Pt mũ, logarit huỳnh đức khánh

Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH
MUÕ – LOGARIT

DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN
Phương trình mũ cơ b n có d ng: a x = m , trong ñó a > 0, a ≠ 1 và m là s ñã cho.

● N u m ≤ 0 , thì phương trình a x = m vô nghi m.
● N u m > 0 , thì phương trình a x = m có nghi m duy nh t x = log a m.
Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52
2) 3x +1 + 3x + 2 + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 2
3) 3x.2 x +1 = 72
2
−3x + 2 2
+ 6x +5 2
+3x +7
4) 4x + 4x = 42x +1

5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1
1) log 3 x ( x + 2 ) = 1

2) log 2 ( x 2 − 3) − log 2 ( 6x − 10 ) + 1 = 0

3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − 5 ) = 2

4) log 2 ( 2x +1 − 5 ) = x

Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau:
x −1
1) 3x +1 − 2.3x − 2 = 25 2) log 2 + log 2 ( x − 1)( x + 4 ) = 2
x+4
3) 3.2x +1 + 2.5x − 2 = 5x + 2x − 2 4) log x 2 16 − log x
7=2
x 3x −1
4 7
6) 2 log8 ( 2x ) + log 8 ( x 2 − 2x + 1) =
16 4
5)     − =0
7 4 49 3
1 1
7) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x +2
8) 2.5x +1 − .4 x + 2 − .5x + 2 = 4x +1
2

5 4

9) log 3
( x − 2 ) log5 x = 2 log3 ( x − 2 ) 10) 3 2x −5 − 5 2 x −7 = 32

11) 3 (10x − 6x + 2 ) + 4.10 x +1 = 5 (10x −1 − 6 x −1 )


DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ
Phương pháp ñưa v cùng cơ s
S d ng công th c:
● aα = a β ⇔ α = β .

 b > 0 ( hoÆc c > 0 )

● log a b = log a c ⇔ 
b = c

1) 52x +1 + 7 x +1 − 175x − 35 = 0 3) x 2 .2 x +1 + 2 x −3 + 2 = x 2 .2 x −3 + 4 + 2 x −1
1 1
+ 21− x = 2(
x +1)
2
2) 3.4x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 − .9 x +1 +x
+1
2 2
4) 4x
3 2
1) log x 2.log x 2 = log x 2
16 64

5
2) log 5x + log 5 x = 1
2

x
3) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x

1
4) log 2 ( 3x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1)
log ( x +3) 2

x −1
5) log 9 ( x 2 − 5x + 6 ) =
2 1
log 3
+ log 3 x − 3
2 2

( ) (
6) log 2 x 2 + 3x + 2 + log 2 x 2 + 7x + 12 = 3 + log 2 3 )
1 1
( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4x )
8
Bài 3. Gi i phương trình sau: log 2
2 4
2 − 3x
1
x
1) 9   = 27 x . 3 81x +3 6) log 5 ( 6 − 4x − x 2 ) = 2 log 5 ( x + 4 )
 3
1
2) 3.13x + 13x +1 − 2 x + 2 = 5.2 x +1 7) 2 log ( x − 1) = log x 5 − log x
2

3) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 8) 2 log9 x = log 3 x.log3
2
( )
2x + 1 − 1

x −1
4) log 5 ( x 2 + 2x − 3) = log 9) log 4 ( x 2 − 1) − log 4 ( x − 1) = log 4 x − 2
2
5
x+3

5) log 4 ( x + 1) + 2 = log 4 − x + log8 ( 4 + x )
2 3
2


DAÏNG 3. ÑÖA VEÀ DAÏNG TÍCH A.B = 0
+x −x
− 4.2 x − 22x + 4 = 0
2 2
Ví d 1: Gi i phương trình: 2x

HD: 2x
2
+x
− 4.2 x
2
−x
− 22x + 4 = 0 ⇔ (2 x2 −x
)
− 1 . ( 22x − 4 ) = 0

Nh n xét: M c dù cùng cơ s 2 nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t ñư c n ph do ñó ta ph i phân

(
tích thành 2 x
2
−x
)
− 1 . ( 22 x − 4 ) . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i.

1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x
+x −x
− 4.2x − 22x + 4 = 0
2 2
2) 2x
3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20

Ví d 2: Gi i phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3
2
( )
2x + 1 − 1 .

Nh n xét: Tương t như trên ta ph i bi n ñ i phương trình thành tích
log 3 x − 2 log 3
 ( )
2 x + 1 − 1  .log 3 x = 0 . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i.

T ng quát: Trong nhi u trư ng h p cùng cơ s nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t n ph
ñư c thì ta bi n ñ i thành tích.
Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x + 2.log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x .

DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ
S d ng công th c v hàm s mũ và lôgarit ñ bi n ñ i bài toán, sau ñó ñ t n s
ph , quy phương trình ñã cho v các phương trình ñ i s (phương trình ch a ho c
không ch a căn th c). Sau khi gi i phương trình trung gian ta quy v gi i ti p các
phương trình mũ ho c lôgarit cơ b n
A - Phương pháp ñ t n ph d ng 1.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + ... + α1a x + α 0 = 0 , khi ñó ta ñ t t = a x , t > 0 .

1
● Phương trình α1a x + α 2 b x + α 3 = 0 , v i a.b = 1 . Khi ñó ñ t t = a x , t > 0 ⇒ b x = , ta ñư c
t
phương trình: α1t 2 + α 3 t + α 2 = 0 .

● Phương trình α1a 2x + α 2 (ab) x + α 3 b 2x = 0 . Chia hai v cho a 2x ho c b 2x ta ñư c
2x x x
a a a
α1   + α 2   + α 3 = 0 , ñ t t =   , t > 0 .
b b b


1) 4x + x2 −2
− 5.2 x −1+ x2 −2
−6 = 0
2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0

( 26 + 15 3 ) ( ) ( )
x x x
3) +2 7+4 3 −2 2− 3 =1


(2 − 3) + (2 + 3)  8   x 1 
x x
1) = 14 3)  23x − 3x  − 6  2 − x −1  = 1
 2   2 

2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + 7 = 0 4) 27 x + 12 x = 2.8x
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
1
● N u ñ t t = log a x, ( x > 0 ) thì log a x = t k ; log x a = , 0 < x ≠ 1. .
k

t
● N u ñ t t = a logb x thì t = x logb a . Vì a logbc = clogba .

