 10−5
ϵ = 1.00000000000000e-05
octave: 3> b = [ 6;15;24 + ϵ ]
b = 6,00000000000000 15,00000000000000 24,00001000000000
octave: 4 C = [ 1,2,3;4,5,6;7,8,9 + ϵ ]
C =


1,00000000000000 2,00000000000000 3,00000000000000
4,00000000000000 5,00000000000000 6,00000000000000
7,00000000000000 8,00000000000000 9,00001000000000


octave: 5 x = [ 1,1,1 ]
x = 1 1 1
octave: 6 y = inv(C) · b
16

y =


0,99999999953434
1,00000000000000
1,00000000000000


octave: 7 z = transpose(x)-y
z =


4,65661287307739e − 10
0
0


octave: 2´ ϵ = 10−7
ϵ = 1.00000000000000e-07
octave: 3´ b = [ 6;15;24 + ϵ ]
b = 6,00000000000000 15,00000000000000 24,00000010000000
octave: 4´ C = [ 1,2,3;4,5,6;7,8,9 + ϵ ]
C =


1,00000000000000 2,00000000000000 3,00000000000000
4,00000000000000 5,00000000000000 6,00000000000000
7,00000000000000 8,00000000000000 9,00000010000000


octave: 5´ x = [ 1,1,1 ]
x = 1 1 1
octave: 6´ y = inv(C) · b
y =


1,00000005960464
0,99999988079071
1,00000000000000


octave: 7´ z = transpose(x)-y
z =


−5,96046447753906e − 08
1,19209289550781e − 07
0


17

octave: 8´ output precision(15)
octave: 9 ϵ = 10−10
ϵ = 1.00000000000000e-10
octave: 10 b = [ 6;15;24 + ϵ ]
b =


6,00000000000000
15,00000000000000
24,00000000010000


octave: 11 C= [ 1,2,3;4,5,6;7,8,9 + ϵ ]
C =


1,00000000000000 2,00000000000000 3,00000000000000
4,00000000000000 5,00000000000000 6,00000000000000
7,00000000000000 8,00000000000000 9,00000000010000


octave: 12 x = [ 1,1,1 ]
x = 1 1 1
octave:13 y = inv(C) · b
y =


0,99996948242188
1,00000000000000
1,00003051757812


18

octave:14 z = transpose(x) - y
z =


3,05175781250000e − 05
0
−3,05175781250000e − 05


octave: 15 output precision(15)
octave: 16 ϵ = 10−15
ϵ = 1.00000000000000e-15
octave: 17 b = [ 6;15;24 + ϵ ]
b =


6
15
24


octave: 18 output precision(16) octave:19 ϵ = 10−15
ϵ = 1.000000000000000e-15
octave: 20 b = [ 6;15;24 + ϵ ]
b =


6
15
24


octave: 21 C = [ 1,2,3;4,5,6;7,8,9 + ϵ ]
C =


1,000000000000000 2,000000000000000 3,000000000000000
4,000000000000000 5,000000000000000 6,000000000000000
7,000000000000000 8,000000000000000 9,000000000000002


octave: 22 x = [ 1,1,1 ]
x = 1 1 1
octave: 23 y = inv(C) · b
19

warning: matrix singular to machine precision,
rcord = 1.23358e-17
y =


2
4
0


octave: 24 z = transpose(x) - y
z =


−1
−3
1


Conclusions:
The value of z increase while the ϵ shrinks, as a result, the smaller ϵ is, the further the
distance of z from x.
Considering that the machine precision is less accurate while ϵ decreases, the value of
z turns negative since ”Y”becomes larger than ”X”.
20

5.3. Ejercicio 3
Uno de los procedimientos que se utilizan para encriptarun mensaje secreto es hacer uso de
una determinada matriz cuadrada cuyos elementos son enteros y cuya matriz inversa tambien
contiene elementos enteros.
Se recibe un mensaje, se asigna un número a cada letra (por ejemplo A= 1, B= 2, etc., y
espacio = 27), se arreglan los números en una matriz de izquierda a derecha en cada renglón,
donde el número de elementos en el renglón es igual al tamaño de la matriz de código, se
multiplica esta matriz por la matriz de código por la derecha, se transcribe el mensaje a una
cadena de números (que se lee de izquierda a derecha a lo largo de cada renglón) y se manda
el mensaje. El destinatario del mensaje conoce la matriz de código.
El o ella reacomodan el mensaje encriptado en una matriz de izquierda a derecha en cada
renglón, en donde el número de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz
de código, multiplica por la derecha por el inverso de la matriz de código y puede leer el
mensaje decodificado (de izquierda a derecha en cada renglón).
Usted ha recibido el siguiente mensaje que fue encriptado usando la matriz dada A. Deco-
difı́quelo (suponga que A= 1, B= 2, etc., y espacio = 27).
A =






1 2 −3 4 5
−2 −5 8 −8 −9
1 2 −2 7 9
1 1 0 6 12
2 4 −6 8 11






Mensaje: [ 47 , 49, -19, 257, 487, 10, -9, 63, 137, 236, 79, 142, -184, 372, 536, 59, 70, -40,
332, 588 ].
Escriba el mensaje original.
Octave: 1 OM1 = [ 47,49,-19,257,487 ]
OM1 = [ 47,49,-19,257,487 ]
Octave: 2 OM2 = [ 10, -9, 63, 137, 236 ]
OM2 = [ 10, -9, 63, 137, 236 ]
Octave: 3 OM3 = [ 79, 142, -184, 372, 536 ]
OM3 = [ 79, 142, -184, 372, 536 ]
Octave: 4 OM4 = [ 59, 70, -40, 332, 588 ]
OM4 = [ 59, 70, -40, 332, 588 ]
21

Instroducimos la matriz en octave:
octave: 4 A = [ 1,2,-3,4,5 ; -2,-5,8,-8,-9 ; 1,2,-2,7,9 ; 1,1,0,6,12 ; 2,4,-6,8,11 ]
A =






