Cristalografia para Quimicos Teoria Y Practicas

CRISTALOGRAFÍA PARA QUÍMICOS
Teoría y prácticas
Tomás Lasarte Esteban
Castellón, 2015
España
x
x
x
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x
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x
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x
.
x
x
xx
x
x
Hexaquistetraedro Hexaquistetraedro
Poliedro cristalino
Proyección esterográfica

1) Cristalografía y química:.............................................................................................................................................1
2) Concepto de materia ...................................................................................................................................................3
2.1. Definición de mineral :.........................................................................................................................................3
2.2. Materia cristalina:.................................................................................................................................................4
3.3. Materia amorfa (Mineraloides): ............................................................................................................................5
3) Propiedades del cristal: ...............................................................................................................................................6
3.1. Teoría reticular:....................................................................................................................................................6
3.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial............................................................................7
3. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas : ...........................................................................................................7
4) SIMETRÍA...............................................................................................................................................................15
4.1 Tipos de simetría................................................................................................................................................15
4.2 Elementos geométricos :.....................................................................................................................................16
4.3 Leyes cristalográficas:........................................................................................................................................21
4.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) : ...........................................................................................23
4.5. Sistemas cristalinos : .........................................................................................................................................24
4.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas) ..........................................................................................31
4.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin .........................................................................................................33
4.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría.........................................................................35
4.9. EJERCICIO PRÁCTICO 1: Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros..........37
4.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema ......................................38
4.9.2. Simetría característica de cada sistema .........................................................................................................42
4.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros ...........................................................................43
5) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA ......................................................................................................................58
5.1. Definición y propiedades....................................................................................................................................58
5.2. Tabla de símbolos estereográficos......................................................................................................................59
5.3. Estereograma y dominio fundamental .................................................................................................................60
5.4. Nombre de las formas de la proyección...............................................................................................................61
6) DEDUCCIÓN DE LAS 32 CLASES DE SIMETRÍA O GRUPOS PUNTUALES .....................................................63
6.1. Deducción de las 32 clases asociando ejes y planos :...........................................................................................63
6.1.1. Tabla con las 32 clases de simetría asignadas a los sistemas cristalinos, una vez eliminadas las equivalencias e
incompatibilidades ................................................................................................................................................64
6.1.2. Lista con las 32 clases de simetría deducida de la asociación de elementos de simetría..................................65
6.2. EJERCICIO PRÁCTICO 2: Deducción de las 32 clases de simetría en estereogramas combinando elementos de
simetría.........................................................................................................................................................................67
6.3. Tablas de los estereogramas de las 32 clases de simetría deducidas por asociación de ejes y planos......................85
6.4. Deducción de las 32 clases de simetría añadiendo elementos de simetría a la tetartoedría.....................................87
6.4.1. Tabla de las clases de simetría a partir de la tetartoedría................................................................................88
6.5. Parámetros y notaciones ..................................................................................................................................103
6.6. Criterios para determinar las notaciones en la proyección esterográfica .............................................................108
6.7. Estereogramas de los sistemas cristalinos con las notaciones de los 7 polos de la holoedría................................109
6.8. Sistemas cristalinos con todas sus clases y todos sus polos ................................................................................130
7) EJERCICIO PRÁCTICO 3: Completa los estereogramas de todos los sistemas a partir de un polo .......................137
8. Hábito cristalino y asociaciones cristalinas ..............................................................................................................180
8.1. Hábito cristalino..............................................................................................................................................180
8.2. Asociaciones cristalinas y maclas......................................................................................................................180
9) Química y estructura...............................................................................................................................................186
9.1. Coordinación:...................................................................................................................................................187
9.2. Enlaces: ...........................................................................................................................................................189
9.3. Defectos (imperfecciones) en la estructura cristalina: .......................................................................................192
10) Difracción de Rayos - X........................................................................................................................................194
10.1. Método del polvo cristalino (Debye-Scherrer) (Difracción) .............................................................................194
10.2. Método de Bragg (monomineral) (Reflexión)..................................................................................................195
10.3. Difractómetro de polvo de Rayos - X.............................................................................................................196
11) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS ESPACIALES ...........................................................................................199
11.1. Características de los grupos espaciales:..........................................................................................................199
11.2. Nomenclatura de los grupos espaciales (4 redes planas y 17 grupos espaciales bidimensionales). .....................199
11.3. Tabla de símbolos...........................................................................................................................................201
11.4. Planos de deslizamiento..................................................................................................................................202
11.5. Ejes helicoidales :...........................................................................................................................................203

1
1) Cristalografía y química:
Simetría puntual
Q
U
Í
M
I
C
A
C
R
I
S
T
A
L
O
G
R
A
F
Í
A
Simetría
Cristalofísica
Cristaloquímica
Cristalografía estructural
Redes cristalinas
Simetría traslacional
Rayos X
Tipos de enlaces químicos
Tipos estructurales
Estructura de los silicatos
Empaquetamientos
Termodinámica cristalina
Cristalografía morfológica

2
Métodos estudio R-X
Del nudo a la red
coordinación, enlaces, defectos
Métodos de estudio
Propiedades
composición química
Fila monodimensional
Fila bidimensional (5 redes planas)
Red tridimensional(14 redes Bravais)
(7 sistemas cristalinos)
Simetría externa: movimientos
centro ejes planos
32 clases de simetría
(grupos puntuales)
+ ejes helicoidales
+ planos deslizamiento
230 Grupos espaciales
Químicas
Isomorfismo
Polimorfismo
Solución sólida
(átomos, iones, moléculas)
Proyección
estreográfica
Microscopio
petrográfico
claves dicotómicas
Clasificación:
Leyes cristalográficas
Físicas
mecánicas: exfoliación, fractura, dureza
eléctricas: conductores y no conductores
magnéticas: para y diamagnéticos
térmicas: conductividad y dilatación
Escalares
Vectoriales
Organolépticas
densidad
punto de fusión y ebullición
Materia cristalina
Materia cristalina - cristal
Química y estructura
Sistemas cristalinos
-
- estereograma
- dominio fundamental
- tabla nombre de las formas
- tabla clases de simetría
- parámetros y notaciones
- tabla símbolos estereográficos
- símbolos Hermann-Mauguin
- estereogramas sistemas
- 32 clases de simetría (holoedría, polos..)
- clases añadiendo elementos
- clases asociando ejes
relativas a su extensión
relativas a su composición
relativas a su estructura
Ejes cristalográficos y tipos de caras
Formas cristalinas: nº y aspecto de las caras
Asociaciones y maclas
Hábitos
ópticas: color, brillo, reflexión-refracción,
birrefringencia, polarización,
colores interferencia, uniáxicos
y biáxicos
(piroelectricidad y piezoelectricidad)
Materia mineral
materia amorfa
Aplicaciones
construcción, cerámica..
- Bragg
- Polvo cristalino
- Microscopia electrónica
- DRX

3
2) Concepto de materia
“La materia puede ser considerada como todo aquello que tiene masa y peso, ocupa espacio, requiere la
acción de una fuerza para ser movida y está dotada de propiedades físicas y químicas”
“La materia puede presentarse en tres estados: gaseoso, líquido o sólido.”
La diferencia entre un estado u otro radica en el movimiento o agitación térmica que sus
partículas componentes (átomos, iones y moléculas) mantengan unos respecto a otros.”
En el estado
gaseoso
Las unidades integrantes (generalmente moléculas) se hallan
en estado de agitación continua y están separadas por
grandes distancias. Si adquieren mayor energía, por
calentamiento, aumenta su velocidad y se dispersan más y por
lo tanto tienen menos peso específico. Si va descendiendo la
temperatura, pierden energía y las moléculas se van
aproximando y aumenta el peso específico.
En este estado varía el
volumen y la forma
En el estado
líquido
Las moléculas se ponen en contacto y permanecen con sus
contiguas, pero conservando su orientación arbitraria, la
sustancia deja de ser gas y pasa a líquido.
En este estado solo
varía la forma.
En el estado
sólido
Si la temperatura sigue bajando, el movimiento entre las
moléculas disminuye, llegando casi a cesar; tiene lugar al
mismo tiempo una disposición más ordenada de las unidades,
que puede, y llega, por enfriamiento o congelación a ordenarse
en un modelo tridimensional.
En este estado no varía
ni la forma ni el
volumen.
2.1. Definición de mineral :
Un mineral es un sustancia natural e inorgánica en estado sólido, que posee una composición química fija
o variable dentro de límites estrechos, y que además posee un ordenamiento atómico tridimensional (red
cristalina espacial) y sistemático entre los iones, átomos o moléculas que componen su fórmula química.
Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones sistemáticas.
Aunque la mayoría de los minerales se forman mediante procesos inorgánicos, existen algunas excepciones
referidas a aquellos compuestos inorgánicos producidos por organismos, pero que cumplen las otras
características de un mineral, como por ejemplo, el carbonato cálcico de las conchas de los moluscos.
Análisis de la definición :
a) Natural e inorgánico, excluimos los artificiales (laboratorio), así como las conchas de los moluscos
(biogénicas)
b) En estado sólido, es decir, que los minerales son fases sólidas, por lo cual quedan excluidos el aire, el
agua, el mercurio líquido y el petróleo.
c) Poseen una composición química fija o variable dentro de unos límites; significa que la composición
química muestra una gran estabilidad. Son sustancias puras. En algunos casos, esta composición química
puede variar por sustitución de átomos o iones por otros distintos, siempre que posean radios semejantes.
Ej. Plagioclasas, olivino (isomorfismo). Los minerales están formados por la combinación de uno o
varios elementos químicos en unas proporciones fijas.
d) Están compuestos por átomos, iones o moléculas ordenados en una red cristalina llamada red
espacial; todas las partículas están ordenadas en el espacio formando una red, manteniéndose unidas
mediante enlaces. Las propiedades del mineral van a depender del tipo de red en que cristalicen y del
tipo de enlace químico. Cristalizan de forma constante.
e) Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones
sistemáticas. Un mineral es una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o
más sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes. Por ello, si un mineral, por ejemplo la pirita
FeS2 , está compuesta por hierro y azufre, sus propiedades físicas y químicas no son la suma de las
propiedades de ambos, sino que la pirita tiene propiedades peculiares.

