Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×

Dãy số nguyễn tất thu

Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Anzeige
Anzeige

Dãy số nguyễn tất thu

  1. 1. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s S GIÁO D C & ðÀO T O ð NG NAI Trư ng THPT BC Lê H ng Phong Giáo viên th c hi n NGUY N T T THU Năm h c: 2008 – 2009 -1-
  2. 2. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s M CL C M C L C.................................................................................................................................... 1 L IM ð U.............................................................................................................................. 3 I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. ............................................................ 4 II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S ........... 24 III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI TOÁN V DÃY S -T H P............................................................................................... 30 BÀI T P ÁP D NG ................................................................................................................. 41 K T LU N – KI N NGH ...................................................................................................... 45 TÀI LI U THAM KH O ........................................................................................................ 46 -2-
  3. 3. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s L IM ð U Trong chương trình toán h c THPT các bài toán liên quan ñ n dãy s là m t ph n quan tr ng c a ñ i s và gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn khi gi i các bài toán liên qua ñ n dãy s và ñ c bi t là bài toán xác ñ nh công th c s h ng t ng quát c a dãy s . Hơn n a m t s l p bài toán khi ñã xác ñ nh ñư c công th c t ng quát c a dãy s thì n i dung c a bài toán g n như ñư c gi i quy t. Do ñó xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t ñ nh trong các bài toán dãy s . Chuyên ñ “M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ” nh m chia s v i các b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s mà b n thân ñúc rút ñư c trong quá trình h c t p và gi ng d y. N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c : I: S d ng CSC – CSN ñ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s có d ng công th c truy h i ñ c bi t. II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s III: ng d ng c a bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s bài toán v dãy s - t h p . M t s k t qu trong chuyên ñ này ñã có m t s sách tham kh o v dãy s , tuy nhiên trong chuyên ñ các k t qu ñó ñư c xây d ng m t cách t nhiên hơn và ñư c s p x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp các em h c sinh n m b t ki n th c d dàng hơn và phát tri n tư duy cho các em h c sinh. Trong quá trình vi t chuyên ñ , chúng tôi nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ nhi t thành c a BGH và quý th y cô t Toán Trư ng THPT BC Lê H ng Phong. Chúng tôi xin ñư c bày t lòng bi t ơn sâu s c. Vì năng l c và th i gian có nhi u h n ch nên chuyên ñ s có nh ng thi u sót. R t mong quý Th y – Cô và các b n ñ ng nghi p thông c m và góp ý ñ chuyên ñ ñư c t t hơn. -3-
  4. 4. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. Trong m c này chúng tôi xây d ng phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s có công th c truy h i d ng ñ c bi t. Phương pháp này ñư c xây d ng d a trên các k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p. Trư c h t chúng ta nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC . 1. S h ng t ng quát c a c p s c ng và c p s nhân 1.1: S h ng t ng quát c a c p s c ng ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un = un −1 + d ∀n ≥ 2 , d là s th c không ñ i g i là c p s c ng . d : g i là công sai c a CSC; u1 : g i s h ng ñ u, un g i là s h ng t ng quát c a c p s ð nh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n − 1)d (1). ð nh lí 2: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSC (un ) có công sai d. Ta có: n Sn = [2u + (n − 1)d ] (2). 2 1 1. 2: S h ng t ng quát c a c p s nhân ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * g i là c p s nhân công b i q. n −1 ð nh lí 3: Cho CSN (un ) có công b i q . Ta có: un = u1q (3). ð nh lí 4: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSN (un ) có công b i q . Ta có: 1 - qn Sn = u1 (4). 1 -q -4-
  5. 5. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 2. Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s ñ c bi t Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = 1, un = un −1 − 2 ∀n ≥ 2 . Gi i: Ta th y dãy (un ) là m t CSC có công sai d = −2 . Áp d ng k t qu (1) ta có: un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3 . Ví d 1.2: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = 3, un = 2un −1 ∀n ≥ 2 . Gi i: Ta th y dãy (un ) là m t CSN có công b i q = 2 . Ta có: un = 3.2n −1 . Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = −2, un = 3un −1 − 1 ∀n ≥ 2 . Gi i: Trong bài toán này chúng ta g p khó khăn vì dãy (un ) không ph i là CSC hay CSN! Ta th y dãy (un ) không ph i là CSN vì xu t hi n h ng s −1 VT. Ta tìm cách làm m t −1 ñi và chuy n dãy s v CSN. 3 1 Ta có: −1 = − + nên ta vi t công th c truy h i c a dãy như sau: 2 2 1 3 1 un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1). 2 2 2 1 5 ð t vn = un − ⇒ v1 = − và vn = 3vn −1 ∀n ≥ 2 . Dãy (vn ) là CSN công b i q = 3 2 2 5 1 5 1 ⇒ vn = v1.q n −1 = − .3n −1 . V y un = vn + = − .3n + ∀n = 1,2,...,.. . 2 2 2 2 3 1 Nh n xét: M u ch t cách làm trên là ta phân tích −1 = − + ñ chuy n công th c 2 2 truy h i c a dãy v (1), t ñó ta ñ t dãy ph ñ chuy n v dãy (vn ) là m t CSN. Tuy nhiên vi c làm trên có v không t nhiên l m! Làm th nào ta bi t phân tích 3 1 −1 = − + ? Ta có th làm như sau: 2 2 -5-
