SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 27
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Lee,
                                              piensa,
                                              decide y
                                              aprende
                                              Segunda fase
                                              Guía del maestro




Programa Escuelas de Calidad
Programa para la Mejora del Logro Educativo
Programa de Razonamiento Lógico Matemático
y Aplicación de la Ciencia a la Vida Cotidiana
Lee,
piensa,
decide y
aprende
Segunda fase
Guía del maestro
Secretaría de Educación Pública
Alonso Lujambio Irazábal

Subsecretaría de Educación Básica
José Fernando González Sánchez
                                                                                Contenido
Dirección General de Desarrollo
de la Gestión e Innovación Educativa
Juan Martín Martínez Becerra

Dirección General de Formación
Continua de Maestros en Servicio
Leticia Gutiérrez Corona

Dirección General de Educación Indígena
Rosalinda Morales Garza

Dirección General de Materiales Educativos
                                                                                   Introducción     3
María Edith Bernáldez Reyes

Dirección General de Desarrollo Curricular
Leopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez                                   Sesión 1. Operaciones con
Coordinación Nacional para
el Fortalecimiento del Logro Educativo
                                                                             números naturales     4
L. Dalila López Salmorán


                                                                            Sesión 2. Fracciones   8
Lee, piensa, decide y aprende. Segunda fase. Guía del maestro
es una obra del Programa Escuelas de Calidad en coordinación
con el Programa para la Mejora del Logro Educativo, ambos de
la Dirección General de Desarrollo de la Gestión e Innovación
Educativa (DGDGIE), de la Subsecretaría de Educación Básica.          Sesión 3. Proporcionalidad   15
Coordinación General
Lilia Dalila López Salmorán
Daniel Hernández Ruiz

Coordinación Académica
                                                                            Sesión 4. Geometría    21
Araceli Castillo Macias

Autora
Ana Laura Barriendos

Revisión Técnico-Pedagógica
Equipo Técnico del Programa para
la Mejora del Logro Educativo

Diseño
Sociedad para el Desarrollo Educativo Prospectiva SA de CV
Jorge Isaac Guerrero Reyes

Ilustraciones
Rocío Padilla Medina

Coordinación y cuidado editorial
Esteban Manteca Aguirre
Tonatiuh Arroyo Cerezo

“Este programa está financiado con recursos públicos aprobados
por la Cámara de Diputados del H. Congreso de la Unión y queda
prohibido su uso para fines partidistas, electorales o de promoción
personal de los funcionarios”: Ley Federal de Transparencia y
Acceso a la Información Pública Gubernamental.


Primera edición: 2011
ISBN: 978-607-8017-42-3

DR ©	 Secretaría de Educación Pública, 2011
	     Argentina 28, Colonia Centro Histórico,
	     CP 06020; México, DF

Impreso en México
Distribución gratuita – Prohibida su venta
Introducción



Maestro, maestra:

Con la Guía. Lee, piensa, decide y aprende.        	   Acepta el reto es el primer momento,
Segunda fase se pretende apoyar a los alum-            y se propone para que el alumno lea el
nos en su tránsito a la secundaria, mediante           problema, lo comprenda y busque infor-
el fortalecimiento de algunos temas que estu-          mación en otras fuentes para recordar
diaron en la primaria. Se han elegido cuatro           aquello que considere necesario. Usted
temas, que se consideran de gran importancia           puede apoyar, tanto para que no queden
en la asignatura de Matemáticas y cuyo estudio         dudas respecto a la comprensión del pro-
continuará en la secundaria cada vez con más           blema como en la búsqueda de conceptos
profundidad: las operaciones básicas, las frac-        y en los repasos que realice el alumno.
ciones, la proporcionalidad y la geometría.
                                                   	   Resuelve es el momento en que cada
Para el estudio de cada tema se presenta una           estudiante debe explorar el problema y
situación en la que cuatro amigos se plantean          plantear una estrategia de solución. Es
un problema relacionado con las matemáticas.           importante que usted dé tiempo para ello
Se pide, entonces, a los alumnos que exploren          y permita que cada uno proponga sus
posibles soluciones para dicho problema, y             procedimientos, incluso si son erróneos.
cuando ya tienen al menos una, correcta o no,          Más adelante tendrán tiempo de revisarlos
se les muestran distintas maneras de resolverlo.       y corregirlos, cuando sea necesario.
Con esto se busca que los alumnos conozcan
                                                   	   Desarrolla y comprueba es la
diversos procedimientos de solución y amplíen
                                                       sección más amplia en la Guía. En ella se
sus herramientas para resolver problemas.
                                                       presentan distintas maneras de resolver el
Cada sesión se estructura con cuatro momen-            problema inicial. Vayan trabajando cada
tos, identificados por medio de los siguientes         idea en grupo y aclare dudas cuando sea
iconos:                                                necesario. Es importante que lleguen a
                                                       esta parte después de que cada alumno
                                                       haya planteado una posible solución.
           Acepta
           el reto                                 	   Analiza lo aprendido presenta
                                                       información sobre el tema abordado en
                                                       el problema. En esta parte, usted puede
           Resuelve                                    enfatizar el hecho de que con diferentes
                                                       procedimientos propuestos se puede llegar
                                                       a las mismas respuestas, aunque no nece-
           Desarrolla                                  sariamente todos son igual de económicos
           y comprueba                                 ni permiten obtener exactamente la misma
                                                       información. Es también momento para
           Analiza                                     que los alumnos escriban qué fue lo que
           lo aprendido                                aprendieron y vuelvan a su solución inicial.



                                                                                                      3
Sesión 1
                                   Operaciones con
                                 números naturales

                                                                   Aprendizajes
                                                                   esperados
                                                                   Utiliza distintos métodos
                                                                   para abordar problemas
                                                                   que involucran opera-
                                                                   ciones con números
                                                                   naturales.




    La situación planteada
    a los alumnos
    En este problema se plantea una situación en la que los alumnos deberán emplear conocimientos
    adquiridos a lo largo de la educación primaria sobre operaciones básicas. Además, se presentan
    varias formas de resolución que pretenden enriquecer sus herramientas para cuando deban en-
    frentarse a situaciones similares.



    Sugerencias para
    abordar el problema
    Permita que los alumnos lean el planteamiento del problema y luego pregúnteles si lo han
    comprendido. Aclare dudas si es necesario, pero no adelante respuestas ni procedimientos de
    resolución.
        En este problema, un aspecto que puede generar confusión es el siguiente: es claro que si Da-
    niela y Octavio empiezan el recorrido al mismo tiempo desde la línea de salida, ella llegará antes
    porque avanza 500 metros en un minuto, mientras Octavio avanza 400 metros en un minuto.
    Cuando Lucas y Pamela se preguntan si Daniela seguiría siendo la ganadora dándole una ventaja
    a Octavio de 300 metros, hay que considerar un esquema como éste:
              Octavio

        0m                                                                                     META
               300m          1000m               2000m                3000m
        Daniela



4
Si los alumnos manifiestan dudas al respecto, explique que ambos salen en el minuto
cero, pero Octavio lo hace desde la línea de 300 metros y Daniela desde la línea de salida (o cero
metros). Con esta información, tendrán los elementos suficientes para empezar a trabajar por
sí mismos.
    Se espera que cada alumno desarrolle una estrategia personal (correcta o no) para resolver la
situación. Permita que cada uno de los alumnos avance a su propio ritmo y que colaboren entre
ellos; si se lo solicitan, intervenga para aclarar dudas. Una vez que hayan planteado una primera
versión de su respuesta, pueden seguir resolviendo.
    Conforme avancen, verán que en la Guía se presentan varias maneras de resolver el proble-
ma. Es muy probable que cada alumno encuentre ahí la estrategia que empleó; con las demás
estrategias conocerá otras formas de resolución y podrá verificar sus propios resultados mediante
distintos métodos.



Análisis de las estrategias de
resolución planteadas en la Guía
Lo primero que se propone a los alumnos es averiguar cuánto tiempo tardará Daniela en recorrer
los 4000 metros, y para ello se les plantean varias operaciones, entre las que deberán elegir aque-
lla que permita resolver la cuestión.
   Aunque la operación 4000 – 500 no permite resolver el problema, algunos alumnos pueden
pensar que es posible emplearla si se reitera:
          4000 − 500 = 3500
          3500 − 500 = 3000
          …
          500 − 500 = 0


  Cada resta representa lo que Daniela recorre en un minuto, y como habría 8 restas, los 4000
metros los habría recorrido en 8 minutos.
    Mediante la división 4000 ÷ 500 se llega a una solución con un solo paso. Implica comprender
que el recorrido se divide en tramos de 500 metros (lo que Daniela recorre por cada minuto) y, por
lo tanto, el resultado será el número de minutos que requiere para completarlos.
    Puede preguntar a los alumnos por qué las otras operaciones no son útiles para averiguar el
dato buscado; por ejemplo, en 500 + 4000 ¿qué sentido tiene sumar la longitud de todo el reco-
rrido y los metros que Daniela avanza cada minuto?
    Enseguida se plantea otra manera de resolver el problema: una tabla de proporcionalidad
directa. En una columna están los minutos y en la otra los metros que recorre Daniela. Al com-
pletarla, los alumnos deberían obtener el mismo resultado que con la operación elegida anterior-
mente. Pídales que lo verifiquen y que comparen entre ellos sus resultados.
   Para averiguar cuántos minutos le tomará a Octavio completar el recorrido sin los 300 metros
de ventaja, se pide a los alumnos utilizar los mismos métodos: una operación y una tabla de
proporcionalidad.
   Se espera que con ambos métodos obtengan los mismos resultados:
          Daniela: 8 minutos
          Octavio: 10 minutos




                                                                                                      5
En las tablas podrán ver, además, que cuando Daniela completa los 4000 metros, Octavio
    apenas lleva 3200 metros recorridos, así que, cuando han transcurrido 8 minutos desde el inicio
    de la carrera, ella lo aventaja por 800 metros.

                                                                Metros
                              Minutos
                                                     Daniela               Octavio

                                  0                         0                     0
                                  1                      500                   400
                                  2                    1000                    800
                                  3                    1500                   1200
                                  4                    2000                   1600
                                  5                    2500                   2000
                                  6                    3000                   2400
                                  7                    3500                   2800
                                  8                    4000                   3200
                                  9                                           3600
                                  10                                          4000


       Una vez hecho esto, se plantea la resolución del problema original: quién ganaría la carrera si
    a Octavio se le dan 300 metros de ventaja. En una tabla1 quedaría así:

                                                                Metros
                              Minutos
                                                     Daniela               Octavio

                                  0                         0                  300
                                  1                      500                   700
                                  2                    1000                   1100
                                  3                    1500                   1500
                                  4                    2000                   1900
                                  5                    2500                   2300
                                  6                    3000                   2700
                                  7                    3500                   3100
                                  8                    4000                   3500
                                  9                                           3900

                                  10                                          4300


    1	 Esta tabla es de variación, pero ya no de proporcionalidad; la ventaja de 300 metros que le dan a Octavio
       hace que ese punto, si se grafica, ya no pase por (0, 0).



6
Como puede observarse, de todas formas Daniela completaría primero el recorrido. Quizás al-
gunos estudiantes intenten saber en qué fracción de minuto llega Octavio a la meta: como avanza
400 m en un minuto, después del minuto 9 recorre los últimos 100 m en la cuarta parte de un
minuto, o bien en 15 segundos. Permita que los alumnos llenen el último renglón de acuerdo con
su propio razonamiento.
    Nuevamente, a los alumnos se les plantea que la situación puede resolverse a través de ope-
raciones aritméticas. Para saber cuántos metros avanza Daniela en 3 minutos, la multiplicación
500 × 3 es la indicada. Pregunte a los alumnos por qué las divisiones 4000 ÷ 500 y 4000 ÷ 3 no
permiten averiguar lo que se quiere.
    Ahora bien, para saber cuántos metros avanzó Octavio sin la ventaja de 300 metros puede
hacerse una operación similar: 400 × 3; pero si se quiere saber cuánto avanzó en 3 minutos con la
ventaja de 300 metros, es necesario hacer más de una operación. Pregunte a los alumnos cómo
lo averiguarían y deles tiempo para explorar una respuesta. Se espera que lleguen a:
          400 × 3 = 1200
          1200 + 300 = 1500



Cierre de la actividad
Haga énfasis en que si utilizan operaciones, una tabla o la recta se obtienen los mismos resulta-
dos; sin embargo, con la tabla y con la recta es posible tener más información; por ejemplo, en
qué punto del recorrido estaban cuando habían transcurrido 6 minutos.
    Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su
solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan
un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema
y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera.




