1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ.
Phƣơng pháp 1: Đưa về cùng cơ số:Giải phương trình
2x 1
x 1 2
1): 4.9 3.2
3 3
Hdẫn: (1) ( )2 x 3
1 x .
2 2
x 1 x 2
2) 7.3 5 3x 4
5x 3
3
Hdẫn: (2) 3x 1
5x 1
( )x 1
1 x 1
5
x 1
x
3) 5 .8 x 500
Hdẫn:
3( x 1) 3 x 1
x x 3 2 x 3 x x 3 x x 3
(3) 5 .2 5 .2 5 2 5 (2 )
1 x 3 0 x 3
x 3 1 x 3 x x 3
5 ( 1
) (5.2 ) 1 1
5.2 x
1 x log 5 2
2x
x x x x
4) [ 5
27 4 3
] 4 3 4
37 . ĐS: x=10.
Phƣong pháp 2: Đặt ẩn phụ:
x2 x 2
1) 2 22 x x 3.
x2 x
Hdẫn: Đặt 2 t (t 0) . Phương trình trở thành:
4 t 4 x 1
t 3
t t 1(l ) x 2
2x 5
2) 3 36.3x 1 9 0 . ĐS: x=-1; x=-2.
2 x2 2x 1 2
3) 3 28.3x x 9 0 . ĐS: x=-2; x=1.
x
4) 9 6 x 2.4 x
3 2x 3
Hdẫn: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình ( ) ( )x 2 0 . ĐS: x=0
2 2
x x2 5 x2 5
5) 4 12.2x 1 8 0.
x 3
x x2 5 t 2 x x2 5 1
Hdẫn: Đặt 2 t (t 0) 9
t 4 x x2 5 2 x
4
2 2 2
x 3x 2
6) 4 4x 6x 5
42 x 3x 7
1 HVQHQT - D - 99
sin x sin x
7) 7 4 3 7 4 3 4 ĐHL - 98
3x x 1 12
8) 2 6.2 1 ĐHY HN - 2000
3 x 1 x
2 2
2x
7 x
9) x
6. 0,7 7 ĐHAN - D - 2000
100

2. 2 1
1
1 x 1 x
10) 3 = 12 HVCTQG TPHCM - 2000
3 3
sin 2 x cos2 x
11) 9 9 10 ĐHAN - D - 99
12) 4 x 1
2 x 1
2 x 2
12 ĐHTCKT - 99
2 x2 1 x2 x
13) 2 9.2 2 2x 2
0 ĐHTL - 2000
x x
14) 2 3 7 4 3 2 3 42 3 ĐHNN - 98
2x-1 x-1 x x 1
15) 5.3 -7.3 1 - 6.3 9 0 (§ H hång § øc - 2001- khèi A)
x x x
16) 6.4 - 13.6 6.9 0
x x x 1
17) 12.3 3.15 - 5 20 (§ H huÕ- 2001- khèi D)
2x-1 x-1
18) 3 2 3 (§ H danlËp§ «ng § « - 2001- BD)
x x
19) 6 - 35 6 35 12 (§ H DL kü thuËtc«ngnghÖ 2001)
-
x x 1
20) 4 - 6.2 32 0 (§ H danlËpv¨n hiÕn- 2001- khèi D)
x 26 x
21) 9 .3 17 0
3
2x 1 x 3 64
22) 2 2 0
x x
23) 2 3 2 3 4
x t 2 3 x 2
1
Đặt 2 3 =t (t>0). phương trình trở thành : t 4
t t 2 3 x 2
x x
24) 7 4 3 32 3 2 0
2 2 2
x 1 x 1 x 1
25) 2.4 6 9
x2 5x 6 1 x2 6 5x
26) 2 2 2.2 1
2 2
sin x cos x
27) 16 16 10
x x
28) 7 5 2 ( 2 5) 3 2 2 3(1 2) x 1 2 0
Hdẫn: Đặt
t (1 2) x ; t 0
pt t3 ( 2 5)t 2 3t 1 2 0
(t 1)(t 2 ( 2 4)t 2 1) 0
t 1 x 0
t 3 2 2 x 2
t 1 2 x 1
2x 1 11
29) 3 3x 2
1 6.3x 32( x 1)
. ĐS: x log 3 (2 )
3
30) Giải phương trình

