Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng

CHƯƠNG 2
ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM
SỐ THỐNG KÊ
Th.S HUỲNH TỐ UYÊN
1

BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG
2
1. Ước lượng điểm
2. Ước lượng khoảng:.
Ước lượng tỉ lệ (1 tổng thể và 2 tổng thể)
Ước lượng trung bình (1 tổng thể và 2 tổng thể)
Ước lượng phương sai (1 tổng thể và 2 tổng thể)
Ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả,
ước lượng vững, ước lượng đủ.

ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
3
Ước lượng điểm :
Ta chứng minh được rằng giá trị trung bình, tỉ lệ và
phương sai mẫu hiệu chỉnh thỏa mãn tất cả các tính
chất của ước lượng như: không chệch, hiệu quả,
vững và đầy đủ.
Do đó, các đặc trưng này lần lượt là ước lượng điểm
của trung bình, tỉ lệ và phương sai tổng thể.
( )
( )
( )
µ
σ
=
=
=2 2
E X
E f P
E S
µ
σ
≈
≈
≈2 2
X
P f
S

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
4
Ước lượng khoảng :
Gọi θ là đặc trưng của tổng thể mà ta cần ước lượng.
Giả sử dựa vào mẫu, ta tìm được θ1, θ2 sao cho
P(θ1≤ θ ≤ θ2 ) = 1-α . Khi đó
(θ1,θ2 ) là khoảng ước lượng của θ.
1-α là độ tin cậy của ước lượng.
là độ chính xác của ước lượng1 2
1
2
θ θ−
1 2
1
2
θ θ−
θ1θ 2θ
Bề rộng của ước lượng

5
Độ tin cậy 1 െ ߙ
0
0,025
2
α
=0,025
2
α
=
1 0,95α− =
+ Khi X có PP chu n thì
Kho ng 68% giá tr rơi vào ߤ േ ߪ
Kho ng 95% giá tr rơi vào ߤ േ 2ߪ
Kho ng 99,7% giá tr rơi vào ߤ േ 3ߪ
V y h u như toàn b giá tr đ u n m
trong kho ng ±3σ

6
1.1. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ
Ta cần ước lượng tỉ lệ P cho tổng thể
Ta chọn UL không chệch của P là f (tỉ lệ của mẫu đư c
l y t m u đ nh tính g m n ph n t c a m u ( ݊ ൒
30), ta tính đư c là t l các ph n t có tính ch t T
trong m u.)) để UL cho P.
݂ െ ߝ ൑ ܲ ൑ ݂ ൅ ߝ
Vậy ta cần tính sai số UL: ߝ
(Đ i v i t ng d ng bài ta s có cách tính khác nhau
- K t lu n: ܲ ൌ ݂ േ ߝ hay kho ng ư c lư ng c a P
là ܲ ൌ ݂ െ ߝ; ݂ ൅ ߝ v i đ tin c y ૚ െ ࢻ cho trư c

7
2.1. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ 1
TỔNG THỂ
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Kết
luận
vôùi m = soá phaàn töû coù tính chaát Atrong maãu
m
f
n
=
/ 2
(1 )f f
Z
n
αε
−
=
( )p f ε∈ ±
Với độ tin cậy 1- αααα, tỉ lệ các phần tử có tính
chất A trong tổng thể được ước lượng trong
khoảng f p fε ε− ≤ ≤ +

8
Cách tìm p, f, trong ULTS
- Đ chính xác (sai s ư c lư ng) đư c tính b i công th c:
2
(1 )f f
Z
nαε
−
=
+ N u đ th cân đ i (KĐ 2 bên) ta tìm
௓ഀ
ଶ
ta tra b ng hàm
Laplace sao cho
2
1 1
( )
2 2 2
Zα
α α
ϕ
−
= − =
(Với 1 െ α là đ tin c y
cho trư c)
+ N u đ th l ch (KĐ 1 bên) ta tìm ܼఈ ta tra b ng hàm
Laplace sao cho:߮ሺܼఈሻ ൌ
ଵ
ଶ
െ ߙ

9
CÁCH TRA BẢNG LAPLACE (PP CHUẨN HÓA)
2
1
( )
2
Zα
α
ϕ
−
=
Cho độ tin cậy 95%, tìm
ܼఈ ‫ݒ‬à ܼఈ/ଶ
a) Tìm ܼఈ/ଶ(ܼ଴,଴ଶହሻ
Ta có theo định nghĩa
hàm, ta có:
0,5-0,025=0,475
Tìm 0,475 trong
b ng tra r i chi u
lên và xu ng, sau
đó c ng 2 đã đư c
chi u vuông g c đó
l i
0,475
0,06
1,9
V y ߮ ܼ଴,଴ଶହ ൌ 0,475
→ ܼ଴,଴ଶହ ൌ 1,96
V y ܼఈ/ଶ ൌ 1,96
Tương t : 0,5-0,05=0,45
߮ ܼ଴,଴ହ ൌ 0,45
→ ܼ଴,଴ହ ൌ 1,64~1,65
V y ܼఈ ൌ 1,64
α
ϕ α= −
1
( )
2
Z
Ngư c l i n u cho ࢆࢻ/૛ ൌ ૚, ૢ૟ tìm ࢻ. Tra
b ng ta đư c ૙, ૞ െ
ࢻ
૛
ൌ ૙, ૝ૠ૞ ⇒
ࢻ
૛
ൌ ૙, ૙૛૞