1) log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = 3
1
4) log x 3 + log 3 x = log x
3 + log 3 x +
2
2) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 5) log 2 ( x + 1) = log x +1 16

4
3) log x (125x ) .log 25 x = 1
2
6) ( 2 − log3 x ) log9x 3 − =1
1 − log 3 x

(
1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 ) 3)
log 2 x
=
log8 4x
log 4 2x log16 8x

2) log 2 x.log x (4x 2 ) = 12
2 4) log 2 x = log
3
( x +2 )
B - Phương pháp ñ t n ph d ng 2.
Phương pháp: Ý tư ng là s d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t
phương trình v i m t n ph nhưng các h só v n còn ch a n x. Khi ñó thư ng ta ñư c
m t phương trình b c 2 theo n ph có bi t s ∆ là m t s chính phương.
Ví d : Gi i phương trình: 9x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2x − 5 = 0 .

HD: ð t t = 3x (*) , khi ñó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2x − 5 = 0 ⇒ t = −1, t = 5 − 2x .

Thay vào (*) ta tìm ñư c x.
Lưu ý: Phương pháp này ch s d ng khi ∆ là s chính phương.


(
Gi i phương trình: 9x + x 2 − 3 3x − 2x 2 + 2 = 0 )
2 2
Bài 1.

Bài 2. Gi i phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + 3 − 16 = 0

Ví d 2: Gi i phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2x + 6 = 0
2

HD: ð t t = log 3 ( x + 1) , ta có: t 2 + ( x − 5 ) t − 2x + 6 = 0 ⇒ t = 2, t = 3 − x . Suy ra

x = 8, x = 2.

Bài 1. Gi i phương trình: lg 2 ( x 2 + 1) + ( x 2 − 5 ) lg ( x 2 + 1) − 5x 2 = 0

1) lg 2 x − lgxlog 2 ( 4x ) + 2log 2 x = 0

2) lg 4 x + lg 3 x − 2lg 2 x − 9lgx − 9 = 0
C - Phương pháp ñ t n ph d ng 3.
Phương pháp: L a ch n n ph thích h p r i chuy n phương trình v h ñơn gi n.
+1
+ 21− x = 2(x +1) + 1
2 2 2
Bài 1. Gi i phương trình: 4x
−3x + 2 + 6x + 5 +3x + 7
+ 4x = 42x +1
2 2 2
Bài 2. Gi i phương trình: 4x
S d ng 2 n ph cho 2 bi u th c logarit trong phương trình và khéo léo bi n ñ i phương
trình thành phương trình tích.

Bài 1. Gi i phương trình: log 2 x ( x − 1) + log 2 xlog 2 x 2 − x − 2 = 0
2
( )
Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x − log 2 x + log 3 x − log 2 xlog 3 x = 0
2

( ) ( )
log 2 x log 2 x
Bài 3. Gi i phương trình: 2 + 2 +x 2− 2 = 1 + x2

D - Phương pháp ñ t n ph d ng 4. ð t n ph chuy n thành h phương trình.

2x
8 18
Ví d : Gi i phương trình: x −1
+
= x −1 1− x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
x

8 1 18
HD: Vi t phương trình dư i d ng x −1
+ = x −1 1− x
1− x
, ñ t
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > 0 .

8 1 18
 + =
Nh n xét: u.v = u + v. T ñó ta có h :  u v u + v
u.v = u + v


Bài 1. Gi i phương trình: 22x − 2 x + 6 = 6


Bài 1. ( ) (
Gi i phương trình: log 2 x − x 2 − 1 + 3log 2 x + x 2 − 1 = 2 )
Bài 2. Gi i phương trình: 3 2 − lgx = 1 − lgx − 1

Bài 3. ( ) (
Gi i phương trình: 3 + log 2 x 2 − 4x + 5 + 2 5 − log 2 x 2 − 4x + 5 = 6 )
E - Phương pháp ñ t n ph d ng 5.
S d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t h phương trình v i m t n ph và
m t n x. Ta th c hi n các bư c:
+ ð t ñi u ki n có nghĩa cho phương trình.
+ Bi n ñ i phương trình v d ng: f(x; φ (x)) = 0.

 y = φ ( x)
+ ð t y = φ (x) ñưa v h :  .
 f ( x; y ) = 0
Chú ý: ð i v i phương trình logarít có m t d ng r t ñ c bi t, ñó là phương trình
d ng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β . V i d = ac + α ; e = bc + β .
Cách gi i:
0 < s ≠ 1
- ði u ki n có nghĩa c a phương trình: 
 dx + e ≠ 0
- ð t ay + b = log s (dx + e) khi ñó phương trình ñã cho tr thành:

 s ax +b = c(ay + b) + α x + β  s ax +b = acy + α x + bc + β  s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1)
 ⇔  ay +b ⇔  ay +b
ay + b = log s (dx + e) s = dx + e s = dx + e(2)

- L y (1) tr cho (2) ta ñư c: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3).

- Xét hàm s f ( x) = s at +b + act là hàm s dơn ñi u trên R. T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y,

khi ñó (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm s ñ xác ñ nh nghi m phương trình (4).
Ví d : Gi i phương trình: 7 x −1 = 6log 7 ( 6x − 5 ) + 1

HD: ð t y − 1 = log 7 ( 6x − 5 ) . Khi ñó chuy n thành h

7 x −1 = 6 ( y − 1) + 1
  x −1
7 = 6y − 5
 ⇔  y −1 ⇒ 7 x −1 + 6x = 7 y−1 + 6y .
 y − 1 = log 7 ( 6x − 5 )
 7 = 6x − 5


Xét hàm s f ( t ) = 7 t −1 + 6t suy ra x = y , Khi ñó 7 x −1 − 6x + 5 = 0 .

Xét hàm s g ( x ) = 7 x −1 − 6x + 5 . Nh m nghi m ta ñư c 2 nghi m: x = 1, x = 2.