4
2.2. Materia cristalina:
Es un mineral con ordenamiento interno pero que no ha dispuesto de espacio, tiempo y reposo para
desarrollar forma externa poliédrica. Así pues, un mineral que presente un aspecto externo irregular puede
estar ordenado interiormente.
Estado cristalino: La distribución ordenada de los átomos (periodicidad) es la propiedad más importante y
característica del cristal, por eso se define como un cuerpo sólido de estructura reticular.
Cristal 1
:
Son aquellas formas de materia cristalina que presentan un aspecto externo poliédrico formado por caras
planas. Este aspecto externo es la expresión del ordenamiento interno de sus partículas integrantes. Han
dispuesto de espacio, tiempo y reposo.
Las caras del cristal representan el lugar geométrico de los puntos donde se equilibran las fuerzas que ejerce
el cristal para atraer las moléculas y las de repulsión del líquido a cristalizar.
Las caras del cristal aparecen con relaciones angulosas específicas, con respecto a la estructura atómica.
 Cristal real: Los cristales naturales están, en la mayoría de los casos, distorsionados y
desproporcionados, con imperfecciones y defectos con respecto a su modelo matemático o geométrico, pero
se consideran regulares.
* Materia cristalina y cristal funden a temperatura fija e instantáneamente, ya que su energía es fija
e igual a la de los enlaces.
* Sus átomos están separados por distancias que se repiten periódicamente y de ella depende la
homogeneidad, simetría y anisotropía: Que la materia cristalina es homogénea significa que está
formada por los mismos componentes en todas sus zonas. Puede haber casos de heterogeneidad
accidental, por intrusión de átomos o moléculas extraños, en algunos puntos. Que la materia cristalina
es anisótropa quiere decir que según la dirección del espacio que se considere, las distancias que
separan a dos átomos o moléculas sucesivas varían, esto afecta a muchas de las propiedades físicas
del mineral.
* Periodicidad, homogeneidad, anisotropía y simetría son los caracteres fundamentales de la
materia cristalina o cristal.
1
La definición más utilizada actualmente por la mayoría de los cristalógrafos, consiste en considerar como cristal a cualquier sólido
con estructura interna ordenada independientemente de que, debido a condiciones favorables de cristalización, presenta caras bien
formadas, planas, pulidas y con formas geométricas regulares, ya que la presencia de estas caras bien formadas no modifica sus
propiedades fundamentales.
Materia mineral
Con ordenamiento interno
Sin ordenamiento interno.................................................Materia amorfa
Sin manifestación externa poliédrica: Materia cristalina
Con manifestación externa poliédrica : Cristal

5
3.3. Materia amorfa (Mineraloides):
La materia amorfa no posee ordenamiento interno ni cristalización, sus partículas están dispuestas al azar
(como granos de azúcar en un azucarero), no ocupan posiciones fijas en el espacio. Las distancias que
separan una partícula de otra no son constantes.
El concepto de mineraloide se ha creado para agrupar los escasos ejemplos de sustancias líquidas o sólidas
en estado amorfo, consideradas clásicamente como minerales. En este sentido, el ámbar, el ópalo, la
obsidiana, la calcedonia, la limonita y el mercurio líquido, que aparece a veces como gotas dentro del
cinabrio (verdadero mineral del mercurio, ya que posee estructura cristalina cúbica) son ejemplos de
mineraloides. Existen muy pocos más.
Los vidrios pueden ser considerados como líquidos excesivamente viscosos unidos por fuerzas de
viscosidad.
Muchos de los mineraloides poseían inicialmente estructura interna y lo perdieron por absorción de agua
(ópalo y calcedonia).
Los materiales amorfos presentan isotropía (las propiedades no varían con la dirección) con respecto a todas
sus propiedades físicas.
*A causa de la isotropía de su crecimiento, o bajo la influencia de la tensión superficial, adquieren la forma esférica si
hallan posibilidad de desarrollarse libremente (formas arracimadas y arriñonadas). También se presentan en formas
terrosas y deleznables. La forma esférica es típica también de las gelatinas minerales (ciertas sales metálicas que
precipitan en sus disolventes).
* El estado amorfo puede considerarse como un paso previo a la cristalización.
* Los materiales amorfos funden poco a poco, a intervalos.
* La materia amorfa no es periódica, ni simétrica, ni anisótropa.
* Su característica más importante es la isotropía.
* No existen direcciones “privilegiadas” para ninguna propiedad física ni química
Diferencias entre las curvas de solidificación de los cuerpos amorfos y los cristalinos
Tª
Tª
tiempo
tiempo
Sustancias amorfas
Sustancias cristalinas
xx
1
2
1. Comienzo cristalización
2. Final cristalización
La curva de enfriamiento no presenta inflexiones
La temperatura baja continuamente porque no
necesita energía para reorganizar sus partículas ya
que están desordenadas
Se observan dos inflexiones que corresponden al comienzo y
final de la cristalización, motivadas por la pérdida de energía
producida por el sistema durante la cristalización, que
compensa la pérdida de calor, gracias a la cual la temperatura
permanece en el mismo nivel
Cuando el sistema pierde calor los átomos pierden
energía cinética (movimiento) y utilizan la energía
calorífica restante para reorganizarse y distribuirse. Es
por ello que no pierden temperatura, hasta que una vez
organizados, vuelve a bajar.

6
3) Propiedades del cristal:
3.1. Teoría reticular:
Las primeras ideas referentes a la ordenación interna del cristales son del siglo XVII.
El francés Bravais (1849) propuso la teoría reticular, según la cual las partículas de los cristales (átomos,
iones y moléculas) deben de estar colocados en los nudos de una red paralelepipédica. Supuso que los
cristales estaban constituidos por lo que denominó partículas cristalinas, que en forma de puntos se
dispondrían formando un retículo tridimensional. Los puntos de la red, al no estar en contacto unos con
otros, podrían alterar las distancias entre ellos, debido a las variaciones de temperatura. Eso explicaría los
fenómenos de dilatación y contracción observadas en los cristales.
Las hipótesis postuladas por Bravais son el núcleo de lo que hoy en día se conoce como teoría reticular, cuya
validez fue confirmada a principios de nuestro siglo al estudiar los minerales por medio de los rayos X.
En 1912 Von Laue confirmó la teoría reticular y la naturaleza ondulatoria de los R -X.
El estudio del ordenamiento interno de los cristales nos permite definir el estado sólido como un
ordenamiento de partículas en los nudos de las redes cristalinas en disposición tridimensional.
Se llaman filas reticulares a las rectas que alinean las partículas con separación entre ellas constante.
El cristal presenta como propiedades más significativas, la simetría (distribución simétrica de las
partículas), homogeneidad (una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o más
sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes y que tienen las mismas propiedades medidas
paralelamente), periodicidad (los nudos se sitúan periodicamente en filas reticulares) y anisotropía (sus
propiedades dependen de la dirección en que se miden).
Diferentes criterios de elección de filas en una red plana, o planos reticulares en una red tridimensional. Dos filas
reticulares que se cortan definen un plano retícular que contiene infinitas filas paralelas. Las redes cristalinas son
medios discontinuos, ya que las partículas materiales se sitúan exclusivamente en los nudos de la red. Las redes son
periódicas porque los nudos se sitúan periódicamente (a intervalos regulares) en las filas reticulares. La consecuencia
es que las redes son homogéneas pues todos sus nudos son equivalentes y no existen nudos privilegiados, diferentes
a los demás.
Anisotropía
Periodicidad
c c c c c

7
3.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial
Del NUDO (motivo)(átomos, iones y moléculas) ----------------------------> a la RED
El estado cristalino viene caracterizado fundamentalmente por la distribución de los átomos según un
esquema regular y periódico que dibuja una red estructural tridimensional. Antes de considerar las tres
dimensiones del espacio comenzaremos por considerar la ordenación en el plano, es decir, la formación de
redes planas. Consideremos en primer lugar un nudo y vayamos construyéndolas.
Nudo (átomos, iones, moléculas). Se puede definir como cualquier punto material que forma parte
de la red.
traslación cte. = c
Fila de nudos reticular (monodimensional) : Representa puntos igualmente espaciados a lo largo de
una línea. También podemos definirla como una recta definida por dos nudos cualesquiera y formada
por infinidad de nudos dispuestos de tal modo que la distancia entre nudos contiguos sea siempre la
misma.
traslación a1, a2, w
Plano reticular (red plana bidimensional) (constituyen las diferentes bases de las celdas
elementales combinando los valores a1, a2, w). La malla reticular (paralelogramo fundamental) es
una porción del plano reticular. Distribución regular de nudos en dos direcciones. Los planos se
representan por las notaciones (hkl).
3. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas :
En una red plana existen infinitas filas reticulares con traslaciones diferentes. De ellas se consideran,
para definir la red bidimensional, las dos con traslaciones más pequeñas y que forman un ángulo
entre si de tal forma que definen un paralelogramo que se denomina celda fundamental (malla) de la
red plana. La malla es la porción de plano reticular limitado por dos pares de filas que se cortan
dando lugar a un paralelogramo.
Red plana Cuadrada a1 = a2 w = 90º
Red plana Rectangular a1 # a2 w = 90º
Red plana Romboidal (oblicua) a1 # a2 w # 90º
Red plana Rómbica a1 = a2 w # 90º, 60º, 120º
Red plana Hexagonal (rómbica especial) a1 = a2 w = 60º ó 120º
c c c c c c c c c c c
Compleja
Simple
átomos
|--c--|
w
a1
a2

8
Las 5 redes planas posibles:
Asimilable al Cloruro sódico.
Motivos de distinto tamaño
w
a1 = a2
w = 90º
w
90º
a1
a2
a1
a2
a1 a2
Paralelogramo
fundamental
1) RED CUADRADA: Caracterizada por dos parámetros de traslación iguales y formando un ángulo entre ellos de
90º. Se considera que existen dos motivos de distinto tamaño.
5) RED HEXAGONAL (Rómbica especial): Definida para a1 = a2 y W = 60º ó 120º
60º
60º
Se forma un hexágono regular
Triángulos equiláteros
60º
Formada por tres redes rómbicas que determinan un hexágono regular. Los motivos son todos de igual tamaño y al ser
tangentes el máximo del que pueden rodearse es de seis
a1 a2
a1 a2
Paralelogramo
fundamental
2) RED RECTANGULAR
90º
Paralelogramo
fundamental
3) RED ROMBOIDAL (OBLICUA)
a1 # a 2; W ≠ 90º
a2
a1
a2
a1
Paralelogramo
fundamental
a1 # a2 ; W = 90º
W # 90º, 60º y 120º
w
4) RED RÓMBICA GENERAL : Definida igualmente para a1 = a2 El ángulo w es distinto de 90º, 60º y 120º
w
triángulo isósceles
a1 a2
a1 a2
Paralelogramo
fundamental

9
Con la traslación en la tercera dirección (a1,a2,a3,se obtienen las redes tridimensionales que pueden
construirse sumando una dirección de traslación adicional (vector) a las redes planas.
La red espacial cristalina2
(cristal) representa la distribución de nudos equivalentes en tres dimensiones,
cada uno de estos puntos posee un entorno idéntico al de cualquier otro punto de la red. El cristal posee las
propiedades de la homogeneidad y de la periodicidad. Homogeneidad porque cada nudo de su red es
idéntico a todos y cada uno de los demás de la red y periodicidad porque los nudos en una dirección dada se
encuentran a distancias fijas.
Celda elemental: Es una porción tridimensional de la red limitada por 6 planos reticulares, paralelos dos a
dos. Resulta el paralelepípedo más pequeño (no divisible en otro menor) que por traslación tridimensional
nos origina el cristal visible (red espacial) y que queda definido por los parámetros: a1 a2 a3, y ángulos:
.
Las redes tridimensionales vienen definidas por una red plana y su apilamiento. Por este motivo, un mismo
tipo de red plana da origen a distintas redes tridimensionales, según la manera de apilarse, es decir según que
la proyección de los nudos de los planos sucesivos de la familia conocida coincida o no con posiciones de la
red plana inmediata en la serie. De esta forma se obtienen las 14 redes de BRAVAIS de las cuáles 7 son
primitivas (P: solo presentan nudos en los vértices y definen los siete sistemas cristalinos) y las otras 7 se
denominan múltiples (C, F, I) quedando repartidas de la siguiente manera:
 REDES DE BRAVAIS : 14 = 7 redes primitivas + 7 redes múltiples
Sistema cúbico P I F
Sistema tetragonal P I
Sistema hexagonal P
Sistema romboédrico R(P)
Sistema rómbico P C I F
Sistema monoclínico P C
Sistema triclínico P
Las características de los sistemas cristalinos se analizarán más adelante en el apartado de la simetría.
2
Otra definición: es un sistema infinito de puntos materiales en el espacio, ordenados según relaciones de periodicidad. Las
relaciones de periodicidad pueden expresarse en forma matemático-analítica referida a coordenadas cartesianas (X,Y,Z), partiendo de
tres vectores no coplanarios y utilizando la traslación para construir o definir la red de cada uno de sus puntos.
Celda elemental
y
z
x
RED ESPACIAL
X
Y
Z