1 2 −3 4 5
−2 −5 8 −8 −9
1 2 −2 7 9
1 1 0 6 12
2 4 −6 8 11






Octave: 5 A
A =






1 2 −3 4 5
−2 −5 8 −8 −9
1 2 −2 7 9
1 1 0 6 12
2 4 −6 8 11






octave: 6 DM1 = OM1 · INV(A)
DM1 = [1.0000, 18.0000, 5.0000, 27.0000, 25.0000]
octave: 7 OM2 = [10, -9, 63, 137, 236]
DM1 = [10, -9, 63, 137, 236]
octave: 8 DM2 = OM2 · INV(A)
DM2 = [15.0000, 21.0000, 27.0000, 8.0000, 1.0000]
octave: 9 OM3 = [79, 142, -184, 372, 536]
DM3 = [79, 142, -184, 372, 536]
octave: 10 DM3 = OM3 · INV(A)
DM3 = [22.0000, 9.0000, 14.0000, 7.0000, 27.0000]
octave: 11 OM4 = [59, 70, -40, 332, 588]
DM4 = [59, 70, -40, 332, 588]
octave: 12 DM4 = OM4 · INV(A)
DM4 = [6.0000, 21.0000, 14.0000, 27.0000, 27.0000]
22

Resultado de los calculos:
DM1 = [1.0000, 18.0000, 5.0000, 27.0000, 25.0000]
DM2 = [15.0000, 21.0000, 27.0000, 8.0000, 1.0000]
DM3 = [22.0000, 9.0000, 14.0000, 7.0000, 27.0000]
DM4 = [6.0000, 21.0000, 14.0000, 27.0000, 27.0000]
Traducción de la matriz:
LM.1 = ARE - Y
LM.2 = OU - HA
LM.3 = VING -
LM.4 = FUN–
Traducción final de la matriz:
Podemos concluir que el mensaje que se encontraba en la matriz es:
Are you having fun
23

5.4. Ejercicio 4
1. Cree una matriz A triangular superior de 5×5 con elementos enteros de
manera que el determinante de A es 1. Elija valores de c (entero), i y j y realice
varias operaciones con filas de la forma Fj → Fj + cFj de manera que la matriz esté
completa, es decir, que tenga el menor n´umero de ceros posible.
octave: 3 A1 = [ 1,3,3,3,3 ; 0,1,1,1,1 ; 0,0,1,1,1 ; 0,0,0,1,1; 0,0,0,0,1 ]
A1 =






1 3 3 3 3
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1






octave: 4 det(A1)
ans = 1
Elija valores de c (entero), i y j y realice varias operaciones Fj → Fj + cFj de manera
que la matriz esté completa, es decir, tenga el menor número de ceros posible. Llame
A a la nueva matriz.
A =






1 3 3 3 3
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1






A =






1 5 5 5 5
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1






A =






1 5 5 5 5
0 1 1 1 1
0 0 1 2 2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1






F2 → F1 + 2F2 F3 → F3 + F4 F4 → F4 + F5
A =






1 5 5 5 5
0 1 1 1 1
0 0 1 2 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1






A =






1 5 5 5 5
0 1 1 1 1
1 5 6 7 7
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1






A =






1 5 5 5 5
0 1 1 1 1
1 5 6 7 7
1 5 6 8 9
0 0 0 0 1






F3 → F3 + F1 F4 → F4 + F3 F5 → F5 + F4
A =






1 5 5 5 5
0 1 1 1 1
1 5 6 7 7
1 5 6 8 9
1 5 6 8 10






A =






1 5 5 5 5
1 6 7 8 11
1 5 6 7 7
1 5 6 8 9
1 5 6 8 10






F2 → F2 + F5 Matriz resultante
24

2. Verifique que det(A) es todavı́a igual a 1. ¿Por qué es esto de esperarse?
octave: 6 A = [ 1,5,5,5,5 ; 1,6,7,9,11 ; 1,5,6,7,7 ; 1,5,6,8,9 ; 1,5,6,8,10 ]
A =






1 5 5 5 5
1 6 7 9 11
1 5 6 7 7
1 5 6 8 9
1 5 6 8 10






octave: 7 det(A)
ans = 1
∴ the determinant of A is still equal to 1 because row operations do not affect the
value of the determinant, therefore, it remains the same in the final matrix ”matriz
resultante”.
Encuentre A−1
y verifique que tiene elementos enteros. ¿Por qué es esto de
esperarse?
octave: 2 A−1
= inv(A)
A−1
=






1 −5 0 0 5
1 1 −2 2 −2
−1 0 3 −4 2
0 0 −1 3 −2
0 0 0 −1 1






octave: 8 det(A−1
)
ans = 1
¿ Por qué la inversa de A tambien tiene elementos enteros? Firstly, since the
det(A) is an integer, and when it is replaced in the formula below to find the inverse,
the resulted scalar is an integer that multiplies the adj(A). Thus the inverse of A is
only expressed in integers.
A−1
= 1
det(A)
· adj(A)
, the elements of A−1
are integers.
The validity of this statement is proved with the formula used to find A−1
, in which
the adjoint of A is used.
25