1) log 2 x + log 2 x + 1 = 1
2 3) 3log 2 x + 1 = 4log 2 x + 13log 2 x − 5
2

2) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 4) 3log 2 x + 1 = −4log 2 x + 13log 2 x − 5
2

1) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 3) 6 x = 3log 6 ( 5x − 1) + 2x + 1

2) log 3 x + 2 = 3 3 3log 3 x − 2
2 4) x 3 + 1 = 3 3 2x − 1


( ) ( ) =5
cosx cosx
1) 9x − 10.3x + 9 = 0 16) 7+4 3 + 7−4 3
2

17) ( 3) +( 2− 3) = 2
x x
2) 4x − 6.2x + 8 = 0 2+
2 2
x

18) ( 15 ) + ( 4 + 15 ) = 8
x x
3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0 4−
2 2 2

(2 + 3) + (2 − 3) ( ) + (7 − 3 5 )
x x x x
4) =4 19) 7 + 3 5 = 14.2 x

5) 5x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26 20) log x 3x .log 3 x + 1 = 0

log 2 x log8 4x
6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 0 21) =
log 4 2x log16 8x
1 3
3+
7) 64 − 2 x x
+ 12 = 0 22) 1 + 2 log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 )

8) 4x − 4 x +1
= 3.2x + x
23) log ( log x ) + log ( log x 3 − 2 ) = 0

9) 9x − 8.3x + 7 = 0 24) log 3 ( 3x − 1) .log ( 3x +1 − 3) = 6

25) log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 − x
1 2x −1
10) .4 + 21 = 13.4x −1
2
1 1 1
5
11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0
x x x
26) log 3 x + log x 3 =
2

12) 3
25x − 3 9x + 3 15x = 0 27) 2x log 2 x + 2x −3log8 x − 5 = 0

13) 9sin x + 9cos x = 10 28) 5log 2 x + 2.x log 2 5 = 15
2 2

log 2 ( 5x ) −1
14) 2sin x + 5.2cos x = 7 − x log5 7 = 0
2 2
29) 7 25

15) 4cos2x + 4cos x = 3 30) 25log x = 5 + 4.x log5
2

F - M t s bài toán (ñ c bi t là các bài logarrit) ta thư ng ph i ñưa v phương trình – h
phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng các phương pháp trên.
●D ng 1. Khác cơ s
Ví d : Gi i phương trình: log 7 x = log 3 ( x + 2) .

ð t t = log 7 x ⇒ x = 7 t .
t

( )  7 t
1
Phương trình tr thành t = log 3 7 +2
t
⇔ 3 = 7 +2 ⇔ 1= 
t
 
 + 2.  
t

 3  3

●D ng 2. Khác cơ s và bi u th c trong d u log ph c t p
Ví d 1: Gi i phương trình: log 4 6 ( x 2 − 2x − 2 ) = 2 log 5 (x 2
− 2x − 3) .

ð t t = x 2 − 2x − 3 , ta có log 6 ( t + 1) = log 5 t .

Ví d 2: Gi i phương trình: log 2 ( x + 3log6 x ) = log 6 x .
t
3
ð t t = log 6 x , phương trình tương ñương 6 t + 3t = 2 t ⇔ 3t +   = 1 .
2
log b ( x + c )
●D ng 3. a = x . (ði u ki n: b = a + c )
Ví d 1. Gi i phương trình: 4log7 ( x +3) = x .
ð t t = log 7 ( x + 3) ⇒ 7 t = x + 3
t t
4 1
Phương trình tr thành: 4t = 7 t − 3 ⇔   + 3.   = 1 .
7 7

Ví d 2. Gi i phương trình: 2log3 ( x + 5) = x + 4.
ð t t = x + 4 . Phương trình tr thành: 2log3 ( t +1) = t .


DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA
S d ng công th c l y logarit hai v c a phương trình v i cơ s thích h p.

0 < a ≠ 1, b > 0
● D ng 1: a f (x) = b ⇔ 
f (x) = log a b.
● D ng 2: a f (x) = b g(x) ⇔ log a a f (x) = log a b g(x ) ⇔ f (x) = g(x).log a b.
2
1) x log4 x − 2 = 23( log4 x −1) x + lg x 3 + 3
=
2
2) x lg
1 1
−
1 + x −1 1+ x +1
4x +1 3x + 2
2 1
1)   =  2) x lg x = 1000x 2
5 7


0 < a ≠ 1
● D ng 1: log a f (x) = b ⇔  .
f (x) = a
b

0 < a ≠ 1
● D ng 2: log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) = g(x) > 0
1) log x ( x 2 + 4x − 4 ) = 3 3) log x ( x + 6 ) = 3

{
2) log 4 2log 3 1 + log 2 (1 + 3log 2 x )  =
  }
1
2
 2x −3 
log3  
1) 2  x 
=1 3) log 2 (x − 1) 2 = 2log 2 (x 3 + x + 1)

( )
2) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x − 1) 4) x + lg(1 + 2 x ) = xlg5 + lg6
2


1) 4.9x −1 = 3 22x +1 2) 23 = 32
x x

− 2x
.3x = 1,5 4) 5x .3x = 1
2 2
3) 2x
2x −1 x
5) 5 .2x x +1
= 50 x
6) 3 .8 x+2
=6
3x
7) 3x.2 x + 2 = 6 .


DAÏNG 6. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH
BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
● Nh m nghi m và s d ng tính ñơn ñi u ñ ch ng minh nghi m duy nh t
(thư ng là s d ng công c ñ o hàm)
● Ta thư ng s d ng các tính ch t sau:
Tính ch t 1: N u hàm s f tăng ( ho c gi m ) trong kho ng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có không quá m t nghi m trong kho ng (a;b). ( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao
cho f(x0) = C thì ñó là nghi m duy nhat c a phương trình f(x) = C)
Tính ch t 2 : N u hàm f tăng trong kho ng (a;b) và hàm g là hàm m t hàm gi m trong
kho ng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m trong kho ng (a;b).
( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñó là nghi m duy nh t c a phương
trình f(x) = g(x))
Tính ch t 3 : ð nh lí Rôn: N u hàm s y = f ( x ) l i ho c lõm trên kho ng ( a; b ) thì

phương trình f ( x ) = 0 có không qua hai nghi m thu c kho ng ( a; b ) .

Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2.3log2 x = 3
HD: x + 2.3log2 x = 3 ⇔ 2.3lo g2 x = 3 − x , v trái là hàm ñ ng bi n, v ph i là hàm
ngh ch bi n nên phương trình có nghi m duy nh t x = 1 .
Ví d 2: Gi i phương trình: 6 x + 2 x = 5x + 3x .
HD: Phương trình tương ñương 6 x − 5x = 3x − 2 x , gi s phương trình có nghi m α.

f ( t ) = ( t + 1) − tα , v i t > 0 . Ta nh n th y
α
Khi ñó: 6α − 5α = 3α − 2α . Xét hàm s

f ( 5) = f ( 2 ) nên theo ñ nh lý lagrange t n t i c ∈ ( 2;5 ) sao cho:

f ' ( c ) = 0 ⇔ α ( c + 1)
α −1
− cα −1  = 0 ⇔ α = 0, α = 1 , th l i ta th y x = 0, x = 1 là
 
nghi m c a phương trình.

Gi i phương trình: −2 x −x
+ 2x −1 = ( x − 1) .
2 2
Ví d 3:

HD: Vi t l i phương trình dư i d ng 2x −1 + x − 1 = 2 x −x
+ x 2 − x , xét hàm s
2

f ( t ) = 2 t + t là hàm ñ ng bi n trên R (???). V y phương trình ñư c vi t dư i d ng:

f ( x − 1) = f ( x 2 − x ) ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 .