10
4. 2. 2 Construcción de las redes tridimensionales por apilamiento de redes planas.
El apilamiento de una red plana oblicua con un ángulo
arbitrario conduce a redes triclínicas primitivas
z
x
y

y
z

y
z

x
y
z

x
y
z
 # 90º
 # 90º
= 90º
El apilamiento de una red rectangular primitiva en
dirección vertical (z) con un ángulo  # 90º
conduce a una red monoclínica primitiva
MONOCLÍNICA CENTRADA (en 001)
RÓMBICA PRIMITIVA
El apilamiento de una red plana rectangular en una
dirección vertical (z) con un ángulo  ≠ 90º da lugar a
una red monoclínica centrada
El apilamiento de una red rectangular primitiva en una
dirección vertical (z) con el ángulo  = 90º conduce a una
red rómbica primitiva
RÓMBICA CENTRADA (en 001)
RÓMBICA CENTRADA EN EL INTERIOR
RÓMBICA CENTRADA EN LAS CARAS
El apilamiento de una red plana rectangular
centrada en una dirección vertical (z) con el
ángulo  = 90º conduce a una red rómbica
centrada
El apilamiento de una red rectangular primitiva a lo largo de
la dirección definida por los nodos K y L conduce a una red
rómbica con un nodo central
 = 90º
z
y
K
L
x
z
 y
c
b
K
L´
a
a
c
º
MONOCLÍNICA
PRIMITIVA
b
x
x
x
TRICLÍNICA
PRIMITIVA
El apilamiento de una red rectangular centrada a lo
largo de la dirección definida por los nodos K y L´
(sobre la cara frontal) da lugar al centrado de todas
las caras de red tridimensional


11

y
z
x
a
a
c
x
y
z
c

y
z
x
a
a
a

y
z
x
a
a
a
El apilamiento de una red cuadrada a lo largo
de la dirección z con un ángulo x Ʌ z = 90º
RED TETRAGONAL
PRIMITIVA

y
z
x
a
a
c
K
L
ROMBOÉDRICA
El apilamiento de una red plana hexagonal en
dirección z con el ángulo xɅz = 90º conduce a
una red hexagonal primitiva. Si esta opción se
gira tres veces alrededor de z se obtiene una
red hexagonal centrada en las caras
Apilamiento de una red plana a lo
largo de la dirección definida por
los nodos K y L´ (a lo largo de la
cara frontal)
CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS
HEXAGONAL
PRIMITIVA Y
CENTRADA
z
Una red hexagonal puede también
apilarse a lo largo de las direcciones de
las aristas de un romboedro ag. Así resulta
una red espacial romboédrica
CÚBICA PRIMITIVA
Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo
de la dirección z con el ángulo xɅz = 90º
CÚBICA CENTRADA EN EL INTERIOR
Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo
de la dirección definida por los nodos K y L
(diagonal del cuerpo)

y
z
x
a
a
a
K
L
x
y
RED TETRAGONAL
CENTRADA EN EL
INTERIOR
Apilamiento de la misma red, pero ahora siguiendo
una dirección definida por los nodos K y L
a1
a2
ag ag
ag

12
4.2.3. Redes de Bravais. La restricción en número de éstas posibles redes se debe a que:
a) Deben ser homogéneas, lo que significa que cada nudo debe estar rodeado de un número idéntico de vecinos (igual
número de coordinación).
b) Deben ser diferentes, osea que la red nueva sea distinta de la primitiva P.
c) Deben ser simétricas, es decir, que posean la misma simetría del grupo al que pertenecen.
SISTEMAS
CRISTALINOS
(Redes Matemáticas)
TIPOS POSIBLES DE REDES ESPACIALES: 14 REDES de BRAVAIS
Redes planas que
intervienen en su
construcción
Sencilla
P
Centradas en las
bases A ó B ó C
Centradas en el
interior I
Centradas en
todas caras F
CÚBICO
a1 = a2 = a3
º
Redes planas:
cuadradas
TETRAGONAL
a1= a2 # c
 º
Redes planas:
cuadradas y
rectangulares
HEXAGONAL
a1= a2 = a3 # c
a1 con a2; a2 con a3;
y a3 con a1 = 120º
a1= a2 = a3 con c 90º
Redes planas:
hexagonales y
rectangulares
ROMBOÉDRICO O
TRIGONAL
a1= a2 = a3
º
ó 57º 30`
Redes planas:
rómbicas
RÓMBICO
a # b # c
º
Redes planas:
rectangulares
MONOCLÍNICO
a # b # c
 º
º
Redes planas:
rectangulares y
romboidales
TRICLÍNICO
a # b # c
 º
Redes planas:
romboidales



P
a
c
b
I FC
Igual a P Igual a P Igual a P
 
P C
I F
Igual a C Igual a C
P C I F


C I F
R ó P
Imposible Igual a R Igual a R
a1 a2
a3
c
C I F
Imposible Imposible Imposible
P
a1
a2
a3
P
C
Igual a I
F
Igual a I
I
P C
Imposible
I F

13
Las redes de Bravais son maneras distintas de distribuir o disponer los nudos en una red espacial (CRISTAL).
Partiendo de las 7 celdillas unidad (constituyen los 7 sistemas cristalinos con sus constantes) se pueden encontrar otras
7 más complejas que resultan de la compenetración de dos del mismo tipo en tanto se respete la simetría.
No existen otras posibilidades, aparte de las 14 enunciadas, de formar redes tridimensionales por superposición de redes
planas, y como estas redes se han obtenido simplemente por traslaciones sucesivas de una red plana, se denominan
también redes de traslación. Constituyen la base de las características diferentes que permiten identificar los siete
sistemas cristalinos (cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal - romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico).
Las redes espaciales anteriormente descritas, llevan implícitos ciertos elementos de simetría que vienen determinados
por las relaciones existentes entre los elementos (parámetros y ángulos) que definen la red. Así, encontramos el centro
de simetría, los planos de simetría y los ejes de simetría, que solo pueden ser de 2, 3, 4 y 6, únicos compatibles con
las redes planas descritas. Las relaciones entre los nudos, filas y planos reticulares de una red espacial, con los
elementos de simetría, pueden resumirse en los siguientes principios:
1. Todo nudo de una red es un centro de simetría.
2. Todo eje de simetría es una fila reticular.
3. Todo plano de simetría es un plano reticular.
4. Perpendicularmente a todo eje de simetría, existe una familia de planos reticulares.
5. Todo plano reticular que sea plano de simetría, tiene una familia de filas reticulares normales a él, y cada
una de estas filas es un eje de simetría.
6. Toda fila reticular que sea eje de simetría de orden 4 ó 6, tiene otras tantas filas reticulares normales a
ella que son ejes binarios y en consecuencia (por el tercer principio), 4 ó 6 familias de planos de simetría que
pasan por dicha fila.
7. Cuando una fila reticular es un eje ternario, no existen ejes binarios normales a ella y el eje ternario es de
inversión, es decir, que tiene un centro de simetría sobre el eje, que no coincide con un nudo de la red.
8. Si una fila reticular es un eje de simetría de orden n, existen n planos de simetría que pasan por ella.
Las redes de Bravais constituyen 7 celdas elementales con características diferentes que permiten
identificar los siete sistemas cristalinos.(cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal-romboédrico,
rómbico, monoclínico y triclínico)
7 Sistemas cristalinos (constantes, elementos....)
A partir de las redes de Bravais y de la combinación de los elementos de simetría (ejes, planos,
centro) se deducen las 32 clases de simetría o grupos puntuales3
32 clases de simetría (grupos puntuales)
Algunas de las clases tienen características de simetría en común a otras lo que permite agruparlos en
uno de los 7 sistemas cristalinos. (Cúbico: 5 clases; Tetragonal: 7 clases; Hexagonal: 7 clases;
Trigonal-romboédrico: 5 clases; Rómbico: 3 clases; Monoclínico: 3 clases y Triclínico: 2 clases)
Son combinaciones de simetría exentas de traslación.
Todos estas clases de simetría pueden ser representadas mediante proyección estereográfica y con 7
posiciones diferentes cada una de ellas.
3
Significa que la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil.

14
El dominio fundamental: En toda celda cristalina o paralelepípedo elemental, existe una parte de la
misma que no contiene elementos de simetría y que constituye la mayor parte asimétrica de la red,
que por repetición (por traslación o por las operaciones de simetría propias de la red a la que
pertenece), puede llenar todo el espacio cristalino sin dejar huecos. Esta porción del espacio cristalino,
asimétrico se denomina dominio fundamental y está limitado precisamente a los elementos de
simetría. De esta manera, un cristal se puede dividir en un cierto número de dominios fundamentales,
relacionados entre si por las operaciones de simetría propias de la red a la que pertenece. Por
ejemplo, una red cúbica es un dominio complejo formado por 48 dominios fundamentales.
La posibilidad de rellenar el espacio cristalino con dominios fundamentales, tiene como
consecuencia la aparición de dos nuevas operaciones de simetría, que son el resultado de aplicar
a las ya conocidas una traslación, resultando así los PLANOS DE DESLIZAMIENTO y LOS
EJES HELICOIDALES
Cuando queremos estudiar las relaciones estructurales, hace falta tomar en consideración la existencia
posible de traslaciones, ejes helicoidales que llevan asociados a una rotación una traslación, y planos
de deslizamiento, o sea, planos de reflexión con traslaciones simultáneas.
De forma resumida podemos decir que los grupos espaciales se deducen de la combinación de las 14
redes de Bravais y de los elementos de simetría + ejes helicoidales + planos de deslizamiento.
Al considerar las posibilidades de agrupar en una red cristalina estos diferentes elementos de simetría
hace que ésta no esté constituida por un solo elemento particular de simetría, sino por un conjunto de
elementos de simetría idénticos y paralelos, que formen haces de elementos de simetría.
La combinación de los diferentes haces de elementos de simetría, da origen a 230 posibilidades
distintas, que reciben el nombre de grupos espaciales y corresponde a las 14 redes de Bravais.
230 grupos espaciales4
de simetría (Fedorov y Schoenflies elevaron a 230 las maneras de distribuir u operar con
los nudos) (cada cristal corresponde a cada uno de estos grupos).
4
Está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas
combinaciones de simetría

15
4) SIMETRÍA
4.1 Tipos de simetría
Simetría, en su sentido más amplio, significa repetición de caras iguales. Esta repetición puede
lograrse mediante operaciones de simetría, tomando como punto de referencia el centro, ejes o
planos de simetría de un cristal.
Dos figuras son mutuamente simétricas cuando la distancia entre dos puntos equivalentes
cualesquiera de una cara se da en la misma dimensión en la otra. Los movimientos que nos pueden
dar simetría pueden ser:
De 1ª especie : son movimientos simples:
El primer movimiento es la traslación
El segundo movimiento es la rotación
De 2ª especie:
Reflexión: dos figuras cuyos puntos se corresponden mutuamente mediante un plano.
Inversión : basado en la correspondencia respecto a un punto.
 Figuras congruentes: Se corresponden con los movimientos de 1ª especie. Son todas aquellas que su
correspondencia entre ellas haya sido realizada por la traslación o rotación.
El eje cuaternario de un cubo tendrá sus caras congruentes entre si.
 Figuras enantiomórficas: Se corresponden con los movimientos de 2ª especie. Son aquellas
figuras que se corresponden tanto por medio de la reflexión como por la inversión. Son cuerpos
superponibles por la reflexión de un plano de reflexión y no por traslaciones o rotaciones
(considerando el objeto tridimensionalmente, no se superponen en volumen). Se definen como
formas de izquierda y derecha.
B B Ejemplo de figura congruente por traslación
Ejemplo de figura enantiomorfa
vectores
TRASLACIÓN
REFLEXIÓN INVERSIÓN
En planta
ROTACIÓN
Figuras congruentes
Figuras enantiomorfas
1ª Especie
2ª Especie

