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PROBABILIDADES.
1) Si P(A) = 5/8, P(B) = 3/4 y P(A|B) = 2/3,
calcular P(A|B’)
 P(A|B) = 2/3 = P(A∩B) / P(B)  P(A∩B) = ½
...
PROBABILIDADES.
2) Si P(B) = 3/15, P(B|A) = 1/5 y P(A ∩ B) =
1/15, calcular P(A ∩ B’)
 P(B|A) = 1/5 = P(A∩B) / P(A)  P(A...
PROBABILIDADES.
3) En una muestra de 120 loretanos se
encontró que el 60% sufre alguna
enfermedad, el 30% tienen al menos ...
SOLUCIÓN
A: >= 30 años B: < 30 años TOTAL
E: Enfermos 12 60 120*0.6 = 72
S: Sanos 24 120*0.2 = 24 48
TOTAL 120*0.3 = 36 84...
PROBABILIDADES.
4) De 200 clientes de crédito de una tienda
comercial, 100 tienen créditos menores que $200,
15 tienen cré...
SOLUCIÓN
Cdto <
$200
$200  Cdto <
$500
A: Cdto >=
$500
TOTAL
B: >= 4 años 55 30 5 90
< 4 años 45 55 10 110
TOTAL 100 85 1...
PROBABILIDADES.
5) En una encuesta de opinión se encontró
que el 25% de los electores votarían por el
candidato E. De los ...
SOLUCIÓN
 Sean lo eventos:
 E: que voten por E
 M: que sea mujer
 H: que sea hombre
 Datos
 P(E) = 0.25
 P(M|E’) = ...
PROBABILIDADES.
6) Un comerciante recibe para su venta 80
objetos, 2/5 del proveedor A y el resto del
proveedor B. El 12.5...
SOLUCIÓN
Para desarrollar este ejercicio podemos hacerlo de
dos formas para cada caso, pero primero calculemos
el número d...
SOLUCIÓN
De esta manera construimos la siguiente tabla:
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
...
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
1era forma de desarrollarlo – combinatorias
#ev...
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
2da forma de desarrollarlo – multiplicaciones
#...
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
b) 1era forma de desarrollarlo – combinatorias
...
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
2da forma de desarrollarlo – multiplicaciones
#...
PROBABILIDADES.
7) En horas de trabajo, una cervecería
utiliza dos máquinas embotelladoras M1
y M2, pero no operan simultá...
SOLUCIÓN
Sea el evento Mi “la máquina
i falle”; i=1,2
Datos
P(M1)= 0.2
P(M2/M1)= 0.3 “Dado que la
máquina 1 falló, la
prob...
PROBABILIDADES.
8) En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo
A y 40 de tipo B, se extraen del lote 5
artículos al azar un...
SOLUCIÓN
Podemos desarrollarlo por el
complemento, hallando la
probabilidad de que todos
sean B; y esto se le es restado
l...
PROBABILIDADES.
9) Solo una de las 10 llaves que lleva una
persona abre la cerradura de su puerta.
Él prueba las llaves un...
SOLUCIÓN
Este es un problema
desarrollado con variaciones
sin repetición, es sin
repetición porque el texto dice
que siemp...
PROBABILIDADES.
10) En una urna hay tres balotas numeradas
de 1 a 3. Las balotas se sacan al azar una
a una y sin reemplaz...
SOLUCIÓN
El problema quiere decir que
hallemos la probabilidad de
que obtengamos la balota1 en
el primer intento, la balot...
PROBABILIDADES.
11) Se prueba un lote de 48 focos uno por uno
(sin reposición). Si el lote contiene dos
defectuosos, ¿cuál...
SOLUCIÓN
Sean:
Di : Foco defectuoso extraído en
la prueba i, i=1,2,3
Bi : Foco no defectuoso extraído
en la prueba i, i=1,...
PROBABILIDADES.
12) La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos
bolas azules, mientras que la urna 2
contiene una bola roja y...
SOLUCIÓN
Veamos todas las posibilidades.
1) Que la primera bola
extraída de la urna 1 sea
roja.
P = 2/4 = 1/2
Y se coloca ...
SOLUCIÓN
La figura sería de esta forma
3) Por último la probabilidad
de extraer una bola roja de
la urna 1.
P = 2/4 = 1/2
...
SOLUCIÓN
Hallamos las probabilidades:
p = P(R1R2R1) + P(R1A2R1) +
P(A1A2R1) + P(A1R2R1) = 9/20
p = 9/20
PROBABILIDADES.
13) Una urna contiene 5 fichas rojas y
algunas fichas blancas. Se extrae al azar
una ficha de la urna y se...
SOLUCIÓN
Sean:
Ri : Ficha Roja extraída en la
extracción i, i = 1, 2
Bi : Ficha Blanca extraída en la
extracción i, i = 1,...
SOLUCIÓN
Reemplazando en la ecuación
Multiplicando por 2T2
Despejando
Como sabemos que T > 5, por lo
tanto T =10
La cantid...
PROBABILIDADES.
14) Para decidir si se acepta o no un lote de
12 objetos en donde existen 3 defectuosos,
se toman dos obje...
SOLUCIÓN
Sean:
D : Objeto defectuoso
B : Objeto bueno
Probabilidad de aceptar un lote
p = P(BB) + P(MB)
Primera posibilida...
PROBABILIDADES.
15) Si P(A) = 1/3 y P(A U B) = 11/21, calcular
P(B) si los eventos
a) A y B son excluyentes.
b) A y B son ...
PROBABILIDADES.
16) Sea el espacio muestral
Ω = {w1, w2, w3, w4}, donde,
P({w1}) = ¼, P({w2}) = ¼, P({w3}) = ¼,
P({w4}) = ...
SOLUCIÓN
 P(A) = P(B) = P(C) = ¼+¼= ½
 Si son independientes los eventos se tiene que cumplir que:
1. P(A∩B) = P(A).P(B)...
PROBABILIDADES.
18) Un negocio es tal que su probabilidad de éxito
es p. El negocio se realiza dos veces de manera
indepen...
PROBABILIDADES.
19) Pruebe que todo evento de probabilidad
cero o uno es independiente de cualquier
otro evento.
Si P(A) =...
PROBABILIDADES.
20) Suponga que una compañía utiliza un
procedimiento de prueba que es confiable en
98%. Es decir identifi...
SOLUCIÓN
a)Tenemos que hallar la
probabilidad de que un objeto
no defectuoso no sea
detectado.
Para que no sea detectado; ...
PROBABILIDADES.
21) Una urna contiene 10 objetos numerados
de 1 a 10. Un juego consiste en sacar
tales objetos y termina c...
SOLUCIÓN
a)A la vez:
b) Uno a uno sin reposición
c) Uno a uno con reposición
Respuestas
a) 0.5
b) 0.1
c) 94/105
PROBABILIDADES.
22) Se ha determinado que el porcentaje de
televidentes que ven los programas A, B
y C son respectivamente...
SOLUCIÓN
Sean
i : Ve el programa i.
i’: No ve el programa i.