Ví d 4: Gi i phương trình: 3x + 2 x = 3x + 2 .
HD: D dàng ta tìm ñư c nghi m: x = 0 và x = 1 . Ta c n ch ng minh không còn
nghi m nào khác.

Xét hàm s f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 ⇒ f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 ⇒ ð th c a

hàm s này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghi m. (ð nh lí Rôn)
 x y
e = 2007 − 2
 y −1
Ví d 5: Ch ng minh h phương trình  có ñúng hai nghi m th a mãn
e y = 2007 − x

 x 2 −1
x > 0, y > 0.
x
HD: Dùng tính ch t 2 ñ ch ra x = y khi ñó xét hàm s f ( x ) = e x + − 2007 .
x2 −1
● N u x < −1 thì f ( x ) < e −1 − 2007 < 0 suy ra h phương trình vô nghi m.

● N u x > 1 dùng ñ nh lý Rôn và ch ra v i x 0 = 2 thì f ( 2 ) < 0 ñ suy ra ñi u ph i

ch ng minh.
b a
 1  1 
Ví d 6: Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng:  2a + a  ≤  2b + b 
 2   2 

 1   b 1 
ln  2a + a  ln  2 + b 
 1   1 
HD: B t ñ ng th c ⇔ b ln  2a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔  ≤  .
2 2
 2   2  a b

 1 
ln  2 x + x 
Xét hàm s f ( x ) = 
2 
v i x > 0,
x
Suy ra f’ ( x ) < 0 v i m i x > 0 nên hàm s ngh ch bi n v y v i a ≥ b > 0 ta có

f(a) ≤ f ( b ) .

1) 3x + 4x = 5x 7) 4 x − 3x = 1

( )
2) log 2 1 + x = log 3 x ( )
8) log 2 x + 3log6 x = log 6 x

3) x log 2 9 = x 2 .3log2 x − x log 2 3 9) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) 5x − 2 + 3 − x = 0

4) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = − x 3 + 8x 2 − 19x + 12

5) 4 ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 )  = 15 ( x + 1)
 
1 1 1
6) 5x + 4 x + 3x + 2x = + + − 2x 3 + 5x 2 − 7x + 17
2 x 3x 6 x

x
1) 2x = 1 + 3 2 4) 25x − 2 ( 3 − x ) 5x + 2x − 7 = 0

2) 2 3− x
= − x 2 + 8x − 14 5) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0
3) log 2 x = 3 − x 6) l og 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2x
2

1) 4x + 9 x = 25x
2) ( x + 2 ) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 0
2

3) 9x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2x − 5 = 0

( )
4) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 )

5) ( x + 3) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16
2

DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC

Bài 1. Gi i phương trình: 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0

HD: phương trình 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0

⇔ ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + sin 2 ( 2x + y − 1) + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0
2

⇔ ( 2 x − 1) + sin ( 2x + y − 1)  + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0
2

 
( 2x − 1) + sin ( 2 x + y − 1) = 0

⇔
cos ( 2 + y − 1) = 0
x

Bài 2. Gi i phương trình: 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 .

HD: phương trình 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0

⇔  2sinx − cos ( xy )  +  2 − cos 2 ( xy )  = 0
2 y
   
2 ≥ 1

y

Ta có  2sinx − cos ( xy )  ≥ 0 và  2 ⇒  2 − cos 2 ( xy )  ≥ 0
2 y
   
cos ( xy ) ≤ 1


Do ñó  2sinx − cos ( xy )  +  2 y − cos 2 ( xy )  ≥ 0
2
   
2sinx − cos ( xy ) = 0
 2sinx = cos ( xy )
 (1)
V y phương trình ⇔  y ⇔  y
2 − cos ( xy ) = 0 2 − cos ( xy ) = 0 ( 2)
2 2
 

2 y = 1
 y = 0

( 2) ⇔  2 ⇔  2 ⇔ y = 0.
cos ( xy ) = 1
 cos ( x.0 ) = 1

Thay vào (1) ta ñư c x = kπ .
8
Bài 3. Gi i phương trình: 22x +1 + 23− 2x = .
log 3 ( 4x − 4x + 4 )
2

HD: Ta có 4x 2 − 4x + 4 = ( 2x − 1) + 3 ≥ 3 nên log 3 ( 4x 2 − 4x + 4 ) ≥ 1
2

8
Suy ra ≤8 (1)
log 3 ( 4x − 4x + 4 )
2

M t khác 22x +1 + 23− 2x ≥ 2 22x +1.23− 2x = 2 22x +1+3− 2x = 8 (2)

Bài 4. Gi i phương trình: log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2 .

HD: ði u ki n x > 0. Phương trình log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2

 1
⇔ log 3  x + 1 +  = − (1 − x ) + 1
2

 x
Ta có
1 1  1
● x+ ≥ 2 ⇒ x + 1 + ≥ 3 ⇒ log 3  x + 1 +  ≥ 1
x x  x

● − (1 − x ) + 1 ≤ 1
2

  1
log 3  x + 1 + x  = 1
V y phương trình ⇔    ⇔ x = 1.
− 1 − x + 1 = 1
 ( )
2

x 2 + x + 1 2 x − x2
Nh n xét: Bài toán tương ñương là gi i phương trình =3 .
x

Bài 5. Gi i phương trình: log 2 ( )  1
x − 2 + 4 = log 3 
 x −1

+ 8 .

HD: ði u ki n x > 2 .

● x − 2 + 4 ≥ 4 ⇒ log 2 ( x−2 +4 ≥ 2 )
1 1
● V i x > 2 ta có x −1 ≥ 1 ⇒ ≤1 ⇒ +8 ≤ 9
x −1 x −1

 1 
⇒ log 3  + 8 ≤ 2
 x −1 

Bài 6. Gi i phương trình: 4x + 8 2 − x 2 = 4 + ( x 2 − x ) .2x + x.2 x +1 2 − x 2 .


HD: ði u ki n − 2 ≤ x ≤ 2 .