3. Cree un mensaje para su profesor. Utilizando números en lugar de letras, tal y
como se describió en el problema anterior, escriba el mensaje en forma matricial para
que pueda multiplicarlo por la derecha por A para codificar el mensaje.
Siguendo con la misma analogia del jercicio 3, podemos decir que A = 1 y 27 = espacio
o vacio
lo traducimos al lenguaje ”numerico”
OM = [ 15,6,27,3,15,21,18,19,5,27,23,5,27,1,18,5,27,10,21,1,14,27,18,27,27 ]
Entonces entendemos que dicho mensaje puede ser escrito de una forma
matricial.
DM1 = [ 15, 6, 27, 3, 15 ]
DM2 = [ 21, 18, 19, 5, 27 ]
DM3 = [ 23, 5, 27, 1, 18 ]
DM4 = [ 5, 27, 10, 21, 1 ]
DM5 = [ 14, 27, 18, 27, 27 ]
4. Utilice A para encriptar el mensaje.
Entendemos que existen 5 matrizes de tamaño 1X5, las cuales para encriptarlas con la
matriz 5X5, multiplicamos una matriz 1X5 por la 5X5, generando asi una nueva matriz
1X5 la cual seria una parte del codigo encriptado con la matriz 5X5.
Codigos matriziales:
DM1 = [ 15, 6, 27, 3, 15 ]
DM2 = [ 21, 18, 19, 5, 27 ]
DM3 = [ 23, 5, 27, 1, 18 ]
DM4 = [ 5, 27, 10, 21, 1 ]
DM5 = [ 14, 27, 18, 27, 27 ]
26

Entendemos que se pueden multiplicar por que cumplen con los requisitos del producto
entre matrizes:
A1x5 · B5x5 = C1x5
Entonces los mensajes encriptados serian:
OM1 * A = HM1 → HM1 = [ 66,336,387,462,507 ]
OM2 * A = HM2 → HM2 = [ 90,468,537,656,751 ]
OM3 * A = HM3 → HM3 = [ 74,375,426,501,543 ]
OM4 * A = HM4 → HM4 = [ 64,347,406,514,591 ]
OM5 * A = HM5 → HM5 = [ 113,593,691,871,1006 ]
5. Entregue el mensaje encriptado a su profesor (como una cadena de números)
y la matriz A.
Un grupo de estudiantes mandan un mensaje secreto a su profesor, donde dicho código sele
asigna un número a cada letra (por ejemplo A= 1, B= 2, etc., y espacio = 27), se arreglan
los números en una matriz de izquierda a derecha en cada renglón, donde el número de
elementos en el renglón es igual al tamaño de la matriz de código, se multiplica esta matriz
por la matriz de código por la derecha, se transcribe el mensaje a una cadena de números
(que se lee de izquierda a derecha a lo largo de cada renglón) y se manda el mensaje.
El destinatario del mensaje conoce la matriz de código.
El reacomodan el mensaje encriptado en una matriz de izquierda a derecha en cada renglón,
en donde el número de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz de
código, multiplica por la derecha por el inverso de la matriz de código y puede leer el mensaje
decodificado (de izquierda a derecha en cada renglón).
Usted ha recibido el siguiente mensaje que fue encriptado usando la matriz dada A.
Decodifı́quelo.
A =






1 5 5 5 5
1 6 7 9 11
1 5 6 7 7
1 5 6 8 9
1 5 6 8 10






Mensaje: [ 66, 336, 387, 462, 507, 90, 468, 537, 656, 751, 74, 375, 426, 501, 543, 64,
347, 406, 514, 591, 113, 593, 691, 871, 1006 ].
27

5.5. Ejercicio 5
Generar tres vectores aleatorios de 3 × 1, u, v y w ( use 2 · rand ( 3,1 ) -1).
Calcule u · ( v × w ).
Sea B = [ u v w ].
Encuentre det(B) y Compare el det(B) con el producto escalar.
Haga lo mismo para diez juegos de u, v y.
Formule una conclusión y después pruébela analı́ticamente.
Process and explanation with Game N°1:
First, the vectors u,v and w are established using 2∗ rand ( 3,1 ) -1). it is important
to mention that this parameter is used in order to generate a vector between -1 and
1, and since they have a distance of 2 units and the negative number one, it is easy to
understand the code that will be used.
octave: 1 u = 2 ∗ rand(3,1)-1
u =


0,7581
0,8075
0,4172


octave: 2 v = 2 ∗ rand (3,1) -1
v =


0,2550
0,2424
−0,2965


octave: 3 w = 2 ∗ rand (3,1) -1
w =


−0,7431
0,7840
0,6111


Then, vector B [ u v w ] is created:
octave:4 B = [ u,v,w ]
B =


0,7581 0,2550 −0,7431
0,8075 0,2424 0,7840
0,4172 −0,2965 0,6111


28

The next step is to find the dot product of u · ( v × w ). For that first the cross
product of v and w is set in octave.
It is crucial to state that the transpose of both of then is applied because they are
required to be row vectors in order to carry out a cross product matrix.
octave: 5 z = cross (v’, w’ )
z = 0,380587 0,064499 0,380047
Now that the value of the cross product has been represented in z, the next step is to
solve the dot product between them with the following command, in which EP is the
value that has been gotten after the operations in the dot product. (Remember that
whenever we operate with this command we get a scalar value).
octave:6 EP dot(u,z)
EP = 0.4992
octave:7 B = [ 0.7581,0.2550,-0.7431;0.8075,0.2424,0.7840;0.4172,-0.2965,0.6111 ]
B =


0,7581 0,2550 −0,7431
0,8075 0,2424 0,7840
0,4172 −0,2965 0,6111


Finally, the operation to find the determinant of B is set.
octave:8 dtB = det(B)
dtB = 0.4992
Conclusion: It is been appreciated that both, the determinant of B and the scalar
product have the same value owing to the fact their subtraction is zero.
This value is stored in the variable Error[1], which is the error margin or difference
between the two selected values.
Error[1] = EP − dtB
Error[1] = 0,4992 − 0,4992
Error[1] = 0
• A final conclusion is stated at the end of the drill, wherein a general statement is
presented based on the exercises that were solved.
29

Process Game N°2 :
octave: 9 u2 = 2 ∗ rand(3,1) -1
u2 =


0,8596
0,7149
0,6239


octave: 10 v2 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v2 =


0,5215
−0,4029
−0,6629


octave: 11 w2 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w2 =


0,671946
0,872048
−0,036833


Dot product of u · ( v2 × w2 )
octave: 12 z = cross (v2’, w2’ )
z = 0,5929 −0,4262 0,7255
octave: 14 EP dot(u2,z)
EP2 = 0.6576
octave: 15
B = [0.8596,0.7149,0.6239;0.5215,-0.4029,-0.6629;0.671946,0.872048,-0.036833]
B =