16
4.2 Elementos geométricos :
 Morfológicos (puntuales): caras, aristas y vértices
Cara: La ordenación regular de los iones en el cristal es el motivo interno que explica la
distribución de las caras externas. La superficie más o menos plana (aunque sabemos que el
cristal real no suele ser perfecto) que limita el cristal del medio exterior.
Arista: la intersección entre dos caras adyacentes se denomina arista
Vértice: punto en el que convergen tres o más aristas.
Poliedro natural o cristal : Es una porción de materia limitada por caras planas, cuyos
átomos están ordenados en los nudos de redes paralelepipédicas y cuya forma poliédrica han
tomado espontáneamente.
Poliedro geométrico : Es la porción de espacio limitado por caras planas, en las que solo se
tiene en cuenta las caras.
 De simetría: centro, ejes y planos:
Centro de simetría: Es igual a un centro de inversión (i ó ). C = monario de inversión
Es un punto imaginario situado en el centro del cristal, en el que se cortan cuantas líneas imaginarias
unen a los elementos morfológicos idénticos y opuestos del cristal.
Por el centro de simetría pasan los ejes y planos de simetría.
No tendrán centro aquellos cristales que presentan alguna cara sin su correspondiente paralela o
presentan ejes polares.
Los cristales con caras paralelas tienen centro de simetría.
Ejes de simetría :
Son líneas imaginarias que, tomadas como ejes de giro, hacen que éste tome una serie de posiciones
idénticas. El orden de este eje dependerá de las veces que se repita el elemento homólogo en una
vuelta.
Así como en cuerpos artificiales pueden existir ejes de simetría de cualquier orden, se ha podido
demostrar que en los cristales no hay más que los siguientes órdenes : 2, 3, 4, 6
i (c)

17
.. Ejes de rotación propio: Son los ejes ordinarios que necesitan de un solo movimiento para
efectuar una operación de simetría de giro5
.
Eje polar: Se denomina así cuando dos extremos del eje corresponden a dos partes del
cuerpo o figura que no se pueden llevar a coincidir por otra operación. Las caras son
diferentes en uno y otro extremo del eje.
Orden del eje = n Nombre Símbolo Ángulo de giro
6 Senario E6
360/6 = 60º
4 Cuaternario E4
360/4 = 90º
3 Ternario E3
360/3 = 120º
2 Binario E2
360/2 = 180º
Ejes de rotación (n) : 1, 2, 3, 4, 6
El eje de simetría monario 1, no tiene existencia, ya que la repetición no se realiza más que al cabo
de una vuelta completa, si bien cabe también considerarlo
.. Ejes de rotación impropios (inversión): Son aquellos elementos de simetría que necesitan dos
movimientos consecutivos para realizar una operación de simetría = Rotación (n) + inversión (180º)
Este elemento de simetría compuesto combina una rotación alrededor de un eje con inversión sobre
un centro. Ambas operaciones deben completarse antes de que se obtenga la nueva posición.
Si la única simetría que posee un cristal es un centro, la rotación correspondiente es un eje monario
de inversión
Consideremos el mecanismo de un eje cuaternario de rotación. En la operación de un eje de rotación
cuaternario aparecen 4 puntos idénticos, cada uno a los 90º de giro, todos en la parte superior o
todos en la parte inferior del cristal.
En la operación de ejes cuaternarios de inversión, por el contrario, se hallarán también cuatro
puntos idénticos, pero dos estarán en la parte superior y dos en la inferior del cristal.
La operación de tal eje implica cuatro rotaciones de 90º, cada una de ellas seguidas por una
inversión. De este modo si el primer punto está en la parte inferior del cristal el 2º está en la superior,
el 3º en la inferior y el 4º nuevamente en la superior.
5
Como norma, el giro es en sentido contrario a las agujas de un reloj.
1,2,3,4,6

18
La figura representa un cristal con un eje cuaternario de inversión.
= 90º + inversión (180º)
Ej.:
Biesfenoedro y escalenoedro tetragonal =
Romboedro y escalenoedro ditrigonal =
Bipirámide y prismas trigonal y ditrigonal =
XX
X X
XX
X
giro
inversión
X
X
giro
inversión
giro
inversión
Giro de 90º + inversión de 180º
POSICIÓN FINAL
1º 2º
3º 4º
4
4

19
Plano de simetría : ( o plano de reflexión m)
Los planos de simetría son planos ideales que dividen al cristal en dos mitades simétricas, es decir, que
un punto cualquiera de ellas tiene su homólogo en la otra, sobre la perpendicular trazada desde el
punto al plano.
Cuando nos miramos en un espejo vemos nuestra imagen colocada simétricamente respecto a dicho
espejo. Podemos decir, entonces, que el espejo es un plano de simetría.
Tanto los planos de simetría como los ejes, pueden ser principales y secundarios.
Plano principal es el perpendicular a un eje principal de simetría.
Plano secundario, es todo plano perpendicular a un eje secundario.
.. Teorema de Euler : "En un cristal se pueden distinguir los elementos geométricos de todo
poliedro: caras, aristas y vértices”. Estos están relacionados para cada poliedro por el Teorema de
Euler :
Caras + Vértices = Aristas + 2

20
Los elementos geométricos de simetría: centro, ejes y planos se simbolizan de la siguiente
forma:
Ejes de rotación propios= E
Ejes de rotación impropios o de inversión= Ei
Ejes de rotación propios polares= Ep
Centro de simetría= c
Los planos se representan m ó P
3 P se "lee" tres planos, que serían perpendiculares al situarse debajo de los ejes
TABLA DE SÍMBOLOS DE LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA
Ejes binarios
Ejes ternarios
Ejes cuaternarios
Ejes senarios
3 P
Colocados de esta forma no son
perpendiculars entre si
En este caso los ejes y los
planos son perpendiculares
entre si4 E3
, 3P
E6
E2
E3
E4
Ejemplo: 3 E4
se "lee" tres ejes cuaternarios
3 E4

21
4.3 Leyes cristalográficas:
 Ley de Steno (constancia de los ángulos diedros): Existe un factor geométrico que es invariable para
cristales diferentes de la misma especie la misma, este es, el valor angular de dos caras contiguas de un
cristal. y se enuncia : "En cristales de la misma especie (ejemplares distintos), en igualdad de condiciones
de Tª y P , los ángulos diedros correspondientes son siempre iguales, siendo variables el número, la forma y
el tamaño de las caras".
Lo que caracteriza y determina la especie cristalina es el valor de los ángulos que las caras forman entre si.
La medición de dichas caras se realiza con el goniómetro.
Para esta ley son datos accesorios el tamaño de los ejemplares, la forma de las caras y la extensión de caras y
aristas, quedando como datos fundamentales los ángulos diedros.
A esta ley hay que añadir "siempre que se hayan originado en las mismas condiciones".
 Ejes cristalográficos (o cruz axial)
Son líneas imaginarias que sirven para orientar los cristales.
Los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del cristal o con ejes de
simetría. A veces estas direcciones pueden ser coincidentes.
Ley de Plinio: los cristales aparecen delimitados por caras planas y aristas rectilíneas.
Estructuralmente las caras de los cristales son planos reticulares, y las aristas coinciden con las
filas de nudos.
Ley de la constancia de los ángulos diedros
Hexágonos perfectos de distinto tamaño
- c
c
a
b- b
- a
Z (l)
X (h)
Y(k)


Hay tres ejes cristalográficos:
1. El eje "a" o eje anteroposterior que va de delante a atrás
2. El eje "b" o eje transverso que va de derecha a izquierda.
3. El eje "c" o eje vertical que va de arriba a abajo.
Como indica el dibujo la porción positiva es la de delante para el eje
"a", la de la derecha para el eje "b" y la de arriba para el eje "c"

22
 Ley de Haüy (Ley de la racionalidad): “Las caras existentes o posibles de los cristales de una
materia mineral están ligadas entre si geométricamente por números racionales6
y sencillos”
Medidas realizadas sobre las aristas de los cristales condujeron a Haüy a enunciar la más importante
ley de cristalografía geométrica.
Se toman como ejes coordenados tres aristas de un cristal con vértice común en O. Una cara ABC
que corte a los ejes en A, B y C determinará unas distancias OA, OB, y OC. Igualmente, a otra cara
cualquiera A'
B'
C'
, no paralela a ABC, le corresponderán OA'
OB'
y OC'
.
Las caras de un cristal cortan a los ejes cristalográficos (coordenados) a unas distancias que se
llaman parámetros. El valor de un parámetro puede ser positivo o negativo, según sea la zona de la
cruz axial donde quede situada dicha cara. Si establecemos :
la ley de la racionalidad dice: "Los números r1, r2 y r3 son racionales y generalmente sencillos"
De forma más explícita se la puede enunciar así: "Las caras existentes o posibles de los cristales de
una materia mineral están ligadas entre sí geométricamente por números racionales y sencillos".
La ley puede ser demostrada a partir de la teoría reticular. Volviendo a la figura no hay duda de que
OA contendrá un número m entero de Periodos de Identidad Unidad (PIU) y OA´ también poseerá
otro número entero n (PIU) ; por tanto:
será un número racional y lo mismo para las relaciones sobre los otros ejes.
A la ley de racionalidad se la llama también fundamental porque limita la simetría, las
combinaciones entre caras y, en general, muestra las propiedades más importantes de la materia
mineral.
6
El entero, decimal o quebrado, que puede expresarse como cociente exacto de dos números enteros (+ ó -)
A'
A
O
B
B'
C
C'

23
4.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) :
z (l)
x (h)
y (k)o
C
B
A
(OA,OB,OC)
z´
y'
x'
1) PIRAMIDALES: La cara corta a los tres ejes
z (l)
x (h)
y (k)
x(h)
y (k)
z (l)
x (h)
y (k)
z (l)
o o o
B
C
( ,OB,OC) (OA, ,OC) (OA,OB, )
y'
x'
z' z'
y'
x'
y'
z'
x'
A
C
A
B
2) CARAS PRISMÁTICAS: La cara corta a dos ejes
  
z (l) z (l) z (l)
x (h) x (h) x (h)
y (k)y (k)y (k)
y' y' y'
z' z' z'
o o o
A
B
C
(OA, )
( ,OB, ) ( , OC)
3) CARAS PINACOIDALES: La cara corta a un solo eje
 

24
Z
Y
X


- a3
-a1
a3
-a2
a1
a2
4.5. Sistemas cristalinos :
 Sistema Cúbico :
Todos los cristales pertenecientes al sistema cúbico se refieren a tres ejes iguales perpendiculares entre
sí. Como estos tres ejes son intercambiables se acostumbra a designarlos con a1, a2 , a3, en lugar de a,
b, c que se emplean para ejes no equivalentes.
El eje a1 está orientado de delante a atrás, el a2 de izquierda a derecha y el a3 es el eje vertical.
Constantes del sistema :
Parámetros a1 = a2 = a3
Ángulos  =  =  = 90º
Cruz axial :
Relación áxica :
1 : 1 : 1
Holoedría: clases de simetría que poseen el
número máximo de elementos de simetría
compatibles con el tipo de red espacial que les
corresponde.
3E4
, 4E3
i , 6E2
3P , / , 6P, c Ej.: Cubo, Octaedro....
Las formas se orientan con respecto al observador, de modo que el eje X sea anteroposterior, el eje Y
transversal y el Z vertical.
Los tres ejes son equivalentes, y por tanto, en las orientaciones pueden ocupar indistintamente estas
posiciones, pero tomada una hay que poner mucha atención para el conocimiento de los símbolos, en
el orden de los índices.
El sistema cúbico se diferencia de los otros sistemas en varios aspectos. las cinco clases de este
sistema tienen 4E3
lo que no ocurre en ninguna de las otras 27 clases restantes. Hay 15 formas
cerradas, cada una de las cuales puede existir independientemente.
Es el único sistema que tiene más de un eje de simetría superior a 2 .
P C
Imposible
I F
Constituidas por redes planas cuadradas