Phương trình ⇔ ( 4 − x.2 ) ( x − 1 + 2
x
2 − x2 = 0) ( *)
3
Ta có x ≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 x 2
< 2.2 = 4 . Do ñó (*) ⇔ x − 1 + 2 2 − x 2 = 0 .
2

Bài 7. Gi i phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x = (x 2 − x) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2 .

 x>0
HD: ði u ki n  ⇔ 0 < x ≤ 3.
6 + x − x ≥ 0
2

Phương trình ⇔ ( x log 2 x − 5) ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 ) ( *)
Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 ⇒ ( x log 2 x − 5) < 0
Khi ñó (*) ⇔ ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 . )
Gi i phương trình: 3sin x + 3cos x = 2 x + 2− x + 2 .
2 2
Bài 8.
x -x
2 2
HD: Phương trình ⇔ 3sin x + 31−sin =2 +2 +2
2 2
x 2 2

32sin x + 3
2
x -x
2 2
⇔ 2 −4= 2 2
+2 2
−2
3sin x

⇔
(3 sin 2 x
)(
− 1 3sin x − 3
2

) = 2 x

−2 
-x 2


2 2
2
3sin x
 

Ta có 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3sin ≤ 3 . Do ñó VT ≤ 0 ≤ VP .
2
x

Bài 9. Gi i phương trình: 2 log 3 cot x = log 2 cos x .

HD: ð t 2 log 3 cot x = log 2 cos x = t , ta có

cos 2 x = 4 t
cos x = 2 t cos 2 x = 4 t 
 2  2  4t
cot x = 3 ⇔ cot x = 3 ⇔ sin 2 x = t
t t

cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  3
  cos x > 0, cot x > 0

cos 2 x = 4 t
 t cos 2 x = 4 t  1
4  cos x =
⇔  t + 4 =1
t
⇔  t = −1 ⇔  2
3 cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0

cos x > 0, cot x > 0 

π
⇔ x= + k2π .
3
T ng quát: D ng α .log a f ( x ) = β .log b g ( x ) ta ñ t t = α .log a f ( x ) = β .log b g ( x )

Bài 10. Gi i phương trình: 3x 2 − 2x 3 = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x.

HD: ði u ki n x > 0 .
ð t f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 , g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x

● Ta có f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 ⇒ f ' ( x ) = 6x − 6x 2 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 . L p b ng

bi n thiên ta th y f(x) ñ ng bi n trên (0,1) và ngh ch bi n trên (1, +∞ ) . Suy ra trên

( 0, +∞ ) , maxf ( x ) = f (1) = 1 hay f ( x ) ≤ 1, ∀x > 0.

 x2 +1  1
● Ta có g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x = log 2   = log 2  x +  . V i x > 0 , ta có
 x   x

1  1
x+ ≥ 2 ( côsi ) => log 2  x +  ≥ log 2 2 = 1. Suy ra g ( x ) ≥ 1, ∀x > 0.
x  x

3x 2 − 2x 3 = 1

V y phương trình ⇔ 
log 2 ( x + 1) − log 2 x = 1
2


Gi i phương trình: 2x −1 − 2 x −x
= ( x − 1) .
2 2
Bài 11.

HD: phương trình ⇔ 2 x −1 + ( x − 1) = 2 x −x
+ (x2 − x) .
2

ð t u = x − 1; v = x 2 − x. Khi ñó phương trình có d ng 2u + u = 2v + v .

Xét hàm s f ( t ) = 2 t + t , hàm này ñ ng bi n và liên t c trên ℝ .

V y phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 .

Bài 12. Gi i phương trình: 2009x + 2011x = 2.2010x .
HD: G i x 0 là m t nghi m c a phương trình ñã cho. Ta ñư c

2009x 0 + 2011x 0 = 2.2010 x0 ⇔ 2009 x0 − 2010 x0 = 2010 x0 − 2011x 0 ( *)
Xét hàm s F ( t ) = t x0 − ( t + 1) 0 . Khi ñó (*) ⇔ F ( 2009 ) = F ( 2010 ) .
x

Vì F(t) liên t c trên [ 2009, 2010] và có ñ o hàm trong kho ng ( 2009, 2010 ) , do ñó

theo ñ nh lí Lagrange t n t i c ∈ ( 2009, 2010 ) sao cho

F ( 2010 ) − F ( 2009 ) x0 = 0
F' ( c ) = ⇔ x 0 . c x0 −1 − ( c + 1) 0  = 0 ⇔ 
x −1

2010 − 2009   x0 = 1
Th l i x 0 = 0, x 0 = 1 th y ñúng. V y nghi m c a phương trình là x 0 = 0, x 0 = 1 .
Nh n xét: Bài toán tương t
1) 3cos x − 2cos x = co sx ⇔ 3cos x − 2cos x = 3co sx − 2 co sx .

2) 4log3 x + 2log3 x = 2x . ð t u = log 3 x ⇒ x = 3u . Phương trình ⇔ 4u + 2u = 2.3u .

Lưu ý: Bài toán trên ta s d ng ñ nh lí Lagrange: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên ño n

[ a; b] và có ñ o hàm trên kho ng ( a; b ) thì t n t i m t ñi m c ∈ ( a; b ) sao cho

f (b) − f ( a )
f ' (c) = .
b−a
x2 + x +1
Bài 13. Gi i phương trình: log 3 = x 2 − 3x + 2 .
2x − 2x + 3
2

HD: ð t u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2.

u
Phương trình ñã cho tr thành log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u
v
⇔ log 3 u + u = log 3 v + v .

1
Xét hàm s f ( t ) = log 3 t + t . Ta có f ' (t) = + 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n
t.ln 3
khi t > 0 . Do ñó phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) suy ra u = v hay v − u = 0 t c là

x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1, x = 2 . V y phương trình có nghi m x = 1, x = 2 .
u
Lưu ý: V i phương trình d ng log a = v − u, ( u > 0, v > 0, a > 1) ta thư ng bi n ñ i
v
log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v . Vì hàm s f ( t ) = log a t + t ñ ng bi n khi t > 0 .