0,859600 0,714900 0,623900
0,521500 −0,402900 −0,662900
0,671946 0,872048 −0,036833


octave:16 dtB2 = det(B)
30

dtB2 = 0.6576
Error[2] = EP2 − dtB2
Error[2] = 0,6576 − 0,6576
Error[2] = 0
Process Game N°3 :
octave: 9 u3 = 2 ∗ rand(3,1) -1
u2 =


−0,3292
−0,8940
−0,5161


octave: 10 v3 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v3 =


−0,8100
−0,5321
0,6688


octave: 11 w3 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w3 =


−0,319006
−0,097543
−0,775678


Dot product of u · ( v3 × w3 )
octave: 12 z = cross (v3’, w3’ )
z = 0,477961 −0,841665 −0,090726
octave: 14 EP3 dot(u,z)
EP3 = 0.6420
31

octave: 15 B = [ -0.3292, -0.8940, -0.5161; -0.8100, -0.5321, 0.6688; -0.319006, -
0.097543, -0.775678 ]
B =


−0,3292 −0,8940 −0,5161
−0,8100 −0,5321 0,6688
−0,319006 −0,097543 0,775678


octave:16 dtB3 = det(B)
dtB3 = 0.6420
Error[3] = EP3 − dtB3
Error[3] = 0,6420 − 0,6420
Error[3] = 0,000
Process Game N°4 :
octave: 17 u4 = 2 ∗ rand(3,1) -1
u4 =


−0,7598
0,1364
0,6290


octave: 18 v4 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v4 =


−0,8150
0,4727
−0,9299


octave: 19 w4 = 2 * rand (3,1) -1
w4 =


−0,012492
−0,869020
0,067126


Dot product of u · ( v4 × w4 )
octave: 20 z = cross (v4’, w4’ )
32

z = −0,776331 0,066324 0,714160
octave: 21 EP4 dot(u4,z)
EP4 = 1.0481
octave: 22 B = [ -0.7598,0.1364,0.6290;-0.8150,0.4727,-0.9299;-0.012492;-0.869020,
0.067126]
B =


−0,7598 0,1364 0,6290
−0,8150 0,4727 −0,9299
−0,012492 −0,869020 0,067126


octave:24 dtB4 = det(B)
dtB4 = 1.0481
Error[4] = EP4 − dtB4
Error[4] = 0,10481 − 0,10481
Error[4] = 0
Process Game N°5 :
octave: 25 u5 = 2 ∗ rand(3,1) -1
u =


−0,4745
0,1869
−0,5164


octave: 26 v5 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v =


0,2071
−0,1015
−0,1679


octave: 27 w5 = 2 ∗ rand (3,1) -1
33

w =


−0,4885
−0,2476
−0,9174


Dot product of u · ( v5 × w5 )
octave: 28 z = cross (v5’, w5’ )
z = 0,051514 0,272031 −0,100835
octave: 30 EP5 dot(u5,z)
EP5 = 0.078480
octave: 31
B = [ -0.4745,0.1869,-0.5164;0.2071,-0.1015,-0.1679;-0.4885,-0.2476,-0.9174]
B =


−0,4745 0,1869 −0,5164
0,2071 −0,1015 −0,1679
−0,4885 −0,2476 −0,9174


octave:32 dtB5 = det(B)
dtB5 = 0.078466
Error[5] = EP5 − dtB5
Error[5] = 0,078466 − 0,078466
Error[5] = 0
octave: 33 u6 = 2 ∗ rand(3,1) -1
u6 =


−0,792568
0,195819
−0,020641


octave: 34 v6 = 2 ∗ rand (3,1) -1
34

v6 =


−0,2054
0,1198
0,2078


octave: 35 w6 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w6 =


0,5816
−0,9431
0,3453


Dot product of u · ( v6 × w6 )
octave: 37 z = cross (v6’, w6’ )
z = 0,2374 0,1918 0,1240
octave: 39 EP6 dot(u6,z)
EP6 = -0.1531
octave: 40
B = [ -0.792568,0.195819,-0.020641;-0.2054,0.1198,0.2078;0.5818,-0.9431,0.3453]
B =


−0,792568 0,195819 −0,020641
0,2054 0,1198 0,2078
0,5818 −0,9431 0,3453


octave:41 dtB6 = det(B)
dtB6 = -0.1531
Error[6] = EP6 − dtB6
Error[6] = −0,1531 − −0,1531
Error[6] = 0
Process Game N°7 :
octave: 42 u7 = 2 ∗ rand(3,1)-1
35

u7 =


0,0744250
0,530805
0,052921


octave: 43 v7 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v7 =


0,044170
−0,918137
−0,524654


octave: 44 w7 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w7 =


0,764519
−0,041314
0,338310


Dot product of u · ( v7 × w7 )
octave: 45 z = cross (v7’, w7’ )
z = −0,3323 −0,4161 0,7001
octave: 47 EP7 dot(u7,z)
EP7 = -0.4311
octave: 48 B = [ 0.744250, 0.530805, 0.052921; 0.044170, -0.918137, -0.524654;
0.764519, -0.041314, 0.338310 ]
B =


0,744250 0,530805 0,052921
0,044170 −0,918137 −0,524654
0,764519 −0,041314 0,338310


octave:49 dtB7 = det(B)
dtB7 = -0.4311
36

Error[7] = EP7 − dtB7
Error[7] = −0,4311 − −0,4311
Error[7] = 0
Process Game N°8 :
octave: 50 u8 = 2 ∗ rand(3,1)-1
u8 =