10
CÁCH TRA BẢNG LAPLACE (PP CHUẨN HÓA)
0
0,025
2
α
=0,025
2
α
=
1 0,95α− =
0,025 1,96Z =0,025 1,96Z− = −
2
1
( )
2
Zα
α
ϕ
−
=

11
Ví dụ
Ví d 6.1. Trư c ngày b u c ch t ch nư c, ngư i ta
ph ng v n ng u nhiên 1800 c tri thì th y có 1180 ngư i
ng h ng c viên A. V i đ tin c y 95%, h i ng c
viên đó thu đư c t i thi u bao nhiêu % s phi u b u?
T ng th :
Tính ch t T quan tâm:
M u:
Kích thư c m u:
S ph n t có tính ch t T:

12
Ví dụ
+ Vậy tỉ lệ mẫu là:
1180
0,6556
1800
k
f
n
= = = .
+ Tra bảng hàm Laplace ta thấy
α
α
ϕ ϕ
−
= = = =
2
1 0,95
( ) 0,475 (1,96)
2 2
Z
2
1,96Zα⇒ =
+ Độ chính xác của ước lượng là:
αε
− −
= = =
2
(1 ) 0,6556(1 0,6556)
1,96 0,0220
1800
f f
Z
n
Do đó tỉ lệ tổng thể ủng hộ ứng cử viên A là:
0,6556 0,022p = ±
Hay khoảng ước lượng cần tìm là: ( )0,6336;0,6776 .
V y t i thi u ng c viên A s thu đư c 63,36% s phi u b u.

13
Ví dụ
Bưu điện Tp HCM nghiên cứu về cước điện thoại cố
định trên địa bàn Tp. Mẫu ngẫu nhiên gồm 100 gia
đình được chọn từ các Quận , Huyện như sau:
Cước trả hàng tháng
( ngàn đồng)
Số hộ
<60 10
60-80 15
80-100 22
100-120 27
120-140 12
140-160 9
>160 5
a)Hãy ước lượng tỉ lệ hộ
gia đình có mức cước
điện thoại hàng tháng từ
100 ngàn đồng trở lên,
với độ tin cậy 90%?
b) Nếu muốn bài toán
ước lượng đạt độ chính
xác 5% với khoảng tin
cậy 99% thì cần điều tra
bao nhiêu hộ gia đình?

14
1.2. XÁC ĐỊNH CỠ MẪU CHO BÀI
TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ
* Từ công thức tính độ chính xác của bài toán ước
lượng tỉ lệ, ta có:
2
/ 2 / 2 2
(1 ) (1 )f f f f
Z n Z
n
α αε
ε
− −
= ⇒ =
* Ta có công thức tỉ lệ mẫu:
Mà
⇒Số phần tử có tính chất A trong tổng thể:
⇒Tổng số phần tử trong tổng thể:
f p fε ε− ≤ ≤ +
vôùi M= soá phaàn töû coù tính chaát Atrong toång theå
M
p
N
=
( ) ( )f N M f Nε ε− ≤ ≤ +
M M
N
f fε ε
≤ ≤
+ −

15
TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ
Ví dụ b):
Nếu muốn bài toán ước lượng ở ví dụ trên đạt độ
chính xác 5% với khoảng tin cậy 99% thì cần điều tra
bao nhiêu hộ gia đình?
Giải:
Vậy cần điều tra ít nhất 661 hộ gia đình.
/ 2 0,005
2
/ 2 2
0,05; 2,575; 0,53
(1 )
660,675
Z Z f
f f
n Z
α
α
ε
ε
= = = =
−
⇒ = =

16
Ví dụ
Ví d 6.6. Ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m
trong t ng lô hàng th y có 20 ph ph m.
a) Hãy ư c lư ng t l ph ph m c a lô hàng
v i đ tin c y 99%
(݂ ൌ
ଶ଴
ଵ଴଴
,
௓ഀ
ଶ
ൌ 2,576, ߝ ൌ 0,103ሻ
b) N u mu n sai s ư c lư ng là 0,04 thì đ
tin c y c a ư c lư ng là bao nhiêu?
c) N u mu n đ tin c y 99% và sai s ư c
lư ng là 0,04 thì c n ph i đi u tra bao nhiêu
s n ph m?