Suy ra u = v .
Bài 14. Gi i phương trình: 2cos x + 2sinx = 3 .
HD: Áp d ng BðT Becnuli m r ng: t α + (1 − t ) α ≤ 1 v i t > 0, α ∈ [ 0,1]

 π 
T phương trình suy ra: s inx, cos x ∈ [ 0,1] . Suy ra x ∈  k2π; + k2π 
 2 
Theo Becnuli: 2cos x + (1 − 2 ) cos x ≤ 1

2sinx + (1 − 2 ) sinx ≤ 1

Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) + 2

Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ min ( s inx + cos x ) + 2  = min ( s inx + cos x ) + 2
 

 π 
Mà: min ( s inx + cos x ) = 1 v i x ∈  k2π; + k2π  .
 2 
sinx = 1 sinx = 0
Do ñó 2cos x + 2sinx ≤ 3 . D u '' = '' x y ra khi và chi khi  ho c 
cosx = 0 cosx = 1


 x = k2π
⇔  .
 x = π + k2π
 2
---------- H T ----------


CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
MUÕ – LOGARIT
Ta có th dùng các phương pháp bi n ñ i như ñ i v i gi i phương trình và s d ng
các công th c sau
HAØM SOÁ MUÕ
● 0 < a <1
⇔ f (x) < g (x)
f (x) g( x )
a >a
(ngh ch bi n)
a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x )

● a >1
⇔ f (x) > g (x)
f (x) g( x )
a >a
(ñ ng bi n)
a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x )
HAØM SOÁ LOGARIT
0 < a ≠ 1

● log a f ( x ) có nghĩa ⇔ 
f ( x ) > 0


● log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b

f ( x ) = g ( x )

● log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ 
0 < a ≠ 1

● 0 < a <1
log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x )
(ngh ch bi n)
log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≤ g ( x )

● a >1
log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) > g ( x )
(ñ ng bi n)
log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≥ g ( x )
T ng quát ta có:

a > 0


log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0

( a − 1) f ( x ) − g ( x )  > 0
  
a > 0


log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0

( a − 1) f ( x ) − g ( x )  ≥ 0
  


1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ
x − x −1
x 2 − 2x 1
Ví d 1. Gi i b t phương trình: 3 ≥ 
 3
L i gi i:
- ði u ki n: x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2 .
- Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
x 2 − 2x x − x −1
3 ≥3 ⇔ x 2 − 2x ≥ x − x − 1 (1)
+ NÕu x ≤ 0 th× x − 1 = 1 − x , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 2x − 1 (®óng v× x ≤ 0)
+ NÕu x ≥ 2 th× x − 1 = x − 1 , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 1
x ≤ 1− 2
⇔ x 2 − 2x − 1 ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 1 + 2

- KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x ≥ 1 + 2 .

Ví d 2. Gi i b t phương trình: (
log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 )
L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
  
    0 < x <1
  
 0 < x <1  0 < x < 1
 2  1<x<3
 5x − 8x + 3 < x 2   4x 2 − 8x + 3 < 0  2 1 3
2 < x < 5
2
 2  
⇔   5x − 8x + 3 > 0 ⇔  3 ⇔  3 ⇔ 
 
 x < ∨ x >1
x < 5 ∨ x > 1  x>3
 x >1 5

   2
 5x 2 − 8x + 3 > x 2  x >1  x >1
 2 
  4x − 8x + 3 > 0  1 3
   x < 2 ∨ x > 2
  
Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng log f ( x ) g ( x ) > a , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè
0 < f ( x ) < 1 và 1 < f ( x ) .

3(
log 3 x )
2

Ví d 3. Gi i b t phương trình: + x log3 x ≤ 6
L i gi i:
- ði u ki n: x > 0
Ta sö dông phÐp biÕn ®æi 3( log3 x ) = 3log3 x ( )
2 log3 x
- = x log3 x . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
víi x log3 x + x log3 x ≤ 6 ⇔ x log3 x ≤ 3 .
- (
LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: log 3 x log3 x ≤ log 3 3 ⇔ log 3 x.log 3 x ≤ 1 )
1
⇔ ( log3 x ) ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ log 3 x ≤ 1 ⇔ ≤ x ≤ 3.
2

3
1
- VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ≤ x ≤ 3.
3

 1 + 2x 
Ví d 4. Gi i b t phương trình: log 1  log 2 >0
3
1+ x 
L i gi i:
 1 + 2x  1 + 2x  x
log 2 1 + x > 0
  1+ x > 1
 
1 + x
>0
 x < −1 ∨ x > 0
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x>0
 log 1 + 2x  1 + 2x  −1  x > −1
<1 <2 <0
 2 1+ x
 
 1+ x 
1 + x

- VËy x > 0 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh.
BAØI TAÄP
Gi i các b t phương trình sau:
 x2 + x 
1) log 0,7  log 6 <0
 x+4 
2) log 3x − x 2 ( 3 − x ) > 1
3) log 2 ( x − 5 ) + 3log 5
1 5
( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 50 + 2 ) ≤ 0
5 25

2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ
2.3x − 2x + 2
Ví d 1. Gi i b t phương trình: ≤1
3x − 2 x
L i gi i:
- ði u ki n x ≠ 0 .
x
3
2.   − 4
2.3x − 2 x + 2 2
- Chia c t và m u cho 2x , ta ñư c: ≤1 ⇔ ≤1
3x − 2 x 3
x

  −1
2
2t − 4
x
3
- §Æt t =   , ( 0 < t ≠ 1) . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi −1 ≤ 0
2 t −1
t −3
x
3
⇔ ≤ 0 ⇔ 1 < t ≤ 3 ⇔ 1 <   ≤ 3 ⇔ 0 < x ≤ log 3 3
t −1 2 2

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 < x ≤ log 3 3 .
2

 x3   32 
Ví d 2. Gi i b t phương trình: log ( x ) − log   + 9 log 2  2  < 4 log 2 ( x )
4
2
2
1 1
 8  2 x  2

L i gi i:
- ði u ki n x > 0 .
2  x   32 
3
⇔ log 4 ( x ) − log 2−1   + 9 log 2  2  < 4 log 2−1 ( x )
2
2

 8   x 

⇔ log 4 ( x ) − log 2 x 3 − log 2 8 + 9 log 2 32 − log 2 x 2  < 4 log 2 ( x )
2 2
2    
⇔ log 4 ( x ) − [3log 2 x − 3] + 9 [5 − 2 log 2 x ] < 4 log 2 ( x )
2
2 2

- §Æt t = log 2 ( x ) , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
t 4 − 13t 2 + 36 < 0 ⇔ 4 < t 2 < 9
  1 1
⇔   −3 < t < −2 ⇔  −3 < log 2 x < −2 ⇔  < x <
 2 < log 2 x < 3 8 4
2<t<3 

 
 4< x <8
1 1
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm  ,  ∪ ( 4,8 ) .
8 4

Ví d 3. Gi i b t phương trình: 52x −10−3 x−2
− 4.5x −5 < 51+3 x−2

L i gi i:
X2
- §Æt X = 5x −5 > 0, Y = 53 x−2
> 0 .Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng − 4X < 5Y (1)
Y
- Do Y > 0 nªn
(1) ⇔ X 2 − 4XY < 5Y 2 ⇔ X 2 − 4XY − 5Y 2 < 0 ⇔ ( X + Y )( X − 5Y ) < 0
⇔ X − 5Y < 0 ⇔ X < 5Y ⇔ 5x −5 < 51+3 x −2

⇔ x − 5 < 1+ 3 x − 2 ⇔ x − 6 < 3 x − 2
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau
x − 2 ≥ 0
( I)  ⇔ 2≤x<6
x − 6 < 0

 x−6≥ 0  x≥6  x≥6
( II )
 2 ⇔  2 ⇔  ⇔ 6 ≤ x < 18
9 ( x − 2 ) > ( x − 6 )
  x − 21x + 54 < 0 3 < x < 18
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 2 ≤ x < 18 .
BAØI TAÄP

( 1
) ( )
x x
1) 5 +1 + 5 − 1 = 2x
4
2) (
log 2 x + log 1 x 2 − 3 > 5 log 4 x 2 − 3
2 )
2

3) 32x − 8.3x + x+4
− 9.9 x+4
> 0.