Donde i = A, B , C
a) Dos de los tres programas
p = P(ABC’)+P...
PROBABILIDADES.
23) En una oficina hay dos computadoras A
y B que trabajan de manera
independiente. Si en un momento
cualq...
SOLUCIÓN
 Sean los eventos:
 A: La máquina A está en
mal estado
 B: La máquina B está en
mal estado
 Datos
 P(AB) + P...
PROBABILIDADES.
24) En los circuitos de las figuras que
siguen, la probabilidad de que cada llave
se cierre (pase corrient...
SOLUCIÓN
Sea:
Ci: La llave i esté cerrada.
Ai : La llave i esté abierta.
Donde i = 1,2,3
a) Todas las combinaciones
posibl...
SOLUCIÓN
Sea:
Ci: La llave i esté cerrada.
Ai : La llave i esté abierta.
Donde i = 1,2,3,4,5
a) Todas las combinaciones
po...
PROBABILIDADES.
25) Un experimento se realiza tantas veces en forma
independiente hasta obtener el primer éxito.
Suponga q...
SOLUCIÓN
Entonces tenemos que hallar la
probabilidad de tener éxito en
el primer, segundo y hasta el
tercer intento.
Sea, ...
PROBABILIDADES.
26) Calcular la probabilidad de que un
mensaje de n (n ≥ 1) dígitos binarios, (0,1)
sea incorrecto, si la ...
PROBABILIDADES.
27) Suponga que un sistema funciona si al
menos una de sus componente funciona.
Si las componentes trabaja...
SOLUCIÓN
Como el problema anterior,
podemos hallarlo mediante el
complemento de su probabilidad.
Entonces primero hallemos...
PROBABILIDADES.
28) Una persona está expuesta a 1 riesgo en
100 ocasiones independientes. Si la
probabilidad de que ocurra...
SOLUCIÓN
 Sean el evento:
 A: ocurre accidente
 A’ : no ocurre accidente
 P(A’) = 1 – P(A)
P(A’) = 1 – 1/100
P(A’) = 9...
PROBABILIDADES.
29) Un experimento aleatorio se repite
sucesivamente 10 veces en forma
independiente. En cada prueba la
pr...
SOLUCIÓN
Probabilidad de éxito E = 0.25
Probabilidad de fracaso F = 0.75
Posibilidades de tener 3 éxitos:
E1E2F3F4F5F6F7F...
PROBABILIDADES.
30) Respecto al partido de fútbol que
protagonizarán los equipos A y B el próximo
domingo se piensa lo sig...
PROBABILIDADES.
Si el marcador llega a ponerse dos a cero a favor
de cualquiera equipo la desmoralización de uno y
la apat...
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
Aij : A abrió el marcador y ha
metido i goles contra j goles de
B.
Bij : B abrió el marcador y ...
SOLUCIÓN
a) Regla de Probabilidad total
P(E) = P(A10) P(A11|A10) P(E|A11) + P(B10) P(B20|B10) P(E|B20) +
P(B10) P(B11|B10)...
PROBABILIDADES.
31) Suponga que en cierta región del país la
probabilidad de que un adulto mayor de
40 años tenga cáncer e...
SOLUCIÓN
a) Sea C “se le diagnostique
cáncer”
P(C) = P(A)P(B) + P(A’)P(B’)
P(C) = 0.05x0.80 + 0.95x0.20
P(C) = 0.23
B: Dia...
PROBABILIDADES.
32) Al contestar una pregunta de opción
múltiple de 5 alternativas, donde sólo
una es la respuesta correct...
SOLUCIÓN
a) Sea p la probabilidad de
contestar incorrectamente.
Entonces tiene que marcar al
azar y que se equivoque.
Mar...
PROBABILIDADES.
33) Sólo el 60% de la mercadería que recibe un
comerciante del fabricante A es de calidad
excepcional, mie...
SOLUCIÓN
Sean:
B : mercadería excepcional.
A1: mercadería de A
A2: mercadería de B
P(A1|B) = ?
P(B) = 0.7 x 0.6 + 0.3 x 0....
PROBABILIDADES.
34) En un proceso de producción el porcentaje
de objetos no defectuosos fabricados es
70% con probabilidad...
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A : Calidad del 70% , B : Calidad del 60% , C : Calidad del 90%
E : Objeto no defectuoso, P(B|E...
PROBABILIDADES.
35) El 100% de una población de electores se divide
en tres estratos sociales excluyentes: baja,
media y a...
SOLUCIÓN
 Sea:
 P(A): probabilidad que sea de
clase alta.
 P(M): probabilidad que sea de
clase media.
 P(B): probabili...
SOLUCIÓN
b)
2 x 0.4 x 0.6
0.48
El espacio muestral para esta
parte b) es:
Ω={D’D’; D’D;DD’;DD},
Siendo D’ la probabilidad ...
PROBABILIDADES.
36) Una máquina produce un tipo de objeto en
distintos periodos. Si la máquina está bien
ajustada en un pe...
SOLUCIÓN
Objetos
Buen Ajuste
(0.9)
Mal Ajuste
(0.1)
Pasan 25 x 0.8 = 20
25 x 0.6 = 15
No pasan 25 x 0.2 = 5
25 x 0.4 = 10
...
PROBABILIDADES.
37) El departamento de créditos de una tienda
comercial afirma que según sus experiencias
pasadas la proba...
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A: 20% clientes
B: 60% clientes
D: 2 al azar compran por más
de $50
P(A) = 0.3
P(B) = 0.7
Proba...
SOLUCIÓN
P(A|D) = 0.045
P(B|D) = 0.955
PROBABILIDADES.
38) A un candidato le han indicado que
obtendría el 60% de los votos con
probabilidad 0.2, el 45% de los v...
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A: que tenga el 60% de los votos
B: que tenga el 45% de los votos
C: que tenga el 70% de los vo...
SOLUCIÓN
De igual forma sería si perteneciesen a B o C, pero como las
personas son escogidas al azar tenemos que agregarle...
PROBABILIDADES.
39) Una agencia de publicidad observa que el 2%
de los compradores potenciales de un
producto ve su propag...
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
V: Vio la propaganda
NV: No Vio la propaganda
E : Compra el producto
A: Ve la propaganda por
pe...
SOLUCIÓN
P(E|V) = 1/3, dato del problema
Ahora solo nos faltaría calcular
P(E|NV).
Probabilidad Condicional
Reemplazamos t...
PROBABILIDADES.
40) Un gerente está a la espera de la llamada
telefónica de 3 de sus clientes para realizar un
negocio. La...
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
Ai: Llaman i clientes, i= 0,1,2,3 ; B: Realiza el negocio.
C: Llame cualquiera de los tres clie...
SOLUCIÓN
En este tipo de probabilidades siempre tenemos que colocarle ese
número combinatorio según corresponda el caso, p...
SOLUCIÓN
b) Tenemos que ver cual es la probabilidad más alta con respecto a
P(B), y esta es P(A1) P(B|A1) /P(B) = 0.0882/0...
Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.
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Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.