17
Ví dụ
b) N u mu n sai s ư c lư ng là 0,04 thì đ
tin c y c a ư c lư ng là bao nhiêu?
ߝ ൌ 0,04, tìm 1 െ ߙ t c ph i tìm
௓ഀ
ଶ
Ta có
2 2
(1 )
(1 )
f f n
Z Z
n f fα αε ε
−
= ⇒ =
−
( ) ( )/2 /2
1
1 2. 68,2
2
Z Zα α
α
ϕ α ϕ
−
= ⇒ − = =

18
Ví dụ
c) N u mu n đ tin c y 99% và sai s ư c
lư ng là 0,04 thì c n ph i đi u tra bao nhiêu
s n ph m?
ߝ ൌ 0,04 và 1 െ ߙ ൌ 0,99 t c ph i tìm n
Ta có
( )
2
2
2
2
(1 )
. (1 ) 663,4
Z
f f
Z n f f
n
α
αε
ε
−
= ⇒ = − =
' 664n⇒ =

19
CM CÔNG THỨC UL TỈ LỆ 1TT
N u có th đi u tra m t m u có kích thư c ݊ khá l n (݊ ൒ 100ሻ thì ta có th
ch n th ng kê ࡳ ൌ ࢁ ൌ
ሺࢌି࢖ሻ ࢔
ࢌሺ૚ିࢌሻ
~ࡺሺ૙, ૚ሻ. Do đó v i đ tin c y ሺ1 െ ߙሻ cho
trư c, có th tìm đư c c p giá tr ߙଵ và ߙଶ sao cho ߙଵ ൅ ߙଶ ൌ ߙ. T đó tìm
đư c các giá tr t i h n chu n tương ng là ‫ݑ‬ଵିఈభ
và ‫ݑ‬ఈమ
th a mãn đi u
ki n ܲ ܷ ൏ ‫ݑ‬ଵିఈభ
ൌ ߙଵ và ܲ ܷ ൐ ‫ݑ‬ఈమ
ൌ ߙଶ.
T đó ܲ ‫ݑ‬ଵିఈభ
൏ ܷ ൏ ‫ݑ‬ఈమ
ൌ 1 െ ߙଵ ൅ ߙଶ ൌ 1 െ ߙ.
Thay giá tr c a ܷ vào và s d ng tính ch t െ‫ݑ‬ఈభ
ൌ ‫ݑ‬ଵିఈభ
sau phép bi n đ i
tương đương ta có:
P(െ‫ݑ‬ఈభ
<
ሺࢌି࢖ሻ ࢔
ࢌሺ૚ିࢌሻ
< ‫ݑ‬ఈమ
ሻ ൌ 1 െ ߙ
⟺ P(െ‫ݑ‬ఈభ
. ݂ሺ1 െ ݂<ሺࢌ െ ࢖ሻ ࢔< ݂ሺ1 െ ݂ሻ‫ݑ‬ఈమ
ሻ ൌ 1 െ ߙ
ܲ ݂ െ
݂ 1 െ ݂
݊
‫ݑ‬ఈమ
൏ ‫݌‬ ൏ ݂ ൅
݂ 1 െ ݂
݊
‫ݑ‬ఈభ
ൌ 1 െ ߙ.
Như v y, v i đ tin c y ሺ1 െ ߙሻ, kho ng tin c y c a ‫݌‬ có d ng
ࢌ െ
ࢌ ૚ െ ࢌ
࢔
࢛ࢻ૛
, ࢌ ൅
ࢌ ૚ െ ࢌ
࢔
࢛ࢻ૚
.

20
1.3. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ 2 TỔNG THỂ
Tỉ lệ phần tử có tính chất A của 2 tổng thể là
P1 , P2. Giả sử ta có 2 mẫu ngẫu nhiên gồm n1 , n2
phần tử (n1 , n2 ≥40) và f1 , f2 là tỉ lệ các phần tử có
tính chất A trong 2 mẫu.
Khi đó với độ tin cậy 1- α cho trước, nếu ta
tìm được a, b sao cho a ≤ P1 - P2 ≤ b thì (a,b) chính
là khoảng ước lượng khác biệt giữa tỉ lệ hai tổng thể
1 và 2
+ Nếu 0 < a < b ⇒ P1 > P2 (0 nằm bên trái (a,b)
+ Nếu a < b < 0 ⇒ P1 < P2 (0 nằm bên phải (a,b)
+ Nếu a < 0 < b ⇒ P1 = P2 (0 nằm giữa (a,b)

21
1.3. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ 2 TỔNG
THỂ
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Kết
luận
1 2 1 2, , ,n n f f
1 1 2 2
/ 2
1 2
(1 ) (1 )f f f f
Z
n n
αε
− −
= +
( )1 2 1 2P P f f ε− ∈ − ±
Với độ tin cậy 1- α, chênh lệch giữa tỉ lệ các
phần tử có tính chất A trong tổng thể 1 và
tổng thể 2 được ước lượng trong khoảng …

22
Ví dụ (bài tập 11)
Doanh nghiệp dự định đưa sản phẩm của
mình vào hai thị trường khác nhau.
Bán thử sản phẩm cho 100 khách hàng
tiềm năng của thị trường thứ nhất thì có 50 người
mua.
Còn với thị trường thứ hai, khi bán thử sản
phẩm cho 50 khách hàng tiềm năng thì có 20
người mua.
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức độ
chênh lệch về thị phần mà doanh nghiệp có thể đạt
được tại hai thị trường đó.