3. . Đặt
Giải phương trình trên ta được .
Phƣơng pháp 3: lôgarit hoá:
xx 1 x
1) 5 . 8 100
ĐK: x nguyên dương
2
(1) 5x ( x 1).23 x 52( x 1).22( x 1)
5x x 2
22 x
log 2 5.( x 2 x 2) 2 x
x 2
x 1 log 5 2(l )
2 2 x
x 3
2) 2 3x 2x 6
3x 2x 5
2
Hdẫn:
(2) 2x 2
2( x 2)( x 4)
x 2 ( x 2)( x 4)log 2 3
x 2
x log 3 2 4
Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
x
1) 3 4 x 5x
3 4
(1) ( )x ( )x 1
5 5
+) Ta thấy x=2 là nghiệm của pt
+ Nếu x>2 : VT<1
+) Nếu x<2 : Vt>1
x
2) 8 (3x 1) 4 .
Pt có nghiệm x=1/3
x
3) 3 2 ( 3 2) x ( 5) x
Hdẫn :
3 2 3 2
(3) ( )x ( )x 1
5 5
3 2 3 2
u;0 u 1; v; v 1
5 5
x
+Nếu x 0: u 0; v x 1 VT 1
x x
+Nếu x 0: u 1; v 0 VT 1
Vậy pt vô nghiệm.
4) Cho a, b, c là các số dương, a<c, b<c. CMR : phương trình ax+bx=cx có một và chỉ một nghiệm.
a b
Hdẫn : ( )x ( )x 1 0
c c
Đặt VT=f(x) . Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R, f(x) là hàm nghịch biến trên R

4. lim f ( x) 1; lim f ( x) ! x0  : f ( x0 ) 0 hay pt có nghiệm duy nhất.
x x
x 1
5) 2 4x x 1
Hdẫn : 2x (2 2x ) x 1
+x=1 là nghiệm
+x>1 : VT<0 ; VP>0
+x<1 : VT>0 ; VP<0
x
x 2
6) 2 1 3
3 1
Hdẫn : ( ) x ( ) x 1 . ĐS : x=2.
2 2
x 2
7) 3.16 (3x 10)4x 2 3 x
Hdẫn :
x 2
Đặt 4 t (t 0). Pt trở thành :
1 1
2 t 4x 2
x 2 log 4 3
3t (3x 10)t 3 x 0 3 3
x 2
t 3 x 4x 2
3 x
8) Giải phương trình:
Phương trình tương đương với:
Rõ ràng phương trình có là nghiệm
Ta có
với
;
Suy ra là hàm liên tục,đồng biến và nhận cả giá trị âm,cả giá trị dương trên R nên phương trình
có nghiệm duy nhất .
Từ bảng biến thiên của hàm có không quá hai nghiệm.
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : .
Chú ý : * Có thể chứng minh phương trình có nghiệm như sau :
Ta có :
Suy ra phương trình có nghiệm .
9) Giải hệ phương trình:
Hệ phương trình
hoặc

5. CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ.
x
Bài 1 : Tìm m để pt m.2 2 x 5 0 có nghiệm duy nhất.
Giải :
1
Đặt t=2x , t>o. Pt trở thành : mt 5 0 f (t ) mt 2 5t 1 0
t
+Nếu m=0 : t=1/5 (t.m)
+ Nếu m≠0 :
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có duy nhất 1 nghiệm dương. Xét 3 TH :
t1 0 t2 m 0 m 0
t1 0 t2 m 25
m
0 t1 t2 m 0 4
0
x x x
Bài 2 : Cho pt : m.16 2.81 5.36
a) Giải pt khi m=3
b) Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.
9
Hdẫn : Đặt t ( )x;t 0 . Pt trở thành 2t 2 5t m 0. (2)
4
a) x=0 ; x=1/2
b) (2) m 2t 2 5t
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có đúng một nghiệm dương. Khảo sát hàm số y=-2t2+5t
25
trên (0 :+∞) ta được m ;m 0
8
Bài 3 : Tìm a để pt sau có nghiệm duy nhất :
x x
5 1 a 5 1 2x
Hdẫn :
x x
5 1 5 1
1
2 2
x
5 1 a
Đặt t= (t>0) phương trình trở thành : t 1 t2 t a 0
2 t
1
ĐS : a 0 a .
4
x x
7 3 5 7 3 5
Bài 4 : Biện luận theo a, số nghiệm của phương trình a 8
2 2
x
7 3 5 a
Đặt t= (t>0), phương trình trở thành t 8 t 2 8t a 0 a t 2 8t .
2 t
Khảo sát hs và lập bảng biến thiên
+a>16 ; pt vô nghiệm