Solucionario de Manuel Cordova Zamora, del libro Estadistica Descriptiva e Inferencial. Solo del Capitulo 5 Probabilidad tercera parte de los ejercicios.

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Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.

  1. 1. PROBABILIDADES. 1) Si P(A) = 5/8, P(B) = 3/4 y P(A|B) = 2/3, calcular P(A|B’)  P(A|B) = 2/3 = P(A∩B) / P(B)  P(A∩B) = ½  Por definición: P(AB’) = P(A) - P(A∩B) = 5/8 – ½ = 1/8  Calculamos P(A|B’) P(A|B’) = P(A∩B’) / P(B’) = (1/8) / (1 – P(B)) = (1/8) / (1/4) P(A|B’) = 1/2
  2. 2. PROBABILIDADES. 2) Si P(B) = 3/15, P(B|A) = 1/5 y P(A ∩ B) = 1/15, calcular P(A ∩ B’)  P(B|A) = 1/5 = P(A∩B) / P(A)  P(A) = 1/3  Por definición: P(AB’) = P(A) - P(A∩B) = 1/3 – 1/15 = 4/15 P(AB’) = 4/15
  3. 3. PROBABILIDADES. 3) En una muestra de 120 loretanos se encontró que el 60% sufre alguna enfermedad, el 30% tienen al menos 30 años, y el 20% son menores de 30 años y sanos. Si uno de tales loretanos es escogido al azar, ¿cuál es la probabilidad a) De que sufra enfermedad y tenga al menos 30 años? b) De que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años?
  4. 4. SOLUCIÓN A: >= 30 años B: < 30 años TOTAL E: Enfermos 12 60 120*0.6 = 72 S: Sanos 24 120*0.2 = 24 48 TOTAL 120*0.3 = 36 84 120  a) 12/120 = 0.1  b) P(E|A) = P(E ∩ A) / P(A) = 12 /36 P(E|A) = 12/36
  5. 5. PROBABILIDADES. 4) De 200 clientes de crédito de una tienda comercial, 100 tienen créditos menores que $200, 15 tienen créditos de al menos $500, y 110 tienen créditos menores de 4 años. Además 30 clientes tienen créditos de al menos 4 años y de 200 a menos de $500, y 10 clientes tienen créditos de al menos $500 y menos de 4 años. a) Si se elige un cliente al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga crédito menos de 4 años si tiene saldo de crédito de menos de $200? b) Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de $500 o más?
  6. 6. SOLUCIÓN Cdto < $200 $200  Cdto < $500 A: Cdto >= $500 TOTAL B: >= 4 años 55 30 5 90 < 4 años 45 55 10 110 TOTAL 100 85 15 200  a) P( < 4 años| cdto < $200) = P(< 4 años ∩ cdto < $200) / P(cdto < $200) P( < 4 años| cdto < $200) = 45 / 100  b) posibilidades: {EF; FE} E: tiene saldo ≥ $500 dado que tiene al menos 4 años de crédito F: no tiene saldo ≥ $500 dado que tiene al menos 4 años de crédito  EF y FE son iguales en probabilidad  E: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 5 / 90  F: P(A’|B) = P(A’∩B) / P(B) = (55+30) / 89(n) 5/90 * 85/89 = 0.053  2*0.053 = 0.106 (n) : Se coloca 89 porque se considera que ya se eligió una persona antes en E y el total disminuye en uno (90 – 1 = 89)
  7. 7. PROBABILIDADES. 5) En una encuesta de opinión se encontró que el 25% de los electores votarían por el candidato E. De los que no votarían por E el 20% son mujeres y el resto son hombres. Además la probabilidad de que un elector elegido al azar sea hombre es 0.7. Si se elige un elector al azar y resulta mujer, ¿cuál es la probabilidad de que no vote por E?
  8. 8. SOLUCIÓN  Sean lo eventos:  E: que voten por E  M: que sea mujer  H: que sea hombre  Datos  P(E) = 0.25  P(M|E’) = 0.2  P(H|E’) = 0.8  P(H) = 0.7  P(E’|M) = ? P(E’|M) = P(E’).P(M|E’) / P(M) P(E’) = 1 – P(E) = 1 – 0.25 = 0.75 P(M) = 1 – P(H) = 1 – 0.7 = 0.3 Reemplazamos en la fórmula P(E’|M) = 0.75 x 0.2 / 0.3 P(E’|M) = 0.15 / 0.3 P(E’|M) = 0.5
  9. 9. PROBABILIDADES. 6) Un comerciante recibe para su venta 80 objetos, 2/5 del proveedor A y el resto del proveedor B. El 12.5% de objetos de cada proveedor son defectuosos. Si se hace una inspección de cuatro objetos escogidos al azar a la vez y si resultan a) Ser de B, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso? b) Tres defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los defectuosos provengan de A?.
  10. 10. SOLUCIÓN Para desarrollar este ejercicio podemos hacerlo de dos formas para cada caso, pero primero calculemos el número de objetos de cada proveedor y sus respectivos objetos defectuosos. # obj. Prov A = 80 * 2/5 = 32 # obj. Prov B = 80 – 32 = 48 #obj. Defectuosos de A = 32*12.5/100 = 4 #obj. Defectuosos de B = 48*12.5/100 = 6
  11. 11. SOLUCIÓN De esta manera construimos la siguiente tabla: Prov. Defectuosos Buenos Total A 4 28 32 B 6 42 48 Total 10 70 80 a) Calculamos su complemento, o sea hallar la probabilidad de que todos los objetos sean buenos. Y partimos de la fórmula de probabilidad:
  12. 12. SOLUCIÓN Prov. Defectuosos Buenos Total A 4 28 32 B 6 42 48 Total 10 70 80 1era forma de desarrollarlo – combinatorias #eventos totales, son todas las formas de elegir 4 objetos de los 48 que son de B. # eventos favorables, como estamos con el complemento serían todas las formas de elegir 4 objetos de los 42 buenos que tiene B.
  13. 13. SOLUCIÓN Prov. Defectuosos Buenos Total A 4 28 32 B 6 42 48 Total 10 70 80 2da forma de desarrollarlo – multiplicaciones #eventos totales = 48x47x46x45 = 4 669 920. (Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 48 objetos, para el segundo ya quedan 47 porque uno ya se eligió, para el tercero sería 46 y para el cuarto 45 objetos disponibles). # eventos favorables = 42x41x40x39 = 2 686 320. (Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 42 objetos elegibles, para el segundo ya quedan 41 porque uno ya se eligió, para el tercero sería 40 y para el cuarto 39 objetos elegibles). p = 1 - 2 686 320 /4 669 920 = 0.4248
  14. 14. SOLUCIÓN Prov. Defectuosos Buenos Total A 4 28 32 B 6 42 48 Total 10 70 80 b) 1era forma de desarrollarlo – combinatorias Eventos Totales De los 4 objetos, 3 son defectuosos ya sean de A y/o de B. Tenemos en total 10 objetos defectuosos de los cuales elegiremos 3 y el otro será objeto no defectuoso de los cuales hay en total 70. Eventos Favorables De los 4 objetos, 2 son defectuosos de A q tiene en total 4, el otro tiene que ser defectuoso de B que tiene en total 6 y el otro es no defectuoso del total de 70.