                                                                                                    7
Sesión 2
                                                               Fracciones


                                                                   Aprendizajes
                                                                   esperados
                                                                   Resuelve problemas
                                                                   que implican identificar
                                                                   a las fracciones como
                                                                   números que se repre-
                                                                   sentan y se ubican en la
                                                                   recta; asimismo, que con
                                                                   ellos se pueden realizar
                                                                   operaciones.




    La situación planteada
    a los alumnos
    Para resolver este problema, los alumnos necesitarán comparar y sumar fracciones que tienen
    distinto denominador. La recta numérica se presenta como un recurso que permite ubicar las
    fracciones para compararlas.



    Sugerencias para
    abordar el problema
    Permita que los alumnos lean el problema y, si tienen dudas, traten de aclararlas entre todos. Una
    vez que lo hayan comprendido, dé tiempo para que puedan trabajar buscando una solución.
        Cada alumno desarrollará una estrategia personal de resolución, correcta o no, para comparar
    y sumar las fracciones. Es posible que hagan sombreados de área, ubicación en la recta numérica
    o que las conviertan en números decimales. Permita que cada uno utilice la estrategia que le re-
    sulte mejor, y cuando hayan propuesto al menos una, sigan avanzando.



8
Análisis de las estrategias de
resolución planteadas en la Guía
El problema de los carritos podría pensarse así:

        Carrito de              Primer impulso         Segundo impulso          Llegó a
                                      4                       1
          Daniela                     10                      2
                                      3                       2
          Pamela                      6                       5
                                      3                                            11
           Lucas                      8                                            12
                                      3                       1
          Octavio                     5                       3



                                                        11
     Con los dos impulsos, el carrito de Lucas llegó a 12 porque la información dice que quedó a
 1                     1    11
12   de la meta, y 1 – 12 = 12 .
    Lo primero que se propone a los alumnos es averiguar en qué orden quedaron los carritos tras
                                                4 3 3       3                                 2
el primer impulso. Para ello, deberán comparar 10 , 6 , 8 y 5 (el carrito de Octavio quedó a 5
                                       3
de la meta, es decir, avanzó de cero a 5 ).
     Una estrategia para hacerlo sería la siguiente:
           Tres de estas fracciones tienen como numerador el 3, así que pueden compararse más
           fácilmente:
                    3      3    3
                    8    < 6 < 5 porque
                    1      1    1
                    8    < 6 < 5


           También es cierto que:
                    4      1
                    10   < 2
                     3     1
                     6   = 2
                     3     1
                     8   < 2
                     3     1
                     5   > 2


           Así que se tiene:
                    4      3    3
                    10   < 6 < 5


           Y también:
                    3      3    3
                    8    < 6 < 5


           Pero sigue faltando conocer en qué orden van las dos fracciones que son menores que
            1             3   4
            2 , es decir, 8 y 10 . Una manera de hacerlo es ésta:
                    4      1    1
                    10   + 10 = 2
                    3      1    1
                    8    + 8 = 2



                                                                                                   9
1     1              4            3
               Como 10 < 8 , entonces 10 > 8
               Ahora sí, ya se pueden ordenar todas:
                       3     4    3     3
                       8   < 10 < 6 < 5

                                                                     3
               El carrito que llegó más lejos es el de Octavio ( 5 ) y el que avanzó menos fue el de
                        3
               Lucas ( 8 ).

         El procedimiento sugerido a los alumnos es la ubicación de fracciones en la recta numérica;
     sin embargo, puede representar algunas dificultades para los alumnos ya que no está subdividida,
     sólo se muestran el inicio (0) y la meta (3). Ellos tendrán que hallar la manera para dividirla en
     octavos, décimos, sextos y quintos.
         Una forma sería con regla, midiendo todo el segmento y dividiéndolo por el denominador de-
     seado. A los alumnos se les propone que usen una hoja rayada. Si lo considera necesario, revisen
     la lección que se sugiere en la Guía y recuerde este procedimiento en grupo.
        La posición de los carritos tras el primer impulso queda así en la recta numérica:

                                                     4           3
                                                    10           5
      Salida                                                                                        META
                                                3            3
                                                8            6

         Los alumnos verán que es necesario hacer subdivisiones en décimos, sextos y octavos en la
     misma recta (los quintos quedarán sobre las marcas de los décimos). Una estrategia para facilitar
     la ubicación y la interpretación es utilizar varias rectas en vez de una; sin embargo, es importante
     que los alumnos sepan que si se ubican las fracciones en rectas numéricas distintas, éstas deben
     estar alineadas a la izquierda para que sea factible hacer la comparación. Las que aparecen en
     el inciso a) no están alineadas y resulta muy complicado compararlas. Pida a los alumnos que
     comenten sus ideas al respecto.

                                                     4
                                                    10
     Daniela                                                                                        META


                                                             3
                                                             6
      Pamela                                                                                        META


                                                3
                                                8
      Lucas                                                                                         META


                                                                 3
                                                                 5
     Octavio                                                                                        META



        Puede ser difícil para los alumnos marcar en las rectas el lugar al que llegaron los carritos con el
     segundo impulso. Esta tarea implica que haya un denominador común para las dos fracciones (la
     que representa lo que avanzó un carrito con el primer impulso y la que representa lo que avanzó
     con el segundo impulso).



10
Para llevar a cabo este procedimiento, se sugiere proponer a los alumnos la búsqueda de frac-
ciones equivalentes, por ejemplo:
         Carrito de Daniela
                           4
         Primer impulso: 10
                               1
         Segundo impulso: 2
                      1
         La fracción 2 puede escribirse con el denominador 10:
          1      5
          2    = 10
                                                 4
         En la recta quedaría así: partiendo de 10 (lo que avanzó el carrito con el primer impulso)
                                5
         tendría que avanzar 10 más (lo que avanzó el carrito con el segundo impulso) y llegaría
            9
         a 10 . Eso fue lo que avanzó en total el carrito de Daniela.


   Con los otros carritos podría ser de la siguiente forma:
         Carrito de Pamela
                           3
         Primer impulso: 6
                               2
         Segundo impulso: 5
         El denominador común más pequeño sería 30. La recta tendría que dividirse en treinta-
         vos y las fracciones quedarían así:
          3      15
          6    = 30
          2      12
          5    = 30
                                                27
         En total, el carrito de Pamela avanzó 30


         Carrito de Lucas
                           3
         Primer impulso: 8
                                        11
         Con los dos impulsos llegó a 12
         El denominador común más pequeño sería 24. La recta tendría que dividirse en veinti-
         cuatroavos y las fracciones quedarían así:
           3     9
           8   = 24
          11     22
          12   = 24
                                                                                       13
         Así, se puede saber que con el segundo impulso el carrito de Lucas avanzó 24 (porque
         22    9    13
         24 – 12 = 24 ).


         Carrito de Octavio
                           3
         Primer impulso: 5
                               1
         Segundo impulso: 3
         El denominador común más pequeño sería 15. La recta tendría que dividirse en quin-
         ceavos y las fracciones quedarían así:
          3      9
          5    = 15
          1      5
          3    = 15
                                                14
         En total, el carrito de Pamela avanzó 15



                                                                                                      11
Si lo considera necesario, para apoyar esta tarea, revisen en grupo las lecciones que se sugie-
     ren en la Guía. Lee, piensa, decide y aprende. Segunda fase.

                                                  4                                      9
                                                 10                                     10
     Daniela                                                                                          META


                                                      15                                27
                                                      30                                30
      Pamela                                                                                          META


                                             9                                           22
                                            24                                           24
      Lucas                                                                                           META


                                                               9                             14
                                                              15                             15
     Octavio                                                                                          META




        A partir de este momento los alumnos sabrán en qué orden quedaron los carritos tras los dos
     impulsos: Octavio quedó en primer lugar, Lucas quedó en segundo lugar, y Daniela y Pamela
     quedaron empatadas en último lugar.
         Los alumnos ahora se enfrentarán con que deben averiguar a cuántos metros corresponde cada
     fracción en la pista (cuya longitud es de 3 metros). Para saberlo, deben considerar las fracciones en
     relación con lo que mide la pista. Hay varios procedimientos que pueden ser útiles, como poner los
     datos en una tabla o aproximar la medida ubicando el punto en una recta numérica.


               Fracción             Metros                         Un entero mide 3 metros.
                                                                   1
                  1                 3                              2  (que es la mitad de un entero) mide
                                                                   1.5 m (que es la mitad de 3).
                  1
                  2                 1.5                            1
                                                                      mide 1 m (que es la tercera parte
                                                                   3
                  1                                                de 3).
                  3                 1
                  1
                  5                 0.6                             1
                                                                   10 (que es la décima parte de 1) mide
                  1
                  8                 0.375                          0.3 m (que es la décima parte de 3).
                                                                    1
                  1
                                    0.3                             5   mide 0.6 m.
                  10
                                                                    1                             1
                  1                                                15 (que es la tercera parte de 5 ) mide
                                    0.2
                  15                                               0.2 m (que es la tercera parte de 0.6).
                  1                                                 1
                  24                0.125                          30   mide 0.3 m.
                  1
                  30                0.1
                                                                    1
                                                                    8   mide 0.375 m.
                                                                    1                             1
        ¿Cómo pueden los alumnos saber qué                         24 (que es la tercera parte de 8 ) mide
     datos poner en la tabla? Sugiera que se fijen                 0.125 m (que es la tercera parte de
     en las relaciones verticales, por ejemplo:                    0.375).



12
Así, para hallar cuántos metros recorrió en total cada carrito, pueden sumar las medidas frac-
cionarias tantas veces como sea necesario:
                                             1       1         1
          El carrito de Daniela recorrió 10 + 10 + 10 … (nueve veces), es decir:
          0.3 + 0.3 + 0.3… (nueve veces) = 2.7 metros.

                                             1       1         1
          El carrito de Pamela recorrió 30 + 30 + 30 … (veintisiete veces), es decir:
          0.1 + 0.1 + 0.1… (veintisiete veces) = 2.7 metros.

                                         1       1        1
          El carrito de Lucas recorrió 24 + 24 + 24 … (veintidós veces), es decir,
          0.125 + 0.125 + 0.125… (veintidós veces) = 2.75 metros.

                                             1       1         1
          El carrito de Octavio recorrió 15 + 15 + 15 … (catorce veces), es decir,
          0.2 + 0.2 + 0.2… (catorce veces) = 2.8 metros.


Rectas
Para saber, utilizando la recta, cuántos metros avanzó el carrito de Daniela, hay que dividir el total de
la pista en décimos, ya que cada décimo corresponde a 0.3 metros (porque 3 ÷ 10 = 0.3).


                                         1.2                                         2.7
Daniela                                                                                          META

                                   1m                              2m                         3m



          Daniela llegó con el primer impulso a 1.2 metros, y con los dos impulsos a 2.7 metros.


   Para el carrito de Pamela hay que dividir el total de la pista en treintavos, y tomar en cuenta
que cada treintavo corresponde a 0.1 metros (porque 3 ÷ 30 = 0.1).


                                                         1.5                         2.7
 Pamela                                                                                          META

                                   1m                              2m                         3m



          Pamela llegó con el primer impulso a 1.5 metros y con los dos impulsos a 2.7 metros.


   Para el carrito de Lucas hay que dividir el total de la pista en veinticuatroavos, y recordar que
cada veinticuatroavo corresponde a 0.125 metros (porque 3 ÷ 24 = 0.125).


                                      1.125                                           2.75
 Lucas                                                                                           META

                                   1m                              2m                         3m



          Lucas llegó con el primer impulso a 1.125 metros y con los dos impulsos a 2.75 metros.



                                                                                                            13
Para el carrito de Octavio hay que dividir el total de la pista en quinceavos, y considerar que
     cada quinceavo corresponde a 0.2 metros (porque 3 ÷ 15 = 0.2).