25
a1
- a1
Z
Y
X
c
- a2


- c
a2
 Sistema tetragonal :
Todos los cristales del sistema tetragonal pueden ser referidos a tres ejes perpendiculares entre sí, de
los cuales, dos están en el plano horizontal, de igual magnitud intercambiable, llamados ejes a1 y a2. El
tercero es vertical o eje c y puede ser más largo o más corto que los ejes a.
La longitud del eje c es referida a la unidad de longitud del eje a, valor llamado relación áxica. Por
ejemplo, si en la descripción de un mineral tetragonal se da el valor c = 0,895 esto quiere decir que la
unidad de longitud del eje c es 0,895 la unidad de longitud del eje a.
Parámetros : a1 = a2 ≠ c
Ángulos :  =  =  = 90º
Cruz Axial :
Relación áxica :
1 : 1 : c/a a = 1
Holoedría :clases que poseen el número máximo
de elementos de simetría compatibles con el tipo
de red espacial que les corresponde.
E4
, 2E2
, 2E´2
P , 2P, 2P2
, c
Ej.: Prisma tetragonal, Bipirámide tetragonal...
P
C
Igual a I
F
Igual a I
I
Constituidas por redes planas cuadradas y rectangulares

26
 Sistema hexagonal:
El sistema hexagonal se caracteriza por tener una cruz axial, con dos ejes horizontales que se cortan
formando un ángulo de 120º permutables y un tercer eje perpendicular a ellos y desigual. Con estos
tres ejes quedan bien definidas las formas, pero con objeto de que caras análogas tengan notación
semejante se acostumbra utilizar un tercer eje que forme con los horizontales ángulos de 120º. De
este modo las formas del sistema vienen referidas a cuatro ejes, de los cuales tres, a1, a2 y a3 son
horizontales. A partir de a1 hay que ir contando ángulos de 120º en dirección contraria a las agujas del
reloj, para encontrar la parte positiva de a2 y a3.
El eje c es desigual y vertical. Este sistema de ejes fue propuesto por Bravais y es generalmente
aceptado.
Constantes del sistema:
Parámetros :
a1 = a2 = a3 ≠ c
Ángulos:
Cruz axial :
Relación áxica :
1 : 1 : 1 : c/a
Holoedría : clases que poseen el número máximo de
elementos de simetría compatibles con el tipo de red
espacial que les corresponde.
E6
, 3E2
, 3E'2
,
P , 3P , 3P'
c
Ej.: Prisma Hexagonal, bipirámide...
a3 a1  120 0
a2 a3  120 0
a1 a2  120 0
a1a2 a3 con c 900
c
i
h
K
l
-a2
-a3
a2
a1
a3
-a1
- c
P
a2
a1
a 3
c
C I F
Imposible Imposible Imposible
Formadas por redes planas rectangulares y hexagonales

27
 Sistema Trigonal - Romboédrico :
La cruz axial de este sistema es la misma que la del hexagonal y se refiere también a cuatro ejes
cristalográficos, si bien existe otra cruz axial romboédrica de Miller, en la cuál no se emplean más
que tres ejes que corresponden a las aristas del romboedro, que se cortan formando entre si ángulos
iguales, pero distintos de 90º.
Constantes del sistema : Según Miller
Parámetros a1 = a2 = a3
Ángulos  =  =  # 90º
Romboedro trigonal agudo : 57º 30'
Romboedro trigonal obtuso : 120º
Relación áxica :
1 : 1 : 1
Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les
corresponde.
E3
i , 3E2
,
3P , c
Ej. : Romboedro trigonal agudo y obtuso....



R o P
C I F
Imposible Igual a R Igual a R
Formada por redes planas rómbicas
a2
a1
a3

28
 Sistema Rómbico
Los cristales del sistema rómbico son referidos a tres ejes mutuamente perpendiculares, a, b, y c todos
ellos de diferente longitud.
El eje c es vertical, a y b son horizontales, siendo a el anteroposterior y b el transverso.
Algunos cristalógrafos siguen el convenio c > b > a .
Todos ellos eligen la longitud del eje b como unidad y a ella refieren las longitudes de los otros dos
ejes.
Parámetros : a ≠ b ≠ c
Ángulos :  =  =  = 90º
Cruz axial :
Relación áxica :
a/b : 1 : c/b b = unidad
E2
, E'2
, E''2
P , P' , P'' , c
Ej.: Prisma rómbico, bipirámide rómbica....
b
Y
a
c
- b
- c
- a
X
Z


P C I F
Formadas por redes planas rectangulares

29
 Sistema Monoclínico:
Todos los cristales del sistema monoclínico son referidos a tres ejes desiguales a, b y c situados dos de
ellos en un plano vertical (c y a ) formando entre si un ángulo oblicuo y el tercero perpendicular al
plano que contiene los otros dos.
*Los cristales se orientan de manera que el eje inclinado sea el a , dirigido de arriba abajo, hacia el
observador.
El eje horizontal transverso es el eje b y el vertical el c . El ángulo obtuso entre c y a se llama .
En este sistema, la orientación real del cristal es cuestión de criterio, la dirección “b” está fijada pero
no las “a” y “c” . Dos cristalógrafos que examinan un cristal monoclínico pueden llegar a dos
orientaciones diferentes, ambas posibles y lógicas.
Ángulos :  =  = 90º
 ≠ 90º
Cruz axial :
Relación áxica :
a/b : b : c/b b = 1
Holoedría : clases que poseen el número
máximo de elementos de simetría compatibles
con el tipo de red espacial que les corresponde.
E2
P , c Ej.: Prisma
c
- c
b-b
a
- a





P C
I F
Igual a C Igual a C
Formadas por redes planas rectangulares y romboidales

30
 Sistema Triclínico :
En el sistema triclínico los cristales se refieren a tres ejes cristalográficos de desigual longitud a , b y c
que forman ángulos oblicuos entre si.
*Como en los cristales triclínicos cada dirección es única, su orientación puede ser elegida libremente.
Sin embargo, con la idea de adaptarse a las normas generales, algunos cristalógrafos siguen
actualmente algunas reglas generales. Por ejemplo, si en un cristal hay una zona de caras dominantes,
se toma el eje de zona como eje vertical o eje c. De ser posible, el pinacoide basal paralelo al plano de
los ejes a y b debe elegirse de modo que se incline a la derecha, hacia delante y hacia abajo.
El ángulo entre a y c que es llamado  , debe ser obtuso y lo mismo el ángulo entre c y b.
El ángulo entre a y b se llama  .
Ángulos :  #  #  # 90º
Cruz axial :
c > b > a ó b > a > c
Relación áxica : según casos
c (pinacoide)


c
b
-c
-b
a
-a




P
a
c
b
C I F
Igual a P Igual a P Igual a P
Formada por redes planas romboidales

31
4.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas)
La forma cristalina es el número y aspecto de las caras y su distribución con respecto a los elementos de
simetría del mismo. Las formas del sistema cúbico tienen nombres especiales.
 Formas simples : Formada por caras equivalentes físicamente e igualmente orientadas.
.. Abiertas: Son caras equivalentes que no cierran espacio.
.. Cerradas: Son caras equivalentes que cierran espacio. Cuando un poliedro puede reconstruirse
totalmente a partir de una cara por aplicación sucesiva de los elementos de simetría.
 Formas combinadas:
.. Combinadas de simples abiertas
.. Combinadas de simples cerradas
FORMAS SIMPLES
FORMAS COMBINADAS
Abiertas
Pedión
Pinacoide
Domo (plano)
Pirámides
Prismas
Esfenoide (eje)
Cerradas
Cubo
Octaedro
Rombododecaedro
Escalenoedro
Trapezoedro
Romboedro
Bipirámide
Biesfenoide
Combinadas de simples
abiertas para cerrar espacio
Prismas más pinacoides
Pirámides más pediones
Combinadas de simples cerradas
Cubo más tetraedro
Cubo más rombododecaedro
Cubo más trapezoedro

32
m
FORMAS SIMPLES ABIERTAS: caras equivalentes que no cierran espacio
Pedión Pinacoide
Domo
Esfenoide Prisma
Pirámide
FORMAS SIMPLES CERRADAS: caras equivalentes que cierran espacio
FORMAS COMBINADAS (de simples cerradas)
FORMAS COMBINADAS (de simples abiertas)
Escalenoedro
tetragonal
Trapezoedro
tetragonal
Biesfenoide
rómbico
Cubo
Octaedro
Deltoedro
Cubo + Octaedro
+ = prisma
Caras prismáticas + caras pinacoidales

33
4.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin
Análisis y significado de los símbolos en cada sistema
SISTEMA CÚBICO: a1, a2 y a3
Ej: 4/m 2/m
(111)
4/m
4/m
4/m
3
(110)
SISTEMA TETRAGONAL:
Ej:
4/m 2/m 2/m
La primera parte del símbolo se
refiere al eje "c"
La segunda parte a los ejes a1 y a2 que
son intercambiables
La tercera parte a un eje que biseca el
ángulo de 90º entre los ejes a1 y a2
2/m
4/m
c
2/m
2/m 2/m
De los tres símbolos uno puede omitirse, bien porque corresponda a la identidad (o carencia
del operador de simetría) o bién porque se deduzca de la existencia de otros.
(100)(010)(001)
(001)
(001)
(100)(010)
(100)
(110)
(110)
(010)
(111) (110) (011) (101)
a1
a2
a3
a3
a1
a1
refiere al eje principal de simetría,
es decir al eje: a1, a2 y a3
La segunda parte se refiere a un
eje coincidente con la diagonal del
cubo o normal a la cara (111).
Entre los vértices del cubo
La tercera a la línea que une puntos
medios de aristas opuestas
quedando orientadas normalmente a
las caras (110). Seis direcciones
entre las aristas de un cubo

34
SISTEMA HEXÁGONAL Y TRIGONAL :
Ej:
6/m 2/m
refiere al eje vertical "c"
La tercera a un eje que biseca el
ángulo de 60º entre ejes "a"
adyacentes
SISTEMA RÓMBICO:
Ej:
2/m 2/m 2/m
refiere generalmente al eje "a" La segunda parte se refiere al eje "b"
La tercera parte, de existir, al eje "c"
c
2/m
2/m
2/m
2/m
La segunda parte se refiere a
cualquiera de los ejes a1 a2 y a3
que al ser iguales son
intercambiables
a
b
SISTEMA MONOCLÍNICO
SISTEMA TRICLÍNICO
Los símbolos se refieren al eje b (transverso) que es el único de este sistema que tiene una
dirección inequívoca. El eje binario se toma como eje "b" y el plano de simetría (plano "a - c" )
es vertical
El símbolo para la clase pinacoidal corresponde a un eje de inversión rotatoria monaria que es
lo mismo que un centro de simetría. Para la clase pedial se emplea un eje de simetría monario
que es lo mismo que es lo mismo que ausencia de simetría.
(001)
Los ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos
La orientación de los elementos de simetría en dos clases del sistema hexagonal - trigonal no es directa. Estas son m2 ( 2m. La
localización de los ejes senario o ternario es simple. Sin embargo, la localización del siguiente elemento de simetría no es obvia.
En m2 el tercer símbolo (ejes de rotación binaria) coincide con las perpendiculares a: a1, a2 y a3, los m coinciden con estas
mismas direcciones. En 3m se localizan en direcciones perpendiculares a: a1, a2 y a3 . Las formas excepcionales son: Pirámide
trigonal y ditrigonal; dipirámide trigonal y ditrigonal; prisma trigonal y ditrigonal.
m 2 ( 2 m)6/m
2/m
2/m
2/m
2/m
2/m
2/m
a1
a2
a3
(100)
(1 0)
(Excepciones m 2 ( 2 m) y
3m (su estereograma es igual
pero sin binarios y con eje
ternario principal)