0,5885
−0,4146
−0,3526


octave: 51 v8 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v8 =


0,6142
−0,1509
−0,4637


octave: 52 w8 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w8 =


−0,8797
0,8797
0,6186


Dot product of u · ( v8 × w8 )
octave: 53 z = cross (v8’, w8’ )
z = 0,314602 0,027959 0,407641
octave: 55 EP dot(u8,z)
EP8 = 0.029811
octave: 56 B = [-0.2570,0.7859,0.2302;0.3269,0.1316,0.5196;-0.5561,-0.5154,-0.9887]
B =


0,5885 0,6142 −0,8797
−0,4146 −0,1509 0,8797
−0,3526 −0,4637 0,6186


37

octave:57 dtB8 = det(B)
dtB8 = 0.029811
Error[8] = EP8 − dtB8
Error[8] = 0,029811 − 0,029811
Error[8] = 0,0000.
Process Game N°9 :
octave: 58 u9 = 2 ∗ rand(3,1)-1
u9 =


−0,1764
−0,8922
−0,7253


octave: 59 v9 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v9 =


−0,1356
−0,3972
0,2585


octave: 60 w9 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w9 =


−0,9611
0,2901
0,9998


Dot product of u · ( v × w )
octave: 61 z = cross (v’, w’ )
z = −0,4722 −0,1129 −0,4211
octave: 63 EP dot(u9,z)
EP = 0.4895
38

octave: 64
B = [ -0.1764,-0.8922,0.7253;-0.1356,-0.3972,0.2585;-0.9611,0.2901,0.9998]
B =


−0,1764 −0,8922 −0,7253
−0,13560 −0,3972 0,2585
−0,9611 0,2901 0,9998


octave:65 dtB9 = det(B)
dtB9 = 0.4895
Error[9] = EP8 − dtB8
Error[9] = 0,4895 − 0,4895
Error[9] = 0,0000.
Process Game N°10 :
octave: 66 u10 = 2 ∗ rand(3,1) -1
u10 =


−0,9596
0,6090
0,3297


octave: 67 v10 = 2 ∗ rand (3,1) -1
v10 =


−0,2028
0,3548
−0,2369


octave: 68 w10 = 2 ∗ rand (3,1) -1
w10 =


0,7600
0,5793
0,6529


Dot product of u · ( v × w )
octave: 69 z = cross (v’, w’ )
39

z = 0,368866 −0,047571 −0,387158
octave: 71 EP dot(u10,z)
EP = -0.5106
octave: 72 B = [ -0.9596,0.6090,0.3297;-0.2028,0.3548,-0.2369;0.7600,0.5793,0.6529]
B =


−0,9596 0,6090 0,3297
−0,2028 0,3548 −0,2369
0,7600 0,5793 0,6529


octave:73 dtB10 = det(B)
dtB10 = -0.5106
Error[10] = EP10 − dtB10
Error[10] = −0,5106 − −0,5106
Error[10] = 0
Summary
It has been showed that both operations, the determinant of B and the dot product
of u and z, carried in the games are alike in each cases.Therefore, their subtraction is
zero in all the exercises.
The reason for the obtained value above is explained by the definition of the cross
product and the determinant. Note that B represents the area that the tree vectors
form and EP is the dot product of vector u and the cross product of w and V.
Since the cross product of v and w creates an orthogonal vector ”z”(with the basis
i,j,k) and when it is operated with as the dot product of u and z, each component of
u affects the orthogonal vector and as a result, the value obtained is the same as the
determinant of B.
The validity of this statement is proved by understanding the cross product since it is
the same as the determinant and in fact, it has the same properties, the only difference
is that in the cross product only two vectors are known(Eg. v and w), wherein their
operation (vxw) is an orthogonal vector to them. The mentioned result is expressed
in terms the canonical vectors, therefore once z is obtained it can be represented as
the height of the parallelepiped, then as it is operated with ü”to get the dot product
40

between them, it is expressed as the area that those three vectors form, which is the
same as the determinant between those three vectors.
41

5.6. Ejercicio 6
Sean u, v y w tres vectores aleatorios de 3 × 1 y sea A una matriz aleatoria de 3×3.
Sea A = round (10∗(2∗rand(3) -1 )).
Calcule | u ( v x w )|, | Au ( Av x Aw )| y | det(A) |.
Analysis of the exercise
Ten games are set to find the relation between the given operations.
The explanation of the procedure is explain in the Game N°1.
Game N°1:
Procedure:
1. Create three random vectors u,v and w
They are generated by using the command round(6*rand(3,1)*-1), which was created
by the group, that creates [3 x 1] vectors with values between [-6 , 0]
octave: 1 u = round(6 ∗ rand(3, 1) ∗ −1)
u =


−4
−1
−5


octave: 2 v = round(6 ∗ rand(3, 1) ∗ −1)
v =


−2
−3
−6


octave: 3 w = round(6 ∗ rand(3, 1) ∗ −1)
w =


−5
−3
−4


Important to remember:
The generated vectors above are used in all the games and only the elements
of the following matrix below change in each game.
2. Create the random 3x3 matrix (A)
42

By the usage of the command round(10*(2*rand(3)-1), a matrix of 3 x 3 dimension is
generated. In the code roundı̈s employed to make all values integers, and the code inside
it represents a 3x3 matrix with elements between [-10 , 10] since when the operation
2*rand(3)-1 is do, it returns values between [-1, 1] that after multiplying by 10, leads
to the final interval mentioned above.
octave: 4 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