23
Ví dụ thực hành
K t qu đi u tra t m u ng u nhiên 1000 ngư i
m i TP cho th y năm 2015, t l th t nghi p
TP A là 7,5%, TP B là 7,2%. Hãy ư c lư ng
kho ng tin c y 99% cho khác bi t v t l gi a 2
TP A và B
Giải
‫݌‬஺ ൌ 0,075, ‫݌‬஻ ൌ 0,072, ݊஺ ൌ ݊஻ ൌ 10000, ܼఈ/ଶ
ൌ ܼ଴.଴଴ହ ൌ 2,575
Vì vậy െ0,027 ൏ ‫݌‬஺ െ ‫݌‬஻ ൏ 0,033
Kết luận: với độ tin cậy 99% tỉ lệ thất nghiệp ở 2 TP
là bằng nhau.

ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
24
1. ULTB trên 1 tổng thể
2. Bài toán xác định cỡ mẫu
3. ULTB trên 2 tổng thể

25
2.1 ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
TRÊN 1 TỔNG THỂ
Biết
Chưa biết Chưa biết
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Kết
luận
2
σ
2
σ 2
σ
30n ≥ 30n <
2
Z
n
α
σ
ε =
X
( )Xµ ε∈ ±
,X S
2
S
Z
n
αε =
( )Xµ ε∈ ±
,X S
/ 2; 1n
S
t
n
αε −=
( )Xµ ε∈ ±
Với độ tin cậy 1- α, trung bình tổng thể được
ước lượng trong khoảng( );X Xε ε− +

26
Khi n>30 các PP dần về PP chuẩn tắc
(ĐLGHTT)
PHƯƠNG PHÁP 1: So sánh trung bình (Mean) v à trung
vị ࡹࢋ
Mo Mo = Me= Mean Mo MeMe
Skewness <0 Skewness =0 Skewness >0
Lệch phảiLệch trái
Mean Mean
Cân đối
eX M< eX M>
eX M=
uyenht@uel.edu.vn
Skewness: h s b t đ i x ng
, ݉ố‫ ݐ‬ሺ‫ܯ‬଴ ሻ

27
Bài tập 1:
Một tổ chức xã hội vừa thực hiện một nghiên cứu
về chi phí cho việc sử dụng thuốc lá và thu được
độ lệch chuẩn bằng 60 ngàn đồng. Số liệu điều tra
trên mẫu 81 người hút thuốc lá thường xuyên cho
thấy mức chi trung bình 1 tuần là 150 ngàn đồng.
Tìm khoảng tin cậy 95% cho mức chi tiêu trung
bình hàng tuần của những người hút thuốc lá
thường xuyên?
Nhận xét: bài toán có dạng 1

28
B1: Ta có trung bình (ngàn đồng)
độ lệch chuẩn (ngàn đồng)
B2: α=5%
B3:
Với độ tin cậy 95%, mức chi tiêu trung bình hàng
tuần của những người hút thuốc lá thường xuyên
được ước lượng trong khoảng 137 ngàn đồng đến
164 ngàn đồng
150X =
60σ =
2
60
1,96. 13,067 (ngaøn ñoàng)
81
Z
n
α
σ
ε = = =
/ 2 0,025 1,96Z Zα⇒ = =
( ) ( )
( )
150 13,067 150 13,067
136,933 163,067
X Xε µ ε µ
µ
− < < + ⇔ − < < +
⇔ < <

29
Bài tập 2:
( ngàn đồng)
Số hộ
<60 10
60-80 15
80-100 22
100-120 27
120-140 12
140-160 9
>160 5
Ước lượng tiền
cước trung bình của
các hộ gia đình với
độ tin cậy 95% ?
Nhận xét: bài toán
có dạng 2
50
70
90
110
130
150
170

30
Hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi:
FX 500MS, 570MS
Bước 1: Xóa bộ nhớ thống kê: Shift + Mode + 3+ = + AC
Bước 2: Vào SD : Mode + 2 ( hoặc Mode +Mode +1 )
Bước 3: Nhập số liệu: Xi + Shift + ; + ni + M+
Bước 4: Gọi kết quả: Shift + 2 + 1 + =
Shift + 2 + 3 + = S
FX570ES
Bước 1: Xóa bộ nhớ thống kê: Shift + 9 + 3+ = + AC
Bước 2: Vào SD : Shift + Mode + Mũi tên xuống + 4+ 1
Bước 3: Nhập số liệu: Mode +3 +1 , nhập xong nhấn AC
Bước 4: Gọi kết quả: Shift + 1 + 5 + 2 + =
Shift + 1 + 5 + 4 + = S
X
X

31
B1: Ta có trung bình (ngàn đồng)
độ lệch chuẩn (ngàn đồng)
B2: α=5%
B3:
Với độ tin cậy 95%, tiền cước điện thoại cố định
trung bình hàng tháng của các hộ gia đình khoảng 96
đến 109 ngàn đồng
102,6X =
31,8652S =
2
31,8652
1,96. 6,246
100
S
Z
n
αε = = =
/ 2 0,025 1,96Z Zα⇒ = =
( ) ( )
( )
102,6 6,246 102,6 6,246
96,354 108,846
X Xε µ ε µ
µ
− < < + ⇔ − < < +
⇔ < <

