【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター
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2018/1/25に開催されたUnity道場 物理シミュレーション完全マスター の講演スライドです。 講師：安原 祐二（ ユニティ・テクノロジーズ・ジャパン合同会社 ） ゲームのみならず様々なアプリケーションにおいて、物理挙動の導入は品質の向上や開発の効率化につながります。Unityに搭載されている物理シミュレーションはたいへん優れたもので、その原理を理解することでより一層表現力が高まるでしょう。この講演では、物理の初歩を丁寧に解説しつつ、プロの現場で応用されるテクニックについてお話しします。 こんな人にオススメ ・UnityでRigidbodyを使用したことのあるプログラマ ・物理シミュレーションの概観を知りたい方 得られる知見 ・コンピュータにおける物理シミュレーションの原理 ・物理シミュレーションを扱う上での注意点 ・物理シミュレーションの具体的な応用例 関連動画： [Unity道場 札幌スペシャル]プロが教える脱初心者スクリプト術！ https://youtu.be/FqjM9oujyNE Unityのイベント資料はこちらから： https://www.slideshare.net/UnityTechnologiesJapan/clipboards
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【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター
- 3. 積分 完全マスター
- 9. ３ 極小の長さぶんを
- 10. ３ 範囲ぶん足す
- 14. 長さmを長さmで積分→面積m2
- 17. 例：球の体積（部分） r S t V = Z t r Sdx = Z t r ⇡(r2 x2 )dx = ⇡[r2 x x3 3 ]t r = ⇡{r2 t t3 3 ( r2 r r3 3 )} = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 円の面積を重ねる 呪文 理解 x y
- 19. 物理シミュレーションの 最小実装
- 21. 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt;
- 22. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt;
- 23. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ
- 24. 動画 最小実装はこれだ！
- 25. public class MyRigidbody : MonoBehaviour { public Vector3 acceleration; public Vector3 velocity; public Vector3 position; const float dt = 1f/60f; public void AddForce(Vector3 force) { acceleration += force; } void FixedUpdate() { velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; if (position.y < 0.5f) { velocity = -velocity; } transform.position = position; acceleration = Vector3.zero; } }
- 30. 余裕 1/60秒
- 31. 余裕 1/60秒
- 32. 1/60秒 余裕
- 33. 1/60秒 余裕
- 34. 超過 1/60秒
- 35. 待機 1/60秒
- 36. 1/60秒 責任重大
- 42. 外力
- 45. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ 加速度があれば位置を出せる
- 46. 力ベクトルは足せる
- 50. AddForceは足すだけ void FixedUpdate() { Vector3 f = new Vector3(0f, -9.81f, 0f); // 重力 f += new Vector3(1f, 0f, 0f); // 風の影響 f += new Vector3(0f, 1f, 0f); // 浮力 rigidbody.AddForce(f); } こんなふうにあらかじめ足しても良い AddForceをそれぞれ呼ぶのと同じ
- 51. 外力の応用 浮力
- 54. 動画 浮力っぽい
- 55. 浮力の計算はたいへん 球で代用する V = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 単純な式で出せる！ 向きを考慮しなくていい 波の対応も容易 r S t x y
- 56. 力積
- 58. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= a a dv dt = mF= dv dt これも運動方程式
- 59. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= dv dtmF = dvdt 力積 運動量（速度）の変化
- 60. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= dv dtmF = dvdt 力積 力積も運動量も の変形に過ぎない F = ma 運動量（速度）の変化
- 65. ForceMode.Impulse rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse); 内部的には速度の直接変更 （ の右辺） 質量は考慮するが は考慮しない mF = dvdt dt
- 66. ForceMode.Impulse に依存しない速度変化になる OnCollisionEnterなどの瞬間的な力 rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse); 内部的には速度の直接変更 （ の右辺） 質量は考慮するが は考慮しない mF = dvdt dt dt
- 67. if (hit) { rb.AddForce(force); } if (hit) { rb.AddForce(force, ForceMode.Impulse); } 誤 正 を変えると動作が変わってしまう 瞬間的な外力には力積を使用する dt
- 68. Drag
- 70. 指定終端速度 を得るための外力 [Unity]RigidbodyのDragから終端速度を得る https://qiita.com/yuji_yasuhara/items/1f438f0f27f5ef854a73参 考 :質量 :Drag m k F = 1 dt vmk k v F
- 72. 物理シミュレーションの ウソ
- 77. 接触
- 78. 接触していない 移動
- 84. 慣性テンソル
- 86. 「質量 」 F = m dv dt m m F v 外力 ：速度v 質量は「動かしにくさ」
- 87. T = I d! dt 慣性テンソルは「回しにくさ」 回転ににおける「慣性テンソル 」 F = m dv dt 移動における「質量 」 m I m I T ! F v 外力 トルク ：速度v ：角速度!