3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
Ví d 1. Gi i b t phương trình: ( )
log 5 3 + x > log 4 x
L i gi i:
- ði u ki n x > 0 .
- §Æt t = log 4 x ⇔ x = 4 t , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh log 5 ( 3 + 2t ) > t
t
3 2
⇔ 3+ 2 > 5 ⇔ t +  >1
t t

5 5
t
3 2
- Hµm sè f ( t ) = t +   nghÞch biÕn trªn ℝ vµ f (1) = 1.
5 5
- BÊt ph−¬ng tr×nh trë f ( t ) > f (1) ⇔ t < 1 , ta ®−îc log 4 x < 1 ⇔ 0 < x < 4.

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 0 < x < 4 .

x2 + x +1
Ví d 2. Gi i b t phương trình: log 3 > x 2 − 3x + 2
2x 2 − 2x + 3
L i gi i:
- §Æt u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2 .
- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
u
log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u ⇔ log 3u + u > log 3 v + v (1)
v
1
- XÐt hµm sè f ( t ) = log 3 t + t, ta co: f ' ( t ) = + 1 > 0, ∀t > 0 nªn hàm s ñång biÕn khi
t ln 3
t > 0. Tõ (1) ta cã f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v
⇔ x 2 + x + 1 > 2x 2 − 2x + 3
⇔ x 2 − 3x + 2 < 0
⇔ 1 < x < 2.
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 1 < x < 2 .
Lưu ý:
1. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log a u < log b v , ta th−êng gi¶i nh− sau:
§Æt t = log a u (hoÆc t = log b v ) ®−a vÒ bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ sö dông chiÒu biÕn thiªn cña
hµm sè.
u
2. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log a < v − u ⇔ log a u + u < log a v + v . Ta xÐt hµm sè
v
f ( t ) = log a t + t ®ång biÕn khi t > 0 , suy ra f ( u ) < f ( v ) ⇔ u < v.
BAØI TAÄP
1) log 6 ( 3
)
x + x x ≥ log 64 x
2) 2.2 + 3.3 > 6 − 1.
x x x

3) 16x − 3x < 4x + 9 x .

4. PHÖÔNG PHAÙP VEÕ ÑOÀ THÒ
5+ x
log
Ví d . Gi i b t phương trình: 5− x < 0
2 − 3x + 1
x

L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ
 5+ x  5+ x
 log >0  log <0
( I)  5 − x vµ ( II )  5 − x
2x − 3x + 1 < 0
 2 x − 3x + 1 > 0

- Gi¶i hÖ (I)
5+ x 5+ x 2x
+ log >0 ⇔ >1 ⇔ >0 ⇔ 0<x<5
5−x 5− x 5− x
+ 2x < 3x − 1 , ta vÏ ®å thÞ cña hai hµm sè y = 2 x vµ y = 3x − 1 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.
Khi ®ã ta ®−îc nghiÖm lµ 1 < x < 3.
- Do ®ã hÖ (I) cã nghiÖm 1 < x < 3.

- Gi¶i hÖ (II)
−5 < x < 5
5+ x 5+ x   −5 < x < 5
+ log <0 ⇔ 0< < 1 ⇔  2x ⇔  ⇔ −5 < x < 0.
5−x 5−x  5− x < 0 x < 0 ∨ x > 5

+ 2 > 3x − 1 ⇔ x < 1 hoÆc x > 3 .
x

- Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm −5 < x < 0.
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm (−5, 0) ∪ (1,3) .
BAØI TAÄP
21− x − 2x + 1
Gi i b t phương trình sau: ≤0.
2x − 1

5. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC
Ví d 1. Gi i b t phương trình: log 2 ( )  1
x − 2 + 4 ≤ log 3 
 x −1

+ 8

L i gi i:
- §iÒu kiÖn x ≥ 2.
- Ta cã nhËn xÐt sau:
+ x − 2 + 4 ≥ 4 ⇔ log 2 ( )
x − 2 + 4 ≥ 2 ⇔ VT ≥ 2.
1
+ x ≥ 2 ⇔ x −1 ≥ 1 ⇔ x −1 ≥ 1 ⇔ ≤1
x −1
1  1 
⇔ + 8 ≤ 9 ⇔ log 3  + 8  ≤ 2 ⇔ VP ≤ 2
x −1  x −1 

VT = 2 
 x−2 =0
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi  ⇔ ⇔ x = 2.
 VP = 2
  x=2

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2.
Ví d 2. Gi i b t phương trình: log x log 9 3x − 9  < 1
  ( )
L i gi i:
( )
- §Ó log 9 3x − 9 cã nghÜa, ta cÇn cã 3x > 9 ⇔ 3x > 32 ⇔ x > 2.
- Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
 x>2
  3x − 9 > 1
 log 9 ( 3x − 9 ) > 0 ⇔  x
3 − 9 < 9
x
log ( 3x − 9 ) < x
 9
 t > 10
- §Æt 3x = t, ( t > 0 ) , ta cã hÖ  2 ⇔ t > 0 ⇔ 3x > 10 ⇔ x > log 3 10 .
 t −t+9 > 0
Ví d 3. Gi i b t phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x > ( x 2 − x ) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2
L i gi i:
 x>0
- ði u ki n:  ⇔ 0<x≤3
6 + x − x ≥ 0
2

- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ( x log 2 x − 5 ) ( )
6 + x − x2 +1− x > 0 ( *)
- Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 . VËy khi 0 < x ≤ 3 th× xlog 2 x − 5 < 0, do ®ã


 0<x≤3  0<x≤3 5
( *) ⇔  ⇔  2 ⇔ <x≤3
 6 + x − x +1− x < 0 2x − 3x − 5 > 0
2 2

5
- VËy nghiÖm < x ≤ 3.
2
Ví d 4. Gi i b t phương trình: ( )
4x + 8 2 − x 2 > 4 + x 2 − x .2x + x.2x +1 2 − x 2
L i gi i:
- ði u ki n: − 2 ≤ x ≤ 2 (1)
- BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 4 − x.2( x
) ( x −1 + 2 2−x 2
)>0 (2)
3
- Tõ (1) ta cã x ≤ 2 ⇒ x.2x ≤ 2.2 2 < 2.2 2 = 4. . Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi
 − 2≤x≤ 2

 ⇔ 2 2 − x2 > 1 − x (3)
x − 1 + 2 2 − x > 0
2

- (3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau
2 − x 2 ≥ 0
+ ( I) :  ⇔ 1< x ≤ 2
 1− x < 0
 1− x ≥ 0  x ≤1
  x ≤1 
+ ( II ) :  2 ⇔  ⇔  7 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1

 ( )
4 2 − x 2 > (1 − x ) 5x − 2x − 7 < 0
2


−1 < x <
5
- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ∈  −1; 2  .
 