  6. 6. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = . 2 u = x 0  V i cách làm này ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) :  1 . un = aun −1 + b ∀n ≥ 2  Th t v y: * N u a = 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b . ab b * N u a ≠ 1 , ta vi t b = − . Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như a −1 a −1 b b b b sau: un + = a(un −1 + ) , t ñây ta có ñư c: un + = (u1 + )a n −1 a −1 a −1 a −1 a −1 a n −1 − 1 Hay un = u1a n −1 + b . a −1 V y ta có k t qu sau: D ng 1: Dãy s (un ) : u1 = x 0 , un = aun −1 + b ∀n ≥ 2 (a,b ≠ 0 là các h ng s ) có CTTQ là: u1 + (n − 1)b khi a = 1  un =  a n −1 − 1 . n −1 u1.a +b khi a ≠ 1  a −1 Ví d 1.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1 . Gi i: ð tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t 3n − 1 ñ chuy n v dãy s là m t CSN. Mu n làm v y ta vi t : 3n − 1 = −3n − 5 + 2 3(n − 1) + 5 (2).   Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như sau: un + 3n + 5 = 2 un + 3(n − 1) + 5  .   ð t vn = un + 3n + 5 , ta có: v1 = 10 và vn = 2vn −1 ∀n ≥ 2 ⇒ vn = v1.2n −1 = 10.2n −1 V y CTTQ c a dãy (un ) : un = vn − 3n − 5 = 5.2n − 3n − 5 ∀n = 1,2, 3,... . Chú ý : 1) ð phân tích ñư c ñ ng th c (2), ta làm như sau: -6-
  7. 7. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s a − b = 2  a = −3  3n − 1 = an + b − 2 a(n − 1) + b  . Cho n = 1; n = 2 ta có:    ⇔ .  −b = 5 b = −5   u ( ) 2) Trong trư ng h p t ng quát dãy un :  1  un = aun −1 + f (n ) ∀n ≥ 2 , trong ñó f (n )   là m t ña th c b c k theo n , ta xác ñ nh CTTQ như sau: Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) v i g(n ) cũng là m t ña th c theo n . Khi ñó ta có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = ... = a n −1 u1 − g(1)     n −1 V y ta có: un = u1 − g (1) a   + g (n ) . V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ? Ta th y : *N u a = 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c có b c nh hơn b c c a g(n ) m t b c và không ph thu c vào h s t do c a g(n ) , mà f (n ) là ña th c b c k nên ñ có (3) ta ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 , có h s t do b ng không và khi ñó ñ xác ñ nh g(n ) thì trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n b t kì ta ñư c h k + 1 phương trình, gi i h này ta tìm ñư c các h s c a g(n ) . * N u a ≠ 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c cùng b c v i g(n ) nên ta ch n g(n ) là ña th c b c k và trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n thì ta s xác ñ nh ñư c g(n ) . V y ta có k t qu sau: u = x 0  D ng 2: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:  1 , trong un = a.un −1 + f (n )  ñó f (n ) là m t ña th c b c k theo n ; a là h ng s . Ta làm như sau: Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) v i g(n ) là m t ña th c theo n . Khi ñó, ta ñ t vn = un − g(n ) ta có ñư c: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n ) .   Lưu ý n u a = 1 , ta ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 có h s t do b ng không, còn n u a ≠ 1 ta ch n g(n ) là ña th c b c k . u = 2  Ví d 1.5: Cho dãy s (un ) :  1 . Tìm CTTQ c a dãy (un ) . un = un −1 + 2n + 1  Gi i: Ta phân tích 2n + 1 = g(n ) − g(n − 1) = a n 2 − (n − 1)2  + b n − (n − 1)     -7-
  8. 8. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ( trong ñó g(n ) = an 2 + bn ).  −a + b = 1  a = 1  Cho n = 0, n = 1 ta có h :  ⇔  ⇒ g(n ) = n 2 + 2n . a +b = 3 b =2   ⇒ un = n 2 + 2n − 1 . u1 = 1  Ví d 1.6: Cho dãy s (un ) :  .Tìm CTTQ c a dãy (un ) . un = 3un −1 + 2n ; n = 2, 3,...  Gi i: Ta v n b t chư c cách làm trong các ví d trên, ta phân tích: 2n = a.2n − 3a.2n −1 . Cho n = 1 , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1 Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = ... = 3n −1(u1 + 4) V y un = 5.3n −1 − 2n +1 . Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 v i (a ≠ α ) . ( ) Khi ñó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = ... = a n −1 u1 − bk( ) Suy ra un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n . Trư ng h p α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1 ( ) ⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = ... = α n −1(u1 − bα ) ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . V y ta có k t qu sau. u1  D ng 3: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm như un = a.un −1 + b.α n ∀n ≥ 2  sau: • N u a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . • N u a ≠ α , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 . Khi ñó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n α Ta tìm ñư c: k = . α −a -8-
  9. 9. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s u1 = −2  Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  . un = 5un −1 + 2.3n − 6.7n + 12 ; n = 2, 3,...   3 3n = k .3n − 5k .3n −1  k = −  Gi i: Ta có:  n cho n = 1 , ta ñư c:  2 n −1 7 = l .7 − 5l .7 n 7  l =   2 Hơn n a 12 = −3 + 5.3 nên công th c truy h i c a dãy ñư c vi t l i như sau: ( ) un + 3.3n + 21.7n + 3 = 5 un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + 3 = ... = 5n −1 (u1 + 9 + 147 + 3) V y un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − 3 . u1 = 1  Ví d 1.8: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  . un = 2un −1 + 3n − n; ∀n ≥ 2  3n = 3.3n − 2.3.3n −1  Gi i: Ta phân tích:  nên ta vi t công th c truy h i c a dãy n = −n − 2 + 2 (n − 1) + 2     như sau: un − 3.3n − n − 2 = 2 un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = ... = 2n −1(u1 − 12)   V y un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + 2 . u1 = p  D ng 4: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , trong un = a.un −1 + b.α n + f (n ); ∀n ≥ 2  ñó f (n ) là ña th c theo n b c k , ta phân tích α n và f (n ) như cách phân tích d ng 2 và d ng 3. Ví d 1.9: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − 2 ∀n ≥ 2. Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy (un ) b ng m t dãy s khác là m t CSN. Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy như sau: -9-