  15. 15. SOLUCIÓN Prov. Defectuosos Buenos Total A 4 28 32 B 6 42 48 Total 10 70 80 2da forma de desarrollarlo – multiplicaciones #eventos totales = 10x9x8x70 = 504 00. (Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 10 objetos defectuosos, para el segundo ya quedan 9 porque uno ya se eligió, para el tercero sería 8 y para el cuarto 70 objetos no defectuosos). # eventos favorables = x4x3x6x70 = 151 20 (Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 4 objetos defectuosos elegibles de A, para el segundo ya quedan 3 porque uno ya se eligió, para el tercero serían los 6 defectuosos de B y para el cuarto 70 objetos no defectuosos elegibles. Adicionalmente se le agrega la combinatoria de 3 en 2 que hace referencia de cuantas formas se puede elegir los 3 defectuoso de los dos de A). p = 151 20/ 504 00 = 0.3
  16. 16. PROBABILIDADES. 7) En horas de trabajo, una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras M1 y M2, pero no operan simultáneamente. La probabilidad de que la primera máquina se descomponga es 0.2. Si la primera máquina se descompone se enciende la segunda, la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.3. ¿Qué probabilidad hay de que el sistema embotellador no esté funcionando en las horas de trabajo?
  17. 17. SOLUCIÓN Sea el evento Mi “la máquina i falle”; i=1,2 Datos P(M1)= 0.2 P(M2/M1)= 0.3 “Dado que la máquina 1 falló, la probabilidad de que falle la máquina 2 es de 0.3” P(M1∩M2) = ? Definición de probabilidad condicional: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) Reemplazando con nuestros eventos P(M2/M1)=P(M2∩M1)/P(M1) Despejamos P(M2∩M1) = P(M2/M1)P(M1) P(M2∩M1) = 0.3 x 0.2 P(M2∩M1) = P(M1∩M2) = 0.06
  18. 18. PROBABILIDADES. 8) En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo A y 40 de tipo B, se extraen del lote 5 artículos al azar uno por uno sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de estos sea de tipo A?
  19. 19. SOLUCIÓN Podemos desarrollarlo por el complemento, hallando la probabilidad de que todos sean B; y esto se le es restado la unidad. Entonces la probabilidad de que todos los artículos sean B, o sea la combinatoria de 40 en 5 entre todos los casos posibles. Tenemos que restar de la unidad la probabilidad calculada, que da todos los casos donde al menos esté uno de tipo A. p = 0.69
  20. 20. PROBABILIDADES. 9) Solo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta. Él prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas. Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea escogida en el quinto intento.
  21. 21. SOLUCIÓN Este es un problema desarrollado con variaciones sin repetición, es sin repetición porque el texto dice que siempre prueba llaves de las que no ha elegido antes. Se define a la variación de k objetos tomados de n objetos distintos. Tenemos que tomar la variación de un total de 9 llaves incorrectas para elegir 4 incorrectas, para que la quinta sea la correcta; de un total de 10 en 5 casos posibles. p = 0.1
  22. 22. PROBABILIDADES. 10) En una urna hay tres balotas numeradas de 1 a 3. Las balotas se sacan al azar una a una y sin reemplazo. Si la balota numerada con r se saca en la r-ésima extracción se considera un éxito. Hallar la probabilidad de obtener un éxito.
  23. 23. SOLUCIÓN El problema quiere decir que hallemos la probabilidad de que obtengamos la balota1 en el primer intento, la balota2 en el segundo intento y la balota3 en el tercer intento. Entiéndase intento como un evento independiente uno del otro Bij = Balota i extraída en el intento j Sea: B11B32B23 , B31B22B13 , B21B12B33 P = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ P=1/2 No se considera a la posibilidad de B11B22B33, ya que aquí se tendrían tres éxitos en un solo intento.
  24. 24. PROBABILIDADES. 11) Se prueba un lote de 48 focos uno por uno (sin reposición). Si el lote contiene dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el último defectuoso se detecte en la tercera prueba?
  25. 25. SOLUCIÓN Sean: Di : Foco defectuoso extraído en la prueba i, i=1,2,3 Bi : Foco no defectuoso extraído en la prueba i, i=1,2,3 Tenemos 46 focos buenos y 2 defectuosos. De esta manera tenemos la siguiente probabilidad: p= P(D1B2D3) + P(B1D2D3) Entonces teniendo en cuenta que el evento se da sin reposición, se cumple las siguientes probabilidades: p = 0.0018 La probabilidad de que el último defectuoso se detecte en la tercera prueba es de 0.0018 ó 0.18%
  26. 26. PROBABILIDADES. 12) La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules, mientras que la urna 2 contiene una bola roja y tres azules. Una bola es seleccionada aleatoriamente de la urna 1 y colocada en la urna 2. Luego una bola es seleccionada al azar de la urna 2 y colocada en la urna 1. Si ahora una bola es seleccionada al azar de la urna 1, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja?.
  27. 27. SOLUCIÓN Veamos todas las posibilidades. 1) Que la primera bola extraída de la urna 1 sea roja. P = 2/4 = 1/2 Y se coloca en la urna 2. Entonces quedaría así: 2) Ahora que la segunda bola extraída de la urna 2 sea roja. P = 2/5 Y se coloca en la urna 1 Urna 1 Urna 2 Urna 1 Urna 2
  28. 28. SOLUCIÓN La figura sería de esta forma 3) Por último la probabilidad de extraer una bola roja de la urna 1. P = 2/4 = 1/2 La probabilidad para esa primera posibilidad es: P= 1/2 x 2/5 x 1/2 = 1/10 Entonces sean: Ri : Bola roja extraída de la urna i, i = 1,2 Ai : Bola azul extraída de la urna i, i = 1,2 La probabilidad total del evento es: p = P(R1R2R1) + P(R1A2R1) + P(A1A2R1) + P(A1R2R1) Urna 1 Urna 2
  29. 29. SOLUCIÓN Hallamos las probabilidades: p = P(R1R2R1) + P(R1A2R1) + P(A1A2R1) + P(A1R2R1) = 9/20 p = 9/20
  30. 30. PROBABILIDADES. 13) Una urna contiene 5 fichas rojas y algunas fichas blancas. Se extrae al azar una ficha de la urna y se reemplaza por una del otro tipo. Luego se saca de la urna una segunda ficha. Determinar el numero de fichas blancas en la urna si se sabe que la probabilidad de que la segunda ficha sea roja es 0.5.