                                                            1.8                        2.8
     Octavio                                                                                    META

                                      1m                          2m                         3m



               Octavio llegó con el primer impulso a 1.8 metros y con los dos impulsos a 2.8 metros.


         También se propone a los alumnos resolver sumas de fracciones (la que corresponde al primer
     impulso más la del segundo impulso). Para sumar fracciones con distinto denominador, los alum-
     nos deben seguir el principio de hallar un denominador común encontrando fracciones equiva-
                                                                                       4    1     5
     lentes. No obstante, es frecuente que los alumnos cometan algunos errores, como 10 + 2 = 12 .
     Si detecta alguno, aproveche este momento para aclararlo.
        Una forma en que podrían quedar las sumas es la siguiente:
               Carrito de Daniela
               4      1
               10   + 2 =
               4      5     9
               10   + 10 = 10


               Carrito de Pamela
                3     2
                6   + 5 =
               15     12    27
               30   + 30 = 30


               Carrito de Lucas
               3            11
               8    + __ = 12
               9            22
               24   + __ = 24
               9      13    22
               24   + 24 = 24


               Carrito de Octavio
               3      1
               5    + 3 =
               9      5     14
               15   + 15 = 15



     Cierre de la actividad
     Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su
     solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan
     un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema
     y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera.




14
Sesión 3
                                  Proporcionalidad


                                                               Aprendizajes
                                                               esperados
                                                               Resuelve problemas
                                                               que implican identi-
                                                               ficar la relación que
                                                               existe entre cantidades
                                                               proporcionales.




La situación planteada
a los alumnos
En este problema se plantea una situación de proporcionalidad en la que deben hallarse ciertos
datos. Los alumnos ya tienen experiencia resolviendo este tipo de situaciones y ahora, además,
tendrán oportunidad de emplear distintos procedimientos para hacerlo.



Sugerencias para
abordar el problema
La situación de calcular los ingredientes de una receta es conocida por los alumnos; seguramente,
ellos habrán desarrollado anteriormente estrategias para resolver este tipo de problemas. Permita
que expresen sus ideas y que resuelvan el problema como crean conveniente, pero no deberán
avanzar más hasta que cada uno tenga una propuesta de solución.
    Dé tiempo para que cada alumno desarrolle una estrategia personal, aunque no sea correcta.
Una estrategia errónea que se explora al inicio es sumar cierta cantidad a todos los ingredientes
(el procedimiento que propone Daniela). Si algunos alumnos la eligieron, permítales seguir avan-
zando, conforme resuelvan los siguientes incisos podrán darse cuenta de que no se obtienen las
cantidades correctas.



                                                                                                    15
Análisis de las estrategias de
     resolución planteadas en la Guía
     El procedimiento que sugiere Lucas es erróneo. Es cierto que debe emplearse una mayor cantidad
     de cada ingrediente, pero para que se conserve el sabor original de las galletas, dicho aumento
     debe ser proporcional.
         La idea de Daniela no se concreta en una estrategia correcta: sumando 20 gramos, mililitros,
     etcétera, a cada ingrediente no se mantendrán las proporciones correctas en la receta. El proce-
     dimiento que sugiere Octavio es correcto, se basa en la idea de al doble le toca el doble, al triple
     el triple, etcétera. Empleando este procedimiento, lo que necesitarán para obtener la respuesta
     al problema es pasar de los ingredientes para 80 galletas a los ingredientes para 100 galletas;
     es decir, aumentar a todos los ingredientes una cuarta parte (porque 80 + 20 = 100, y 20 es la
     cuarta parte de 80).
        Con los siguientes procedimientos recordarán qué significa que el aumento sea proporcional.


     Propuesta de Lucas
     Como puede verse, en esta propuesta la cantidad de galletas va aumentando de 80 en 80 y se
     llega hasta 400 galletas, para que el cálculo de 100 galletas sea más sencillo (los ingredientes para
     400 galletas ÷ 4 = los ingredientes para 100 galletas).

                           Cantidad de            Yemas de
                                                                    Latas de leche
                             galletas              huevo

                                 80                    4                      1

                                160                    8                      2

                                240                   12                      3

                                320                   16                      4

                                400                   20                      5
                                                                          5       1
                                100                    5                  4   o1 4


     Propuesta de Pamela
     Pamela desea saber cuántos gramos de nuez y cuántas cucharadas de vainilla se necesitan para
     preparar 20 galletas, pues si suma dichas cantidades a los ingredientes que se emplean para pre-
     parar 80 galletas obtendrá cuánto necesita para 100 galletas.

                   Cantidad de nuez                                  Cantidad de vainilla


        80 galletas
                               200 g de nuez               80 galletas
                                                                                     Una cucharada
                                                                                      de vainilla


                                                                              
                                                                                      1
        40 galletas             100 g de nuez               40 galletas               2  cucharada
                                                                                      de vainilla


                                                                              
                                                                                      1
        20 galletas             50 g de nuez                20 galletas               4  de cucharada
                                                                                      de vainilla



16
Propuesta de Daniela
En este punto se plantea a los alumnos otro procedimiento: hallar la cantidad de mantequilla
necesaria para una galleta dividiendo 400 entre 80, multiplicar el resultado por 100 y obtener así
el número buscado. Al procedimiento que consiste en hallar qué número corresponde al 1 se le
llama valor unitario. En este caso, al dividir entre 80 las cantidades de cada ingrediente se puede
saber qué cantidad se necesita de cada uno para hornear una galleta.
          400 g de mantequilla ÷ 80 = 5 g de mantequilla.
          Se necesitan 5 g de mantequilla para preparar una galleta.
          5 g de mantequilla × 100 = 500 g de mantequilla.
          Se necesitan 500 g de mantequilla para preparar 100 galletas.


   Para la harina se sugiere hacer operaciones con números decimales. Se espera que escribir
  1                                                                         1
3 2   como decimal no sea problemático para los alumnos, ya que la fracción 2 es fácilmente
identificada como la mitad o 0.5.
   Una vez escrita la cantidad de harina como 3.5 tazas, hay que dividirla entre 80 para hallar el
valor unitario.
          3.5 tazas de harina ÷ 80 = 0.04375 de taza de harina.
          Se necesita 0.04375 de taza de harina para preparar una galleta.
          0.04375 de taza de harina × 100 = 4.375 tazas de harina.
          Se necesitan 4.375 tazas de harina para preparar 100 galletas.


    Aproveche estos cálculos para repasar las operaciones con decimales. Una forma de resolver
la división 3.5 ÷ 80 es la siguiente:
          3.5 ÷ 10 = 0.35
          Si ese resultado (0.35) se divide entre 2, equivale a dividir la cantidad original (3.5) entre 20.
          0.35 ÷ 2 = 0.175
          Si se vuelve a dividir entre 2, es como si se dividiera la cantidad original entre 40.
          0.175 ÷ 2 = 0.0875
          Dividirla nuevamente entre 2 equivale a dividir la cantidad original entre 80.
          0.0875 ÷ 2 = 0.04375


   Usando la operación que los alumnos conocen, hay que “quitar” el punto decimal del dividen-
do, es decir, hay que encontrar una operación equivalente en la que no haya punto decimal:

          80 3.5 = 800 35


          Como el dividendo es menor que el divisor, habrá que realizar otros pasos:
          		 0.
          800 350




                                                                                                               17
Aún no “cabe” 800 en 350, así que se añaden más ceros.
               		 0.0
               800 3500


               A partir de este punto ya se puede dividir 3500 entre 800.
               Utilicen la calculadora para verificar.


                                                                        7
        También se les plantea la posibilidad de dividir la fracción 2 entre 80 sin tener que escribirla
     como un número decimal. Los alumnos ya han hecho divisiones de fracciones entre números
     naturales, así que dé tiempo para que exploren una respuesta.
        Una manera de hacerlo es dividir la fracción entre 10 y el resultado dividirlo entre 8:
               7             7         1                                    1
               2   ÷ 10 = 20 (porque 20 es diez veces más chico que 2 ).
                                                                                     7       7
               Los alumnos pueden comprobar esta operación sumando 20 + 20 … (diez veces) =
               70    7
               20 = 2 .
                                  7         7            1                                   1
               Después dividen 20 ÷ 8 = 160 (porque 160 es ocho veces menor que 20 ).
                                                  7      7                      56       7
               Se puede comprobar sumando 160 + 160… (ocho veces) = 160 = 20 .


         Las divisiones pueden escribirse en una tabla para ir encontrando las relaciones con mayor
     facilidad. Por ejemplo:

                                       Galletas              Harina (tazas)
                                                                   7
                                           80                      2
                                                                   7
                                           40                      4
                                                                   7
                                           20                      8
                                                                    7
                                           10                      16
                                                                   7
                                            1                     160



         El principio que está detrás de la división de una fracción entre un número natural es que el
     denominador debe hacerse tantas veces más pequeño como sea el número natural entre el que
     se está dividiendo.
               1         1
               2   ÷2= 4
               1         1
               5   ÷ 3 = 15
               2             2
               6   ÷ 20 = 120
               7             7
               2   ÷ 80 = 160


        Esta idea puede ser difícil de entender para los alumnos en este grado; proponga algunos
     ejemplos sencillos para que puedan darle sentido a estas divisiones, como: “Una tabla que mide
     1/3 de metro va a dividirse en 4 partes, ¿cuánto medirá cada parte?”.




18
Propuesta de Octavio
Esta propuesta emplea el modelo de áreas para representar fracciones; pero, al igual que en las
dos propuestas anteriores, la idea es buscar qué cantidad de ingredientes se necesita para prepa-
rar 20 galletas y sumarla a la necesaria para preparar 80 galletas.
                                 1
   Para 80 galletas se necesita 2 taza de azúcar.




                             80 galletas




                                         Una taza de azúcar

                                                      1
Para 20 galletas se necesita la cuarta parte de esa 2 taza, porque 80 ÷ 4 = 20.




                                                               1
          El rectángulo de color representa la cuarta parte de 2 .

                                                                         1
   Para los alumnos puede ser confuso entender esto: la cuarta parte de 2 no es igual a la cuarta
parte de un entero. Haga hincapié en que el rectángulo completo es un entero y pregunte:
   •	 ¿En cuántos cuadritos se dividió?
   •	 ¿Qué fracción representa cada cuadrito?
                                                  1
   •	 ¿Con cuántos de esos cuadritos se cubre 2 ?
                                                                             1
   •	 ¿Qué fracción del total del rectángulo representa la cuarta parte de 2 ?

   Se espera así que reconozcan lo siguiente:
          80 galletas ÷ 4 = 20 galletas.
          1                          1
          2   taza de azúcar ÷ 4 = 8 de taza de azúcar.

          80 galletas + 20 galletas = 100 galletas.
          1                      1                    5
          2   taza de azúcar + 8 taza de azúcar = 8 de taza de azúcar.

                       1     1
          Para sumar 2 + 8 pueden seguir empleando el modelo de áreas, o bien pregunte:
                                                1                                    1
          “¿Con cuántos octavos se puede cubrir 2 ?”. A esa cantidad hay que sumarle 8 .



                                                                                                    19
Con el chocolate se procede igual. Se necesita    Para 20 galletas se necesita la cuarta parte por-
     ¼ taza para 80 galletas.                          que 80 ÷ 4 = 20.




                                                       El rectángulo de color representa la cuarta
                                                                1
                                                       parte de 4 .


        Para ayudar a comprender esto, enfatice que el rectángulo completo es un entero y pregunte:
        •	 ¿En cuántos rectángulos se dividió?
        •	 ¿Qué fracción representa cada rectángulo?
                                                        1
        •	 ¿Con cuántos de esos rectángulos se cubre 4 ?
                                1
        •	 La cuarta parte de 4 , ¿qué fracción del total del rectángulo representa?


        Se espera así que reconozcan lo siguiente:
           80 galletas ÷ 4 = 20 galletas.
            1                           1
            4   taza de chocolate ÷ 4 = 16 de taza de chocolate.


           80 galletas + 20 galletas = 100 galletas.
            1                       1                       5
            4   taza de chocolate + 16 taza de chocolate = 16 taza de chocolate.