  10. 10. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s x + x 2 = 5  un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1un − 2 ) , do ñó ta ph i ch n x1, x 2 :  1 hay x1, x 2 là x1x 2 = 6  nghi m phương trình : x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3 . Ta ch n x1 = 2; x 2 = 3 . Khi ñó: un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − 2 ) = ... = 3n −1(u1 − 2u 0 ) = 5.3n −1 ⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 . S d ng k t qu d ng 3, ta tìm ñư c: un = 5.3n − 6.2n . Chú ý : Tương t v i cách làm trên ta xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: u 0 ; u1   , trong ñó a,b là các s th c cho trư c và a 2 − 4b ≥ 0 un − a.un −1 + b.un − 2 =0 ∀n ≥ 2  như sau: G i x1, x 2 là hai nghi m c a phương trình : x 2 − ax + b = 0 (4) ( phương trình này ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy). Khi ñó: un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1.un − 2 ) = ... = x 2 −1(u1 − x1.u0 ) . n S d ng k t qu c a d ng 3, ta có các trư ng h p sau: x .u − u1 n u1 − x .u0 n • N u x1 ≠ x 2 thì un = 2 0 x1 + x 2 . Hay un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó n n x 2 − x1 y −x k + l = u0  k, l là nghi m c a h :  . x1.k + x 2 .l = u1  u a au  • N u x1 = x 2 = α thì un = α n −1  0 + (u1 − 0 )n  , hay un = (kn + l )α n −1 , trong  2  2   l = α .u0  ñó k, l là nghi m c a h :  . k + l = u1  V y ta có k t qu sau: u ; u  D ng 5: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  0 1 , trong un − a.un −1 + b.un − 2 = 0 ∀n ≥ 2  ñó a,b, c là các s th c khác không; a 2 − 4b ≥ 0 ta làm như sau: G i x1, x 2 là nghi m c a phương trình ñ c trưng: x 2 − ax + b = 0 . - 10 -
  11. 11. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s k + l = u0  • N u x1 ≠ x 2 thì un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó k, l là nghi m c a h :  n n . x1.k + x 2 .l = u1  l = α .u 0  • N u x1 = x 2 = α thì un = (kn + l )α n −1 , trong ñó k, l là nghi m c a h :  . k + l = u1  u = 1; u1 = 2 Ví d 1.10: Cho dãy s ( )  un ñư c xác ñ nh b i :  0 un +1 = 4un + un −1 ∀n ≥ 1 .   Hãy xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) . Gi i: Phương trình x 2 − 4x − 1 = 0 có hai nghi m x1 = 2 + 5; x 2 = 2 − 5 . k + l = 1  ⇒ un = k .x1 + l .x 2 . Vì u 0 = 1; u1 = 2 nên ta có h :  n n (2 + 5)k + (2 − 5)l = 2  1 1 ⇔k =l = . V y un = (2 + 5)n + (2 − 5)n  . 2 2   u = 1; u1 = 3  Ví d 1.11: Xác ñ nh CTTQ c a dãy: (un ) :  0 . un − 4un −1 + 4un − 2 = 0 ∀n = 2, 3,...  Gi i: Phương trình ñ c trưng x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (kn + l )2n −1 l = 2  Vì u 0 = 1; u1 = 3 nên ta có h :  ⇔ k = 1; l = 2 . k + l = 3  V y un = (n + 2)2n −1 . u0 = −1; u1 = 3  Ví d 1.12: Cho dãy (un ) :  . Xác ñ nh un − 5un −1 + 6un − 2 = 2n + 2n + 1; ∀n ≥ 2 2  CTTQ c a dãy (un ) . Gi i: V i cách làm tương t như Ví d 1.4, ta phân tích: 2n 2 + 2n + 1 = - 11 -
  12. 12. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s = (kn 2 + ln + t ) − 5 k (n − 1)2 + l (n − 1) + t  + 6 k (n − 2)2 + l (n − 2) + t  (5)     19k − 7l + 2t = 1 k = 1   (5) cho n = 0; n = 1; n = 2 ta có h : 7k − 5l + 2t = 5 ⇔ l = 8 .  −k − 3l + 2t = 13 t = 19   ð t vn = un − n 2 − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25 và vn − 5vn −1 + 6vn − 2 = 0 α + β = −20  α = 15  ⇒ vn = α .3n + β .2n . Ta có h :  ⇔ 3α + 2β = −25   β = −35  ⇒ vn = 15.3n − 35.2n ⇒ un = 15.3n − 35.2n + n 2 + 8n + 19 . u ; u  Chú ý : ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s : (un ) :  0 1 , un + 1 + a.un + b.un −1 = f (n ) ; ∀n ≥ 2  ( trong ñó f (n ) là ña th c b c k theo n và a 2 − 4b ≥ 0 ) ta làm như sau: • Ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) (6) r i ta ñ t vn = un − g(n ) v = u0 − g(0); v1 = u1 − g(1)  Ta có ñư c dãy s (vn ) :  0 . ðây là dãy s mà ta ñã xét vn + avn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2  trong d ng 5. Do ñó ta s xác ñ nh ñư c CTTQ c a vn ⇒ un . • V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ñ có (6) ? Vì f (n ) là ña th c b c k nên ta ph i ch n g(n ) sao cho g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) là m t ña th c b c k theo n . Khi ñó ta ch c n thay k + 1 giá tr b t kì c a n vào (6) ta s xác ñ nh ñư c g(n ) . Gi s g(n ) = am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a 0 (am ≠ 0 ) là ña th c b c m . Khi ñó h s c a x m và x m −1 trong VP là: am .(1 + a + b) và  −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1  .   Do ñó : i ) N u PT: x 2 + ax + b = 0 (1) có nghi m hai nghi m phân bi t khác 1 thì 1 + a + b ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c m . ii ) N u PT (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó có m t nghi m x = 1 ⇒ 1 + a + b = 0 và −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1 = −(a + 2b ).m.am ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c m −1 . iii ) N u PT (1) có nghi m kép x = 1 ⇒ a = −2;b = 1 nên VP(6) là m t ña th c b c m − 2. V y ñ ch n g(n ) ta c n chú ý như sau: - 12 -
  13. 13. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s N u (1) có hai nghi m phân bi t, thì g(n ) là m t ña th c cùng b c v i f (n ) N u (1) có hai nghi m phân bi t, trong ñó m t nghi m b ng 1 thì ta ch n g(n ) = n.h(n ) trong ñó h(n ) là ña th c cùng b c v i f (n ) . N u (1) có nghi m kép x = 1 thì ta ch n g (n ) = n 2 .h (n ) trong ñó h(n ) là ña th c cùng b c v i f (n ) . u ; u  D ng 6: ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  0 1 , un + a.un −1 + b.un − 2 = f (n ) ; ∀n ≥ 2  ( trong ñó f (n ) là ña th c theo n b c k và b 2 − 4ac ≥ 0 ) ta làm như sau: Xét g(n ) là m t ña th c b c k : g(n ) = ak n k + ... + a1k + a 0 . • N u phương trình : x 2 + ax + b = 0 (1) có hai nghi m phân bi t, ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) r i ñ t vn = un − g(n ) . • N u (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó m t nghi m x = 1 , ta phân tích f (n ) = n.g(n ) + a(n − 1)g(n − 1) + b(n − 2)g(n − 2) r i ñ t vn = un − n.g(n ) . • N u (1) có nghi m kép x = 1 , ta phân tích f (n ) = n 2 .g(n ) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2) r i ñ t vn = un − n 2 .g(n ) . u = 1; u1 = 4  Ví d 1.13: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  0 . un − 3un −1 + 2un − 2 = 2n + 1 ∀n ≥ 2  Gi i: Vì phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghi m x = 1; x = 2 nên ta phân tích 2n + 1 = n(kn + l ) − 3(n − 1) k (n − 1) + l  + 2(n − 2) k (n − 2) + l  , cho n = 0; n = 1 ta     5k − l = 1  có h :  ⇔ k = −1; l = −6 . 3k − l = 3  ð t vn = un + n(n + 6) ⇒ v0 = 1; v1 = 11 và vn − 3vn −1 + 2vn −2 = 0 α + β = 1  ⇒ vn = α .2n + β .1n v i α , β :  ⇔ α = 10; β = −9 2α + β = 11  ⇒ vn = 10.2n − 9 ⇒ un = 5.2n +1 − n 2 − 6n − 9 ∀n = 0,1,2,... . - 13 -
