1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu
Câu 1 (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol
(P): y = - x2.
a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2).
Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.
Câu 2 (2 điểm)
a. Giải hệ phương trình
3x 2y 2
x 1 y 1
2x 3y 10
x 1 y 1
      
 
  
;
b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x  y  x  2 .
Câu 3 (2 điểm)
a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là
hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.
3x 4
x 1
b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2


.
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B).
Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt
cắt đường tròn tại D, E.
a. Chứng minh tam giác EAI cân;
b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID;
c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.
---------------------------------------------------------------------------------Hết------------------------------------------------------------------------------------

2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
HDC CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Hướng dẫn chấm gồm có 2 trang
Chú ý:
- Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối
đa ứng với phần đó;
- Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai hẳn, không cho điểm;
- Điểm của bài thi không làm tròn, để lẻ đến 0,25 điểm.
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) <=> 2 = 2.1 – m + 1 0,5
a Vậy: m = 1 0,5
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt <=> x2 + 2x – m + 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt <=> '  m  0 0,25
Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25
Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2)
Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5 0,25
Câu 1
2 điểm
b
Hay: (x1 + x2)2
- 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25
Đặt u  x ; v 
y
x  1 y 
1
0,25
Khi đó có hệ:
3u 2v 2 9u 6v 6 u 2
2u 3v 10 4u 6v 20 v 2
       
          
0,25
Từ: x  2  x  2; y  2  y  
2
x  1 y 
1
0,25
a
Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25
Ta có: x – y + 1 = 2 x  y  x  2  x  y 1 2 x  y  x  2  0 . 0,25
Hay:  2
x  y 1  x  2  0. 0,25
Suy ra:  2
x  y 1  x  2  0 x  y 1  x  2  0 . 0,25
Câu 2
2 điểm
b
Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25
Do: ADM  AEM  DAE  900 nên ADME là hình
chữ nhật
0,25
Nên : DE = AM 0,25
DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM  BC 0,25
Câu 3
2 điểm
a
D E
B
A
M C Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25

3. 3x 4 A(x 1) 3x 4 Ax 3x A 4 0
x 1
A = 2 2
2

        

, (*) có nghiệm x 0,25
Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25
2 
Nếu A  0 có : 9 4A(A 4) 4(A 2)25 0 1 A 9
            0,25
2 2
b
Vậy : minA 1 khix b 3; maxA 9 khi x 1
 
      0,25
2 2a 2 3
Vẽ hình để chứng minh a
0,25
Do AD, CE là các đường phân giác nên :
0,25
DC  DB, EB  EA
Do đó: DC EA  DB EB 0,25
a
I
F
A B
E
D
O
C
Suy ra: AIE  IAE
Vậy: tam giác EAI cân tại E 0,25
Ta có: AIE  CID (đối đỉnh) 0,25
EAI  DCI (cùng chắn cung DE) 0,25
Do đó : ICD  IAE . 0,25
b
Suy ra: IC ID IC.IE IA.ID
   0,25
IA IE
AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên ABF
cân. Do đó AF = AB = x > 0 0,25
Do: DIB  IBA  IAB  450 nên BID vuông cân
suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2
0,25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:
BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 <=> x2 - bx - a2 = 0 0,25
Câu 4
3 điểm
c
Có: x =
b  b2 
4a2
2
(loại), x =
b  b2 
4a2
2
. Vậy AB =
b  b2 
4a2
2
0,25
Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ 2014. n N*
Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. 0,25
Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai  2013
hay:
20142014...2014 20142014...2014   20142014....20140000...0000  2013
0,25
j sô 2014 i sô 2014 j 
í sô 2014 4i sô 0
Số có dạng 20142014…2014 . 104i  2013
Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n  N* 0,25
Câu 5
1 điểm
Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25
--------------------------------------------------------------------------Hết-----------------------------------------------------------------------------------
(Cảm ơn thầy Bùi Văn Ngọc GV chuyên Chu Văn An – Lạng Sơn cung cấp)