                     1    1
         Para sumar 4 + 16 también pueden seguir empleando el modelo de áreas, o bien cabe pregun-
                                                         1                                     1
     tarles: “¿Con cuántos dieciseisavos se puede cubrir 4 ?”. A esa cantidad hay que sumarle 16 .



     Cierre de la actividad
     Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su
     solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan
     un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema
     y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera.




20
Sesión 4
                                              Geometría

                                                                Aprendizajes
                                                                esperados
                                                                Identifica estrategias
                                                                para resolver problemas
                                                                que implican calcular
                                                                superficies y longitudes
                                                                de figuras irregulares.




La situación planteada
a los alumnos
En este problema se plantea a los alumnos la obtención del área y del perímetro de una figura con
lados curvos. Ellos ya han estudiado cómo calcular áreas y perímetros de círculos, ahora se espera
que utilicen esos conocimientos para resolver este problema.



Sugerencias para
abordar el problema
Asegúrese de que los alumnos han comprendido que necesitan calcular el área de la figura delimi-
tada por las líneas rojas. Puede pedirles que tracen los cuadrados y luego los arcos y que iluminen
la superficie que deben calcular.
                     C                          D                           E




                     B                          A                           F



                                                                                                      21
Dé tiempo para que cada alumno explore una solución, no importa si ésta es correcta o no.
     Cuando terminen, pueden seguir resolviendo.
         Un error que suelen cometer es confundir el área con el perímetro. Esto se explora en el ma-
     terial para los alumnos. Comente esa información para que todos recuerden cuál es el perímetro
     y cuál es el área.


     Análisis de las estrategias de
     resolución planteadas en la Guía
     El procedimiento de Daniela implica el cálculo del área de la figura roja a partir del cálculo de las
     áreas no sombreadas, de modo que obtiene primero el área del círculo completo y la del cuadrado
     que representa un mosaico.




                                          C                       D                        E




                                  20 cm




                                          B        20 cm          A                        F




               Área del cuadrado: 20 × 20 = 400 cm2
               Área del círculo: π × r2 = 1256.64 cm2


        El área de la figura roja delimitada por el arco trazado en el cuadrado ADEF es igual a la cuarta
     parte del área del círculo completo.
               1256.64 cm2 ÷ 4 = 314.16 cm2


         El área de la figura roja delimitada por el arco trazado en el rectángulo CDAB es igual al área
     del cuadrado menos el área de la cuarta parte del círculo completo.
               400 cm2 − 314.16 cm2 = 85.84 cm2
               El área de toda la figura roja es 314.16 cm2 + 85.84 cm2 = 400 cm2


22
En el procedimiento de Pamela se observa que el pedazo de figura roja del primer mosaico es
igual al que se forma fuera de la figura roja en el otro mosaico, es decir, que el área delimitada
por los vértices BAD es igual al área delimitada por los vértices DEF.
                     C                          D                           E




                     B                          A                           F



   En la Guía para el alumno se sugiere que copien la figura completa, recorten las figuras men-
cionadas y las pongan una encima de la otra para que comprueben que tienen la misma área.
Entonces, si estas dos figuras tienen la misma área, se puede colocar la figura BAD en el lugar que
ocupa la figura DEF y con ello se “completa” un cuadrado, es decir, se tiene completa el área de
un mosaico. Así, pues, el área de la figura roja es igual al área de un mosaico (que mide 20 cm
por lado) = 400 cm2.
   El procedimiento de Octavio pretende demostrar que los “gajos” que se forman al trazar las
diagonales en el rectángulo son iguales. Sugiera a los alumnos que también copien esta figura,
recorten los gajos mencionados y los pongan uno encima del otro para verificar que tienen la
misma área. Entonces, se puede calcular el área de la figura roja obteniendo el área del triángulo.
Como la base del rectángulo es 40 cm y la altura 20 cm, se tiene que:
          40 × 20
                    = 400
            2
          Así que, mediante este procedimiento, el área de la figura roja es también 400 cm2.


   Para calcular el perímetro de la figura roja hay que obtener el perímetro de la circunferencia
completa.
          Perímetro de la circunferencia: 2r × π = 125.66 cm
          Perímetro de la cuarta parte de la circunferencia: 125.66 cm ÷ 4 = 31.42 cm
          Perímetro de la figura roja: longitud del segmento BF + la cuarta parte del perímetro de
          la circunferencia + la cuarta parte del perímetro de la circunferencia:
          40 cm + 31.42 cm + 31.42 cm = 102.84 cm



Cierre de la actividad
Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su
solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan
un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema
y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera.




                                                                                                      23
Se imprimió por encargo de la Subsecretaría de Educación Básica,
en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V.
San Lorenzo No. 244, colonia Paraje San Juan, CP 09830, México, D.F.
Tel. (55) 5970 2600 / http://www.iepsa.gob.mx

El tiraje fue de   ejemplares.
Lee piensa y aprende maestro
Lee piensa y aprende maestro

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

Trabajo del 6 de octubre
Trabajo del 6 de octubreTrabajo del 6 de octubre
Trabajo del 6 de octubretukuale123456
 
Tarea final blanca
Tarea final blancaTarea final blanca
Tarea final blancaEdwin Acuña
 
Planeaciones Matemáticas
Planeaciones MatemáticasPlaneaciones Matemáticas
Planeaciones MatemáticasHanniadlp20
 
Plan de mejora de la resolución de problemas
Plan de mejora de la resolución de problemasPlan de mejora de la resolución de problemas
Plan de mejora de la resolución de problemasMari Jose Cara
 
T ema21citicen
T ema21citicenT ema21citicen
T ema21citicenmaiz28
 
Resolución de problemas
Resolución de problemasResolución de problemas
Resolución de problemasValentin Flores
 
Resolucion de problemas
Resolucion de problemasResolucion de problemas
Resolucion de problemasJULIOCHA
 
Enfoque centrado en la resolución de problemas
Enfoque centrado en la resolución de problemasEnfoque centrado en la resolución de problemas
Enfoque centrado en la resolución de problemasMariza Gómez
 
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
 

Was ist angesagt? (14)

Trabajo del 6 de octubre
Trabajo del 6 de octubreTrabajo del 6 de octubre
Trabajo del 6 de octubre
 
Tarea final blanca
Tarea final blancaTarea final blanca
Tarea final blanca
 
Planeaciones Matemáticas
Planeaciones MatemáticasPlaneaciones Matemáticas
Planeaciones Matemáticas
 
Plan de mejora de la resolución de problemas
Plan de mejora de la resolución de problemasPlan de mejora de la resolución de problemas
Plan de mejora de la resolución de problemas
 
Enfoque CTI y Resolución de Problemas
Enfoque CTI y Resolución de ProblemasEnfoque CTI y Resolución de Problemas
Enfoque CTI y Resolución de Problemas
 
T ema21citicen
T ema21citicenT ema21citicen
T ema21citicen
 
Resolución de problemas
Resolución de problemasResolución de problemas
Resolución de problemas
 
Resolucion De Problemas
Resolucion De ProblemasResolucion De Problemas
Resolucion De Problemas
 
problemas Paev
problemas Paevproblemas Paev
problemas Paev
 
Resolucion de problemas
Resolucion de problemasResolucion de problemas
Resolucion de problemas
 
001 mundomate estrategias_de_matematica
001 mundomate estrategias_de_matematica001 mundomate estrategias_de_matematica
001 mundomate estrategias_de_matematica
 
Tema 21
Tema 21Tema 21
Tema 21
 
Enfoque centrado en la resolución de problemas
Enfoque centrado en la resolución de problemasEnfoque centrado en la resolución de problemas
Enfoque centrado en la resolución de problemas
 
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007
 

Andere mochten auch

MYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATA
MYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATAMYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATA
MYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATATyrone Systems
 
14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art
14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art
14 Latest Modern décor ideas with my Heaing ArtMrs Rizwana A Mundewadi
 
Evaluación integradora anual
Evaluación integradora anualEvaluación integradora anual
Evaluación integradora anualMarcela Prisco
 
2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックスThe Natsu Style
 
Effective workout
Effective workoutEffective workout
Effective workoutLisa Mathew
 
Ergoedhuis Promemorie
Ergoedhuis PromemorieErgoedhuis Promemorie
Ergoedhuis PromemorieFARO
 
料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015
料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015
料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015Masaya Kogawa
 
Testes hp
Testes hpTestes hp
Testes hpCarlos
 
Best Practices for Constituent Management
Best Practices for Constituent ManagementBest Practices for Constituent Management
Best Practices for Constituent Managementdreamforce2006
 
2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックスThe Natsu Style
 
Making healthcare analytics fast, easy and flexible
Making healthcare analytics fast, easy and flexibleMaking healthcare analytics fast, easy and flexible
Making healthcare analytics fast, easy and flexibleYellowfin
 
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0Ingo Stoll
 
Using Change Management to Transform Your Library Workshop
Using Change Management to Transform Your Library WorkshopUsing Change Management to Transform Your Library Workshop
Using Change Management to Transform Your Library WorkshopALATechSource
 

Andere mochten auch (20)

MYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATA
MYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATAMYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATA
MYTHS ABOUT DESIGNING WITH DATA
 
14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art
14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art
14 Latest Modern décor ideas with my Heaing Art
 
SA1
SA1SA1
SA1
 
Evaluación integradora anual
Evaluación integradora anualEvaluación integradora anual
Evaluación integradora anual
 
formato 1
formato 1 formato 1
formato 1
 
2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/11/30付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
 
Planeacion de clase flipped classroom
Planeacion de clase flipped classroom Planeacion de clase flipped classroom
Planeacion de clase flipped classroom
 
Effective workout
Effective workoutEffective workout
Effective workout
 
Ergoedhuis Promemorie
Ergoedhuis PromemorieErgoedhuis Promemorie
Ergoedhuis Promemorie
 
El amor para zayn malik
El amor para zayn malikEl amor para zayn malik
El amor para zayn malik
 
Assignment 1 Draft
Assignment 1 DraftAssignment 1 Draft
Assignment 1 Draft
 
料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015
料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015
料理研究一家「古川家」を支えるツールと技術 | CPI MEGA MIX 2015
 
Sectur
SecturSectur
Sectur
 
Testes hp
Testes hpTestes hp
Testes hp
 
Best Practices for Constituent Management
Best Practices for Constituent ManagementBest Practices for Constituent Management
Best Practices for Constituent Management
 
2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
2015/09/28付 オリジナルiTunes週間トップソングトピックス
 
Making healthcare analytics fast, easy and flexible
Making healthcare analytics fast, easy and flexibleMaking healthcare analytics fast, easy and flexible
Making healthcare analytics fast, easy and flexible
 
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0
 
Using Change Management to Transform Your Library Workshop
Using Change Management to Transform Your Library WorkshopUsing Change Management to Transform Your Library Workshop
Using Change Management to Transform Your Library Workshop
 
Making Rajasthan Green using Weather Modificatin Technologies
Making Rajasthan Green using Weather Modificatin Technologies Making Rajasthan Green using Weather Modificatin Technologies
Making Rajasthan Green using Weather Modificatin Technologies
 

Ähnlich wie Lee piensa y aprende maestro

Lee piensa maestro matematicas
Lee piensa maestro matematicasLee piensa maestro matematicas
Lee piensa maestro matematicasValentin Flores
 
Leepiensamaestrosmatematicas
LeepiensamaestrosmatematicasLeepiensamaestrosmatematicas
LeepiensamaestrosmatematicasDany Bocarando
 
10 pasos de based project learning
10 pasos de based project learning10 pasos de based project learning
10 pasos de based project learningJuanChacn18
 
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?ProfessorPrincipiante
 
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptx
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptxRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptx
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptxLiliana Lorenzo
 
Resolucion de problemas
Resolucion de problemasResolucion de problemas
Resolucion de problemastutuy10
 
Taller Resolucion De Problemas
Taller Resolucion De ProblemasTaller Resolucion De Problemas
Taller Resolucion De Problemasmane289
 
Robert Marzano - Las Dimensiones del aprendizaje
Robert Marzano - Las Dimensiones del aprendizajeRobert Marzano - Las Dimensiones del aprendizaje
Robert Marzano - Las Dimensiones del aprendizajeHermes Price
 
Resolucion de problemas
Resolucion de problemasResolucion de problemas
Resolucion de problemasRoxana Cedeño
 
Aprender mate x medio de la resolución de problemas
Aprender mate x medio de la resolución de problemasAprender mate x medio de la resolución de problemas
Aprender mate x medio de la resolución de problemasalexhdez7
 
Aprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemasAprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemasIldebranda Lopez
 

Ähnlich wie Lee piensa y aprende maestro (20)

Lee piensa maestro matematicas
Lee piensa maestro matematicasLee piensa maestro matematicas
Lee piensa maestro matematicas
 
Leepiensaydecidetercerafasemaestro.pdf
Leepiensaydecidetercerafasemaestro.pdfLeepiensaydecidetercerafasemaestro.pdf
Leepiensaydecidetercerafasemaestro.pdf
 
Leepiensamaestrosmatematicas
LeepiensamaestrosmatematicasLeepiensamaestrosmatematicas
Leepiensamaestrosmatematicas
 
Matematicas maestro en_revision
Matematicas maestro en_revisionMatematicas maestro en_revision
Matematicas maestro en_revision
 
10 pasos de based project learning
10 pasos de based project learning10 pasos de based project learning
10 pasos de based project learning
 
Clase 1
Clase 1Clase 1
Clase 1
 
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?
 