- 88. 動画 慣性テンソルを可視化
- 92. B 行列 〜ベクトルに掛けるもの〜 BにPを掛けたらA AもBもひとつの値（スカラー）なら大きさしか変えない が、ベクトルの場合は大きさも方向も変えるのでPは行列 0 @ Ax Ay Az 1 A 0 @ Bx By Bz 1 A 0 @ P00 P01 P02 P10 P11 P12 P20 P21 P22 1 A= PA =
- 95. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ 再掲 加速度があれば位置を出せる
- 100. 動画 衝撃的な事実
- 101. 期待した動き 実際の動き 動画
- 106. 動画 慣性テンソルの性質
- 107. 速度と角速度の関係 !v = ⇥ r 運動方程式 = m d dt v f fT r= X ⇥ トルクと力の関係
- 108. !T = X r ⇥ m d dt ( ⇥r) 運動方程式 = m d dt v f 速度と角速度の関係 !v = ⇥ rfT r= X ⇥ トルクと力の関係 トルクと角速度の関係！
- 109. トルクと角速度の関係 ! = d dt T IT 右辺はベクトル を線形変換している この変換は必ず行列 とおけて ! （計算略） d dt I T = X r ⇥ m d dt ( ⇥r) トルクと角速度の関係！
- 111. ~A ⇥ ( ~B ⇥ ~C) = ( ~A · ~C) ~B ( ~A · ~B) ~C ~r ⇥ (~! ⇥ ~r) = (~r · ~r)~! (~r · ~!)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z) 0 @ rx ry rz 1 A = |~r|2 ~! 0 @ r2 x!x + rxry!y + rzrx!z rxry!x + r2 y!y + ryrz!z rzrx!x + ryrz!y + r2 z!z 1 A = (r2 x + r2 y + r2 z)~! 0 @ r2 x rxry rzrx rxry r2 y ryrz rzrx rxry r2 z 1 A 0 @ !x !y !z 1 A = 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A ~! 参考 密度と 物体形状で を 積分したものが 慣性テンソル I
- 112. 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A x y z a b c m abc Z c 2 c 2 Z b 2 b 2 Z a 2 a 2 (y2 + z2 )dxdydz = m 12 (b2 + c2 ) I = 0 @ m 12 (b2 + c2 ) 0 0 0 m 12 (c2 + a2 ) 0 0 0 m 12 (a2 + b2 ) 1 A 例：直方体の慣性テンソル ９要素すべてを計算
- 116. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 対角化とは0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 対角行列に変換する術 対角行列 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 =
- 117. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1
- 118. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1 I = IrIdIr 1
- 120. 動画 具体的に慣性テンソルを使う
- 121. public class SimpleRotator : MonoBehaviour { void Update() { if (Input.GetMouseButton(0)) { var rb = GetComponent<Rigidbody>(); var omega = new Vector3(0f, 1f, 0f); var R = transform.rotation; var RI = Quaternion.Inverse(transform.rotation); var Id = rb.inertiaTensor; var Ir = rb.inertiaTensorRotation; var IrI = Quaternion.Inverse(Ir); var torque = R * Ir * Vector3.Scale(Id, IrI * RI * omega); rb.AddTorque(torque, ForceMode.Impulse); } } } 鉛直の角速度をもたらすトルクを得るサンプル （現在の姿勢も考慮したもの）
- 124. おしまい