35
4.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría
Dentro de cada uno de los siete sistemas cristalinos existen poliedros con un mínimo y un máximo de
elementos de simetría, en función de ellos se hace la siguiente clasificación:
 HOLOEDRÍA : La constituyen aquellas clases que poseen el número máximo de elementos de simetría
compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. Esta clase tiene el número máximo de puntos de
posición general.
Siendo N = número de caras de la holoedría, en cada sistema tendríamos que :
Hemiedría = N/2 tienen la mitad de las caras de dicha holoedría
Tetartoedría = N/4 tendrían un cuarto de las caras de la holoedría
y en un caso se llega a ogdoedros 1/8 de caras de la holoedría.
 MEROEDRÍA: Cualquier clase que presente un número menor de simetría que la holoedría; (en general
los poliedros no holoédricos se denominan meroedros).
Las clases que resultan de la combinación de un eje principal de rotación propia o impropia con un eje
binario o monario normal a él se denominan:
 Hemiedrías: Estas pueden ser
.. Hemiedría paramórfica: Eje principal + centro de simetría 1
3;/6;/4;3;/2: mmmEj
.. Hemiedría hemimórfica: Eje principal + Eje binario de inversión perpendicular al primero = m
Poseen eje principal polar.
Cada forma se divide aquí en dos conjugadas, es decir, en dos formas especulares con
relación al plano de simetría. Se denominan: positiva y negativa (o directa e inversa)
)2(2;3;6;4;34: mmmmmmmmmmEj
.. Hemiedría enantiomórfica: Eje principal + eje binario ordinario perpendicular al primero
Estos poliedros son entre si como los cuerpos derechos e izquierdos (las manos por
ejemplo). Se diferencian pues en forma derecha e izquierda.
Ej.: 432; 422; 622; 32; 222
A las clases hemiédricas (con eje de inversión y que no se presentan en otro lugar, se las denomina
hemiedría de segunda especie o hemiedrías con eje de inversión.
Ej: mymmm )62(26;24
Añadiendo a cualquier hemiedría una operación que no haya sido añadida se obtiene la holoedría
Cuando un sistema queda definido por un mínimo de elementos de simetría se le denomina:
 TETARTOEDRÍA
Son clases de simetría que poseen un solo eje como elemento de simetría. El eje característico de la
clase se denomina eje principal. Solo operan ejes
Ej: 23 (se “lee” dos tres), 4, 6, 3 y 2 (también se le incluye en la hemimorfía)(monoclínico).
A las clases 6y4 se denominan tetartoedría de 2ª especie o tetartoedros con ejes de inversión.
En las tetartoedrías en lugar de presentarse las formas holoédricas, lo hacen cuatro formas
conjugadas.

36
 Algunas normas para la identificación de ejes de inversión en poliedros.
Sistemas con ejes de inversión
Sistema cúbico Tienen cuaternarios de inversión: Hexaquistetraedro, triaquistetraedro
triangular, triaquistetraedro trapezoidal y tetraedro.
Los ternarios son de inversión en todas las clases excepto en la giroédrica
y tetartoédrica que son de rotación normal.
Sistema tetragonal Tienen cuaternarios de inversión: escalenoedros y biesfenoides
Sistema hexagonal Tienen senarios de inversión = 3 + m Bipirámide ditrigonal, bipirámide
trigonal, prisma ditrigonal y prisma trigonal
Sistema romboédrico Tienen ternario de inversión: escalenoedro ditrigonal, romboedro trigonal
(agudo y obtuso)
Inversión con centro de simetría: solo los ternarios de inversión tienen centro de simetría porque
la primera operación del eje de inversión coincide con la forma inicial y al invertirse 180º tienen paralelismo
entre todas sus caras.
= m. No se aplican porque equivalen a m
= Tiene centro de simetría.
La posición intermedia de la cara (o motivo) coincide con la inicial, en forma y posición, por lo tanto,
al producirse la inversión habrá paralelismo y centro de simetría. Ej. Cubo, octaedro, diploedro,
piritoedro, escalenoedro ditrigonal, romboedro. Todos ellos tienen centro de simetría y operando se
cierra el espacio cristalino. Alternan cara arriba y abajo (6)
= Sin centro de simetría.
La posición intermedia de la cara (o motivo), no coincide con la inicial, y por tanto, no puede haber
paralelismo ni centro de simetría. Ej. Tetraedro, hexaquistetraedro, biesfenoide tetragonal,
escalenoedro tetragonal. (alternan cara arriba y abajo) (4). Operando cierran espacio
= Sin centro de simetría = 3 + m.
Al ser un giro de 60º la posición intermedia cae en la arista divisora de las caras que forman120º y
por lo tanto, después de la inversión no hay paraleleismo. Ej. Bipirámide ditrigonal, bipirámide
trigonal. Operando cierran espacio.
Existen figuras poliédricas que aparentemente tienen ejes de inversión pero que sin embargo no cumplen
con las condiciones: Trapezoedro tetragonal, trapezoedro hexagonal, trapezoedro trigonal
Al realizar la primera operación la cara cae en la misma posición que la inicial pero al invertirse deberia
tener paralelismo y centro de simetría y no es así, además el trapezoedro tetragonal debería cerrar
espacio y no es posible (cuaternario de inversión : dos arriba y dos abajo). Lo mismo se puede decir del
trapezoedro hexagonal.
Las bipirámides hexagonales y tetragonales no tienen senario de inversión o cuaternario de inversión
porque no cerrarían espacio, quedarian incompletas. (comprobarlo en la proyección estereográfica)

37
4.9. EJERCICIO PRÁCTICO 1: Determinación del sistema
cristalino y elementos de simetría de los poliedros.
Material: POLIEDROS y libro de teoría
Para determinar el sistema cristalino al que pertenecen los diferentes poliedros debes conocer las
constantes cristalográficas de los sistemas cristalinos (parámetros y ángulos) y además debes de
tener en cuenta que los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del
cristal o con ejes de simetría.
Para la identificación y cuantificación de los elementos de simetría de cada poliedro es
imprescindible la manipulación de los mismos.
Hay algunos poliedros que no necesitan averiguaciones dada su evidencia como, por ejemplo, el
cubo y octaedro (sistema cúbico), pero hay poliedros que necesitan algunas orientaciones para
determinar su sistema. Para ello te servirás de las tablas que verás a continuación para localizar los
ejes cristalográficos y sus ángulos y así poder determinar su sistema. (páginas 38 a 41).
Los sistemas cristalinos también pueden identificarse por algún elemento de su simetría
característica. (tabla página 42)
Una vez hayas determinado el sistema al que pertenece deberás buscar todos los elementos de
simetría posibles y de esta manera comprobar a que clase de simetría pertenece dentro de dicho
sistema. Todo esto podrás comprobarlo en todos los poliedros que tienes dibujados en las páginas
sucesivas. Los polos y las notaciones que aparecen en cada poliedro aprenderás a deducirlos
cuando hayamos estudiado los apartados correspondientes.
Practica con el mayor número de poliedros posibles. Algunos presentan más dificultad que otros.
Comienza con el sistema cúbico (la mayoría tienden a la esfericidad dado que sus parámetros son
iguales).
Puedes comenzar por el cubo, prisma tetragonal, prisma hexagonal, romboedro, prisma rómbico,
prisma monoclínico y prisma triclínico.

ESTUDIO CON POLIEDROS
38
4.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema
Para estudiar el cristal hay que orientarlo en el espacio, utilizando un sistema de tres ejes cristalográficos, no
coplanarios, que deben coincidir, de ser posible con ejes de simetría.
SISTEMA TRICLÍNICO
Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro
según:
1. "Bipirámide" triclínica Eje vertical "c " de vértice a vértice
Según dichos vértices (libre
orientación, ya que cada
dirección es única)
a - c =
2. Prisma triclínico
(combinación de pinacoides)
Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide Libre orientación, ya que
cada dirección es única.
a - c = 
SISTEMA MONOCLÍNICO
según:
3. Bipirámide monoclínica
Eje vertical " c " de vértice a vértice
Eje "a " según plano de simetría
Eje " b " vértice - vértice (E2
)
Posición a - 
4. Prisma monoclínico
Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal
Eje " b" de arista a arista prismática (E2
)
Eje " a " de arista a arista (plano)
Posición a - 
SISTEMA RÓMBICO
según:
5. Bipirámide rómbica
(de base rectangular)
(de base rómbica) (todos de vértice a
vértice)
Eje vertical " c " de vértice a vértice (E2
)
Eje " a " de arista a arista (E2
)
Eje " b " de arista a arista (E2
)
Eje c
6. Prisma rómbico
(de pinacoides rómbicos)
(de pinacoides rectangulares)
(todos de cara a cara)
Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2
)
Eje " a " de arista a arista prismática (E2
)
Eje " b " de arista a arista prismática (E2
)
Eje c
7. Biesfenoide rómbico
Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2
)
Eje " a " de arista a arista (E2
)
Eje " b " de arista a arista (E2
)
Eje c
8. Pirámide rómbica
Eje vertical " c " de vértice a centro pedión
Eje " a " de arista a arista (base)
Eje " b " de arista a arista
Eje c

39
SISTEMA TETRAGONAL
Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según:
9. Prisma tetragonal
Eje a1 y a2 de arista a arista
o bien cara a cara los tres ejes. (E2
)
Eje principal 4
10. Prisma ditetragonal
Eje a1 y a2 de arista a arista (E2
)
o bien de cara a cara (E2
)
Eje principal 4
11. Bipirámide ditetragonal
Eje vertical " c " de vértice a vértice (E4
)
Eje a1 y a2 de v a v o´ v´ a v´ (E2
) Eje principal 4
12. Trapezoedro tetragonal
Eje vertical "c" de vértice a vértice
) Eje principal 4
13. Bipirámide tetragonal
Eje a1 y a2 de vértice a vértice o de arista a
arista (E2
).
Eje principal 4
14. Biesfenoedro tetragonal Eje vertical "c" de arista a arista
).
Eje principal: no tienen centro de
simetría porque en las operaciones no se llega a
la posición de partida y por lo tanto no tienen
caras paralelas
15. Escalenoedro tetragonal
).
Eje principal: no tienen centro de simetría
porque en las operaciones no se llega a la
posición de partida y por lo tanto no tienen caras
paralelas
16. Pirámide ditetragonal
Eje vertical "c" de vértice a cara de pedión.
Eje a1 y a2 según planos de simetría. Eje principal 4
17. Pirámide tetragonal
Eje vertical "c" de vértice a centro pedión.
Eje a1 y a2 de vértice a vértice del pedión
o de arista a arista de la base.
Eje principal 4
SISTEMA ROMBOÉDRICO
Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según:
18. Escalenoedro ditrigonal
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2
).
De vértice a vértice no hay elementos de simetría
Eje: tienen centro de simetría porque en
las operaciones se llega a la posición de partida
y al invertirse 180º hay paralelismo de caras.
19. Trapezoedro trigonal
Eje vertical "c " de vértice a vértice
)
De vértice a vértice no hay elementos de simetría
Eje principal 3
20. Romboedro trigonal
obtuso
)
Eje : tienen centro de simetría porque en las
operaciones se llega a la posición de partida y al
invertirse 180º hay paralelismo de caras.
21. Romboedro trigonal
agudo
)
Eje: tienen centro de simetría porque en las
operaciones se llega a la posición de partida y al
invertirse 180º hay paralelismo de caras.
22. Pirámide trigonal
3m
Posición especial estereográfica:
planos perpendiculares a a1, a2 y
a3
Eje vertical "c " de vértice a pedión
Ejes a1, a2 y a3 según planos de simetría Eje principal 3
23. Pirámide ditrigonal
3m
Posición especial estereográfica:
planos perpendiculares a a1, a2 y
a3
Eje vertical "c" de vértice a centro pedión
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la
base, según planos de simetría
Eje principal 3