Papa 4
Papa 4Papa 4
Papa 4
 
1. aprendizaje basado en problemas
1. aprendizaje basado en problemas1. aprendizaje basado en problemas
1. aprendizaje basado en problemas
 
Octavo Postulado
Octavo PostuladoOctavo Postulado
Octavo Postulado
 
Primera parte 1
Primera parte 1Primera parte 1
Primera parte 1
 
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptx
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptxRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptx
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..pptx
 
Matenuevo
MatenuevoMatenuevo
Matenuevo
 
Resolucion de problemas
Resolucion de problemasResolucion de problemas
Resolucion de problemas
 
Taller Resolucion De Problemas
Taller Resolucion De ProblemasTaller Resolucion De Problemas
Taller Resolucion De Problemas
 
Robert Marzano - Las Dimensiones del aprendizaje
Robert Marzano - Las Dimensiones del aprendizajeRobert Marzano - Las Dimensiones del aprendizaje
Robert Marzano - Las Dimensiones del aprendizaje
 
Resolucion de problemas
Resolucion de problemasResolucion de problemas
Resolucion de problemas
 
Curso de matematicas
Curso de matematicasCurso de matematicas
Curso de matematicas
 
Aprender mate x medio de la resolución de problemas
Aprender mate x medio de la resolución de problemasAprender mate x medio de la resolución de problemas
Aprender mate x medio de la resolución de problemas
 
Aprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemasAprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemas
 

Mehr von Valentin Flores

Como escanear editar y guardar en pdf
Como escanear editar y guardar en pdfComo escanear editar y guardar en pdf
Como escanear editar y guardar en pdfValentin Flores
 
Justicia para los pueblos originarios de Mexico
Justicia para los pueblos originarios de MexicoJusticia para los pueblos originarios de Mexico
Justicia para los pueblos originarios de MexicoValentin Flores
 
Aprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigrado
Aprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigradoAprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigrado
Aprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigradoValentin Flores
 
El lagarto proyecto de aprendizaje
El lagarto proyecto de aprendizajeEl lagarto proyecto de aprendizaje
El lagarto proyecto de aprendizajeValentin Flores
 
El cuadradito proyecto de aprendizaje
El cuadradito proyecto de aprendizajeEl cuadradito proyecto de aprendizaje
El cuadradito proyecto de aprendizajeValentin Flores
 
Como hacer conferencias en linea con google meet
Como hacer conferencias en linea con google meetComo hacer conferencias en linea con google meet
Como hacer conferencias en linea con google meetValentin Flores
 
Coronavirus covid19 como informar a tus hijos
Coronavirus covid19 como informar a tus hijosCoronavirus covid19 como informar a tus hijos
Coronavirus covid19 como informar a tus hijosValentin Flores
 
Coronavirus informacion para escuelas
Coronavirus informacion para escuelasCoronavirus informacion para escuelas
Coronavirus informacion para escuelasValentin Flores
 
Mitos sobre el coronavirus covid 19
Mitos sobre el coronavirus covid 19Mitos sobre el coronavirus covid 19
Mitos sobre el coronavirus covid 19Valentin Flores
 
Coronavirus informacion general
Coronavirus informacion generalCoronavirus informacion general
Coronavirus informacion generalValentin Flores
 
Comunidad profesional de aprendizaje con enfoque intercultural
Comunidad profesional de aprendizaje con enfoque interculturalComunidad profesional de aprendizaje con enfoque intercultural
Comunidad profesional de aprendizaje con enfoque interculturalValentin Flores
 
Modelo educativo sociocultural nayarit 2019
Modelo educativo sociocultural nayarit 2019Modelo educativo sociocultural nayarit 2019
Modelo educativo sociocultural nayarit 2019Valentin Flores
 
Ideologia y alienacion en educacion indigena v3
Ideologia y alienacion en educacion indigena v3Ideologia y alienacion en educacion indigena v3
Ideologia y alienacion en educacion indigena v3Valentin Flores
 
Enfoque intercultural de la educacion
Enfoque intercultural de la educacionEnfoque intercultural de la educacion
Enfoque intercultural de la educacionValentin Flores
 
Reconocernos distintos y valorarnos
Reconocernos distintos y valorarnosReconocernos distintos y valorarnos
Reconocernos distintos y valorarnosValentin Flores
 
Aprender a traves de relaciones tutoras
Aprender a traves de relaciones tutorasAprender a traves de relaciones tutoras
Aprender a traves de relaciones tutorasValentin Flores
 
Rubrica para evaluar la demostracion publica
Rubrica para evaluar la demostracion publicaRubrica para evaluar la demostracion publica
Rubrica para evaluar la demostracion publicaValentin Flores
 
Rubrica para evaluar el registro de aprendizaje
Rubrica para evaluar el registro de aprendizajeRubrica para evaluar el registro de aprendizaje
Rubrica para evaluar el registro de aprendizajeValentin Flores
 
Cursos en línea 2017 Nayarit
Cursos en línea 2017 NayaritCursos en línea 2017 Nayarit
Cursos en línea 2017 NayaritValentin Flores
 

Mehr von Valentin Flores (20)

Como escanear editar y guardar en pdf
Como escanear editar y guardar en pdfComo escanear editar y guardar en pdf
Como escanear editar y guardar en pdf
 
Justicia para los pueblos originarios de Mexico
Justicia para los pueblos originarios de MexicoJusticia para los pueblos originarios de Mexico
Justicia para los pueblos originarios de Mexico
 
Aprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigrado
Aprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigradoAprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigrado
Aprendiendo a traves de la relacion tutora en grupos multigrado
 
El lagarto proyecto de aprendizaje
El lagarto proyecto de aprendizajeEl lagarto proyecto de aprendizaje
El lagarto proyecto de aprendizaje
 
Derechos de los ninios
Derechos de los niniosDerechos de los ninios
Derechos de los ninios
 
El cuadradito proyecto de aprendizaje
El cuadradito proyecto de aprendizajeEl cuadradito proyecto de aprendizaje
El cuadradito proyecto de aprendizaje
 
Como hacer conferencias en linea con google meet
Como hacer conferencias en linea con google meetComo hacer conferencias en linea con google meet
Como hacer conferencias en linea con google meet
 
Coronavirus covid19 como informar a tus hijos
Coronavirus covid19 como informar a tus hijosCoronavirus covid19 como informar a tus hijos
Coronavirus covid19 como informar a tus hijos
 
Coronavirus informacion para escuelas
Coronavirus informacion para escuelasCoronavirus informacion para escuelas
Coronavirus informacion para escuelas
 
Mitos sobre el coronavirus covid 19
Mitos sobre el coronavirus covid 19Mitos sobre el coronavirus covid 19
Mitos sobre el coronavirus covid 19
 
Coronavirus informacion general
Coronavirus informacion generalCoronavirus informacion general
Coronavirus informacion general
 
Comunidad profesional de aprendizaje con enfoque intercultural
Comunidad profesional de aprendizaje con enfoque interculturalComunidad profesional de aprendizaje con enfoque intercultural
Comunidad profesional de aprendizaje con enfoque intercultural
 
Modelo educativo sociocultural nayarit 2019
Modelo educativo sociocultural nayarit 2019Modelo educativo sociocultural nayarit 2019
Modelo educativo sociocultural nayarit 2019
 
Ideologia y alienacion en educacion indigena v3
Ideologia y alienacion en educacion indigena v3Ideologia y alienacion en educacion indigena v3
Ideologia y alienacion en educacion indigena v3
 
Enfoque intercultural de la educacion
Enfoque intercultural de la educacionEnfoque intercultural de la educacion
Enfoque intercultural de la educacion
 
Reconocernos distintos y valorarnos
Reconocernos distintos y valorarnosReconocernos distintos y valorarnos
Reconocernos distintos y valorarnos
 
Aprender a traves de relaciones tutoras
Aprender a traves de relaciones tutorasAprender a traves de relaciones tutoras
Aprender a traves de relaciones tutoras
 
Rubrica para evaluar la demostracion publica
Rubrica para evaluar la demostracion publicaRubrica para evaluar la demostracion publica
Rubrica para evaluar la demostracion publica
 
Rubrica para evaluar el registro de aprendizaje
Rubrica para evaluar el registro de aprendizajeRubrica para evaluar el registro de aprendizaje
Rubrica para evaluar el registro de aprendizaje
 
Cursos en línea 2017 Nayarit
Cursos en línea 2017 NayaritCursos en línea 2017 Nayarit
Cursos en línea 2017 Nayarit
 

Último

La Planificacion en Educacion Inicial EDU7 Ccesa007.pdf
La Planificacion en Educacion Inicial   EDU7    Ccesa007.pdfLa Planificacion en Educacion Inicial   EDU7    Ccesa007.pdf
La Planificacion en Educacion Inicial EDU7 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docxUNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docxOlgaLuzFloresGonzale
 
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF ArgentinaManual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF ArgentinaUPF Argentina
 
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 4° GRADO 2024.docx
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA  4°  GRADO 2024.docxEVALUACIÓN DIAGNÓSTICA  4°  GRADO 2024.docx
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 4° GRADO 2024.docxssuser9be75b1
 
3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2xc025079
 
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.docPlanes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.docVaniecitaValverde
 
8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
Unidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocx
Unidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocxUnidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocx
Unidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocxOlgaLuzFloresGonzale
 
Certificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptx
Certificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptxCertificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptx
Certificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptxMassiel Gutierrez Espinosa
 
Proyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docxProyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docxYANETH ARENAS VALDIVIA
 
ROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdf
ROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdfROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdf
ROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdfavitiadgo
 
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptxPROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptxMarthaAlejandraHerna1
 
Lengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghh
Lengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghhLengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghh
Lengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghhDidiexy1
 
1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIAMINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIANELLYKATTY
 

Último (20)

La Planificacion en Educacion Inicial EDU7 Ccesa007.pdf
La Planificacion en Educacion Inicial   EDU7    Ccesa007.pdfLa Planificacion en Educacion Inicial   EDU7    Ccesa007.pdf
La Planificacion en Educacion Inicial EDU7 Ccesa007.pdf
 
4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
4. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docxUNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docx
 
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
 
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF ArgentinaManual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
 
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 4° GRADO 2024.docx
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA  4°  GRADO 2024.docxEVALUACIÓN DIAGNÓSTICA  4°  GRADO 2024.docx
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 4° GRADO 2024.docx
 
Repaso Ejercicios Pruebas CRECE-PR-2024.pptx
Repaso Ejercicios Pruebas CRECE-PR-2024.pptxRepaso Ejercicios Pruebas CRECE-PR-2024.pptx
Repaso Ejercicios Pruebas CRECE-PR-2024.pptx
 
3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
3. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
5. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
 
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.docPlanes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
 