32
Bài tập 3:
Một hãng hàng không nghiên cứu thời gian trung
bình làm thủ tục nhập cảnh cho 1 hành khách. Một
mẫu 16 khách hàng được chọn ngẫu nhiên, kết quả
thời gian hoàn thành thủ tục nhập cảnh (phút) như
sau:
14 ; 15; 14; 15; 12; 18; 12; 20;
22 ; 19; 18; 19; 20; 19; 18; 18
Với độ tin cậy 95% , ước lượng khoảng thời gian
trung bình để hoàn thành thủ tục nhập cảnh cho
một hành khách (giả thiết thời gian làm thủ tục
nhập cảnh có phân phối chuẩn)
Nhận xét: bài toán có dạng 3

33
TOÁN ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
2
/ 2
/ 2
Z
Z n
n
α
α
σσ
ε
ε
 
= ⇒ =  
 
Từ công thức tính độ chính xác cho bài toán
ước lượng trung bình ta có:
2
/ 2
/ 2
Z SS
Z n
n
α
αε
ε
 
= ⇒ =  
 
Đã bi t phương sai
Chưa bi t phương sai

34
Bài tập 4: (xét BT 1)
Một tổ chức xã hội vừa thực hiện một nghiên cứu về chi phí
cho việc sử dụng thuốc lá và thu được độ lệch chuẩn bằng 60
ngàn đồng. Số liệu điều tra trên mẫu 81 người hút thuốc lá
thường xuyên cho thấy mức chi trung bình 1 tuần là 150 ngàn
đồng.
Tìm khoảng tin cậy 95% cho mức chi tiêu trung bình hàng tuần
của những người hút thuốc lá thường xuyên?
Trong bài tập 1, nếu muốn ước lượng chi tiêu trung
bình cho thuốc lá đạt độ chính xác là 12 ngàn đồng và
độ tin cậy 99% thì cần điều tra bao nhiêu người?

35
Trong bài tập 1, nếu muốn ước lượng chi tiêu trung
bình cho thuốc lá đạt độ chính xác là 12 ngàn đồng và
độ tin cậy 99% thì cần điều tra bao nhiêu người?
Giải:
Vậy ta cần điều tra ít nhất 166 người
2
2,575.60
165,76
12
n
 
= = 
 
0,005
2
12; 2,575; 60Z Zαε σ= = = =
2
/ 2
/ 2
Z
Z n
n
α
α
σσ
ε
ε
 
= ⇒ =  
 

36
Trở lại Bài tập 2:
( ngàn đồng)
Số hộ
<60 10
60-80 15
80-100 22
100-120 27
120-140 12
140-160 9
>160 5
a) Ước lượng tiền
cước trung bình của
các hộ gia đình với
độ tin cậy 95% ?
b) Nếu muốn ước lượng
tiền cước trung bình đạt
độ chính xác là 5 ngàn
đồng và độ tin cậy 99%
thì cần điều tra thêm
bao nhiêu người nữa?

37
Trong bài tập 2, nếu muốn ước lượng tiền cước trung
bình đạt độ chính xác là 5 ngàn đồng và độ tin cậy
99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu người nữa?
Giải:
Vậy ta cần điều tra thêm 170 người.
2
/ 2
2
Z SS
Z n
n
α
αε
ε
 
= ⇒ =  
 
2
2,575.31,8652
269,31
5
n
 
= = 
 
0,005
2
5; 2,575; 31,8652Z Z Sαε = = = =

38
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Phỏng vấn 5 gia đình có 3 người về chi phí hành tháng
cho nhu yếu phẩm với giả thiết phân phối chuẩn thu
được các số liệu sau: 150 ngàn đồng, 180 ngàn đồng,
200 ngàn, 250 ngàn và 300 ngàn. Vậy phải phỏng vấn
bao nhiêu gia đình cùng loại để với độ tin cậy 95% sai
số cho việc ước lượng chi phí trung bình hàng tháng
cho nhu yếu phẩm không vượt quá 30 ngàn đồng.

39
2.3. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
Gọi µ1,µ2 là trung bình của 2 tổng thể. Khi đó nếu
ta tìm được a, b sao cho a ≤ µ1 - µ2 ≤ b thì (a,b)
chính là khoảng ước lượng khác biệt giữa trung
bình hai tổng thể 1 và 2
Nếu 0 < a < b ⇒ µ1 > µ2
Nếu a < b < 0 ⇒ µ1 < µ2
Nếu a < 0 < b ⇒ µ1 = µ2
Để ước lượng sự khác biệt giữa trung bình 2 tổng
thể thì điều quan trọng nhất là phải phân biệt được
2 mẫu đại diện là độc lập hay phụ thuộc.