  31. 31. SOLUCIÓN Sean: Ri : Ficha Roja extraída en la extracción i, i = 1, 2 Bi : Ficha Blanca extraída en la extracción i, i = 1, 2 Tenemos P(R1R1) + P(B1R1) = 1/2 Además sea T la cantidad de bolas en total que contiene la urna. Si la primera Bola extraída es roja = 5/T Se cambió una roja por una blanca, quedando solo 4 rojas. Si la segunda Bola extraída también es roja = 4/T ó Si la primera Bola extraída es blanca = T-5/T Se cambió una blanca por una roja, teniendo ahora 6 rojas. Si la segunda Bola extraída es roja = 6/T
  32. 32. SOLUCIÓN Reemplazando en la ecuación Multiplicando por 2T2 Despejando Como sabemos que T > 5, por lo tanto T =10 La cantidad total de fichas son 10 y como 5 son rojas, entonces la cantidad de fichas blancas son 5. Rpta.- 5 fichas blancas
  33. 33. PROBABILIDADES. 14) Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos en donde existen 3 defectuosos, se toman dos objetos la azar y a la vez. Si los dos son defectuosos, se rechaza el lote; si los dos son buenos se acepta el lote; y si solo uno es bueno se toman otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote.
  34. 34. SOLUCIÓN Sean: D : Objeto defectuoso B : Objeto bueno Probabilidad de aceptar un lote p = P(BB) + P(MB) Primera posibilidad Segunda Posibilidad. Si el primero sale malo y el segundo bueno es Ahora nos quedan 10 objetos (8 buenos y 2 defectuosos), puede ser que salga uno malo y otro bueno ó que salgan dos buenos de los ocho que aún quedan. En total tenemos: p = 0.545 + 0.4 = 0.945 p = 0.945
  35. 35. PROBABILIDADES. 15) Si P(A) = 1/3 y P(A U B) = 11/21, calcular P(B) si los eventos a) A y B son excluyentes. b) A y B son independientes. a) Excluyentes P(A U B) = P(A) + P(B) 11/21 = 1/3 + P(B) P(B) = 4/21 b) Independientes P(AUB)=P(A)+P(B)–P(A∩B) P(AUB)=P(A)+P(B)–P(A).P(B) 11/21 = 1/3 + P(B) – 1/3P(B) P(B) = 4/21
  36. 36. PROBABILIDADES. 16) Sea el espacio muestral Ω = {w1, w2, w3, w4}, donde, P({w1}) = ¼, P({w2}) = ¼, P({w3}) = ¼, P({w4}) = ¼. Sean los eventos A = {w1, w2}, B = {w1, w3}, C = {w1, w4}, ¿Son los eventos A, B y C independientes?.
  37. 37. SOLUCIÓN  P(A) = P(B) = P(C) = ¼+¼= ½  Si son independientes los eventos se tiene que cumplir que: 1. P(A∩B) = P(A).P(B)  P(A∩B) = w1 = ¼ = P(A).P(B) = ½x½ = ¼ 2. P(A∩C) = P(A).P(C)  P(A∩C) = w1 = ¼ = P(A).P(C) = ½x½ = ¼ 3. P(B∩C) = P(B).P(C)  P(B∩C) = w1 = ¼ = P(B).P(C) = ½x½ = ¼ 4. P(A∩B ∩C) = P(A).P(B).P(C)  P(A∩B ∩C) = w1 = ¼  P(A).P(B).P(C) = ½x½x½ = 1/8.  No cumple con la última condición, así que los eventos A, B y C no son independientes w1 w2 w3 w4
  38. 38. PROBABILIDADES. 18) Un negocio es tal que su probabilidad de éxito es p. El negocio se realiza dos veces de manera independiente, ¿Qué valor de p hace máxima la probabilidad de obtener éxito una sola vez? Sea el espacio muestral, Ω = {EE,EF,FE,FF}, donde E: éxito y F: fracaso Probabilidad = P = EF + FE = p(1-p) + (1-p)p  máximo 2p(1-p) = máximo , ¿qué valor de “p” maximiza la ecuación? Sea P = 2p – 2p2 , para hallar el máximo valor derivamos con respecto a “p” e igualamos a cero (0) 2 – 4p = 0 p=1/2
  39. 39. PROBABILIDADES. 19) Pruebe que todo evento de probabilidad cero o uno es independiente de cualquier otro evento. Si P(A) = 0, de A∩BA, P(A∩B) = 0 = P(A).P(B) Si P (A) = 1, de P(B) = P(A∩B) + P(ACB), P(A∩B)=P(B)= P(A).P(B), ya que P(ACB)  P(AC) = 0
  40. 40. PROBABILIDADES. 20) Suponga que una compañía utiliza un procedimiento de prueba que es confiable en 98%. Es decir identifica correctamente a un objeto como defectuoso o no defectuoso con una probabilidad de 0.98. En un esfuerzo por reducir la probabilidad de error a cada objeto se somete a dos pruebas independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuoso no pase ambas pruebas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de que no pase por lo menos una de las dos pruebas?
  41. 41. SOLUCIÓN a)Tenemos que hallar la probabilidad de que un objeto no defectuoso no sea detectado. Para que no sea detectado; el procedimiento tiene que fracasar en las dos pruebas. La probabilidad de fracaso(F) es de 0.02 (1-0.98). Entonces: Fprueba1 = 0.02 Fprueba2 = 0.02 F1F2 = 0.02 x 0.02 = 0.0004 b)Tenemos que hallar la probabilidad de que un objeto defectuoso sea detectado en al menos en una prueba. Sea: E (éxito) – F (fracaso) E1E2 + F1E2 + E1F2 Eprueba1 = 0.98 Eprueba2 = 0.98 0.98x0.98+0.02x0.98+0.98x0.02 0.9996
  42. 42. PROBABILIDADES. 21) Una urna contiene 10 objetos numerados de 1 a 10. Un juego consiste en sacar tales objetos y termina cuando sale el numerado con uno. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego termine si se sacan al azar 5 objetos a) a la vez? b) uno a uno sin reposición? c) uno a uno con reposición?
  43. 43. SOLUCIÓN a)A la vez: b) Uno a uno sin reposición c) Uno a uno con reposición Respuestas a) 0.5 b) 0.1 c) 94/105
  44. 44. PROBABILIDADES. 22) Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, B y C son respectivamente 0.4, 0.5 y 0.3. Cada televidente ve los programas independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de tales televidentes, ¿qué probabilidad hay de que vea a) dos de los tres programas? b) al menos uno de los tres programas?
  45. 45. SOLUCIÓN Sean i : Ve el programa i. i’: No ve el programa i. Donde i = A, B , C a) Dos de los tres programas p = P(ABC’)+P(AB’C) + P(A’BC) p = 0.4x0.5x0.7 + 0.4x0.5x0.3 + 0.6x0.5x0.3 p = 0.29 b) Al menos uno de los tres programas Se puede desarrollar a través de la probabilidad complementaria, o sea de que no vea ningún programa. p = 1 - P(A’B’C’) p = 1 - 0.6x0.5x0.7 = 0.79 p= 0.79
  46. 46. PROBABILIDADES. 23) En una oficina hay dos computadoras A y B que trabajan de manera independiente. Si en un momento cualquiera la probabilidad de que la máquina B esté en mal estado es ¼ y la probabilidad de que solo la máquina A esté en mal estado es 3/10 , ¿Cuál es la probabilidad de que solo la máquina B esté en malas condiciones?