8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
8. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
Unidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocx
Unidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocxUnidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocx
Unidad 00 CIENCIA Y TECNOLOGÍA. sesión de bienvenidadocx
 
Certificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptx
Certificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptxCertificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptx
Certificado de Profesionalidad SSCM0108 massiel gutierrez.pptx
 
Proyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docxProyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docx
 
ROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdf
ROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdfROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdf
ROSAURA REVUELTAS, ESPERANZA Y LA SAL DE LA TIERRA (1).pdf
 
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptxPROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
 
Lengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghh
Lengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghhLengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghh
Lengua Y Literatura 8 Básico 2024 pdfghh
 
1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
1. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIAMINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
 

Lee piensa y aprende maestro

  • 1. Lee, piensa, decide y aprende Segunda fase Guía del maestro Programa Escuelas de Calidad Programa para la Mejora del Logro Educativo Programa de Razonamiento Lógico Matemático y Aplicación de la Ciencia a la Vida Cotidiana
  • 3. Secretaría de Educación Pública Alonso Lujambio Irazábal Subsecretaría de Educación Básica José Fernando González Sánchez Contenido Dirección General de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa Juan Martín Martínez Becerra Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio Leticia Gutiérrez Corona Dirección General de Educación Indígena Rosalinda Morales Garza Dirección General de Materiales Educativos Introducción 3 María Edith Bernáldez Reyes Dirección General de Desarrollo Curricular Leopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez Sesión 1. Operaciones con Coordinación Nacional para el Fortalecimiento del Logro Educativo números naturales 4 L. Dalila López Salmorán Sesión 2. Fracciones 8 Lee, piensa, decide y aprende. Segunda fase. Guía del maestro es una obra del Programa Escuelas de Calidad en coordinación con el Programa para la Mejora del Logro Educativo, ambos de la Dirección General de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa (DGDGIE), de la Subsecretaría de Educación Básica. Sesión 3. Proporcionalidad 15 Coordinación General Lilia Dalila López Salmorán Daniel Hernández Ruiz Coordinación Académica Sesión 4. Geometría 21 Araceli Castillo Macias Autora Ana Laura Barriendos Revisión Técnico-Pedagógica Equipo Técnico del Programa para la Mejora del Logro Educativo Diseño Sociedad para el Desarrollo Educativo Prospectiva SA de CV Jorge Isaac Guerrero Reyes Ilustraciones Rocío Padilla Medina Coordinación y cuidado editorial Esteban Manteca Aguirre Tonatiuh Arroyo Cerezo “Este programa está financiado con recursos públicos aprobados por la Cámara de Diputados del H. Congreso de la Unión y queda prohibido su uso para fines partidistas, electorales o de promoción personal de los funcionarios”: Ley Federal de Transparencia y Acceso a la Información Pública Gubernamental. Primera edición: 2011 ISBN: 978-607-8017-42-3 DR © Secretaría de Educación Pública, 2011 Argentina 28, Colonia Centro Histórico, CP 06020; México, DF Impreso en México Distribución gratuita – Prohibida su venta
  • 4. Introducción Maestro, maestra: Con la Guía. Lee, piensa, decide y aprende. Acepta el reto es el primer momento, Segunda fase se pretende apoyar a los alum- y se propone para que el alumno lea el nos en su tránsito a la secundaria, mediante problema, lo comprenda y busque infor- el fortalecimiento de algunos temas que estu- mación en otras fuentes para recordar diaron en la primaria. Se han elegido cuatro aquello que considere necesario. Usted temas, que se consideran de gran importancia puede apoyar, tanto para que no queden en la asignatura de Matemáticas y cuyo estudio dudas respecto a la comprensión del pro- continuará en la secundaria cada vez con más blema como en la búsqueda de conceptos profundidad: las operaciones básicas, las frac- y en los repasos que realice el alumno. ciones, la proporcionalidad y la geometría. Resuelve es el momento en que cada Para el estudio de cada tema se presenta una estudiante debe explorar el problema y situación en la que cuatro amigos se plantean plantear una estrategia de solución. Es un problema relacionado con las matemáticas. importante que usted dé tiempo para ello Se pide, entonces, a los alumnos que exploren y permita que cada uno proponga sus posibles soluciones para dicho problema, y procedimientos, incluso si son erróneos. cuando ya tienen al menos una, correcta o no, Más adelante tendrán tiempo de revisarlos se les muestran distintas maneras de resolverlo. y corregirlos, cuando sea necesario. Con esto se busca que los alumnos conozcan Desarrolla y comprueba es la diversos procedimientos de solución y amplíen sección más amplia en la Guía. En ella se sus herramientas para resolver problemas. presentan distintas maneras de resolver el Cada sesión se estructura con cuatro momen- problema inicial. Vayan trabajando cada tos, identificados por medio de los siguientes idea en grupo y aclare dudas cuando sea iconos: necesario. Es importante que lleguen a esta parte después de que cada alumno haya planteado una posible solución. Acepta el reto Analiza lo aprendido presenta información sobre el tema abordado en el problema. En esta parte, usted puede Resuelve enfatizar el hecho de que con diferentes procedimientos propuestos se puede llegar a las mismas respuestas, aunque no nece- Desarrolla sariamente todos son igual de económicos y comprueba ni permiten obtener exactamente la misma información. Es también momento para Analiza que los alumnos escriban qué fue lo que lo aprendido aprendieron y vuelvan a su solución inicial. 3
  • 5. Sesión 1 Operaciones con números naturales Aprendizajes esperados Utiliza distintos métodos para abordar problemas que involucran opera- ciones con números naturales. La situación planteada a los alumnos En este problema se plantea una situación en la que los alumnos deberán emplear conocimientos adquiridos a lo largo de la educación primaria sobre operaciones básicas. Además, se presentan varias formas de resolución que pretenden enriquecer sus herramientas para cuando deban en- frentarse a situaciones similares. Sugerencias para abordar el problema Permita que los alumnos lean el planteamiento del problema y luego pregúnteles si lo han comprendido. Aclare dudas si es necesario, pero no adelante respuestas ni procedimientos de resolución. En este problema, un aspecto que puede generar confusión es el siguiente: es claro que si Da- niela y Octavio empiezan el recorrido al mismo tiempo desde la línea de salida, ella llegará antes porque avanza 500 metros en un minuto, mientras Octavio avanza 400 metros en un minuto. Cuando Lucas y Pamela se preguntan si Daniela seguiría siendo la ganadora dándole una ventaja a Octavio de 300 metros, hay que considerar un esquema como éste: Octavio 0m META 300m 1000m 2000m 3000m Daniela 4
  • 6. Si los alumnos manifiestan dudas al respecto, explique que ambos salen en el minuto cero, pero Octavio lo hace desde la línea de 300 metros y Daniela desde la línea de salida (o cero metros). Con esta información, tendrán los elementos suficientes para empezar a trabajar por sí mismos. Se espera que cada alumno desarrolle una estrategia personal (correcta o no) para resolver la situación. Permita que cada uno de los alumnos avance a su propio ritmo y que colaboren entre ellos; si se lo solicitan, intervenga para aclarar dudas. Una vez que hayan planteado una primera versión de su respuesta, pueden seguir resolviendo. Conforme avancen, verán que en la Guía se presentan varias maneras de resolver el proble- ma. Es muy probable que cada alumno encuentre ahí la estrategia que empleó; con las demás estrategias conocerá otras formas de resolución y podrá verificar sus propios resultados mediante distintos métodos. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía Lo primero que se propone a los alumnos es averiguar cuánto tiempo tardará Daniela en recorrer los 4000 metros, y para ello se les plantean varias operaciones, entre las que deberán elegir aque- lla que permita resolver la cuestión. Aunque la operación 4000 – 500 no permite resolver el problema, algunos alumnos pueden pensar que es posible emplearla si se reitera: 4000 − 500 = 3500 3500 − 500 = 3000 … 500 − 500 = 0 Cada resta representa lo que Daniela recorre en un minuto, y como habría 8 restas, los 4000 metros los habría recorrido en 8 minutos. Mediante la división 4000 ÷ 500 se llega a una solución con un solo paso. Implica comprender que el recorrido se divide en tramos de 500 metros (lo que Daniela recorre por cada minuto) y, por lo tanto, el resultado será el número de minutos que requiere para completarlos. Puede preguntar a los alumnos por qué las otras operaciones no son útiles para averiguar el dato buscado; por ejemplo, en 500 + 4000 ¿qué sentido tiene sumar la longitud de todo el reco- rrido y los metros que Daniela avanza cada minuto? Enseguida se plantea otra manera de resolver el problema: una tabla de proporcionalidad directa. En una columna están los minutos y en la otra los metros que recorre Daniela. Al com- pletarla, los alumnos deberían obtener el mismo resultado que con la operación elegida anterior- mente. Pídales que lo verifiquen y que comparen entre ellos sus resultados. Para averiguar cuántos minutos le tomará a Octavio completar el recorrido sin los 300 metros de ventaja, se pide a los alumnos utilizar los mismos métodos: una operación y una tabla de proporcionalidad. Se espera que con ambos métodos obtengan los mismos resultados: Daniela: 8 minutos Octavio: 10 minutos 5
  • 7. En las tablas podrán ver, además, que cuando Daniela completa los 4000 metros, Octavio apenas lleva 3200 metros recorridos, así que, cuando han transcurrido 8 minutos desde el inicio de la carrera, ella lo aventaja por 800 metros. Metros Minutos Daniela Octavio 0 0 0 1 500 400 2 1000 800 3 1500 1200 4 2000 1600 5 2500 2000 6 3000 2400 7 3500 2800 8 4000 3200 9 3600 10 4000 Una vez hecho esto, se plantea la resolución del problema original: quién ganaría la carrera si a Octavio se le dan 300 metros de ventaja. En una tabla1 quedaría así: Metros Minutos Daniela Octavio 0 0 300 1 500 700 2 1000 1100 3 1500 1500 4 2000 1900 5 2500 2300 6 3000 2700 7 3500 3100 8 4000 3500 9 3900 10 4300 1 Esta tabla es de variación, pero ya no de proporcionalidad; la ventaja de 300 metros que le dan a Octavio hace que ese punto, si se grafica, ya no pase por (0, 0). 6
