1. 1
УВОД У ГЕОМЕТРИЈУ
Основни појмови у геометрији су:
§ – тачке (означавају се са : А, B, C,…, P, Q, R,..)
§ – праве (означавају се са : a, b, c,…, p, q, r,…)
§ – равни (означавају се са : α, β, γ,..., π,..)
Основне релације у геометрији су:
₪ – подударност (означава се са ≅ )
₪ – између (
означавају се са : A – B – C )
Изведени појмови у геометрији су нови појмови који се уводе користећи основне
појмове.
Дефиницијама се уводе нови појмови тзв. изведени појмови.
Аксиома је основно тврђење (став) које се усваја без доказивања
Теорема је изведено тврђење (став) које се доказује на основу аксиома и
дефиниција.
2. 2
Тачка, права и раван
A∈p
A∉ p
р⊂α
р⊄α
чита се “ тачка А припада правој р”
чита се “ тачка А не припада правој р”
чита се “ права р припада равни α”
чита се “ права р не припада равни α”
Дефиниција 1: За три и више тачака које припадају истој правој кажемо да су
колинеарне, у супротном да су неколинеарне.
С
q
P
М
А
р
N
{A, B, C} ⊂ p
Дефиниција 2:
{M, N, P} ⊄ q
За четири и више тачке које припадају истој равни кажемо да су
компланарне, у супротном да су некомпланарне.
P
A
C
B
{A, B, C, D} ⊂ α
D
α
Q
M
N
{M, N, P, Q} ⊄ β
β
3. 3
I АКСИОМЕ ПРИПАДАЊА
А1: Свака права садржи најмање две различите тачке.
Постоје три неколинеарне тачке.
А2: Сваке две различите тачке одређују једну праву.
А3: Сваке три неколинеарне тачке одређују једну раван.
А4: Свака раван садржи најмање три неколинеарне тачке.
Постоје четири некомпланарне тачке.
А5: Ако две тачке неке праве припадају некој равни, онда и све остале
тачке те праве припадају тој равни.
А6:
Ако две равни имају заједничку тачку онда оне имају заједничку праву.
II Аксиома паралелности:
Кроз дату тачку пролази највише једна права паралелна датој прави.
M∈p
q
M
p
M∈q ∧
q||p
4. 4
ДВЕ ПРАВЕ
За две праве кажемо да:
→ се секу ако имају тачно једну заједничку праву;
р
q
T
p ∩ q = {T}
→ су паралелне ако припадају једној равни и немају ниједну заједничку
тачку;
(m ⊂ α) ∧ (n ⊂ α) ∧ (m ∩n = ∅)
m
n
m n
α
→ се поклапају или да су јаднаке ако имају најмање две заједничке тачке;
→ су мимоилазне ако не припадају истој равни.
Теорема1: Свака права а и произвољна тачка В, која не припада прави а, одређују
тачно једну раван (сл.1)
Теорема2: Ма које две праве а и b које се секу, одређују таћно једну раван (сл.2)
Теорема3: Ма које две паралелне праве а и b, одређују таћно једну раван (сл.3)
b
C
B
сл.1
a
a
А
α
b
M
α
α
сл.2
сл.3
5. 5
ДВЕ РАВНИ
За две равни кажемо да:
→ се секу ако имају најмање две заједничке тачке, тј. њихов пресек је права;
β
p
α ∩ β =p
α
→ су паралелне ако немају заједничку тачку;
β
α β
α
→ се поклапају или су једнаке, ако имају најмање заједничке три
неколинеарне тачке.
6. 6
ПРАВА И РАВАН
За праву и раван кажемо да:
→ права продире раван ако са њом има тачно једну заједничку тачку;
p
α
T
p ∩ α = {T}
→ права је паралелна са равни ако са њом нема заједничких тачака;
p
α
p α
→ прав лежи у равни ако са њом има најмање две заједничке тачке.
p
α
p⊂ α
Теорема4 (Кошијева теорема):
Ако права n продире раван α у тачки А и ако је при томе она нормална на праве a
и b које припадају равни α и садрже тачку А, тада је n ⊥ α
n
n⊥ α
α
b
a