40
SISTEMA HEXAGONAL * Las bipirámides son hexagonales
según:
24. Bipirámide dihexagonal
Eje vertical "c " de vértice a vértice.
Ejes a1, a2 y a3 de v a v o de v´ a v´ (E2
)
Eje principal 6
25. Prisma dihexagonal
Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide
) o
según a´- a´ (E´2
)
Eje principal 6
26. Bipirámide hexagonal
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E2
) o
de arista a arista (E2
)
Eje principal 6
27. Trapezoedro hexagonal
) o de
a´- a´ (E´2
).
De vértice a vértice no hay ejes de simetría
Eje principal 6
28. Prisma hexagonal
Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal
) o de
cara a cara (E2
).
Eje principal 6
29. Bipirámide ditrigonal
m2
)
Posición especial estereográfica: binarios
perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3
Eje : no tienen centro de
simetría 3 + m, no existen
caras paralelas
30. Prisma ditrigonal
m2 y 3m
)
Eje :no tienen centro de
caras paralelas
31. Bipirámide trigonal
m2
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a centro arista
(E2
)
Eje : no tienen centro
de simetría 3 + m, no
existen caras paralelas
32. Prisma trigonal
m2 y 3m
Ejes a1, a2 y a3 de arista a centro cara (E2
)
Eje : no tienen centro de
caras paralelas
33. Pirámide dihexagonal
base del pedión; según planos de simetría o
de v´ a v´
Eje principal 6
34. Pirámide hexagonal
base; según planos de simetría o de arista a
arista.
Eje principal 6

41
SISTEMA CÚBICO
según:
35. Cubo o hexaedro
Ejes a1, a2 y a3 de cara a cara (E4
)
De arista a arista no porque el eje es
distinto
Eje principal 4
36. Octaedro
Ejes a1, a2 y a3 De arista a arista no
porque coge diferentes ejes de simetría y
dimensiones. (E4
)
Eje principal 4
37. Rombododecaedro
(Dodecaedro)
) Eje principal 4
38. Tetraquishexaedro
(cubo piramidado)
) Eje principal 4
39. Trapezoedro
( triaquisoctaedro tetragonal)
) Eje principal 4
40. Triaquisoctaedro
(octaedro piramidado)
(triaquisoctaedro trigonal)
) Eje principal 4
41. Hexaquisoctaedro
) Eje principal 4
42. Giroedro
(triaquisoctaedro pentagonal)
) Eje principal 4
43. Tetraedro
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista
De vértice a centro de cara no forman 90º Eje principal
44. Triaquistetraedro
(triaquistetraedro trigonal)
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista
De v a v no forman 90º
Eje principal
45. Deltoedro
[dodecaedro trapezoidal (deltoide)]
[triaquistetraedro trapezoidal (tetragonal)]
Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con
vértice a mitad de arista con vértice.
Eje principal
46. Hexaquistetraedro
Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con
vértice a mitad de arista con vértice
Eje principal
47. Piritoedro
(Dodecaedro pentagonal)
(Pentadodecaedro)
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista Eje principal 2
48. Diploedro
(disdodecaedro)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice Eje principal 2
49. Tetartoedro
(triaquistetraedro pentagonal)
) Eje principal 2

42
4.9.2. Simetría característica de cada sistema
Clases cristalinas
Hermann - Mauguin Sistema Simetría característica
Posiciones de los ejes
según Hermann -
Mauguin
1, Triclínico
Solo simetría monaria
(inversión o identidad)
Por su baja simetría no
hay restricciones
cristalográficas.
2, m, 2/m
Monoclínico Solo un eje de rotación binaria y / o
un plano de simetría (= )
El eje binario se toma
como eje b y el plano de
simetría (plano a - c ) es
vertical
222, mm2,
2/m 2/m 2/m
(siempre tres símbolos)
Rómbico
Tres direcciones mutuamente
perpendiculares alrededor de las
cuales hay simetría binaria (2 ó m).
Tres ejes binarios o un eje binario y
dos planos (= )
Los símbolos se refieren a
los elementos de simetría
en el orden a, b c; los ejes
binarios coinciden con los
ejes cristalográficos.
4, , 4/m, 422,
4mm, 2m,
4/m 2/m 2/m
Tetragonal
El eje principal siempre es un eje
cuaternario o cuaternario de
inversión..
Los ejes cuaternarios se
refieren al eje c; el
segundo símbolo, si lo
hay, se refiere a las
direcciones axiales (a1 y
a2); el tercer símbolo, si lo
hay, a las direcciones 45º
con respecto a a1 y a2.
6, , 6/m, 622,
6mm, m2,
6/m 2/m 2/m
Hexagonal
Un eje senario o un eje de inversión
senario
El primer símbolo se
refiere al eje c; el segundo
y el tercer símbolo, si los
hay, se refieren
respectivamente a los
elementos de simetría
paralelos y
perpendiculares a los ejes
cristalográficos a1, a2 y
a3.
*Excepciones las clases:
3m y m2
3, , 32, 3m,
2/m
Romboédrico Un eje ternario o un eje ternario de
inversión (siempre en el eje c)
23, 2/m , 432,
3m, 4/m 2/m
Cúbico
Cuatro ejes ternarios inclinados cada
54º 44´ respecto a los ejes
cristalográficos
El eje ternario siempre aparece en la
segunda posición y además nunca
tienen planos perpendiculares a
ellos.

SISTEMA CÚBICO
43
4.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros
Holoedría: 4/m 2/m
3 ejes cuaternarios
4 ejes ternarios de inversión
6 binarios
9 planos
centro de simetría
3E4
, 4Ei
3
, 6E2
3P 6P
c
(con centro de simetría y plano m)
Hexaquisoctaedro
321 231
48 caras
(triángulos escalenos)
Polo 1
(hkl)
Clase hexaquisoctaédrica
Trioctaedro
221
122212
(octaedro piramidado)
24 caras
triángulos isósceles
Polo 3
(hhl)
21
1
Trapezoedro
Polo 2
24 caras
trapezoidales
(hkk) (hll)211
Tetraquishexaedro o cubo
piramidado
210
120
021
24 caras
(triángulos isósceles)
Polo 4
(hk0)
Octaedro
111
8 caras
Polo 5
(triángulos equiláteros)
(111)
Rombododecaedro
110
12 caras
(en forma de rombos)
Polo 6
(110)
Cubo
100
001
010
6 caras
Polo 7
(cuadrados)
(100)
121

SISTEMA CÚBICO
44
Hemiedría Hemimórfica 3m (sin centro)
3 cuaternarios de inversión
4 ternarios
6 planos
3E4
i , 4E3
p , 6P
(sin centro de simetría y sin plano m)
(Clase hexaquistetraédrica)
Hexaquistetraedro
132
231321
123213
312
24 caras
Polo 1
(hkl) + y -
Triaquistetraedro triangular (trigonal)
112
121211
12 caras
Polo 2
(hkk) + y -
Deltoedro
221
212
122
(dodecaedro trapezoidal)
12 caras
(trapezoidales)
Polo 3
(hll) + y -
(triaquistetraedro trapezoidal)
Polos 4 y 5 iguales
a los de la
holoedría
Tetraedro
111
4 caras
(triángulos equiláteros)
Polo 6
(111) + y -
Polo 7 igual al de la
holoedría

SISTEMA CÚBICO
45
3 ejes binarios
4 ejes ternarios
Triaquistetraedro pentagonal tetartoédrico
Tetartoedro
12 caras
(pentágonos asimétricos)
4E3
p3E2
3 ejes cuaternarios
4 ejes ternarios
6 binarios
3E4
4E3
6E2
(sin centro de simetría y sin plano m )
Hemiedría enantiomórfica 432
(Clase giroédrica)
3 ejes binarios
4 ejes ternarios
3 planos
centro
3E2
4E3
i
3P
c
Hemiedría Paramórfica 2/m
(Clase diploédrica)
Diploedro (Disdodecaedro)
hkl = 321
24 caras
Polo 1
(trapezoides)
(hkl) izq. dcha
Polos 2, 3, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con
menor simetría
Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a los de la holoedría
pero con menor simetría
(pentágonos no regulares)
12 caras
Piritoedro (Dodecaedro pentagonal)
(dihexaedro)
hk0
Polo 4
(4 iguales y uno desigual)
(hk0) izqu. dcha
Giroedro (Triaquisoctaedro pentagonal)
24 caras
Polo 1
(pentágonos no regulares)
(hkl) izqu. dcha
Tetartoedría 2 3 (sin centro)
(clase tetartoédrica)
Polo 1
(khl)

SISTEMA TETRAGONAL
46
Holoedría 4/m 2/m 2/m
1 eje cuaternario
4 ejes binarios
5 planos
centro de simetría
E4
2E2
2E´2
P 2P 2P´
c
(Clase bipiramidal ditetragonal)
(hkl)
Bipirámide ditetragonal
Polo1
16 caras
Prisma ditetragonal (hk0)
Polo 4
(hk0)
110
Prisma tetragonal de 2º y 1er
orden
Polo 5 y 6
(110) y (100)
2ª y 1º orden
Polo 7
Pinacoide base
(001)
(001)
1 eje cuaternario de inversión
2 ejes binarios
2 planos
Ei
4
, 2E2
, 2P
(sin centro de simetría y
sin plano m)
Bipirámide tetragonal de
2º y 1
er
orden
Polo 2 y 3
8 caras
(hhl) y (h0l) 2º y 1º orden
Polos 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría
Hemiedría de 2ª especie 2m
(Clase escalenoédrica tetragonal)
Escalenoedro tetragonal
Polo 1
8 caras
(triángulos
escalenos)
(hkl)
+ y -
Biesfenoide tetragonal 2º orden
Polo 2
4 caras
(hhl) + y -

SISTEMA TETRAGONAL
47
Hemiedría hemimórfica 4mm
Hemiedría paramórfica 4/m
1 eje cuaternario
1 plano
centro de simetría
Bipirámide tetragonal 3º orden
8 caras
E4
, P, c
Pirámide tetragonal 2º orden y 1º orden
Se repite de la holoedría pero en otra
posición y con menor número de
elementos de simetría
Los demás polos son iguales a la holoedría pero
con menor número de elementos de simetría
1 eje cuaternario
4 planos
E4
p 2P´2P
(sin centro de simetría y sin
plano m)
1 eje cuaternario
4 ejes binarios
E4
2E2
(Clase trapezoédrica tetragonal)
(Clase piramidal ditetragonal)
Pirámide ditetragonal
8 caras
Polo 1
(hkl)
Polos 2 y 3
(hhl) y (h0l)
2º y 3º orden Polo 7 (001) Pedión
Se repiten formas de la holoedría
Trapezoedro tetragonal
8 caras
(trapezoides)
izquierda y derecha
Polo 1
(hkl) izqu.
(khl) dcha
(Clase bipiramidal tetragonal)
Polo 1
(hkl) izqu.
(khl) dcha.
110
Prisma tetragonal 3º orden
Polo 4
(hko) izqu.
(kh0) dcha
2E´2

SISTEMA TETRAGONAL
48
Pirámide tetragonal
Tetartoedría de 2ª especie
Tetartoedría de 1ª especie 4
1 eje cuaternario de inversión
Biesfenoide tetragonal
1 eje cuaternario polar
4 caras (triángulos isósceles)
Polo 1, 2 y 3 = 3º, 2º y 1er
orden
Polo 1E4
p
E4
i
sin plano m)
sin plano m)
Se repite de la hemiedría, en otra posición y
con menos simetría
Se repite de la 4mm en otra posición
y con menos simetría
(Clase biesfenoidal tetragonal)
(Clase piramidal tetragonal)
(hkl)
El resto de los polos dan formas
iguales a la holoedría

SISTEMA HEXAGONAL
49
Bipirámide dihexagonal
Polo 1
Prisma dihexagonal
Polo 4
Pinacoide hexagonal
(0001)
Polo 7
1 eje senario
6 ejes binarios
7 planos
centro de simetría
E6
, 3E2
, 3E´2
P, 3P, 3P´ c
(con centro de simetría
y con plano m
(Clase bipiramidal dihexagonal)
Polo 5 y 6
Prisma hexagonal
1er
y 2º orden
Polo 2 y 3
Bipirámide hexagonal
( 1er
orden
(
( 2º orden (
( y