  14. 14. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s u0 = −1; u1 = 3  Ví d 1.14: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  . un − 4un −1 + 3un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2  Gi i: Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n −1 + 3a.2n − 2 . Cho n = 2 ta có: 4 = 4a − 8a + 3a ⇔ a = −4 ð t vn = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43 và vn − 4vn −1 + 3vn − 2 = 0 Vì phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 có hai nghi m x = 1, x = 3 nên vn = α .3n + β .1n α + β = 19  V i α, β :  ⇔ α = 12; β = 7 ⇒ vn = 12.3n + 7 . 3α + β = 43  V y un = 4.3n +1 − 5.2n + 2 + 7 ∀n = 1,2,... . Chú ý : V i ý tư ng cách gi i trên, ta tìm CTTQ c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u 0 ; u1   (v i a 2 − 4b ≥ 0 ) như sau: un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ∀n ≥ 2 n  Ta phân tích α n = kα n + a.k .α n −1 + b.k .α n − 2 (7). Cho n = 2 thì (7) tr thành: k (α 2 + a.α + b) = α 2 α2 T ñây, ta tìm ñư c k = khi α không là nghi m c a phương trình : α + aα + b 2 x 2 + ax + b = 0 (8). v = u0 − kc; v1 = u1 − kcα  Khi ñó, ta ñ t vn = un − kc.α n , ta có dãy (vn ) :  0 vn + a.vn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2  ⇒ vn = p.x1 + q.x 2 (x1, x 2 là hai nghi m c a (8)). n n ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kc.α n . n n V y n u x = α là m t nghi m c a (8), t c là: α 2 + aα + b = 0 thì ta s x lí th nào ? Nhìn l i cách gi i d ng 3, ta phân tích : α n = kn.α n + a.k (n − 1)α n −1 + bk (n − 2)α n − 2 (9). α a Cho n = 2 ta có: α k (2α + a ) = α 2 ⇔ k (2α + a ) = α ⇔ k = (α ≠ − ) . 2α + a 2 ⇒ (2) có nghi m k ⇔ α là nghi m ñơn c a phương trình (8). Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kcn.α n . n n - 14 -
  15. 15. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s a Cu i cùng ta xét trư ng h p x = α = − là nghi m kép c a (8). V i tư tư ng như trên, 2 ta s phân tích: α n = kn 2 .α n + a.k (n − 1)2 α n −1 + bk (n − 2)2 α n − 2 (10). α 1 Cho n = 2 ta có: (10) ⇔ α 2 = 4k .α 2 + ak .α ⇒ k = = . 4α + a 2 1 Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + cn 2 .α n . n n 2 V y ta có k t qu sau: u 0 ; u1  D ng 7: Cho dãy s (un ) xác ñ nh b i:  . un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ; ∀n ≥ 2 n  ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ta làm như sau: Xét phương trình : x 2 + ax + b = 0 (11) • N u phương trình (11) có hai nghi m phân bi t khác α thì α2 un = n p.x1 + q.x 2 n + kc.α v i k = n . α 2 + aα + b • N u phương trình (11) có nghi m ñơn x = α thì α un = p.x 1 + q.x 2 + kcn.α n v i k = n n . 2α + a 1 • N u x = α là nghi m kép c a (11) thì : un = (p + qn + cn 2 ).α n . 2 u0 = −1; u1 = 3  Ví d 1.15: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  . un − 5un −1 + 6un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2  Gi i: Phương trình x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghi m x1 = 2; x 2 = 3 , do ñó un = p.2n + q.3n + 5kn.2n . - 15 -
  16. 16. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  α 2 k = = = −2  2α + a 4 − 5 V i  p + q = −1 ⇔ k = −2; p = −26;q = 25 . 2p + 3q + 10k = 3   V y un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1(5n + 13) ∀n = 1,2,... . u0 = 1; u1 = 3  Ví d 1.16: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  . un − 4un −1 + 4un − 2 = 3.2n  Gi i: 3 2 n Phương trình x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (p + qn + n )2 2 p = 1  D a vào u 0 , u1 ta có h :  ⇔ p = 1; q = −1 .  p +q = 0  V y un = (3n 2 − 2n + 2)2n −1 ∀n = 1,2,... . V i cách xây d ng tương t ta cũng có ñư c các k t qu sau: u , u , u  D ng 8: Cho dãy (un ) :  0 1 2 .ð xác ñ nh CTTQ un + aun −1 + bun − 2 + cun − 3 = 0 ∀n ≥ 3  c a dãy ta xét phương trình: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (12) . • N u (12) có ba nghi m phân bi t x1, x 2 , x 3 ⇒ un = α x1 + β x 2 + γ x 3 . D a vào n n n u0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ . • N u (12) có m t nghi m ñơn, 1 nghi m kép: x1 = x 2 ≠ x 3 ⇒ un = (α + β n )x1 + γ .x 3 n n D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ . • N u (12) có nghi m b i 3 x1 = x 2 = x 3 ⇒ un = (α + β n + γ n 2 )x1 . n D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ . u = 0, u2 = 1, u3 = 3,  Ví d 1.17: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  1 un = 7un −1 − 11.un − 2 + 5.un − 3 , ∀n ≥ 4  - 16 -
  17. 17. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Gi i : Xét phương trình ñ c trưng : x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0 Phương trình có 3 nghi m th c: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5 V y an = α + β n + γ 5n Cho n = 1, n = 2, n = 3 và gi i h phương trình t o thành, ta ñư c 1 3 1 α=− , β = , γ = 16 4 16 1 3 1 V y an = − + ( n − 1) + .5n −1 . 16 4 16 u = 2; un = 2un −1 + vn −1  Ví d 1.18: Tìm CTTQ c a dãy s (un ),(vn ) :  0 ∀n ≥ 1 . v0 = 1; vn = un −1 + 2vn −1  Gi i: Ta có: un = 2un −1 + un − 2 + 2vn − 2 = 2un −1 + un − 2 + 2(un −1 − 2un − 2 ) ⇒ un = 4un −1 − 3un − 2 và u1 = 5 1 + 3n +1 −1 + 3n +1 T ñây, ta có: un = ⇒ vn = un +1 − 2un = . 2 2 Tương t ta có k t qu sau: x = pxn −1 + qyn −1 ; x1  D ng 9: Cho dãy (xn ),(yn ) :  n . ð xác ñ nh CTTQ c a hai dãy yn = ryn −1 + sx n −1; y1  (xn ),(yn ) ta làm như sau: Ta bi n ñ i ñư c: x n − (p + s )x n −1 + (ps − qr )xn − 2 = 0 t ñây ta xác ñ nh ñư c x n , thay vào h ñã cho ta có ñư c yn . Chú ý : Ta có th tìm CTTQ c a dãy s trên theo cách sau:  q − λr x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − y )  Ta ñưa vào các tham s ph λ , λ ' ⇒  λs − p n −1 x + λ ' y = (p + λ ' s )(x q + λ 'r n −1 + y )   n n p + λ ' s n −1 - 17 -