4 −5 −5
9 −9 0
−9 2 −7


3. Calculate OPA,OPB,OPC
Compute the operations and give them a name.
OPA= | u ( v x w )|
OPB= | Au ( Av x Aw )|
OPC= | det(A) |
In which OP is the abbreviation of [operation] and the letters ( A,B,C) represent each
one in order.
Calculate the values in Game N°1
octave: 5 OPA = abs(dot(u, cross(v, w)))
OPA = 47
octave: 6 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 11844
octave: 7 OPC = abs(det(A))
OPC = 252
¿What is the geometric meaning of | det(A) |?
Since a 3 X 3 matrix is in R3x3
a parallelepiped is formed. When the determinant is
calculated,it multiples the column vectors of the coefficient matrix, such that the si-
des x, y, z ,are multiplied to find the generated volume, namely the length, width and
height.
4. Conclusion of the values
It is seen that with the obtained values there is a relation between OPC and OPA,
because their product is the same as the value of OPB.
This happens because the multiplication of these two variables is the same as being
multiplying the volume of the parallelopipeds. OPB is expressed in terms of the matrix
multiplication of A and the vectors and after doin the operation of OPB the volume
is obtanied, therefore OPA ∗ OPC is the same since it represents the same value, but
separately, where first the volume of the parallelepipeds of [ u,v w] and A is found. and
then multiply to create a bigger volume that is the same as the one gotten in OPB.
43

octave: 8 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 11844 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
11844 = 11844
Haga esto para varias matrices 10 y formule una conclusión respecto a
las tres cantidades calculadas. Pruebe sus conclusiones para otras matrices
aleatorias A.
Now, the same process is done in the games below and it is seen that our analysis is
proved to be correct in all of them
Game N°2:
1. Calculate the operations
It is important to remember that OPA does not change in any game as the vectors are
the same, therefore, OPA remains 47 in all the exercises.
octave: 9 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


3 6 −2
1 −3 −7
10 6 −4


octave: 10 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 14382
octave: 11 OPC = abs(det(A))
OPC = 306
octave: 12 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 14382 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
14382 = 14382
Game N°3:
octave: 13 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


−1 −2 −5
10 −1 4
−10 0 6


44

octave: 14 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 12032
octave: 15 OPC = abs(det(A))
OPC = 256
octave: 16 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 12032 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
12032 = 12032
Game N°4:
octave: 17 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


−2 6 −6
−2 4 −2
6 8 −10


octave: 18 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 4512
octave: 19 OPC = abs(det(A))
OPC = 96
octave: 20 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 4512 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
4512 = 4512
Game N°5:
octave: 21 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


3 −5 2
−7 4 −2
−1 −1 2


octave: 22 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 1880
octave: 23 OPC = abs(det(A))
OPC = 40
octave: 24 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 1880 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
1880 = 1880
45

Game N°6:
octave: 25 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


−7 2 −1
9 1 −10
−2 10 −2


octave: 26 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 32994
octave: 27 OPC = abs(det(A))
OPC = 702
octave: 28 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 32994 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
32994 = 32994
Game N°7:
octave: 29 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


6 1 2
−10 −9 −6
1 4 0


octave: 30 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 3572
octave: 31 OPC = abs(det(A))
OPC = 76
octave: 32 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 3572 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
3572 = 3572
Game N°8:
octave: 33 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


−7 6 −9
3 1 −5
2 −8 6


46

octave: 34 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 14288
octave: 35 OPC = abs(det(A))
OPC = 304
octave: 36 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 14288 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
14288 = 14288
Game N°9:
octave: 37 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


3 3 6
2 −9 4
−5 −4 9


octave: 38 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 29469
octave: 39 OPC = abs(det(A))
OPC = 627
octave: 40 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 29469 =⇒ such that
OPS = OPB
∴
29469 = 29469
Game N°10:
octave: 41 A = round(10 ∗ (2 ∗ rand(3) − 1))
A =


8 −8 1
−8 4 1
6 10 −3


octave: 42 OPB = abs(dot(A ∗ u, cross(A ∗ v, A ∗ w)))
OPB = 6392
octave: 19 OPC = abs(det(A))
OPC = 136
octave: 43 OPS = OPC ∗ OPA
OPS = 6392 =⇒ ∴
OPS = OPB
6392 = 6392
47

Realice gráficos de los paralelepı́pedos generados por u, vywyAu, AvyAw res-
pectivamente.
The software employed to solve the exercise is Geogebra. It is an app that is used to
solve mathematical functions while it generates the graphics of the given problems. In
this case the app is used to build [uvw] and [AuAvAw] parallelepipeds. In the case of
the first matrix , only 1 parallelepiped is created because these vectors are repeated in
all the games, on the other hand, 10 figures are drawn with the second matrix since
they change in each game.
Codes used in Geogebra to generate the parallelepipeds.
The commmands are simple, it is only required to express the vectors and defined what
is wanted to be drawn.
The process is the following one:
1. Set the sofware in R3
2. Draw the point (0, 0, 0)
3. Draw vectors (u, v, w) individually
4. Draw points U, V, W using the command point Eg. U = point(A, u), where A is
the 0 point.
5. Draw point E as an addition of the point V and vector w. Eg E = point(V, w).
This point is needed to create the parallelogram that them is multiplied with V
to get the final product as it is seen below
6. Write base = Polygon(A, W, E, V ) to generate the area of the parallelogram.
7. Write Paralellepipted = Prism(base, U) to generate the parallelepiped.
8. Check the graph accuracy by seeing the volume value below Paralellepipted =
Prism(base, U) and comparing it with the value of OPB in each game
Figura 1: Visual representation of the commands
Parallelepipeds graphs
48

Important to remember:
The three points, namely V,U,W , also represent the points of [ Au Av Aw]
in order to simplify the view of the parallelepiped.
1° The general parallelepiped of [u, v, w]
Figura 2: [u,v,w] - Volume= 47
Game N°1: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 3: [Au Av Aw] - Volume = 11844
49

Game N°2: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 4: [Au Av Aw] - Volume = 14382
Game N°3: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 5: [Au Av Aw] - Volume = 12032
Game N°4: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 6: [Au Av Aw] - Volume = 4512
50

Game N°5: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 7: [Au Av Aw] - Volume = 1880
Game N°6: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 8: [Au Av Aw] - Volume = 32994
Game N°7: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 9: [Au Av Aw] - Volume = 3572
51

Game N°8: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 10: [Au Av Aw] - Volume = 14288
Game N°9: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 11: [Au Av Aw] - Volume = 29469
Game N°10: Parallelepiped [Au Av Aw]
Figura 12: [Au Av Aw] - Volume = 6392
52