SISTEMA HEXAGONAL
50
1 eje senario
6 planos
Pirámide dihexagonal
Polo 1 Polo 2 y 3
E6
p 3P 3P´
sin plano m)
Pirámide hexagonal
Trapezoedro hexagonal
1 eje senario
6 binarios Polo 1
E6
3E2
3E'2
1 senario de inversión = ternario rotación
3 binarios
4 planos
(sin centro de simetría pero con plano m)
Bipirámide trigonal
3 + P
Hemiedría de 2ª especie m2 = 2m (HM)
(Clase bipiramidal ditrigonal)
Prisma ditrigonal
Bipirámide ditrigonal
(+ y -)
Polo 1
Polo 4
(+ y -)
Polo 2
1er
orden
Prisma trigonal
Polo 5
(+ y -)
1er
orden
Polos 3, 6 y 7 igual a la holoedría
Hemiedría hemimórfica 6mm
(Clase piramidal dihexagonal)
y
1
er
y 2º orden
Polo 7 pedión
(ClaseTrapezoédrica hexagonal)
(dcho e izqui.)
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero
con menor simetría
E6
i, 3E2
, 3P
P

SISTEMA HEXAGONAL
51
Tetartoedría 6
Tetartoedría de 2ª especie = 3/m
Bipirámide trigonal
1 eje senario de inversión
1 plano
Polo 1 y 3
Pirámide hexagonal 3er
orden
Polo 11 eje senario polar
E6
i = 3 + P
(sin centro de simetría pero con
plano ecuatorial m)
E6
p
(sin centro de simetría y sin
plano m)
Se repite de clases anteriores pero
con menor simetría
Se repite de la clase 6mm pero
con menor simetría
Hemiedría paramórfica 6/m
1 eje senario
1 plano
centro de simetría
E6
P
c
(con centro de simetría y con plano m)
Se repiten con otra orientación pero con
menor simetría que en la holoedría
(Clase bipiramidal hexagonal)
Bipirámide hexagonal
Polo 1
(dcho e izqu.)
3
er
orden
Polo 4
Prisma hexagonal
3er
orden
(Clase piramidal hexagonal)
(Clase Bipiramidal trigonal)
Prisma trigonal
Polo 4 y 6
3er
y 2º orden3er
y 2º orden

TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
52
Pirámide ditrigonal
Escalenoedro ditrigonal
Hemiedría hemimórfica 3m
Polo 1
Polo 2
+ y -
1 eje ternario
3 planos
Polo 1
E3
p 3P
(con centro de simetría y sin plano m)
Pirámide trigonal de 1º orden
Romboedro trigonal 1er
orden
E3
i 3E2
3P
c
Polo 3 Bipirámide hexagonal 2º orden
Polo 4 Prisma dihexagonal
Polo 5 y 6 Prisma hexagonal 1º y 2º orden
Polo 7 Pinacoides
Holoedría 2/m = m
(Clase Escalenoédrica ditrigonal)
+ y -
(Clase piramidal ditrigonal)
+ y -
sup. e inf.
Polo 2
Polo 3 Pirámide hexagonal de 2º orden
Polo 4 Prisma ditrigonal
Polo 5 Prisma trigonal 1º orden
Polo 6 igual holoedría
polo 7 Pedión
+ y -
sup. e inf.
1 eje ternario de inversión
3 binarios
3 planos
centro de simetría

TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
53
Pirámide trigonal 3º orden
Romboedro trigonal 3º orden
Hemiedría paramórfica
Tetartoedría 3
1 eje ternario de inversión
1 eje ternario polar
E3
i
(con centro de simetría y sin plano m)
E
3
p
c
Se repite de la holoedría
pero con menor simetría
Se repite de la clase 3m pero
con menor simetría
Trapezoedro trigonal
Hemiedría enantiomórfica 3 2
1 eje ternario
3 binarios
Polo 1
E3
3E2
(Clase trapezoédrica trigonal)
+ y -
dcho. e izqu.
Polo 3 Bipirámide trigonal de 2º orden
Polo 6 Prisma trigonal de 2º orden
Polo 2, 4, 5 y 7 = a la holoedría
(Clase romboédrica)
Polo 1
+ y -
dcha. e izqu.
Polo 3 Romboedro trigonal 2º orden
Polo 4 Prisma hexagonal 3º orden
Polo 2, 5, 6 y 7 = holoedría
(Clase piramidal trigonal)
Polo 1
Polo 2 y 3 Pirámide trigonal 2º orden
Polo 4 Pirámide trigonal 3º orden
Polo 7 Pedión superior e inferior
centro de simetría

RÓMBICO
54
Bipirámide rómbica
3 ejes binarios
3 planos
centro de simetría
Polo 1
Pinacoide (010)Pinacoide (100)
Prisma (0kl)
0kl
Prisma (h0l)
h0l
Prisma (hk0)
hk0
Polo 2
Polo 3
Polo 4 Polo 5 Polo 6
Primera especie 2º especie
3ª especie
1º orden 2º orden
E2
E'2
E"2
P P´ P´´
c (con centro de simetría y plano ecuatorial m)
(Clase Bipiramidal rómbica)
(hkl)
hkl
(0kl)
(h0l)
(hk0) (100) (010)
3º ordenPinacoide (001)
Polo 7
(001)

RÓMBICO
55
1 binario
2 planos
E2
2P
Biesfenoide rómbico
3 binarios
E2
E'2
E"2
(Clase piramidal rómbica)
Hemiedría hemimórfica 2mm = mm2 (HM)
(Clase piramidal rómbica)
Pirámide rómbica
Polo 1
(hkl) sup. e inf.
Polo 4 prisma de 3ª especie
Polo 5 Pinacoide 1º orden
Polo 7 Pedión
Polo 1
Domo (0kl)
Polo 2
1ª especie
(0kl)
Domo (h0l)
Polo 3
2ª especie
(h0l)
(hkl)
dcho. e izqu.
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 iguales a la
holoedría

MONOCLÍNICO
56
Diedro axial o esfenoide
Pinacoide (100)Prisma (hkl) 4ª especie
Hemiedría 2
Prisma (hk0) 3ª especie
1 eje binario
1 plano
centro de simetría
1 eje binario polar
Polo 1
Polo 4
Polo 5
Pinacoide (010) 2º orden
Polo 6
Polo 7
E2
c P (con centro de simetría y sin plano m)
E2
p
Diedro anaxial o domo
Hemimorfía de 2ª especie m
1 plano
P
Holoedría 2/m
(Clase Prismática)
Polo 1 Domo de 4ª especie
Polo 1 Esfenoide 4ª especie
Polo 6 Pedión 2º orden
(Clase esfenoídica)
Polo 3 Pedión de 2ª especie
Polo 5 Pedión de 1º orden
Polo 6 = holoedría
Polo 3 y 5 = holoedría
(Clase domática)
Polo 2 prisma 1ª especie
Polo 3 Pinacoide 2ª especie

TRICLÍNICO
57
Pedión
Pinacoide (hk0) 3ª especie
Pinacoide (hkl)
Combinación de pinacoides triclínicos
Bipirámide triclínica
Prisma triclínico
Pinacoide (h0l)
Holoedría
Hemiedría 1
Polo 1
Pinacoide (0kl)1ª especie
Polo 2
Polo 3
Polo 4 Polo 5
Polo 6
Polo 7
centro de simetría
4ª especie
2ª especie
c
Simetría: nada
(Clase pedial)
Polo 7 pedión de 3º orden
(Clase pinacoidal)

58
5) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
5.1. Definición y propiedades
Dado el carácter tridimensional de los cristales, para su mejor representación se usan proyecciones de tal
manera que se conserven al máximo las constantes angulares y la simetría.
Entre las diferentes proyecciones que pueden utilizarse, vamos a estudiar y trabajar con la proyección
estereográfica que utiliza la siguiente metodología:
Suponemos un cristal en el centro de una esfera de radio arbitrario. Se trazan las normales a las caras del
cristal que se prolongarán hasta que intercedan con la superficie de la esfera, en unos puntos llamados
POLOS. Como los polos hay que representarlos sobre un plano, se elige como plano de proyección el plano
ecuatorial de la esfera.
Como puntos de vista se utilizan el polo sur para las caras situadas en el hemisferio norte y el polo norte
para las caras situadas en el hemisferio sur.
Los puntos de proyección sobre el plano ecuatorial se obtienen de las intersecciones de las normales de las
caras del cristal hacia la superficie de la esfera.
Propiedades de la proyección estereográfica:
1. Cada cara tiene un polo
2. Todas las caras del cristal proyectado serán puntos o polos.
3. Los polos de las caras de una misma zona están en círculos máximos.
4. Los ángulos diedros del cristal aparecen en la proyección como sus suplementos, es decir, los ángulos
que forman las caras corresponden a los lados.
5. La proyección de una circunferencia es otra circunferencia.
6. El ángulo de dos curvas se proyecta en su verdadero valor.
7. Si los planos de simetría son perpendiculares al plano de proyección se representa por una recta.
8. Si el plano es horizontal, como coincide con el plano de proyección se representa por una línea continua.
9. Los planos de simetría oblicuos del sistema cúbico se proyectan como diámetros del círculo de
proyección.
xx
xx
centro de la cara
x Proyección de una cara del hemisferio
superior en el plano ecuatorial
Proyección de una cara del hemisferio
inferior en el plano ecuatorial
Polo sur
Polo norte

59
5.2. Tabla de símbolos estereográficos
= m
x
x
Ejes de rotación normal (propios)
Polares: las caras son diferentes en uno y otro extremo del eje o solo hay en un lado
1 monario 2 binario 3 ternario 4 cuaternario 6 senario
Bipolares: las caras son iguales en ambos extremos
Ejes de inversión (impropios)
= C
3/m
nos indica la presencia de planos de simetría
líneas de referencia
presencia de ejes del orden que indican
Presencia de planos de simetría inclinados
líneas de referencia inclinadas
ejes del orden que indican, pero inclinados en la proyección
polo que representa una cara en el hemisferio superior o en la circunferencia fundamental
polo que representa una cara en el hemisferio inferior
polos que representan dos caras simétricas, una en cada hemisferio
m = plano de simetría
.
circunferencia fundamental con
plano ecuatorial perpendicular
al eje principal
circunferencia fundamental
sin plano ecuatorial
= 3 + C
= 3 + C

60
5.3. Estereograma y dominio fundamental
Cuando situamos un cristal en el interior de una esfera para proyectarlo estereográficamente
situamos todos sus elementos de simetría:
Las direcciones cristalográficas a, b y c del sistema cúbico serían las correspondientes a: a1, a2, y a3.
Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 que aparecen en el estereograma son, en este caso los polos o puntos
de partida en la simetría de un poliedro. Este mecanismo se estudiará más adelante.
 Dominio fundamental: Es la superficie mínima de un estereograma limitado por las proyecciones de los
elementos de simetría. Cada sistema posee un número de dominios fundamentales, por ejemplo en el cúbico
24, tetragonal 8,.... En dicha superficie se pueden localizar los 7 polos posibles que puede adoptar cada forma
cristalográfica.
En los dominios aparecen tres direcciones cristalográficas
.. Círculo de proyección (c)
.. Diámetro Norte - Sur (a)
.. Diámetro perpendicular al Norte - Sur (b)
Cuando una cara corta al eje “a” se llama h
Si la cara corta al eje “b” se llama k.
Si la cara corta al eje “c” se denomina l
Pardillo ha dado una fórmula que permite hallar fácilmente el número de dominios fundamentales de un
sistema. Se obtiene duplicando una suma constituida por 1 más el número de ejes de simetría existentes por
el orden del eje menos 1.
Df = 2 [1 + N ·(orden del eje -1 ) + N........]
Ej: Sistema cúbico 3E4
, 4E3
, 6E2
Df = 2[1 + 3(4-1) + 4(3-1) + 6(2-1)] = 2 [24] = 48
.
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Circunferencia fundamental
Arco
s
Diámetros
Son las proyecciones
de los planos de
simetría
Dominios fundamentales
Polos
ESTEREOGRAMA
dirección cristalográfica "c"
dirección cristalográfica "a"
dirección cristalográfica "b"
(24)
1x2
x3
x4
5
6
7
(por 2 hemisferios)
Holoedría cúbica
(hexaquisoctaedro)

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