  18. 18. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  q − λr λ =  Ta ch n λ , λ ' sao cho  λs − p ⇒ x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − λyn −1 )   λ ' = q + λ ' r x n + λ ' yn = (p + λ ' s )(x n −1 + λ ' yn −1 )    λ 's + p x − λy = (p − λs )n −1(x − λy )  n  n n −1 1 1 gi i h này ta tìm ñư c ( xn ) , ( yn ) . x n + λ ' yn = (p + λ ' s ) (x1 + λ ' y1 )  u1 = 1  Ví d 1.19: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  2un −1 . un = ∀n ≥ 2  3un −1 + 4 1 3u +4 3 1 1 Gi i: Ta có = n −1 = +2 . ð t xn = , ta có: un 2un −1 2 un −1 un x1 = 1  5.2n −1 − 3 2  3 ⇒ xn = ⇒ un = . x n = 2x n −1 + n −1  2 5.2 −3  2 u1 = 2  Ví d 1.20: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  −9un −1 − 24 . un = 5u + 13 ∀n ≥ 2  n −1 Gi i: Bài toán này không còn ñơn gi i như bài toán trên vì trên t s còn h s t do, do ñó ta tìm cách làm m t h s t do trên t s . Mu n v y ta ñưa vào dãy ph b ng cách ñ t un = xn + t . Thay vào công th c truy h i, ta có: −9x n −1 − 9t − 24 (−9 − 5t )xn −1 − 5t 2 − 22t − 24 xn + t = ⇒ xn = 5x n −1 + 5t + 13 5x n −1 + 5t + 13 Ta ch n t : 5t 2 + 22t + 24 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ x1 = 4 x n −1 1 3 1 11.3n −1 − 10 4 ⇒ xn = ⇒ =5+ ⇒ = ⇒ xn = 5xn −1 +3 xn x n −1 xn 4 11.3n −1 − 10 −22.3n −1 + 24 ⇒ un = x n − 2 = . n −1 11.3 − 10 - 18 -
  19. 19. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s pun −1 + q D ng 10: Cho dãy ( un ): u1 = α ; un = ∀n ≥ 2 . ð tìm CTTQ c a dãy (xn) run −1 + s ta làm như sau: ð t un = x n + t , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có: px n −1 + pt + q (p − rt )x n −1 − rt 2 + (p − s )t + q xn = −t = (13). run −1 + rt + s rx n −1 + rt + s 1 1 Ta ch n t : rt 2 + (s − p)t − q = 0 . Khi ñó ta chuy n (13) v d ng: =a +b xn x n −1 1 T ñây ta tìm ñư c , suy ra un . xn u = 2  Ví d 1.21: Xác ñ nh CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) :  1 và v1 = 1  u = u 2 + 2v 2  n n −1 n −1 ∀n ≥ 2 .  vn = 2un −1vn −1  Gi i:   un = un −1 + 2vn −1 un + 2vn = (un −1 + 2vn −1 ) 2 2 2 Ta có:  ⇒  2vn = 2 2un −1vn −1 un − 2vn = (un −1 − 2vn −1 ) 2    2n − 1 n −1 un + 2vn = (u1 + 2v1 ) = (2 + 2)2 ⇒ n −1 n −1 un − 2vn = (u1 − 2v1 )2 = (2 − 2)2   1 n −1 n −1  un = (2 + 2)2 + (2 − 2)2   2  . ⇒ 1  n −1 n −1  vn = (2 + 2) − (2 − 2)2  2   2 2  - 19 -
  20. 20. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 2  un −1   v  +2  u = u 2 + 2v 2  n u u 2 + 2vn −1 2 Nh n xét: T  n −1 n − 1 ⇒ n = n −1 =  n −1  vn = 2un −1vn −1  vn 2un −1vn −1 u  2  n −1  v   n −1  x1 = 2 un  Do v y n u ta ñ t x n = ta ñư c dãy s (xn ) :  x n −1 + 2 . Ta có bài toán sau: 2 vn x n =  2x n −1 x1 = 2  Ví d 1.22: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (xn ) :  x n −1 + 2 2 . xn = ∀n ≥ 2  2x n −1 Gi i: u1 = 2 un = un −1 + 2vn −1  2 2  Xét hai dãy (un ),(vn ) :  và  ∀n ≥ 2 . v1 = 1 vn = 2un −1vn −1   u Ta ch ng minh x n = n (14). vn u2 • n = 2 ⇒ x2 = = 2 ⇒ n = 2 (14) ñúng. v2 un −1 x n −1 + 2 2 un −1 + 2vn −1 2 2 un • Gi s x n −1 = ⇒ xn = = = ⇒ (14) ñư c ch ng vn −1 2x n −1 2un −1vn −1 vn minh n −1 n −1 (2 + 2)2 + (2 − 2)2 Theo k t qu bài toán trên, ta có: x n = 2 . 2n − 1 2n − 1 (2 + 2) − (2 − 2) D ng 11: 1) T hai ví d trên ta có ñư c cách tìm CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) ñư c xác ñ nh u = u 2 + a.v 2 ; u = α  b i:  n n −1 n −1 1 (trong ñó a là s th c dương) như sau: vn = 2vn −1un −1 ; v1 = β  - 20 -
  21. 21. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s   un = un −1 + a.vn −1 un + aun −1 = (un −1 + aun −1 ) 2 2 2 Ta có:  ⇒  a .vn = 2 a .vn −1un −1 un − aun −1 = (un −1 − aun −1 ) 2    1 2n − 1 n −1  un = (α + β a )  + (α − β a )2  ⇒ 2  . 1  n −1 n −1  vn = (α + β a )2 − (α − β a )2    2 a   x1 = α  2) Áp d ng k t qu trên ta tìm ñư c CTTQ c a dãy (xn ) :  x n −1 + a . 2 x n =  2x n −1 u = u 2 + a.v 2 ; u = α  Xét hai dãy (un ),(vn ) :  n n −1 n −1 1 vn = 2vn −1un −1  ; v1 = 1 n −1 n −1 un (α + a )2 + (α − a )2 Khi ñó: x n = = a . vn 2n − 1 2n − 1 (α + a ) + (α − a ) u1 = 1  Ví d 1.23: Cho dãy (un ) :  . Tìm un ? un = 5un −1 + 24un −1 − 8 ∀n ≥ 2 2  Gi i: Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Gi s : un = xun −1 + yun − 2 9x + y = 89  x = 10  ⇒ ⇔  . Ta ch ng minh: un = 10un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3  89x + 9y = 881 y = −1   T công th c truy h i c a dãy ta có: (un − 5un −1 )2 = 24un −1 − 8 2 ⇔ un − 10un un −1 + un −1 + 8 = 0 (15) thay n b i n − 1 , ta ñư c: 2 2 un − 2 − 10un − 2un −1 + un −1 − 8 = 0 (16) . 2 2 T (15),(16) ⇒ un − 2 , un là hai nghi m c a phương trình : t 2 − 10un −1t + un −1 − 8 = 0 2 Áp d ng ñ nh lí Viet, ta có: un + un − 2 = 10un −1 . ( ) ( ) 6 −2 n −1 6 +2 n −1 V y un = 5−2 6 + 5+2 6 . 2 6 2 6 - 21 -