Final analysis
It is seen that the volume of the parallelepipeds in the graphs are the same as the value of
OPS, this fact shows that the generated figures are correct.
53

5.7. Ejercicio 7
Utilice la reducción por filas para encontrar las soluciones de Ax=0 donde A es:
A =
-4 0 -4 3
-4 1 -1 1
¿Su respuesta está de acuerdo con la respuesta de Octave usando el comando null? Si no,
explique por qué.
Empezamos hallando las respuestas de la matriz
-4 0 -4 3
-4 1 -1 1
=
1 0 1 -3
4
-4 1 -1 1
=
1 0 1 -3
4
0 1 3 -2
F1 · -1
4
F2 + 4F1 Soluciones
Podemos expresar la matriz como:
X + 0 + Z - 3
4
K
0 + Y + 3Z - 2K
El cual sı́ despejamos las incógnitas x, y se determina que los valores de la matriz son
dependientes de los escalares Z y K, permitiendo hallar la base de la matriz




X = 3
4
K − Z
Y = 2K − 3Z
Z = Z
K = K



 =




3
4
K − Z
2K − 3Z
Z = Z
K = K




gen







Z




−1
−3
1
0



 + K




3
4
2
0
1











→











−1
−3
1
0








3
4
2
0
1











= S
Ahora como indica el ejercicio, se usa el comando null en la matriz y se observa que
datos entrega.
octave a = [-4 0 -4 3; -4 1 -1 1]
a =
−4 0 −4 3
−4 1 −1 1
54

octave b = null (a)
b =




−0,2313 0,2247
−0,7772 0,4816
0,4812 0,3528
0,3331 0,7701




Si se hace una comparación entre los datos que da el comando null con las soluciones de la
matriz que se resolvieron de forma manual, se puede intuir que no son lo mismo.




−0,2313 0,2247
−0,7772 0,4816
0,4812 0,3528
0,3331 0,7701



 ̸=











−1
−3
1
0








3
4
2
0
1











Por las caracterı́sticas que presentan los datos que nos entregó el comando null, se puede
intuir que puede llegar a ser una base ortonormal, entonces para comprobarlo se procederá
con transformar la base canónica de esta matriz a una ortonormal.
Se continuará con el procedimiento de Gram-Schmidt
S =











−1
−3
1
0








3
4
2
0
1











Para hallar U1
U1 = V1
|V1|
Para ello, Se debe hallar el módulo de V1
|V1| =
√
a2 + b2 + c2 + ...
Entonces:
|V1| =
p
(−1)2 + (−3)2 + (1)2 + (0)2
55

|V1| =
√
1 + 9 + 1
|V1| =
√
11
U1 = 1
√
11
·




−1
−3
1
0



 =





−1
√
11
−3
√
11
1
√
11
0





=




−0,3015
−0,9045
0,3015
0




Para hallar U2
U2 = V ′2
|V ′2|
Donde V ′2
V ′2 = V2 - (V2 · U1) U1
Haciendo los cálculos tenemos que:
V ′2 =




3
4
2
0
1



 −









3
4
2
0
1



 ·





−1
√
11
−3
√
11
1
√
11
0















−1
√
11
−3
√
11
1
√
11
0





V ′2 =




3
4
2
0
1



 −
h
−27(
√
11)
44
i





−1
√
11
−3
√
11
1
√
11
0





V ′2 =




3
4
2
0
1



 −




27
44
81
44
−27
44
0




V ′2 =




3
22
7
44
27
44
1




56

Entonces:
|V ′2| =
q
( 3
22
)2 + ( 7
44
)2 + (27
44
)2 + (1)2
|V ′2| =
5
2
q
5
22
Se calcula U2
U2 = 1
5
2
√ 5
22




3
22
7
44
27
44
1



 =








3
5
q
2
55
7
5
√
110
27
5
√
110
2
5
q
22
5








=




0,1144
0,1334
0,5148
0,8390




Se puede decir que la base ortonormal de la matriz es:




−0,3015 0,1144
−0,9045 0,1334
0,3015 0,5148
0 0,8390




Sı́ se compara la base calculada con los datos obtenidos con el comando null.




−0,3015 0,1144
−0,9045 0,1334
0,3015 0,5148
0 0,8390



 ≈




−0,2313 0,2247
−0,7772 0,4816
0,4812 0,3528
0,3331 0,7701




Conclusión
Se puede observar que tanto las soluciones de la matriz, como los datos obtenidos por el
comando null de esta misma matriz, no son los mismos, porque este comando entrega lo que
parece ser una base con decimales, sin embargo, al momento de calcular esta base de manera
escrita, su valor es dado en números enteros.
Entonces, se puede decir que el comando ya mencionado cumple con el objetivo de generar
la base ortogonal, ya que, aunque exista un margen de error al momento de calcular esta
base manualmente, esta diferencia se debe por no tomar realmente todos los decimales que
se hallaban en los calculos, de esta manera se puede concluir que el el código null genera
una base ortonormal de una ”matriz”de forma directa.
57

5.8. Ejercicio 8
En los siguientes ejercicios, sea W ⊂ R5
el subespacio generado por los vectores
w1 = (2, 0, -1, 3, 4) w2 = (1, 0, 0, -1, 2) w3 = (0, 1, 0, 0, -1)
Use Octave para decidir si los vectores dados son elementos de W.
v1 = (2, 1, -2, 8, 3)
v2 = (-1, 12, 3, -14, -1)
v3 = (-1, 12, 3, -14, -14)
Como todos los w entregados son linealmente independientes,
Se entiende que funcionan como una base:
SW =
(2, 0,-1, 3, 4); (1, 0, 0,-1, 2); (0, 1, 0, 0,-1) ∈ R5
Se realiza la combinación lineal por los vectores w:
α1(2, 0, −1, 3, 4) + α2(1, 0, 0, −1, 2) + α3(0, 1, 0, 0, −1) = (a, b, c, d, e)
Plasmándolo como una matriz tenemos que: Ax = b
W =