1 1
Ví d 5. Gi i b t phương trình: >
log 2 ( x + 1) log 2 ( 3 − 2x )
L i gi i:
  −1 < x ≠ 0  3
 0 < x +1 ≠ 1   −1 < x <
- ði u ki n:  ⇔  3 ⇔  2
0 < 3 − 2x ≠ 1 1≠ x < 2  x ≠ 0;1

 
● log 2 ( x + 1) > 0 ⇔ x + 1 > 1 ⇔ x > 0.
● log 2 ( 3 − 2x ) > 0 ⇔ 3 − 2x > 1 ⇔ x < 1.
- Ta cã b¶ng xÐt dÊu

x 0 1 3
-1
log2(x+1) 2
- + +
log2(3-2x) + -
+

- Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau
+ TH1: Víi −1 < x < 0 th× VT < 0, VP > 0 suy ra bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
+ TH2: Víi 0 < x < 1 th× VT > 0, VP > 0. Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
log 2 ( x + 1) < log 2 ( 3 − 2x ) ⇔ 3 − 2x > x + 1 ⇔ 0 < x < 1.

3 3
+ TH3: Víi 1 < x < th× VT > 0, VP < 0, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 1 < x < .
2 2
 3
- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ  0 < x <  {1} .
 2
1 1
Lưu ý: Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng > , ta th−êng gi¶i nh− sau:
log a u log b v
+ LËp b¶ng xÐt dÊu cña log a u vµ log b v trong tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh.
+ Trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu log a u vµ log b v cïng dÊu th× bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
víi log a u < log b v.
Ví d 6. Trong c¸c nghiÖm ( x; y ) cña bÊt ph−¬ng tr×nh log x 2 + 2 y2 ( 2x + y ) ≥ 1 , chØ ra c¸c
nghiÖm cã tæng ( 2x + y ) lín nhÊt.
L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau

 0 < x 2 + 2y 2 < 1
 x 2 + 2y 2 > 1
( I ) : 2x + y ≤ x 2 + 2y2
 vµ ( II ) : 
 2x + y ≥ x + 2y
2 2

 2x + y > 0
- Râ rµng nÕu ( x; y ) lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× tæng ( 2x + y ) lín nhÊt chØ x¶y ra khi
nã lµ nghiÖm cña hÖ ( II )
 x 2 + 2y 2 > 1

( II ) ⇔  
2
1  9
( x − 1) +  2y −  ≤
2

  2 2 8
1  1  9
- Ta cã 2x + y = 2 ( x − 1) +  2y − + .
2 2 2 4
 1   1 
- Áp dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè  x − 1; 2y −  vµ  2;  , ta ®−îc
 2 2  2
1   1  
2 2
 1   1  9 9 81
 2 ( x − 1) +  2y −   ≤ ( x − 1) +  2y −    4 + 2  ≤ 8 . 2 = 16
2

 2 2 2     2 2  
 
9 1  1  9 9
⇔ − ≤ 2 ( x − 1) +  2y −  ≤ 4 ⇔ 0 < 2x + y ≤ 2
4 2 2 2
 9
 2x + y =
2
 x = 2
9  1 
- D u '' = '' x y ra khi và ch khi 2x + y = ⇔  2y − ⇔  1
2  x −1 2 2 y = 2
= 
 2 1

 2
1
- Víi x = 2, y = tho¨ m·n bÊt ph−¬ng tr×nh x 2 + 2y 2 > 1.
2

 1
- VËy trong c¸c nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm  2;  lµ nghiÖm cã tæng ( 2x + y )
 2
9
lín nhÊt b»ng .
2
BAØI TAÄP
Gi i b t phương trình sau:
(
1) log x log 3 9 − 72
x
( )) ≤ 1
2)
(
log a 35 − x 3 ) >3 v i 0 < a ≠ 1.
log a ( 5 − x )
1 1
3) > .
log 1 2x − 3x + 1 2 log 1 ( x + 1)
3 3

4) Trong c¸c nghiÖm ( x; y ) cña bÊt ph−¬ng tr×nh log x 2 + y2 ( x + y ) ≥ 1 . T×m nghiÖm cã tæng
(x + 2y ) lín nhÊt.

BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP
x +1 x −3

1) ( 10 − 3 ) x +3
< ( 10 + 3 ) x −1
(H c vi n GTVT năm 1998)

1 1
2) > (ðH Qu c gia TPHCM 1999)
log 1 2x − 3x + 1 2 log 1 ( x + 1)
3 3

3) (
1 + log 4 2x 2 + 3x + 2 > log 2 2x 2 + 3x + 2 ) ( ) (ðH Thu l i 1999)
4) log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x.log 3 x (ðH NT 1998)
 2x − 3 
5) log 3   <1 (ðH SP Vinh 1998)
 1− x 
 1
6) log x  x −  ≥ 2 (ðH Hu 1998)
 4
−
log3 x x 2
7) 5 <1 (ðH ngân hàng TPHCM 1998)
1
8) log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x − 3) (ðH Bách khoa Hà N i)
3 2 3

9)
(
log 2 x 2 − 9x + 8 )<2 (ðH T ng h p TPHCM 1964)
log 2 ( 3 − x )
 1
10) log x  x −  ≥ 2 (ðH Hu 1998)
 4
11) (
log 2 7.10 x − 5.25x > 2x + 1 ) (ðH Th y s n 1999)

Pt mũ, logarit huỳnh đức khánh

Pt mũ, logarit huỳnh đức khánh

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Pt mũ, logarit huỳnh đức khánh

Ähnlich wie Pt mũ, logarit huỳnh đức khánh (20)

Mehr von Thế Giới Tinh Hoa

Mehr von Thế Giới Tinh Hoa (20)

Pt mũ, logarit huỳnh đức khánh