  • 8. Como puede observarse, de todas formas Daniela completaría primero el recorrido. Quizás al- gunos estudiantes intenten saber en qué fracción de minuto llega Octavio a la meta: como avanza 400 m en un minuto, después del minuto 9 recorre los últimos 100 m en la cuarta parte de un minuto, o bien en 15 segundos. Permita que los alumnos llenen el último renglón de acuerdo con su propio razonamiento. Nuevamente, a los alumnos se les plantea que la situación puede resolverse a través de ope- raciones aritméticas. Para saber cuántos metros avanza Daniela en 3 minutos, la multiplicación 500 × 3 es la indicada. Pregunte a los alumnos por qué las divisiones 4000 ÷ 500 y 4000 ÷ 3 no permiten averiguar lo que se quiere. Ahora bien, para saber cuántos metros avanzó Octavio sin la ventaja de 300 metros puede hacerse una operación similar: 400 × 3; pero si se quiere saber cuánto avanzó en 3 minutos con la ventaja de 300 metros, es necesario hacer más de una operación. Pregunte a los alumnos cómo lo averiguarían y deles tiempo para explorar una respuesta. Se espera que lleguen a: 400 × 3 = 1200 1200 + 300 = 1500 Cierre de la actividad Haga énfasis en que si utilizan operaciones, una tabla o la recta se obtienen los mismos resulta- dos; sin embargo, con la tabla y con la recta es posible tener más información; por ejemplo, en qué punto del recorrido estaban cuando habían transcurrido 6 minutos. Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 7
  • 9. Sesión 2 Fracciones Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican identificar a las fracciones como números que se repre- sentan y se ubican en la recta; asimismo, que con ellos se pueden realizar operaciones. La situación planteada a los alumnos Para resolver este problema, los alumnos necesitarán comparar y sumar fracciones que tienen distinto denominador. La recta numérica se presenta como un recurso que permite ubicar las fracciones para compararlas. Sugerencias para abordar el problema Permita que los alumnos lean el problema y, si tienen dudas, traten de aclararlas entre todos. Una vez que lo hayan comprendido, dé tiempo para que puedan trabajar buscando una solución. Cada alumno desarrollará una estrategia personal de resolución, correcta o no, para comparar y sumar las fracciones. Es posible que hagan sombreados de área, ubicación en la recta numérica o que las conviertan en números decimales. Permita que cada uno utilice la estrategia que le re- sulte mejor, y cuando hayan propuesto al menos una, sigan avanzando. 8
  • 10. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía El problema de los carritos podría pensarse así: Carrito de Primer impulso Segundo impulso Llegó a 4 1 Daniela 10 2 3 2 Pamela 6 5 3 11 Lucas 8 12 3 1 Octavio 5 3 11 Con los dos impulsos, el carrito de Lucas llegó a 12 porque la información dice que quedó a 1 1 11 12 de la meta, y 1 – 12 = 12 . Lo primero que se propone a los alumnos es averiguar en qué orden quedaron los carritos tras 4 3 3 3 2 el primer impulso. Para ello, deberán comparar 10 , 6 , 8 y 5 (el carrito de Octavio quedó a 5 3 de la meta, es decir, avanzó de cero a 5 ). Una estrategia para hacerlo sería la siguiente: Tres de estas fracciones tienen como numerador el 3, así que pueden compararse más fácilmente: 3 3 3 8 < 6 < 5 porque 1 1 1 8 < 6 < 5 También es cierto que: 4 1 10 < 2 3 1 6 = 2 3 1 8 < 2 3 1 5 > 2 Así que se tiene: 4 3 3 10 < 6 < 5 Y también: 3 3 3 8 < 6 < 5 Pero sigue faltando conocer en qué orden van las dos fracciones que son menores que 1 3 4 2 , es decir, 8 y 10 . Una manera de hacerlo es ésta: 4 1 1 10 + 10 = 2 3 1 1 8 + 8 = 2 9
  • 11. 1 1 4 3 Como 10 < 8 , entonces 10 > 8 Ahora sí, ya se pueden ordenar todas: 3 4 3 3 8 < 10 < 6 < 5 3 El carrito que llegó más lejos es el de Octavio ( 5 ) y el que avanzó menos fue el de 3 Lucas ( 8 ). El procedimiento sugerido a los alumnos es la ubicación de fracciones en la recta numérica; sin embargo, puede representar algunas dificultades para los alumnos ya que no está subdividida, sólo se muestran el inicio (0) y la meta (3). Ellos tendrán que hallar la manera para dividirla en octavos, décimos, sextos y quintos. Una forma sería con regla, midiendo todo el segmento y dividiéndolo por el denominador de- seado. A los alumnos se les propone que usen una hoja rayada. Si lo considera necesario, revisen la lección que se sugiere en la Guía y recuerde este procedimiento en grupo. La posición de los carritos tras el primer impulso queda así en la recta numérica: 4 3 10 5 Salida META 3 3 8 6 Los alumnos verán que es necesario hacer subdivisiones en décimos, sextos y octavos en la misma recta (los quintos quedarán sobre las marcas de los décimos). Una estrategia para facilitar la ubicación y la interpretación es utilizar varias rectas en vez de una; sin embargo, es importante que los alumnos sepan que si se ubican las fracciones en rectas numéricas distintas, éstas deben estar alineadas a la izquierda para que sea factible hacer la comparación. Las que aparecen en el inciso a) no están alineadas y resulta muy complicado compararlas. Pida a los alumnos que comenten sus ideas al respecto. 4 10 Daniela META 3 6 Pamela META 3 8 Lucas META 3 5 Octavio META Puede ser difícil para los alumnos marcar en las rectas el lugar al que llegaron los carritos con el segundo impulso. Esta tarea implica que haya un denominador común para las dos fracciones (la que representa lo que avanzó un carrito con el primer impulso y la que representa lo que avanzó con el segundo impulso). 10
  • 12. Para llevar a cabo este procedimiento, se sugiere proponer a los alumnos la búsqueda de frac- ciones equivalentes, por ejemplo: Carrito de Daniela 4 Primer impulso: 10 1 Segundo impulso: 2 1 La fracción 2 puede escribirse con el denominador 10: 1 5 2 = 10 4 En la recta quedaría así: partiendo de 10 (lo que avanzó el carrito con el primer impulso) 5 tendría que avanzar 10 más (lo que avanzó el carrito con el segundo impulso) y llegaría 9 a 10 . Eso fue lo que avanzó en total el carrito de Daniela. Con los otros carritos podría ser de la siguiente forma: Carrito de Pamela 3 Primer impulso: 6 2 Segundo impulso: 5 El denominador común más pequeño sería 30. La recta tendría que dividirse en treinta- vos y las fracciones quedarían así: 3 15 6 = 30 2 12 5 = 30 27 En total, el carrito de Pamela avanzó 30 Carrito de Lucas 3 Primer impulso: 8 11 Con los dos impulsos llegó a 12 El denominador común más pequeño sería 24. La recta tendría que dividirse en veinti- cuatroavos y las fracciones quedarían así: 3 9 8 = 24 11 22 12 = 24 13 Así, se puede saber que con el segundo impulso el carrito de Lucas avanzó 24 (porque 22 9 13 24 – 12 = 24 ). Carrito de Octavio 3 Primer impulso: 5 1 Segundo impulso: 3 El denominador común más pequeño sería 15. La recta tendría que dividirse en quin- ceavos y las fracciones quedarían así: 3 9 5 = 15 1 5 3 = 15 14 En total, el carrito de Pamela avanzó 15 11
  • 13. Si lo considera necesario, para apoyar esta tarea, revisen en grupo las lecciones que se sugie- ren en la Guía. Lee, piensa, decide y aprende. Segunda fase. 4 9 10 10 Daniela META 15 27 30 30 Pamela META 9 22 24 24 Lucas META 9 14 15 15 Octavio META A partir de este momento los alumnos sabrán en qué orden quedaron los carritos tras los dos impulsos: Octavio quedó en primer lugar, Lucas quedó en segundo lugar, y Daniela y Pamela quedaron empatadas en último lugar. Los alumnos ahora se enfrentarán con que deben averiguar a cuántos metros corresponde cada fracción en la pista (cuya longitud es de 3 metros). Para saberlo, deben considerar las fracciones en relación con lo que mide la pista. Hay varios procedimientos que pueden ser útiles, como poner los datos en una tabla o aproximar la medida ubicando el punto en una recta numérica. Fracción Metros Un entero mide 3 metros. 1 1 3 2 (que es la mitad de un entero) mide 1.5 m (que es la mitad de 3). 1 2 1.5 1 mide 1 m (que es la tercera parte 3 1 de 3). 3 1 1 5 0.6 1 10 (que es la décima parte de 1) mide 1 8 0.375 0.3 m (que es la décima parte de 3). 1 1 0.3 5 mide 0.6 m. 10 1 1 1 15 (que es la tercera parte de 5 ) mide 0.2 15 0.2 m (que es la tercera parte de 0.6). 1 1 24 0.125 30 mide 0.3 m. 1 30 0.1 1 8 mide 0.375 m. 1 1 ¿Cómo pueden los alumnos saber qué 24 (que es la tercera parte de 8 ) mide datos poner en la tabla? Sugiera que se fijen 0.125 m (que es la tercera parte de en las relaciones verticales, por ejemplo: 0.375). 12
  • 14. Así, para hallar cuántos metros recorrió en total cada carrito, pueden sumar las medidas frac- cionarias tantas veces como sea necesario: 1 1 1 El carrito de Daniela recorrió 10 + 10 + 10 … (nueve veces), es decir: 0.3 + 0.3 + 0.3… (nueve veces) = 2.7 metros. 1 1 1 El carrito de Pamela recorrió 30 + 30 + 30 … (veintisiete veces), es decir: 0.1 + 0.1 + 0.1… (veintisiete veces) = 2.7 metros. 1 1 1 El carrito de Lucas recorrió 24 + 24 + 24 … (veintidós veces), es decir, 0.125 + 0.125 + 0.125… (veintidós veces) = 2.75 metros. 1 1 1 El carrito de Octavio recorrió 15 + 15 + 15 … (catorce veces), es decir, 0.2 + 0.2 + 0.2… (catorce veces) = 2.8 metros. Rectas Para saber, utilizando la recta, cuántos metros avanzó el carrito de Daniela, hay que dividir el total de la pista en décimos, ya que cada décimo corresponde a 0.3 metros (porque 3 ÷ 10 = 0.3). 1.2 2.7 Daniela META 1m 2m 3m Daniela llegó con el primer impulso a 1.2 metros, y con los dos impulsos a 2.7 metros. Para el carrito de Pamela hay que dividir el total de la pista en treintavos, y tomar en cuenta que cada treintavo corresponde a 0.1 metros (porque 3 ÷ 30 = 0.1). 1.5 2.7 Pamela META 1m 2m 3m Pamela llegó con el primer impulso a 1.5 metros y con los dos impulsos a 2.7 metros. Para el carrito de Lucas hay que dividir el total de la pista en veinticuatroavos, y recordar que cada veinticuatroavo corresponde a 0.125 metros (porque 3 ÷ 24 = 0.125). 1.125 2.75 Lucas META 1m 2m 3m Lucas llegó con el primer impulso a 1.125 metros y con los dos impulsos a 2.75 metros. 13
  • 15. Para el carrito de Octavio hay que dividir el total de la pista en quinceavos, y considerar que cada quinceavo corresponde a 0.2 metros (porque 3 ÷ 15 = 0.2). 1.8 2.8 Octavio META 1m 2m 3m Octavio llegó con el primer impulso a 1.8 metros y con los dos impulsos a 2.8 metros. También se propone a los alumnos resolver sumas de fracciones (la que corresponde al primer impulso más la del segundo impulso). Para sumar fracciones con distinto denominador, los alum- nos deben seguir el principio de hallar un denominador común encontrando fracciones equiva- 4 1 5 lentes. No obstante, es frecuente que los alumnos cometan algunos errores, como 10 + 2 = 12 . Si detecta alguno, aproveche este momento para aclararlo. Una forma en que podrían quedar las sumas es la siguiente: Carrito de Daniela 4 1 10 + 2 = 4 5 9 10 + 10 = 10 Carrito de Pamela 3 2 6 + 5 = 15 12 27 30 + 30 = 30 Carrito de Lucas 3 11 8 + __ = 12 9 22 24 + __ = 24 9 13 22 24 + 24 = 24 Carrito de Octavio 3 1 5 + 3 = 9 5 14 15 + 15 = 15 Cierre de la actividad Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 14
  • 16. Sesión 3 Proporcionalidad Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican identi- ficar la relación que existe entre cantidades proporcionales. La situación planteada a los alumnos En este problema se plantea una situación de proporcionalidad en la que deben hallarse ciertos datos. Los alumnos ya tienen experiencia resolviendo este tipo de situaciones y ahora, además, tendrán oportunidad de emplear distintos procedimientos para hacerlo. Sugerencias para abordar el problema La situación de calcular los ingredientes de una receta es conocida por los alumnos; seguramente, ellos habrán desarrollado anteriormente estrategias para resolver este tipo de problemas. Permita que expresen sus ideas y que resuelvan el problema como crean conveniente, pero no deberán avanzar más hasta que cada uno tenga una propuesta de solución. Dé tiempo para que cada alumno desarrolle una estrategia personal, aunque no sea correcta. Una estrategia errónea que se explora al inicio es sumar cierta cantidad a todos los ingredientes (el procedimiento que propone Daniela). Si algunos alumnos la eligieron, permítales seguir avan- zando, conforme resuelvan los siguientes incisos podrán darse cuenta de que no se obtienen las cantidades correctas. 15