40
• Là mẫu được chọn theo cách một quan sát ở
mẫu 1 tương xứng với 1 quan sát ở mẫu 2.
Mục đích : kiểm tra sự tác động của các nhân
tố bên ngoài
Hai mẫu phụ thuộc:
• Doanh số bán hàng của A trước và sau khi thực hiện khuyến mãi; doanh
số bán hàng của A và B trong cùng 1 tháng (mẫu phụ thuộc theo nghĩa
từng cặp doanh số trước và sau khi KM được thu thập ở cùng 1 cửa hàng
• Doanh số bán của 2 mặt hàng X và Y ở 10 cửa hàng (mẫu phụ thuộc
theo nghĩa cả 2 doanh số của 2 mặt hàng X và Yđều được thu thập cùng
10 cửa hàng như nhau)
• Tiền lương sau khi ra trường của Nam sinh viên và Nữ sinh viên. (mẫu
phối hợp từng cặp theo nghĩa cả Nam , Nữ được xem là có năng lục và
kinh nghiệm như nhau).
Ví dụ:

41
• Là hai mẫu được chọn từ 2 tổng thể độc lập,
sao cho một quan sát được chọn vào mẫu 1
không ảnh hưởng xác suất chọn được một
quan sát khác vào mẫu 2
Hai mẫu độc lập:
• Nam và Nữ, ai dùng tiền điện thoại nhiều
hơn.
• Năng suất cây trồng khi dùng 2 loại phân
bón.
Ví dụ:

42
Ước lượng sự khác biệt giữa trung bình 2
tổng thể khi 2 mẫu đại diện là phụ thuộc
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Kết
luận
( )
2
1 1
1 2 ; ;
1
n n
i i
i i
i i i d
d d d
d X X d S
n n
= =
−
= − = =
−
∑ ∑
( )1; / 2
d
n
S
t
n
αε −
=
( )1 2 dµ µ ε− ∈ ±

43
Bài tập 6:
Công ty cấp nước áp dụng các
biện pháp tiết kiệm nước.
Lượng nước sử dụng hàng
tháng ( m3 )ở 10 hộ gia đình
trước và sau khi áp dụng biện
pháp tiết kiệm nước:
Giả sử lượng nước tiêu thụ
chênh lệch có phân phối
chuẩn, hãy ước lượng sự khác
biệt giữa lượng nước tiêu thụ
trung bình trước và sau khi áp
dụng biện pháp tiết kiệm
Hộ gia
đình
Trước Sau
1 7 7
2 20 16
3 40 32
4 15 16
5 33 30
6 4 5
7 25 22
8 16 12
9 14 10
10 22 18

44
Bước 1: Hộ gia
đình
Trước
( X1i )
Sau
( X2i )
1 7 7 0
2 20 16 4
3 40 32 8
4 15 16 -1
5 33 30 3
6 4 5 -1
7 25 22 3
8 16 12 4
9 14 10 4
10 22 18 4
1 2i i id X X= −

45
Bước 1:
( )
31
2
31
28
2,8 ( )
10
2,7809 ( )
1
n
i
i
n
i
i
d
d
d m
n
d d
S m
n
=
=
= = =
−
= =
−
∑
∑
( )
( )
9;0,0251; / 2
1; / 2
2,262; 2,7809; 10
2,7809
2,262.
10
dn
d
n
t t S n
S
t
n
α
αε
−
−
= = = =
= =
Bước 2:

46
Bước 3:
Gọi µ1,µ2 là lượng nước tiêu thụ trung bình trước
và sau khi áp dụng biện pháp tiết kiệm nước.
Vậy với độ tin cậy 95%, khoảng ước lượng chênh
lệch giữa lượng nước trước và sau khi áp dụng biện
pháp tiết kiệm là từ 0,8108 m3 đến 4,7892 m3. Vậy
có thể nói biện pháp tiết kiệm nước đã làm giảm
lượng nước tiêu thụ.
1 2
3
1 20,8108 4,7892 ( )
d d
m
ε µ µ ε
µ µ
− ≤ − ≤ +
⇔ ≤ − ≤

Biết
n1 và n2 ≥ 30
Chưa biết
Bước 1
Bước 2
Bước 3
2 2
1 2,σ σ
2 2
1 2
1 22
Z
n n
α
σ σ
ε = +
1 2,X X
Ước lượng sự khác biệt giữa trung bình 2
tổng thể khi 2 mẫu đại diện là độc lập
2 2
1 2,σ σ
1 2 1 2, , ,X X S S
2 2
1 2
1 22
S S
Z
n n
αε = +
( )1 2 1 2X Xµ µ ε− ∈ − ±

48
3. ƯỚC LƯỢNG TRÊN 2 MẪUn1 hoặc n2 < 30 Chưa biết
Bước 1
Bước 2
Bước 3
2 2
1 2,σ σ
1 2 1 2, , ,X X S S
αε = +
2 2
1 2
1 2
( )
2
.df S S
t
n n
( )1 2 1 2X Xµ µ ε− ∈ − ±
2 2
1 2σ σ= 2 2
1 2σ σ≠
1 2 1 2, , ,X X S S
αε = +
1 2
( )
2
1 1
.df
pt S
n n
( ) ( )2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2
p
n S n S
S
n n
− + −
=
+ −
1 2 2df n n= + −
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 21 1
S S
n n
df
S S
n n
n n
 
+ 
 =
   
   
   +
− −

49
Bài tập 7:
Từ một chuồng nuôi lợn, chọn cân ngẫu nhiên 4 con
lợn thu được trọng lượng tương ứng là 64, 66, 89 và
77 Kg.
Từ một chuồng khác lấy ra 3 con đem cân thu được
trọng lượng là 56, 71 và 73 Kg.
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự khác biệt về
trọng lượng trung bình của hai chuồng lợn đó, giả
thiết trọng lượng của lợn phân phối chuẩn, cả hai
chuồng cùng nuôi một giống lợn và được chăm sóc
như nhau.