  22. 22. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s D ng 12: u1 = 1  1) Dãy (un ) :  là dãy nguyên ⇔ a = 24 . un = 5un −1 + aun −1 − 8 ∀n ≥ 2 2  Th t v y: u2 = 5 + a − 8 = 5 + t ( t = a − 8 ∈ ℕ ) ⇒ u3 = 5 + (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8 ⇒ u3 ∈ ℤ ⇔ f (t ) = (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8 = m 2 (m ∈ ℤ) . Mà (t 2 + 5t + 4)2 < f (t ) < (t 2 + 5t + 14)2 k t h p v i f (t ) là s ch n ta suy ra { } m = t 2 + 5t + x v i x ∈ 6, 8,10,12 . Th tr c ti p ta th y t = 4 ⇒ a = 24 . u1 = α  2) V i dãy s (un ) :  , v i a 2 − b = 1 ta xác ñ nh un = aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2 2  CTTQ như sau: T dãy truy h i ⇒ (un − aun −1 )2 = bun −1 + c ⇔ un − 2aun un −1 + un −1 − c = 0 2 2 2 Thay n b i n − 1 , ta có: un − 2 − 2aun −1un − 2 + un −1 − c = 0 ⇒ un + un − 2 = 2aun −1 . 2 2 u1 = α   3) V i dãy (un ) :  un −1 ,trong ñó α > 0;a > 1 ; a 2 − b = 1 ta un = ∀n ≥ 2    a + cun −1 + b 2 xác ñ nh CTTQ như sau: 1 a b 1 Ta vi t l i công th c truy h i dư i d ng: = + c+ . ð t xn = un un −1 2 un un −1 Ta có un = aun −1 + bx n −1 + c ñây là dãy mà ta ñã xét 2 trên. u1 = u2 = 1  Ví d 1.24: Cho dãy (un ) :  un −1 + 2 2 . Tìm un ? un = ∀n ≥ 2  un − 2 Gi i: Ta có: u 3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 . Ta gi s un = xun −1 + yun −2 + z .T u3 = 3; u4 = 11; - 22 -
  23. 23. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s x + y + z = 3 x = 4   u5 = 41 ta có h phương trình: 3x + y + z = 11 ⇔ y = −1 ⇒ un = 4un −1 − un − 2 11x + 3y + z = 41 z = 0   u = u2 = 1  Ta ch ng minh (un ) :  1 . un = 4un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3  • V i n = 3 ⇒ u3 = 4u2 − u1 = 3 ⇒ n = 3 ñúng • Gi s uk = 4uk −1 − uk − 2 . Ta có: ( 4uk −1 − uk −2 ) 2 uk + 2 2 +2 16uk −1 − 8uk −1uk − 2 + uk − 2 + 2 2 2 uk +1 = = = uk −1 uk −1 uk −1 16uk −1 − 8uk −1uk − 2 + uk −1uk − 3 2 = = 16uk −1 − 8uk −2 + uk − 3 uk −1 = 4(4uk −1 − uk − 2 ) − (4uk − 2 − uk − 3 ) = 4uk − uk −1 ( ) ( ) 3 +1 n −1 3 −1 n −1 Theo nguyên lí quy n p ta có ñpcm ⇒ un = 2− 3 + 2+ 3 . 2 3 2 3 - 23 -
  24. 24. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S Nhi u dãy s có công th c truy h i ph c t p tr thành ñơn gi n nh phép th lư ng giác. Khi trong bài toán xu t hi n nh ng y u t g i cho ta nh ñ n nh ng công th c lư ng giác thì ta có th th v i phương pháp th lư ng giác. Ta xét các ví d sau  1 u1 = Ví d 2.1: Cho dãy (un ) :  2 . Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) . un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2 2  Gi i: T công th c truy h i c a dãy, ta liên tư ng ñ n công th c nhân ñôi c a hàm s côsin 1 π π 2π Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 2 cos2 − 1 = cos 2 3 3 3 2π 4π 8π ⇒ u3 = 2 cos2 − 1 = cos ⇒ u4 = cos .... 3 3 3 2n −1 π Ta ch ng minh un = cos . Th t v y 3 22 −1 π 2π • V i n = 2 ⇒ u2 = cos = cos (ñúng) 3 3 2n − 2 π 2 2 n −1 π 2n −1 π • Gi s un −1 = cos ⇒ un = 2un −1 − 1 = 2 cos 2 − 1 = cos 3 3 3 n −1 2 π V y un = cos ∀n ≥ 1 . 3 u1  D ng 13: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s (un ) :  ta làm như un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2 2  sau: • N u | u1 |≤ 1 , ta ñ t u1 = cos α . Khi ñó ta có: un = cos 2n −1α . 1 1 • N u | u1 |> 1 ta ñ t u1 =(a + ) ( trong ñó a ≠ 0 và cùng d u v i u1 ). 2 a 1 1 1 1 1 1 Khi ñó u2 = (a 2 + 2 + ) − 1 = (a 2 + ) ⇒ u3 = (a 4 + ) .... 2 a2 2 a2 2 a4 - 24 -
  25. 25. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 2n −1 1 Ta ch ng minh ñư c un = (a + n −1 ) ∀n ≥ 1 . Trong ñó a là nghi m (cùng d u 2 a2 v i u1 ) c a phương trình : a 2 − 2u1a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghi m có tích b ng 1 nên ta có th vi t CTTQ c a dãy như sau  2n − 1 2n − 1  1   u + u2 − 1  . un =  u1 − u1 − 1  2 + 1  2    1      3 u1 = Ví d 2.2: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (un ) :  2 . u = 4u 3 − 3un −1 ∀n ≥ 2  n n −1 Gi i: 3 π 3π π π 32 π Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 4 cos − 3 cos = cos 3 ⇒ u3 = cos ..... 2 6 6 6 6 6 3n −1 π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: un = cos . 6 D ng 14: u1 = p  1) ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm như sau un = 4un −1 − 3un −1 ∀n ≥ 2 3  • N u | p |≤ 1 ⇒ ∃α ∈  0; π  : cos α = p .   Khi ñó b ng quy n p ta ch ng minh ñư c : un = cos 3n −1α . 1 1 • N u | p |> 1 , ta ñ t u1 =  a +  (a cùng d u v i u1 ) 2 a 1  3n −1 1  B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = a + n −1  . 2 a3    3n − 1 3n − 1  1    u + u2 − 1  . Hay un =  u1 − u1 − 1  2 + 1  2    1     2) T trư ng h p th hai c a bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ c a dãy s - 25 -
  26. 26. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s u1 = p  1 1 (un ) :  b ng cách ñ t u1 = (a − ) . Khi ñó b ng quy n p un = 4un −1 + 3un −1 ∀n ≥ 2 3 2 a  ta ch ng minh ñư c :  3n − 1 3n − 1  1  3n −1 1  1   un =  a − n −1  =  u + u1 + 1  2 +  u1 − u1 + 1   2  . 2  3  2  1     a    Chú ý : Trong m t s trư ng h p ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) cho b i: u1   . un = un −1 + aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2 3 2  B ng cách ñưa vào dãy ph ñ chuy n dãy ñã cho v m t trong hai d ng trên. 3 Ví d 2.3: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u1 = và 6 un = 24un −1 − 12 6un −1 + 15un −1 − 6 ∀n ≥ 2 . 3 2 Gi i: ð t un = x .vn + y . Thay vào công th c truy h i c a dãy, bi n ñ i và rút g n ta ñư c x .vn + y = 24x 3vn −1 + 12(6x 2y − 6x 2 )vn −1 + 3(24xy 2 − 8 6xy + 5x )vn −1 + 3 2 +24y 3 − 12 6y 2 + 15y − 6 . 6x 2y − 6x 2 = 0  1 Ta ch n y :  ⇔y = . 24y − 12 6y + 15y − 6 = y 3 2 6  1 Khi ñó: x .vn = 24x 3vn −1 + 3x .vn −1 ⇔ vn = 24x 2vn −1 + 3vn −1 . Ta ch n x = 3 3 6 ⇒ vn = 4vn −1 + 3vn −1 và v1 = 2 . 3 1 n −1 n −1  ⇒ vn = (2 + 5)3 + (2 − 5)3  . 2  1  n −1 n −1  1 V y un = (2 + 5)3 + (2 − 5)3  + ∀n = 1,2,... . 2 6  6 - 26 -
  27. 27. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  3 u1 = Ví d 2.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  2 . un = 2 − un −1 ∀n ≥ 2 2  3 π  Gi i: ð t − = cos α , α ∈  ; π  , khi ñó : 4 2  u1 = −2 cos α ⇒ u2 = 2(1 − 2 cos2 α ) = −2 cos 2α . B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = −2 cos 2n −1α .  1 u1 =  2 Ví d 2.5: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  .  2 − 2 1 − un −1 2 un =  2 ∀n ≥ 2 Gi i: T công th c truy h i c a dãy, g i ta nh ñ n công th c lư ng giác sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ 1 − sin2 α = cos2 α . π π 2 − 2 1 − sin2 2(1 − cos ) 1 π 6 6 = sin π Ta có: u1 = = sin ⇒ u2 = = 2 6 2 2 2.6 π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: un = sin . n −1 2 .6 Ví d 2.6: Cho a,b là hai s th c dương không ñ i th a mãn a < b và hai dãy (an ),(bn )  a +b a1 =  ;b1 = b.a1 ñư c xác ñ nh:  2 . Tìm an và bn . a = an −1 + bn −1 ;bn = anbn −1 ∀n ≥ 2  n  2 Gi i: a a  π Ta có: 0 < < 1 nên ta ñ t = cos α v i α ∈  0;  b b  2 b cos α + b b(1 + cos α ) α α α Khi ñó: a1 = = = b cos2 và b1 = b.b cos2 = b cos 2 2 2 2 2 - 27 -