2 1 0 |a
0 0 1 |b
-1 0 0 |c
3 -1 0 |d
4 2 -1 |e






Como nos entregan los vectores, ya tenemos las incógnitas y no es necesario hallar una base,
sino hallar aquellos escalares que formen al subespacio con respecto a los vectores.
W =






2 1 0 |a
0 0 1 |b
-1 0 0 |c
3 -1 0 |d
4 2 -1 |e






Donde b cambiara por los vectores:
58

b =






a
b
c
d
e






=






2
1
−2
8
3






=






−1
12
3
−14
−1






=






−1
12
3
−14
−14






Para desarrollar este ejercicio en octave, es necesario conocer ciertos criterios, como el usar
la simbologı́a de ’. en una matriz, expresa a su transpuesta, es decir a = (a b) es una matriz
y su transpuesta en octave serı́a a= (a b)’
Proceso con V1
Octave a = [2 0 -1 3 4; 1 0 0 -1 2; 0 1 0 0 -1]’ ;
Octave b = [2 1 -2 8 3]’ ;
Octave rref([a b])
ans =






1 0 0 2
0 1 0 −2
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0






En este caso α1 = 2, α2 = -2 y α3 = 1
Entonces, si usamos estos escalares en nuestra combinación lineal, nos deben dar un vector
que pertenece al subespacio, donde si es el mismo que el propuesto, este vector pertenece al
subespacio.
α1(2, 0, -1, 3, 4) + α2(1, 0, 0, -1, 2) + α3(0, 1, 0, 0, -1) = (a, b, c, d, e)
Entonces:
2(2, 0, −1, 3, 4) − 2(1, 0, 0, −1, 2) + 1(0, 1, 0, 0, −1) = (2, 1, −2, 8, 3)
(4, 0, −2, 6, 8) + (−2, 0, 0, 2, −4) + (0, 1, 0, 0, −1) = (2, 1, −2, 8, 3)
(2, 1, −2, 8, 3) = (2, 1, −2, 8, 3)
59

Como si resulto el mismo vector, se puede decir que:
v1 ∈ SW =
(2, 0,-1, 3, 4); (1, 0, 0,-1, 2); (0, 1, 0, 0,-1) ∈ R5
Proceso con V2
Octave a = [2 0 -1 3 4; 1 0 0 -1 2; 0 1 0 0 -1]’ ;
Octave b = [-1 12 3 -14 -1]’ ;
Octave rref([a b])
ans =






1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0






En este caso, el vector se comportó más como un sistema de incógnitas, por ende genero una
inconsistencia en sus resultados.
Entendemos que α1 = 0, α2 = 0 y α3 = 0
Además de indicarnos según inconsistencia de que 0 = 1, este comportamiento nos
anuncia que dicho vector no existe en el subespacio que se propuso en el ejercicio.
Entonces se puede decir que:
v2 /
∈ SW =
(2, 0,-1, 3, 4); (1, 0, 0,-1, 2); (0, 1, 0, 0,-1) ∈ R5
60

Proceso con V3
Octave a = [2 0 -1 3 4; 1 0 0 -1 2; 0 1 0 0 -1]’ ;
Octave b = [-1 12 3 -14 -14]’ ;
Octave rref([a b])
ans =






1 0 0 −3
0 1 0 5
0 0 1 12
0 0 0 0
0 0 0 0






Se tiene que que α1 = -3, α2 = 5 y α3 = 12
α1(2, 0, -1, 3, 4) + α2(1, 0, 0, -1, 2) + α3(0, 1, 0, 0, -1) = (a, b, c, d, e)
Entonces:
−3(2, 0, −1, 3, 4) + 5(1, 0, 0, −1, 2) + 12(0, 1, 0, 0, −1) = (−1, 12, 3, −14, −14)
(−6, 0, 3, −9, −12) + (5, 0, 0, −5, 10) + (0, 12, 0, 0, −12) = (−1, 12, 3, −14, −14)
(−1, 12, 3, −14, −14) = (−1, 12, 3, −14, −14)
Se puede decir que:
v3 ∈ SW =
(2, 0,-1, 3, 4); (1, 0, 0,-1, 2); (0, 1, 0, 0,-1) ∈ R5
61

Referencias
de Ecuaciones, I. S. (s.f.). I. matrices 1. definición de matriz y clases de matrices 2. opera-
ciones con matrices 3. matrices escalonadas y reducidas por filas 4. matriz inversa.
Grossman, S. I. (2008). Álgebra lineal. McGraw Hill Educación.
i Nogueras, G. B. (2005). Introducción informal a matlab y octave.
Jiménez, J. U., y Mesa, E. (2021). Introducción al uso de latex para la elaboración de
documentos en el ámbito de la ingenierı́a.
Agradecimientos
Le agrediecemos a la Escuela de Matemáticas y Ciencias Computacionales por la oportunidad
que ha proporcionado a los estudiantes de álgebra lineal en la aplicación de los conceptos
de la clase en problemas prácticso, es asi que el projecto nos impulso a desarrolar nuevas
habilidades en el software y en la materia, de tal manera que hemos aprendido a dar un
correcto uso el software de Octave y latex.
Además, agradecemos a nuestro docente Juan Riofrio que siempre nos acompaño con su
apoyo y guia en la resolución de los ejercicios, dandonos esos animos para seguir adelante
con el projecto y en la materia.
Finalmente, gracias a nuestro docente de teorı́a el profe Kevin Chamorro por su guı́a en las
clases, fueron estas bases teorı́cas las que fueron de ayuda para expresar conclusiones claras
en cada pregunta.
Porcentaje de participación de los miembros del Equipo
Diego Andres Torres Chantera: 100 %
Wilmer Steven Illescas Zhigue: 100 %
Alexis Patricio Valdivieso Ormaza: 50 %
62