  47. 47. SOLUCIÓN  Sean los eventos:  A: La máquina A está en mal estado  B: La máquina B está en mal estado  Datos  P(AB) + P(A’B) = ¼  P(AB’) = 3/10  Piden hallar: P(A’B) = ?  P(A)xP(B) + P(A’)xP(B) = ¼ P(B) x (P(A)+P(A’)) = ¼ P(B) x (1) = ¼ P(B) = ¼  P(A) x P(B’) = 3/10 P(A) x (1-P(B)) = 3/10 P(A) x (3/4) = 3/10 P(A) = 4/10 P(A’)xP(B)=6/10x1/4 = 3/20  * Nota: P(A’B) quiere decir , probabilidad de que A no esté malograda y que B si lo esté.  Para eventos independientes P(AB) = P(A) x P(B)
  48. 48. PROBABILIDADES. 24) En los circuitos de las figuras que siguen, la probabilidad de que cada llave se cierre (pase corriente) es p, 0 < p < 1. Si todas las llaves se cierran o abren en forma independiente, calcular la probabilidad de que la corriente pase de E a S en a), y b). 1 2 3 SEa) 1 2 3 4 5 SEb)
  49. 49. SOLUCIÓN Sea: Ci: La llave i esté cerrada. Ai : La llave i esté abierta. Donde i = 1,2,3 a) Todas las combinaciones posibles para que circule corriente de E a S.  P(C1C2C3)  P(C1A2A3)  P(C1A2C3)  P(C1C2A3)  P(A1C2C3) Además P(Ci) = p , P(Ai) = 1- p Calculando  P(C1C2C3) = p x p x p  P(C1A2A3) = p x (1-p) x (1-p)  P(C1A2C3) = p x (1-p) x p  P(C1C2A3) = p x p x (1-p)  P(A1C2C3) = (1-p) x p x p Resolviendo y simplificando p + p2 - p3 = p(1 + p - p2)
  50. 50. SOLUCIÓN Sea: Ci: La llave i esté cerrada. Ai : La llave i esté abierta. Donde i = 1,2,3,4,5 a) Todas las combinaciones posibles para que circule corriente de E a S.  P(C1C2C3C4C5)  P(C1C2C3C4A5)  P(C1C2C3A4C5)  P(C1C2C3A4A5)  P(C1C2A3C4C5)  P(C1A2C3C4C5)  P(C1A2A3C4C5) Calculando P(C1C2C3C4C5) = p5 P(C1C2C3C4A5) = p4(1-p) P(C1C2C3A4C5) = p4(1-p) P(C1C2C3A4A5) = p3(1-p)2 P(C1C2A3C4C5) = p4(1-p) P(C1A2C3C4C5) = p4(1-p) P(C1A2A3C4C5) = p3(1-p)2 Sumando y simplificando 2p3 – p5
  51. 51. PROBABILIDADES. 25) Un experimento se realiza tantas veces en forma independiente hasta obtener el primer éxito. Suponga que en cada intento la probabilidad de que se tenga el éxito, es de 0.95 si se siguen correctamente las instrucciones; y es de 0.20 si no se siguen correctamente las instrucciones. Calcular la probabilidad de alcanzar el éxito en tres intentos a lo más a) si se siguen correctamente las instrucciones cada vez. b) si no se siguen correctamente las instrucciones cada vez.
  52. 52. SOLUCIÓN Entonces tenemos que hallar la probabilidad de tener éxito en el primer, segundo y hasta el tercer intento. Sea, donde i = 1,2,3 Ei : Éxito en el intento i Pi : Fracaso en el intento i p =P(E1) + P(F1E2) + P(F1F2E3) a) P(Ei) = 0.95 , P(Fi) = 0.05 p = 0.95 + 0.05x0.95 + 0.052x0.95 p = 0.999875 b) P(Ei) = 0.2 , P(Fi) = 0.8 p = 0.2 + 0.8x0.2 + 0.82x0.2 p = 0.488
  53. 53. PROBABILIDADES. 26) Calcular la probabilidad de que un mensaje de n (n ≥ 1) dígitos binarios, (0,1) sea incorrecto, si la probabilidad de recibir un dígitos incorrecto es p y si los dígitos se reciben en forma independiente. Se puede resolver utilizando la probabilidad complementaria, es decir primero hallamos la probabilidad de que el mensaje sea correcto. Sea p0, la probabilidad de que el mensaje sea correcto: p0 = (1-p)x(1-p)x(1-p)x….x(1-p) ( “n” veces) = (1-p)n Entonces la probabilidad de tener el mensaje incorrecto es restar de la unidad lo calculado anteriormente: 1 - (1-p)n
  54. 54. PROBABILIDADES. 27) Suponga que un sistema funciona si al menos una de sus componente funciona. Si las componentes trabajan independientemente y si la probabilidad que falle cada una es de 0.01, ¿cuántas componente debería tener el sistema para que no falle con probabilidad de 0.9999?.
  55. 55. SOLUCIÓN Como el problema anterior, podemos hallarlo mediante el complemento de su probabilidad. Entonces primero hallemos la probabilidad de que todas las piezas del sistema fallen. p0 = 0.01x0.01x…x0.01 = 0.01n donde : n : cantidad de componentes que tiene el sistema. p0 : probabilidad de que el sistema falle. Sea P la probabilidad de que el sistema no falle. P = 1 – p0 = 1 - 0.01n P = 0.9999 = 1 - 0.01n 0.9999 = 1 - 0.01n 0.0001 = 0.01n 0.012 = 0.01n Bases iguales exponentes iguales, por los tanto n = 2. Rpta._ El sistema debe tener 2 componentes para que no falle con dicha probabilidad.
  56. 56. PROBABILIDADES. 28) Una persona está expuesta a 1 riesgo en 100 ocasiones independientes. Si la probabilidad de que ocurra un accidente es 1/100 cada vez, hallar la probabilidad de que un accidente ocurra en una o más ocasiones.
  57. 57. SOLUCIÓN  Sean el evento:  A: ocurre accidente  A’ : no ocurre accidente  P(A’) = 1 – P(A) P(A’) = 1 – 1/100 P(A’) = 99/100 Como vemos en la figura estamos hallando la probabilidad de que no ocurra accidentes en las 100 ocasiones, con lo que la probabilidad total sería: (99/100)^100 Entonces la probabilidad de que ocurra uno o más accidentes es: 1 – (99/100)^100 = 0.634 2 1 3 99 100 99 x 99 x 99 x …. x 99 x 99 100 100 100 100 100
  58. 58. PROBABILIDADES. 29) Un experimento aleatorio se repite sucesivamente 10 veces en forma independiente. En cada prueba la probabilidad de éxito es ¼. Calcular la probabilidad de que ocurran 3 éxitos si el último intento debe ser un éxito.