  28. 28. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s α α a1 + b1 b cos2 + b cos a2 = = 2 = b cos α .cos2 α và b = b cos α cos α . 2 2 2 2 2 22 2 22 B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: α α α α α α an = b cos cos ...cos2 và bn = b cos cos ...cos . 2 22 2n 2 22 2n u = 3  1  Ví d 2.7: Cho dãy (un ) :  u + 2 −1 . Tính u2003 (Trích ñ thi un = n −1 ∀n ≥ 2   1 + (1 − 2)un −1 Olympic 30 – 4 – 2003 Kh i 11). π un −1 + tan π 8 Gi i: Ta có tan = 2 − 1 ⇒ un = 8 π 1 − tan un −1 8 π π tan + tan π 8 = tan(π + π ) 3 Mà u1 = 3 = tan ⇒ u2 = 3 π π 3 8 1 − tan tan 3 8 π π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = tan  + (n − 1)  . 3 8  π 2002π  π π  V y u2003 = tan  +  = tan  +  = −( 3 + 2) . 3 8  3 4 u1 = a  Chú ý : ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  u +b . un = n −1 ∀n ≥ 2  1 − bun −1 Ta ñ t a = tan α ;b = tan β , khi ñó ta ch ng minh ñư c: un = tan α + (n − 1)β    u = 3  1  Ví d 2.8: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  un −1 . un = ∀n ≥ 2    1 + 1 + un −1 2 - 28 -
  29. 29. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 1 1 1 Gi i: Ta có: = + 1+ . ð t xn = khi ñó ta ñư c dãy (xn ) ñư c xác un un −1 u2 n −1 un 1 ñ nh như sau: x1 = và x n = x n −1 + 1 + xn −1 . 2 3 π 1 + cos 1 π π π 3 = cot π Vì x1 = = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot2 = 3 3 3 3 π 2.3 sin 3 π π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot ⇒ un = tan ∀n = 1,2,... 2n −1.3 2n −1.3 - 29 -
  30. 30. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI TOÁN V DÃY S - T H P Trong m c này chúng tôi ñưa ra m t s ví d các bài toán v dãy s và t h p mà quá trình gi i các bài toán ñó chúng ta v n d ng m t s k t qu trên. Ví d 3.1: Cho dãy s (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1 ∀n ≥ 1 . Ch ng minh r ng A = 4anan + 2 + 1 là s chính phương. Gi i: T công th c truy h i c a dãy ta thay n + 1 b i n ta ñư c: an +1 = 2an − an −1 + 1   ⇒ an + 1 − 3an + 3an −1 − an − 2 = 0 . an = 2an −1 − an − 2 + 1  Xét phương trình ñ c trưng λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1 1 ⇒ an = (α + β n + γ n 2 ) , do a 0 = 0, a1 = 1, a2 = 3 ⇒ α = 0, β = γ = . 2 1 ⇒ an = (n + n 2 ) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n 2 + 3n + 1)2 ⇒ ñpcm. 2 Ví d 3.2: Cho dãy s (xn ) : x1 = 7, x 2 = 50; x n +1 = 4x n + 5xn −1 − 1975 ∀n ≥ 2 . Ch ng minh r ng x1996 ⋮1997 (HSG Qu c Gia – 1997 ) Gi i: Vì −1975 = 22(mod1997) do ñó ta ch c n ch ng minh dãy x n +1 = 4x n + 5x n −1 + 22 ⋮1997 . ð t yn +1 = ax n +1 + b = a(4x n + 5x n −1 + 22) + b = 4(axn + b) + 5(ax n −1 + b) + 22a − 8b = 4yn + 5yn −1 + 22a − 8b . Ta ch n a, b sao cho: 22a − 8b = 0 , ta ch n a = 4 ⇒ b = 11 . ⇒ yn +1 = 4x n +1 + 11 ⇒ y1 = 39, y2 = 211; yn +1 = 4yn + 5yn −1 8(−1)n + 25.5n 8 + 25.51996 T ñây ta có ñư c: yn = ⇒ y1996 = . 3 3 Vì 8 + 25.51996 ≡ −1 + 1 = 0(mod 3) ⇒ y1996 ∈ ℤ Theo ñ nh lí Fecma 51996 ≡ 1(mod1997) ⇒ y1996 ≡ 11(mod1997) ⇒ 4x1996 + 11 ≡ 11(mod1997) ⇒ x1996 ≡ 0(mod1997) . - 30 -
  31. 31. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Nh n xét: T bài toán trên ta có k t qu t ng quát hơn là: x p −1 ⋮ p v i p là s nguyên t l . u = 20; u1 = 100  Ví d 3.3: Cho dãy s (un ) :  0 .Tìm s nguyên dương un + 1 = 4un + 5un −1 + 20 ∀n ≥ 2  h bé nh t sao cho: un + h − un ⋮1998 ∀n ∈ ℕ * (HSG Qu c Gia B ng A – 1998 ). Gi i: a = 45; a1 = 205  ð t an = 2un + 5 , ta có dãy (an ) :  0 an +1 = 4an + 5an −1 ∀n ≥ 2  10 125 n 125 n 5 5 ⇒ an = (−1)n + .5 ⇒ un = .5 + (−1)n − . 3 3 6 3 2 Vì an + h − an = 2(un + h − un ) ⇒ un + h − un ⋮1998 ⇔ an + h − an ⋮ 2.1998 = 22.33.37 (−1)n .10  n  + 125.5 (5h − 1) Mà an + h − an = (−1) − 1 h 3   3 5h − 1⋮ 4 125.5 n   • N u h ch n ⇒ an + h − an = (5 − 1)⋮ 4.27.37 ⇔ 5h − 1⋮ 81 (17) h 3  h 5 − 1⋮ 37  G i k là s nguyên dương nh nh t th a mãn 5k − 1⋮ 37 . Vì 536 − 1⋮ 37 ⇒ 36 ⋮ k { } ⇒ k ∈ 1,2, 3, 4,12,18, 36 th tr c ti p ta th y ch có k = 36 th a mãn ⇒ 5h − 1⋮ 37 ⇒ h ⋮ 36 (18) Ch ng minh tương t , ta cũng có: 5h − 1⋮ 81 ⇒ h ⋮ϕ(81) = 54 (19) T (18) và (19) ta suy ra (17) ⇔ h ⋮ 36, 54  = 108 ⇒ h ≥ 108 .   • N u h l : Vì un + h ≡ un (mod 1998) u ≡ u 0 ≡ 20(mod1998)  Nên ta có:  h ⇒ 5uh −1 ≡ uh +1 − 4uh − 20 ≡ 0(mod1998) uh +1 ≡ u1 ≡ 100(mod1998)  ⇒ uh −1 ⋮ 0(mod1998) 125 h 25 125 h −1 5 Vì h l ⇒ h − 1 ch n ⇒ uh = .5 − và uh −1 = .5 − 6 6 6 6 ⇒ uh ≡ 5uh −1 ≡ 0(mod1998) mâu thu n v i uh ≡ 20(mod1998) . - 31 -
  32. 32. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s V i h = 108 ta d dàng ch ng minh ñư c un + h ≡ un (mod1998) ∀n ≥ 1 . V y h = 108 là giá tr c n tìm. 2xn + 1 Ví d 3.4: Cho dãy (xn ) : x 0 = 2; x n +1 = xn + 2 1) Tính x 2000 ? 2000 2) Tìm ph n nguyên c a A = ∑ xi (Olympic 30 – 4 – 2000 kh i 11 ). i =1 xn − 1 1 3 1 Gi i: Ta có: x n +1 − 1 = ⇒ =1+ . ð t an = ⇒ a 0 = 1 và xn + 2 xn +1 − 1 xn − 1 xn − 1 3n +1 − 1 2 an + 1 = 3an + 1 ⇒ an = ⇒ xn = 1 + . 2 3n + 1 − 1 32001 + 1 a) Ta có: x 2000 = 32001 − 1 2000 1 2 2000 1 b) Ta có: A = 2000 + 2 ∑ ⇒ 2000 < A < 2000 + ∑ < 2001 i +1 i =1 3 −1 3 i =1 3i V y [A] = 2000 . (2 + cos 2α )xn + cos2 α Ví d 3.5: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = . (2 − 2 cos 2α )x n + 2 − cos 2α n 1 ð t yn = ∑ 2x +1 ∀n ≥ 1 . Tìm α ñ dãy s (yn ) có gi i h n h u h n và tìm gi i i =1 i h n ñó. ( HSG Qu c Gia B ng A – 2004 ). Gi i: 1 2 sin2 α 1 1 1 1 Ta có = + ⇒ = + (1 − )sin2 α 2x n + 1 + 1 3 3(2x n + 1) 2x n + 1 3n 3n −1 n n n 1 1 1 1 1 3 1 ⇒ yn = ∑ 2x + 1 = ∑ + sin2 α ∑ (1 − )= (1 − ) + [n − (1 − )]sin2 α i =1 i i =1 3 i i =1 3i −1 2 3n 2 3n 1 Vì lim = 0 nên dãy (yn ) có gi i h n h u h n ⇔ sin α = 0 ⇔ α = kπ 3n - 32 -