6. +a=16 hoặc a≤0 : pt có nghiệm duy nhất
+0<a<16 : pt có 2 nghiệm phân biệt
sin 2 x 2
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81 81cos x m
Hdẫn:
2 81
Đặt t 81sin x
t 1;81 . Phương trình trở thành: t m
t
Khảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82
4 2 x2 2 x2
Bài 6: Cho phương trình 3 2.3 2m 3 0
a) Giải phương trình khi m=0
b) Xác định m để phương trình có nghiệm.
2 x2
Giải: Đặt 3 t t 0;9
a) x=±1
3 t2
b) Khảo sát hàm số f (t ) ;t t 0;9 được -30≤m≤2
2 2
1 1 t2 1 t2
Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9 (a 2).31 2a 1 0
1 1 t2 64
Hdẫn: Đặt t= 3 t 3;9 . Khảo sát hs được 4 a
7
x2 x2 1
Bài 8: Cho phương trình 2 1 2 1 m 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm
x2 2 1
Hdẫn: Đặt 2 1 t t 1; . Phương trình trở thành: m t
t
2 1
Khảo sát hàm số f (t ) ; t 1; t được m 2 2 1 m 2 2 1
t
x2 2 mx 2 2
Bài 9: Cho phương trình 5 52 x 4mx 2 m
x2 2mx m . Tìm m để phương trình có đúng 2
nghiệm thuộc (0;2).
Hdẫn:
u x2 2mx 2
Đặt
2
v u x2 2mx m
v 2x 4mx 2 m
u
Phương trình trở thành 5 5u u 5v v 5v f (u) f (v) với f(t)=5t+t
v u
Ta có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v g ( x) x2 2mx m 0 (*)
Pt đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2) khi và chỉ khi pt (*) có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2). Khảo sát hàm số
ta được kết quả không tồn tại m thoả mãn.
Bài 10 :

7. Bµi tËp tæng hîp vÒ ph-¬ng tr×nh mò
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
8
2x
x3 4
a) 2 8 3
b) 5 x 5x 1
5x 2
3x 3x 1
3x 2
x 1
9 x2 cos x cos x
c) x2 2x 2 3
x2 2x 2 d) 2 x2 x 2 x2
e) 2 x 4.3 x 2 2 2 x 1.33 x 2
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph-ong tr×nh:
x x
a) 3 5 3 5 7.2 x 0 b) 8 x 18 x 2.27 x
2 3x 3
1 12
c) 8 x 2 x
20 0 d) 2 3 x 6.2 x 3.( x 1)
1
2 2x
e) 53 x 9.5 x 27 .(125 x 5 x ) 64
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
a) 4.33x 3x 1
1 9x b) 5.32 x 1
7.3x 1
1 6.3x 9x 1
0
d) 5lg x 50 x lg 5 f) 4.2 3 x 3.2 x 1 22x 2
24x 2
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
x
log 2
log 2 2 x 1 2. log 2 x
a) 2 x 48 b) 2.9 2
x log 2 6 x2
x
d) 4.3 x 9.2 x 5.6 2 e)
x 1 2
x 2
2x 1 4
2 3 2 3
2 3
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
a) 3 2 x 2 x 9 .3 x 9.2 x 0 b) x 2 3 2 x .x 2. 1 2 x 0
c) 9 x 2. x 2 .3 x 2 x 5 0 d) 3.25 x 2 3x 10 .5 x 2 3 x 0
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
2 2 2 2 2 2
a) 4 x 3 x 2 4 x 6 x 5 4 2. x 3 x 7 1 b) 4 x x 21 x 2x1 1
c) 8.3 x 3.2 x 24 6 x d) 12.3 x 3.15 x 5 x 1 20
e) 2 x 3 x 1 6 x
Bµi 7: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
x
a) x x log 2 3 x log 2 7 2 b) 2 x 1 32
x x
c) 3 2 2 2 2 x 3 x 1 2 x 1 x 1 d) x x log 2 3 x log 2 5
Bµi 8: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
2 2
a) 3 x cos 2 x b) 4 x 2.x 2 x 1 .2 x
x x x 2 1 x
c) 7 5 3 2 2. 5 d) 2 cos x
2 x2
6
x
e) 9.7 1 2 x
Bµi 9: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
1 x2 1 2x
x 1 x2 1 2 x2 x2
1 1
a) 4 2 x 1 b) 2 2
2 x
2 2
4. cos3 x x 1 x
c) 2 x 3. cos x
2x 7. cos 3x d) 2 3 7 4 3 x 1