  59. 59. SOLUCIÓN Probabilidad de éxito E = 0.25 Probabilidad de fracaso F = 0.75 Posibilidades de tener 3 éxitos: E1E2F3F4F5F6F7F8F9E10 E1F2E3F4F5F6F7F8F9E10 E1F2F3E4F5F6F7F8F9E10 …… etc. Todas las posibilidades están contenidas en el número combinatorio siguiente: Se toman 9 en 2, porque el último siempre tiene que ser éxito; entonces no se toma en cuenta por siempre tener esa posición fija. Calculamos lo que pide el problema. p = (0.25)3(0.75) 7 p = 0.07508
  60. 60. PROBABILIDADES. 30) Respecto al partido de fútbol que protagonizarán los equipos A y B el próximo domingo se piensa lo siguiente: De todas maneras se abrirá el marcador y cualquiera de los dos equipos tiene igual probabilidad de hacerlo. Si A anota el primer gol, la probabilidad de que el próximo también sea de A es 2/3 contra 1/3 de B; en cambio si B es el que anota, primero el gol, habrá un segundo gol que puede ser con igual probabilidad para cualquier bando.
  61. 61. PROBABILIDADES. Si el marcador llega a ponerse dos a cero a favor de cualquiera equipo la desmoralización de uno y la apatía del otro impedirán que haya más goles; en cambio si llega a ponerse 1-1, puede ocurrir tres cosas con iguales probabilidades: que A anote y gane 2-1, que B anote y gane 2-1 o que no haya más goles. Calcular: a) La probabilidad de que B gane. b) La probabilidad de que B haya abierto el marcador dado que ganó el partido.
  62. 62. SOLUCIÓN Sean los eventos: Aij : A abrió el marcador y ha metido i goles contra j goles de B. Bij : B abrió el marcador y ha metido i goles contra j goles de A. E : B vencedor del partido Dibujamos el diagrama de árbol
  63. 63. SOLUCIÓN a) Regla de Probabilidad total P(E) = P(A10) P(A11|A10) P(E|A11) + P(B10) P(B20|B10) P(E|B20) + P(B10) P(B11|B10) P(E|B11) P(E) = ½ x 1/3 x 1/3 + ½ x ½ x 1 + ½ x ½ x 1/3 P(E) = 14 / 36 = 0.3889 b) Teorema de Bayes Rpta._ 0.8571
  64. 64. PROBABILIDADES. 31) Suponga que en cierta región del país la probabilidad de que un adulto mayor de 40 años tenga cáncer es 0.05. La probabilidad de que el diagnóstico sea correcto es 0.8, y de que sea errado es 0.20. Si se elige al azar a una de esas personas, calcular la probabilidad de que. a) Se le diagnostique cáncer. b) Si se le diagnostica cáncer, tenga realmente tal enfermedad.
  65. 65. SOLUCIÓN a) Sea C “se le diagnostique cáncer” P(C) = P(A)P(B) + P(A’)P(B’) P(C) = 0.05x0.80 + 0.95x0.20 P(C) = 0.23 B: Diag. Correcto B’: Diag. Incorrecto TOTAL A: > 40 años con cáncer 0.80 x 0.05 = 0.04 0.20 x 0.05 = 0.01 0.05 A’: > 40 años sin cáncer 0.8 x 0.95 = 0.76 0.20 x 0.95 = 0.19 0.95 TOTAL 0.80 0.20 1.00 b) Se sabe que se le diagnóstico cáncer (0.23), y esta probabilidad está compuesta por: que realmente tenga cáncer (0.04) ó que no lo tenga (0.19). p = 0.04/0.23 p = 0.1739
  66. 66. PROBABILIDADES. 32) Al contestar una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas, donde sólo una es la respuesta correcta, un estudiante o bien conoce la respuesta o él responde al azar. La probabilidad de que conozca la respuesta 0.6 y de que responda al azar es de 0.4. a) Calcular la probabilidad de que conteste incorrectamente. b) Si contesta correctamente, calcular la probabilidad de que no conozca la respuesta.
  67. 67. SOLUCIÓN a) Sea p la probabilidad de contestar incorrectamente. Entonces tiene que marcar al azar y que se equivoque. Marcar al azar = 0.4 Respuesta correcta = 0.2, entonces la incorrecta es 1 – 0.2 = 0.8 p = 0.4 x 0.8 = 0.32 p = 0.32 b) P(A2|B) = ? A1: conoce la respuesta A2: no conoce la respuesta (marca al azar) B : marcar correctamente P(A2|B) = 0.1176
  68. 68. PROBABILIDADES. 33) Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de fabricación del fabricante B es limitada, y, por esta razón sólo el 30% de la mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, el 70% la adquiere de A. Se inspecciona un embarque que acaba de llegar y se encuentra que es de calidad excepcional, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A?
  69. 69. SOLUCIÓN Sean: B : mercadería excepcional. A1: mercadería de A A2: mercadería de B P(A1|B) = ? P(B) = 0.7 x 0.6 + 0.3 x 0.9 P(B) = 0.69 P(A1)P(B|A1) = 0.7 x 0.6 = 0.42 P(A1|B) = 0.6087
  70. 70. PROBABILIDADES. 34) En un proceso de producción el porcentaje de objetos no defectuosos fabricados es 70% con probabilidad de 0.35, 90% con probabilidad 0.25, y 60% con probabilidad 0.4. Si se selecciona al azar uno de tales objetos y si resulta no defectuoso, calcular la probabilidad de que sea de calidad del 90% no defectuoso.
  71. 71. SOLUCIÓN Sean los eventos: A : Calidad del 70% , B : Calidad del 60% , C : Calidad del 90% E : Objeto no defectuoso, P(B|E) = ? Regla de Probabilidad Total P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) P(E) = 0.35x0.7 + 0.25x0.9 + 0.4x0.76 = 0.71 P(E) = 0.71 Teorema de Bayes P(B|E) = 0.3169
  72. 72. PROBABILIDADES. 35) El 100% de una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes: baja, media y alta; de manera que la clase baja o media son el 90% del total, y la clase media o alta el 40% del total. De los primeros sondeos realizados para las próximas elecciones, se afirma que el porcentaje de electores que votarían por el candidato D puede ser: 30% de clase baja, 50% de clase media y 70% de clase alta. a) Si se elige un elector al azar y se encuentra que vota por D, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la clase alta? b) Si se escogen dos electores al azar, ¿qué probabilidad hay de que uno de ellos vote por D?
  73. 73. SOLUCIÓN  Sea:  P(A): probabilidad que sea de clase alta.  P(M): probabilidad que sea de clase media.  P(B): probabilidad que sea de clase baja.  P(D): probabilidad de se vote por el candidato D Datos P(B U M) = 90%  P(A)=10% P(M U A) = 40%  P(B)=60%  P(M)=30% P(D|B)=0.3 , P(D|M)= 0.5 P(D|A)= 0.7 a) P(A|D)=? P(A|D) = ( P(A) x P(D|A) ) / P(D) Hallamos P(D) por la regla de bayes. P(D) = P(A)x P(D|A) + P(B)x P(D|B) + P(M)x P(D|M) P(D) = 0.1x0.7 + 0.6x0.3 + 0.3x0.5 P(D) = 0.4  P(A|D) = ( 0.1 x 0.7 ) / 0.4 = 0.175  P(A|D) = 0.175
  74. 74. SOLUCIÓN b) 2 x 0.4 x 0.6 0.48 El espacio muestral para esta parte b) es: Ω={D’D’; D’D;DD’;DD}, Siendo D’ la probabilidad de que no se vote por el candidato D.