  33. 33. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 Khi ñó lim yn = . 2 x = −1  x  n +1 = −3x n − 2xn yn + 8yn 2 2 Ví d 3.6: Cho hai dãy (xn ),(yn ) :  1  và ∀n ≥ 1 . y1 = 1 yn +1 = 2x n + 3x n yn − 2yn 2 2   Tìm t t c các s nguyên t p sao cho x p + y p không chia h t cho p . (TH&TT – 327 ) Gi i: n −1 Ta có: x n + 2yn = (xn −1 + 2yn −1 )2 = ... = (x1 + 2y1 )2 = 1 (20) Gi s có m t s t nhiên k ñ yk = 2xk ⇒ yk +1 = 0 . Khi ñó, ta có: x  k + 2 = −3x k +1 2  vô lí. V y yn +1 = (2x n − yn )(x n + 2yn ) ≠ 0 ∀n . xk +2 = 1  x (3x n − 4yn )(x n + 2yn ) −3x n + 4yn Suy ra : n +1 = − = . yn + 1 (2x n − yn )(x n + 2yn ) 2x n − yn xn +1 −3an + 4 ð t an +1 = ⇒ a1 = −1;an + 1 = yn + 1 2an − 1 an + 2 1 5 1 1 + 2(−5)n −1 ⇒ an + 1 + 2 = ⇒ =2− ⇒ = 2an − 1 an + 1 +2 an + 2 an + 2 3 1 − 4.(−5)n −1 xn ⇒ an = = (21) n −1 1 + 2.(−5) yn 1 − 4.(−5)n −1 1 + 2.(−5)n −1 2 − 2(−5)n −1 T (20) và (21) ⇒ xn = ; yn = ⇒ x n + yn = . 3 3 3 * N u p = 2 ⇒ x 2 + y2 = 4 ⋮ 2 ⇒ p = 2 không th a yêu c u bài toán. * N u p = 3 ⇒ x 3 + y 3 = −16 không chia h t cho 3 ⇒ p = 3 th a yêu c u bài toán. * N u p = 5 ta th y cũng th a yêu c u bài toán. * N u p > 5 ⇒ (−5)p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ x p + y p ≡ 0(mod p) V y p = 3, p = 5 là hai giá tr c n tìm. - 33 -
  34. 34. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  2 u1 =  3 Ví d 3.7: Cho dãy (un ) :  un −1 . Tính t ng c a 2001 s un = ∀n ≥ 2   2(2n − 1)un −1 + 1 h ng ñ u tiên c a dãy (un ) (HSG Qu c Gia – 2001 ). Gi i: 1 1 Ta có: = + 4n − 2 (22). un un −1 Ta phân tích 4n − 2 = k n 2 − (n − 1)2  + l n − (n − 1) . Cho n = 0; n = 1 , ta có h      −k + l = −2   ⇔ k = 2; l = 0 . k + l = 2  1 1 1 1 Suy ra (22) ⇔ − 2n 2 = − 2(n − 1)2 = ... = −2 = − un un −1 u1 2 1 4n 2 − 1 (2n − 1)(2n + 1) ⇒ = = un 2 2 2 1 1 ⇒ un = = − (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1 2001 2001  1 1  1 4002 ⇒ ∑ ui = ∑  2i − 1 − 2i + 1  = 1 − 4003 = 4003 . i =1 i =1   x = x + 1 + x n −1 2 x = 3  n n −1   Ví d 3.8: Cho hai dãy s (xn ); (yn ) xác ñ nh :  1 và  yn −1 y1 = 3  yn =   1 + 1 + yn −1 ∀n ≥ 2 . Ch ng minh r ng 2 < xn yn < 3 ∀n ≥ 2 . (Belarus 1999). Gi i: π cos +1 π π π 6 π Ta có: x1 = 3 = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot 2 = = cot 6 6 6 π 2.6 sin 6 - 34 -
  35. 35. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot . n −1 2 .6 π Theo k t qu c a ví d 2.8, ta có: yn = tan 2n −1.3 π ð t αn = ⇒ x n = cot αn ; yn = tan 2αn ⇒ xn .yn = tan 2αn .cot αn 2n .3 1 2 2t ð t t = tan αn ⇒ tan 2αn .cot αn = . = . 1−t 2 t 1−t 2 π π 1 2 Vì n ≥ 2 ⇒ 0 < αn < ⇒ 0 < t < tan = ⇒ ≤ 1 − t2 < 1 6 6 3 3 2 ⇒2< < 3 ⇒ 2 < x n yn ≤ 3 ∀n ≥ 2 ⇒ ñpcm. 1−t 2 | x1 |< 1  Ví d 3.9: Cho dãy s (xn ) :  −x n + 3 − 3x n 2 . x n +1 = ∀n ≥ 2  2 1) C n có thêm ñi u ki n gì ñ i v i x1 ñ dãy g m toàn s dương ? 2) Dãy s này có tu n hoàn không ? T i sao ? (HSG Qu c Gia 1990). Gi i:  π π Vì | x1 |< 1 nên t n t i α ∈  − ;  : sin α = x1 . Khi ñó:  2 2 1 3 π x 2 = − sin α + cos α = sin( − α ) 2 2 3 1 π 3 π x 3 = − sin( − α ) + | cos( − α ) | . 2 3 2 3 π π • N u− ≤α < ⇒ x 3 = sin α 6 2 π π 2π • N u− <α < − ⇒ x 3 = sin(α − ). 2 6 3 B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: sin α khi n = 2k + 1 π π  i ) N u − ≤ α < thì: x n =  π 6 2 sin( − α ) khi n = 2k  3 - 35 -
  36. 36. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  2π π π sin(α −  ) khi n = 2k + 1 ii ) N u − < α < − thì: x n =  3 ∀k ≥ 1 . 2 6 sin( π − α ) khi n = 2k   3 sin α > 0  π  0 < α <  π 1) Dãy g m toàn s dương ⇔   π  ⇔ 2 ⇔ 0<α < . sin  3 − α  > 0 − π ≤ α < π 3     6  3 3 V y 0 < x1 < là ñi u ki n c n ph i tìm. 2 2) D a vào k t qu trên ta có: π  π 1 • N u sin α = sin  − α  ⇔ α = ⇔ x1 = . Khi ñó t (1) ta có ñư c 3  6 2 x1 = x 2 = ... = xn = ... ⇒ (x n ) là dãy tu n hoàn.  1 − ≤ x1 < 1  • N u 2 thì dãy s có d ng x1, x 2 , x1, x 2 ,.... x ≠ 1  1 2  1 • N u −1 < x1 < − thì dãy s có d ng x1, x 2 , x 3 , x 2 , x 3 .... 2 Ví d 3.10: Tính t ng Sn = 1 + 3 + 5 + .. + 2n − 1 , v i n là s t nhiên n ≥ 1 . Gi i: Ta có: S1 = 1 và Sn = Sn −1 + 2n − 1 . Mà: 2n − 1 = n 2 − (n − 1)2 ⇒ Sn − n 2 = Sn −1 − (n − 1)2 = ... = S1 − 1 = 0 V y Sn = n 2 . Ví d 3.11: Tính t ng Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n 2 v i n là s t nhiên n ≥ 1 . Gi i: Ta có S1 = 1 và Sn = Sn −1 + n 2 (23). Ta phân tích: n 2 = k n 3 − (n − 1)3  + l n 2 − (n − 1)2  + t n − (n − 1)       - 36 -
  37. 37. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s k − l + t = 0  1 1 1 Cho n = 0; n = 1; n = 2 , ta có h : k + l + t = 1 ⇔ k = ;l = ;t = 7k + 3l + t = 4 3 2 6  1 1 1  1 1 1  ⇒ (23) ⇔ Sn −  n 3 + n 2 + n  = Sn −1 −  (n − 1)3 + (n − 1)2 + (n − 1) 3 2 6  3 2 6  1 3 1 2 1  2n 3 + 3n 2 + n n(n + 1)(2n + 1) ⇒ S n −  n + n + n  = S1 − 1 = 0 ⇒ S n = = . 3 2 6  6 6 Ví d 3.12: Tính t ng Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 1 . Gi i: Ta có: S1 = 6 và Sn − Sn −1 = n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 2 . 1 1 Do n(n + 1)(n + 2) = (n + 1)4 − n 4  + (n + 1)3 − n 3  − 4  2  1 1 − (n + 1)2 − n 2  − (n + 1) − n  . 4  2  1 1 1 1 ð t f (n ) = (n + 1)4 + (n + 1)3 − (n + 1)2 − (n + 1) 4 2 4 2 ⇒ Sn − f (n ) = Sn −1 − f (n − 1) = ... = S1 − f (1) = 0 n(n + 1)(n + 1)(n + 3) ⇒ Sn = f (n ) = . 4 Ví d 3.13: Trong mp cho n ñư ng th ng, trong ñó không có ba ñư ng nào ñ ng quy và ñôi m t không c t nhau. H i n ñư ng th ng trên chia m t ph ng thành bao nhiêu mi n ? Gi i: G i an là s mi n do n ñư ng th ng trên t o thành. Ta có: a1 = 2 . Ta xét ñư ng th ng th n + 1 (ta g i là d ), khi ñó d c t n ñư ng th ng ñã cho t i n ñi m và b n ñư ng th ng chia thành n + 1 ph n, ñ ng th i m i ph n thu c m t mi n c a an . M t khác v i m i ño n n m trong mi n c a an s chia mi n ñó thành 2 mi n, nên s mi n có thêm là n + 1 . Do v y, ta có:an + 1 = an + n + 1 n(n + 1) T ñây ta có: an = 1 + . 2 - 37 -

×