50
Phân tích:
Chưa biết phương sai; n1 , n2 < 30 dạng 3
Cả hai chuồng cùng nuôi một giống lợn và được
chăm sóc như nhau nên có thể cho là phương sai của
chúng bằng nhau.
Giải
Bước 1: 1
2
2
1
2
2
74
66,67
132,67
86,33
X
X
S
S
=
=
=
=

51
Bước 2: ( ) ( )2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2
3*132,67 2*86,34
10,687
4 3 2
p
n S n S
S
n n
− + −
=
+ −
+
= =
+ −
1 2/ 2; / 2; 2 0,025;5 2,57df n nt t tα α + −= = =
/ 2;
1 2
1 1
. 20,98df pt S
n n
αε = + =
Bước 3:
1 2 1 2 1 2
1 213,64 28,3
X X X Xε µ µ ε
µ µ
− − ≤ − ≤ − +
⇔− ≤ − ≤

52
Với khoảng tin cậy 95%, sự khác biệt giữa trọng
lượng lợn trung bình của 2 chuồng lợn là từ -13,64kg
đến 28,3 kg.
Ta thấy khoảng ước lượng có chứa giá trị 0 nên ta có
thể kết luận rằng không sự khác biệt về trọng lượng
trung bình của 2 chuồng nuôi lợn

53
VÍ DỤ THỰC HÀNH
Bài tập 8:
Một công ty đang xem xét kế hoạch giảm chi phí sản
xuất thông qua việc xây dựng 1 dây chuyền sản suất
mới . Sau khi xây dựng xong, người ta thấy 40 sản
phẩm được sản xuất với thời gian trung bình 46,5
phút/sản phẩm, độ lệch chuẩn là 8 phút. Theo số liệu
cũ, dây chuyền sản xuất cũ sản xuất 38 sản phẩm với
thời gian trung bình là 51,2 phút/sản phẩm, độ lệch
chuẩn 9.5 phút. Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95%
cho sự khác biệt về thời gian sản xuất giữa 2 dây
chuyền cũ và mới?

54
3.1. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI 1
TỔNG THỂ
Giả sử ĐLNN X có phân phối chuẩn, ta cần ước
lượng phương sai σ2 với độ tin cậy 1- α cho trước.
Ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Đã biết trung bình tổng thể µ
TH2: Chưa biết trung bình tổng thể µ

55
3.1. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI
TH 1
Đã
biết
ߤ
( )
*2 *2
2
2 ( ) 2
2*
( )
/ 2 /
2
1 2
1
1
vôùi
n
i
n
i
n
iS x n
n
nS nS
α α
σ
χ χ
µ
=
−
=
≤
−
≤
∑
Trong đó là phân phối chi
bình phương với bậc tự do n, tra ở bảng tra 3
2( ) 2( )
/ 2 1 / 2;n n
α αχ χ −

56
TH 2
chưa
biết
ߤ
Trong đó là phân phối chi
bình phương với bậc tự do n-1, tra ở bảng tra 3
2( 1) 2( 1)
/2 1 /2;n n
α αχ χ− −
−
( ) ( )
( )
2 2
2
2( 1) 2( 1)
/2 1 /
2
2
2
1
1
vôùi
1
1 1
n
n
i i
n
i
n S n
x n
n
S
S X
α α
σ
χ χ− −
−
=
− −
≤ ≤
= −
−
∑

57
Bài tập 12 :
Mức hao phí nguyên liệu cho một sản phẩm là biến
ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 20
gam. Để ước lượng mức độ phân tán của mức hao
phí này người ta cân thử 25 sản phẩm thu được bảng
kết quả sau
Với độ tin cậy 1- α = 90%, ước lượng phương sai
σ2 ?
Hao phí nguyên liệu
(gam)
19.5 20.0 20.5
Số sản phẩm tương ứng 5 18 2

58
Giải:
Ta có µ=20 ⇒TH1⇒
*2 *2
2
2 ( ) 2 ( )
/ 2 1 / 2
n n
nS nS
α α
σ
χ χ −
≤ ≤
( )
( ) ( ) ( )
2*2
1
2 2 2
1
1
19,5 20 .5 20 20 .18 20,5 20 .2
25
0,07
n
i i
i
S x n
n
µ
=
= −
 = − + − + −
 