  75. 75. PROBABILIDADES. 36) Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina está bien ajustada en un periodo, el 80% de los objetos producidos pasan el control de calidad de otro modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado que el 90% de los periodos la máquina está bien ajustada. De los 25 objetos producidos en un solo periodo se escogen 3 al azar y a la vez para el control de calidad. a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad? b) Si solo dos pasan el control de calidad ¿qué probabilidad se tiene que haya sido producido cuando la máquina trabaja en un periodo de buen ajuste?
  76. 76. SOLUCIÓN Objetos Buen Ajuste (0.9) Mal Ajuste (0.1) Pasan 25 x 0.8 = 20 25 x 0.6 = 15 No pasan 25 x 0.2 = 5 25 x 0.4 = 10 b) Es probabilidad Condicional Sea B: Pasan 2 objetos el control A: máquina trabaja en buen ajuste p = 855/960 p = 0.8906 a) De que solo dos pasen el control de calidad Obteniendo p = 960/2300 p = 0.4174
  77. 77. PROBABILIDADES. 37) El departamento de créditos de una tienda comercial afirma que según sus experiencias pasadas la probabilidad de que el 20% de los clientes que compran por más de $50 es igual a 0.3 y que la probabilidad de que el 60% de los clientes compren por más de $50 es igual a 0.7. Sin embargo al entrevistar a dos clientes al azar se encuentra que los dos compraron por más de $50. En base a este resultado, ¿qué modificación acerca de las probabilidades 0.3 y 0.7 deberá hacer la tienda comercial?
  78. 78. SOLUCIÓN Sean los eventos: A: 20% clientes B: 60% clientes D: 2 al azar compran por más de $50 P(A) = 0.3 P(B) = 0.7 Probabilidades Modificadas P(A|D) = ? P(B|D) = ? Veamos Si se escogen dos clientes de A, la probabilidad de D sería D = 0.2x0.2 = 0.04 Si se escogen dos clientes de B, la probabilidad de D sería D = 0.6x0.6 = 0.36 Pero como es al azar pueden ser de cualquiera inclusive de ambos, así que tenemos: P(D) = 0.3x0.04 + 0.7x0.36 P(D) = 0.012 + 0.252 = 0.264
  79. 79. SOLUCIÓN P(A|D) = 0.045 P(B|D) = 0.955
  80. 80. PROBABILIDADES. 38) A un candidato le han indicado que obtendría el 60% de los votos con probabilidad 0.2, el 45% de los votos con probabilidad de 0.3 y el 70% de los votos con probabilidad 0.5. Después de preguntarle a 4 personas se obtiene que 2 de ellas votarían por el candidato. A la luz de este resultado, ¿cuál es la probabilidad de que el candidato obtenga el 60% de los votos?
  81. 81. SOLUCIÓN Sean los eventos: A: que tenga el 60% de los votos B: que tenga el 45% de los votos C: que tenga el 70% de los votos E: 2 de 4 personas votarían por este candidato. P(A) = 0.2 , P(B) = 0.3, P(C) = 0.5 Hallar P(A|E) = ? De cuantas manera podemos elegir 2 de 4 personas, eso está contenido en el siguiente número combinatorio. Estas personas pueden pertenecer a A, B o C. Suponemos de que si las 4 personas son de A P(E) = x 0.62 x 0.42
  82. 82. SOLUCIÓN De igual forma sería si perteneciesen a B o C, pero como las personas son escogidas al azar tenemos que agregarle la probabilidad de que estas pertenezcan a A,B o C; entonces esto quedaría (Regla de la probabilidad total): P(E) = 0.3117 Teorema de Bayes P(A|E) = 0.2218
  83. 83. PROBABILIDADES. 39) Una agencia de publicidad observa que el 2% de los compradores potenciales de un producto ve su propaganda por periódico, el 20% ve dicha propaganda por televisión y el 1%ve los dos tipos de propaganda. Además de cada tres que ven la propaganda uno compra dicho producto y el 7.9% compran y no ven la propaganda. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial compre dicho producto? b) Si un comprador potencial compra el producto, ¿cuál es la probabilidad de que no haya visto la propaganda?
  84. 84. SOLUCIÓN Sean los eventos: V: Vio la propaganda NV: No Vio la propaganda E : Compra el producto A: Ve la propaganda por periódico B: Ve la propaganda por TV a) P(E) = ? Regla de la Probabilidad Total Para hallar P(V), usamos la Regla de Adición de Eventos P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(AUB) = 0.02 + 0.20 – 0.01 P(AUB) = 0.21 P(V) = P(AUB) = 0.21 P(V) = 0.21 Con esto hallamos P(NV) P(NV) = 1 – P(V) = 1- 0.21 P(NV) = 0.79
  85. 85. SOLUCIÓN P(E|V) = 1/3, dato del problema Ahora solo nos faltaría calcular P(E|NV). Probabilidad Condicional Reemplazamos todos los datos P(E) = 0.21(1/3) + 0.79(1/10) P(E) = 0.149 b) P(NV|E) = ? Teorema de Bayes P(NV|E) = 0.5302
  86. 86. PROBABILIDADES. 40) Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus 3 clientes en forma independiente es 0.3. Además la probabilidad de realizar el negocio es de 0.20 si llama un cliente, es de 0.4 si llaman dos clientes, y es de 0.8 si llaman los 3 clientes. Si ninguno de los 3 le llama, no realiza el negocio. a) Calcular la probabilidad de que realice el negocio. b) ¿cuántas llamadas de clientes es más probables que haya recibido el gerente sabiendo que realizó el negocio?
  87. 87. SOLUCIÓN Sean los eventos: Ai: Llaman i clientes, i= 0,1,2,3 ; B: Realiza el negocio. C: Llame cualquiera de los tres clientes Datos del problema P(B|A0) = 0, P(B|A1) = 0.2, P(B|A2) = 0.4, P(B|A3) = 0.8 P(C) = 0.3 a) P(B) = ? - Regla de Probabilidad Total P(B) = P(A0) P(B|A0) + P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + P(A3) P(B|A3)
  88. 88. SOLUCIÓN En este tipo de probabilidades siempre tenemos que colocarle ese número combinatorio según corresponda el caso, porque con eso cubrimos todas las posibilidades de ocurrencia que puedan existir. Reemplazamos los valores en la ecuación: P(B) = 0.1854
  89. 89. SOLUCIÓN b) Tenemos que ver cual es la probabilidad más alta con respecto a P(B), y esta es P(A1) P(B|A1) /P(B) = 0.0882/0.1854, con un 47%. Rpta._ Sabiendo que realizó el negocio, es más probable que el gerente reciba una llamada 47% 41% 12% 0.0882/0.1854 0.0756/0.1854 0.0216/01854

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