  • 17. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía El procedimiento que sugiere Lucas es erróneo. Es cierto que debe emplearse una mayor cantidad de cada ingrediente, pero para que se conserve el sabor original de las galletas, dicho aumento debe ser proporcional. La idea de Daniela no se concreta en una estrategia correcta: sumando 20 gramos, mililitros, etcétera, a cada ingrediente no se mantendrán las proporciones correctas en la receta. El proce- dimiento que sugiere Octavio es correcto, se basa en la idea de al doble le toca el doble, al triple el triple, etcétera. Empleando este procedimiento, lo que necesitarán para obtener la respuesta al problema es pasar de los ingredientes para 80 galletas a los ingredientes para 100 galletas; es decir, aumentar a todos los ingredientes una cuarta parte (porque 80 + 20 = 100, y 20 es la cuarta parte de 80). Con los siguientes procedimientos recordarán qué significa que el aumento sea proporcional. Propuesta de Lucas Como puede verse, en esta propuesta la cantidad de galletas va aumentando de 80 en 80 y se llega hasta 400 galletas, para que el cálculo de 100 galletas sea más sencillo (los ingredientes para 400 galletas ÷ 4 = los ingredientes para 100 galletas). Cantidad de Yemas de Latas de leche galletas huevo 80 4 1 160 8 2 240 12 3 320 16 4 400 20 5 5 1 100 5 4 o1 4 Propuesta de Pamela Pamela desea saber cuántos gramos de nuez y cuántas cucharadas de vainilla se necesitan para preparar 20 galletas, pues si suma dichas cantidades a los ingredientes que se emplean para pre- parar 80 galletas obtendrá cuánto necesita para 100 galletas. Cantidad de nuez Cantidad de vainilla 80 galletas  200 g de nuez 80 galletas  Una cucharada de vainilla   1 40 galletas 100 g de nuez 40 galletas 2 cucharada de vainilla   1 20 galletas 50 g de nuez 20 galletas 4 de cucharada de vainilla 16
  • 18. Propuesta de Daniela En este punto se plantea a los alumnos otro procedimiento: hallar la cantidad de mantequilla necesaria para una galleta dividiendo 400 entre 80, multiplicar el resultado por 100 y obtener así el número buscado. Al procedimiento que consiste en hallar qué número corresponde al 1 se le llama valor unitario. En este caso, al dividir entre 80 las cantidades de cada ingrediente se puede saber qué cantidad se necesita de cada uno para hornear una galleta. 400 g de mantequilla ÷ 80 = 5 g de mantequilla. Se necesitan 5 g de mantequilla para preparar una galleta. 5 g de mantequilla × 100 = 500 g de mantequilla. Se necesitan 500 g de mantequilla para preparar 100 galletas. Para la harina se sugiere hacer operaciones con números decimales. Se espera que escribir 1 1 3 2 como decimal no sea problemático para los alumnos, ya que la fracción 2 es fácilmente identificada como la mitad o 0.5. Una vez escrita la cantidad de harina como 3.5 tazas, hay que dividirla entre 80 para hallar el valor unitario. 3.5 tazas de harina ÷ 80 = 0.04375 de taza de harina. Se necesita 0.04375 de taza de harina para preparar una galleta. 0.04375 de taza de harina × 100 = 4.375 tazas de harina. Se necesitan 4.375 tazas de harina para preparar 100 galletas. Aproveche estos cálculos para repasar las operaciones con decimales. Una forma de resolver la división 3.5 ÷ 80 es la siguiente: 3.5 ÷ 10 = 0.35 Si ese resultado (0.35) se divide entre 2, equivale a dividir la cantidad original (3.5) entre 20. 0.35 ÷ 2 = 0.175 Si se vuelve a dividir entre 2, es como si se dividiera la cantidad original entre 40. 0.175 ÷ 2 = 0.0875 Dividirla nuevamente entre 2 equivale a dividir la cantidad original entre 80. 0.0875 ÷ 2 = 0.04375 Usando la operación que los alumnos conocen, hay que “quitar” el punto decimal del dividen- do, es decir, hay que encontrar una operación equivalente en la que no haya punto decimal: 80 3.5 = 800 35 Como el dividendo es menor que el divisor, habrá que realizar otros pasos: 0. 800 350 17
  • 19. Aún no “cabe” 800 en 350, así que se añaden más ceros. 0.0 800 3500 A partir de este punto ya se puede dividir 3500 entre 800. Utilicen la calculadora para verificar. 7 También se les plantea la posibilidad de dividir la fracción 2 entre 80 sin tener que escribirla como un número decimal. Los alumnos ya han hecho divisiones de fracciones entre números naturales, así que dé tiempo para que exploren una respuesta. Una manera de hacerlo es dividir la fracción entre 10 y el resultado dividirlo entre 8: 7 7 1 1 2 ÷ 10 = 20 (porque 20 es diez veces más chico que 2 ). 7 7 Los alumnos pueden comprobar esta operación sumando 20 + 20 … (diez veces) = 70 7 20 = 2 . 7 7 1 1 Después dividen 20 ÷ 8 = 160 (porque 160 es ocho veces menor que 20 ). 7 7 56 7 Se puede comprobar sumando 160 + 160… (ocho veces) = 160 = 20 . Las divisiones pueden escribirse en una tabla para ir encontrando las relaciones con mayor facilidad. Por ejemplo: Galletas Harina (tazas) 7 80 2 7 40 4 7 20 8 7 10 16 7 1 160 El principio que está detrás de la división de una fracción entre un número natural es que el denominador debe hacerse tantas veces más pequeño como sea el número natural entre el que se está dividiendo. 1 1 2 ÷2= 4 1 1 5 ÷ 3 = 15 2 2 6 ÷ 20 = 120 7 7 2 ÷ 80 = 160 Esta idea puede ser difícil de entender para los alumnos en este grado; proponga algunos ejemplos sencillos para que puedan darle sentido a estas divisiones, como: “Una tabla que mide 1/3 de metro va a dividirse en 4 partes, ¿cuánto medirá cada parte?”. 18
  • 20. Propuesta de Octavio Esta propuesta emplea el modelo de áreas para representar fracciones; pero, al igual que en las dos propuestas anteriores, la idea es buscar qué cantidad de ingredientes se necesita para prepa- rar 20 galletas y sumarla a la necesaria para preparar 80 galletas. 1 Para 80 galletas se necesita 2 taza de azúcar. 80 galletas Una taza de azúcar 1 Para 20 galletas se necesita la cuarta parte de esa 2 taza, porque 80 ÷ 4 = 20. 1 El rectángulo de color representa la cuarta parte de 2 . 1 Para los alumnos puede ser confuso entender esto: la cuarta parte de 2 no es igual a la cuarta parte de un entero. Haga hincapié en que el rectángulo completo es un entero y pregunte: • ¿En cuántos cuadritos se dividió? • ¿Qué fracción representa cada cuadrito? 1 • ¿Con cuántos de esos cuadritos se cubre 2 ? 1 • ¿Qué fracción del total del rectángulo representa la cuarta parte de 2 ? Se espera así que reconozcan lo siguiente: 80 galletas ÷ 4 = 20 galletas. 1 1 2 taza de azúcar ÷ 4 = 8 de taza de azúcar. 80 galletas + 20 galletas = 100 galletas. 1 1 5 2 taza de azúcar + 8 taza de azúcar = 8 de taza de azúcar. 1 1 Para sumar 2 + 8 pueden seguir empleando el modelo de áreas, o bien pregunte: 1 1 “¿Con cuántos octavos se puede cubrir 2 ?”. A esa cantidad hay que sumarle 8 . 19
  • 21. Con el chocolate se procede igual. Se necesita Para 20 galletas se necesita la cuarta parte por- ¼ taza para 80 galletas. que 80 ÷ 4 = 20. El rectángulo de color representa la cuarta 1 parte de 4 . Para ayudar a comprender esto, enfatice que el rectángulo completo es un entero y pregunte: • ¿En cuántos rectángulos se dividió? • ¿Qué fracción representa cada rectángulo? 1 • ¿Con cuántos de esos rectángulos se cubre 4 ? 1 • La cuarta parte de 4 , ¿qué fracción del total del rectángulo representa? Se espera así que reconozcan lo siguiente: 80 galletas ÷ 4 = 20 galletas. 1 1 4 taza de chocolate ÷ 4 = 16 de taza de chocolate. 80 galletas + 20 galletas = 100 galletas. 1 1 5 4 taza de chocolate + 16 taza de chocolate = 16 taza de chocolate. 1 1 Para sumar 4 + 16 también pueden seguir empleando el modelo de áreas, o bien cabe pregun- 1 1 tarles: “¿Con cuántos dieciseisavos se puede cubrir 4 ?”. A esa cantidad hay que sumarle 16 . Cierre de la actividad Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 20
  • 22. Sesión 4 Geometría Aprendizajes esperados Identifica estrategias para resolver problemas que implican calcular superficies y longitudes de figuras irregulares. La situación planteada a los alumnos En este problema se plantea a los alumnos la obtención del área y del perímetro de una figura con lados curvos. Ellos ya han estudiado cómo calcular áreas y perímetros de círculos, ahora se espera que utilicen esos conocimientos para resolver este problema. Sugerencias para abordar el problema Asegúrese de que los alumnos han comprendido que necesitan calcular el área de la figura delimi- tada por las líneas rojas. Puede pedirles que tracen los cuadrados y luego los arcos y que iluminen la superficie que deben calcular. C D E B A F 21
  • 23. Dé tiempo para que cada alumno explore una solución, no importa si ésta es correcta o no. Cuando terminen, pueden seguir resolviendo. Un error que suelen cometer es confundir el área con el perímetro. Esto se explora en el ma- terial para los alumnos. Comente esa información para que todos recuerden cuál es el perímetro y cuál es el área. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía El procedimiento de Daniela implica el cálculo del área de la figura roja a partir del cálculo de las áreas no sombreadas, de modo que obtiene primero el área del círculo completo y la del cuadrado que representa un mosaico. C D E 20 cm B 20 cm A F Área del cuadrado: 20 × 20 = 400 cm2 Área del círculo: π × r2 = 1256.64 cm2 El área de la figura roja delimitada por el arco trazado en el cuadrado ADEF es igual a la cuarta parte del área del círculo completo. 1256.64 cm2 ÷ 4 = 314.16 cm2 El área de la figura roja delimitada por el arco trazado en el rectángulo CDAB es igual al área del cuadrado menos el área de la cuarta parte del círculo completo. 400 cm2 − 314.16 cm2 = 85.84 cm2 El área de toda la figura roja es 314.16 cm2 + 85.84 cm2 = 400 cm2 22
  • 24. En el procedimiento de Pamela se observa que el pedazo de figura roja del primer mosaico es igual al que se forma fuera de la figura roja en el otro mosaico, es decir, que el área delimitada por los vértices BAD es igual al área delimitada por los vértices DEF. C D E B A F En la Guía para el alumno se sugiere que copien la figura completa, recorten las figuras men- cionadas y las pongan una encima de la otra para que comprueben que tienen la misma área. Entonces, si estas dos figuras tienen la misma área, se puede colocar la figura BAD en el lugar que ocupa la figura DEF y con ello se “completa” un cuadrado, es decir, se tiene completa el área de un mosaico. Así, pues, el área de la figura roja es igual al área de un mosaico (que mide 20 cm por lado) = 400 cm2. El procedimiento de Octavio pretende demostrar que los “gajos” que se forman al trazar las diagonales en el rectángulo son iguales. Sugiera a los alumnos que también copien esta figura, recorten los gajos mencionados y los pongan uno encima del otro para verificar que tienen la misma área. Entonces, se puede calcular el área de la figura roja obteniendo el área del triángulo. Como la base del rectángulo es 40 cm y la altura 20 cm, se tiene que: 40 × 20 = 400 2 Así que, mediante este procedimiento, el área de la figura roja es también 400 cm2. Para calcular el perímetro de la figura roja hay que obtener el perímetro de la circunferencia completa. Perímetro de la circunferencia: 2r × π = 125.66 cm Perímetro de la cuarta parte de la circunferencia: 125.66 cm ÷ 4 = 31.42 cm Perímetro de la figura roja: longitud del segmento BF + la cuarta parte del perímetro de la circunferencia + la cuarta parte del perímetro de la circunferencia: 40 cm + 31.42 cm + 31.42 cm = 102.84 cm Cierre de la actividad Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primer idea para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 23
  • 25. Se imprimió por encargo de la Subsecretaría de Educación Básica, en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V. San Lorenzo No. 244, colonia Paraje San Juan, CP 09830, México, D.F. Tel. (55) 5970 2600 / http://www.iepsa.gob.mx El tiraje fue de ejemplares.