=
∑
2( ) 2(25)
/ 2 0,05
2( ) 2(25)
1 / 2 0,95
37,6525
14,611396
n
n
α
α
χ χ
χ χ−
= =
= =

59
Giải:
Vậy với độ tin cậy 90%, ước lượng độ phân tán của
mức hao phí nhiên liệu là
2
2
25.0,07 25.0,07
37,6525 14,611396
0,046478 0,11977
σ
σ
≤ ≤
⇔ ≤ ≤

60
Bài tập 12 : Mức hao phí nguyên liệu cho một sản phẩm là
biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 20 gam.
Để ước lượng mức độ phân tán của mức hao phí này người ta
cân thử 25 sản phẩm thu được bảng kết quả sau
a)Với độ tin cậy 1- α = 90%, ước lượng phương sai σ2 ?
b) Trong trường hợp không biết trước trung bình µ,
hãy ước lượng phương sai σ2 với độ tin cậy
1- α = 90%
Hao phí nguyên liệu (gam) 19.5 20.0 20.5
Số sản phẩm tương ứng 5 18 2

61
Giải:
2 2
0, 263S =
2( 1) 2(24)
/2 0,05
2( ) 2(24)
1 /2 0,95
36,4150
13,848422
n
n
α
α
χ χ
χ χ
−
−
= =
= =
( ) ( )2 2
225 1 0,263 25 1 0,263
36,4150 13,848422
σ
− −
≤ ≤

62
Bài tập 14:
Khảo sát 100 người làm việc ở 1 công ty, ta có kết
quả sau:
Hãy ước lượng phương sai của thu nhập với độ tin
cậy 95%
Thu nhập
(triệu đồng/tháng)
Số
người
Thu nhập
(triệu đồng/tháng)
Số
người
1-2 2 5-6 17
2-3 5 6-7 16
3-4 8 7-8 24
4-5 12 8-10 16

63
3.1. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI 2 TỔNG THỂ
( ƯỚC LƯỢNG TỈ SỐ 2 PHƯƠNG SAI )
Giả sử ta có 2 tổng thể
Tổng thể 1: ĐLNN X1 có phân phối chuẩn, phương
sai σ1
2 chưa biết
Tổng thể 2: ĐLNN X2 có phân phối chuẩn, phương
sai σ2
2 chưa biết
Ta cần tìm khoảng ước lượng của tỉ số
2
1
2
2
σ
σ

64
( ) ( )2 1 2 1
2 2 2
1; 1 1; 11 1 1
1 / 2 / 22 2 2
2 2 2
n n n nS S
F F
S S
α α
σ
σ
− − − −
− ≤ ≤
Trong đó
là phân phối Fisher , tra ở bảng tra 4.
Chú ý: trong bảng tra, ta chỉ có giá trị
nên ta áp dụng công thức để tính
( ) ( )2 1 2 11; 1 1; 1
1 / 2 / 2;
n n n n
F Fα α
− − − −
−
( )2 11; 1
/ 2
n n
Fα
− −
( )
( )
2 1
1 2
1; 1
1 / 2 1; 1
/ 2
1n n
n n
F
F
α
α
− −
− − −
=

65
Bài tập 15:
Giá cổ phiếu của hai công ty A và B là các biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn. Theo dõi giá cổ phiếu của
hai công ty đó trong 10 ngày tìm được phương sai
mẫu tương ứng là 0.51 và 0.2; với độ tin cậy 90%
hãy ước lượng tỷ số của hai phương sai giá cổ phiếu
của hai công ty đó.
Giải:
Ta có: n1=10, s1
2=0,51 ; n2=10, s2
2=0,2
( ) ( )9;9 9;9
0,05 0,95
1
3,18 0,3145
3,18
F F= ⇒ = =

66
ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI TỈ LỆ
Giả sử từ tổng thể có tỉ lệ ‫݌‬ଵ, ‫݌‬ଶ ta rút ra mẫu NN
độc lập có kích thước tương ứng ݊ଵ, ݊ଶ.
Nếu ݊ଵ ൐ 30 ‫ݒ‬à ݊ଶ ൐ 30 ‫݄ݐ‬ì thống kê hiệu ݂ଵ െ ݂ଶ
xấp xỉ chuẩn (theo ĐLGHTT) thõa mãn:
+ ‫ܧ‬ ݂ଵ െ ݂ଶ ൌ ‫݌‬ଵ െ ‫݌‬ଶ.
+ ܸ ݂ଵ െ ݂ଶ ൌ
௣భሺଵି௣భሻ
௡భ
+
௣మሺଵି௣మሻ
௡మ
Khi đó thống kê
ܷ ൌ
݂ଵ െ ݂ଶ െ ሺ‫݌‬ଵ െ ‫݌‬ଶሻ
‫݌‬ଵ 1 െ ‫݌‬ଵ
݊ଵ
൅
‫݌‬ଶሺ1 െ ‫݌‬ଶሻ
݊ଶ
~ܰሺ0,1ሻ

Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng

Ähnlich wie Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng (20)

Mehr von Thắng Nguyễn

Mehr von Thắng Nguyễn (9)

Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng