Apresentação SIMPLIFICADA sobre Árvores B. Serviu de contextualização antes da nossa equipe lançar dois exercícios a serem desenvolvidos pela turma. Parte integrante de um dos trabalhos em matéria de estrutura de dados no Mestrado em Ciência da Computação (UFBA). NOTA IMPORTANTE: O início da apresentação teve como base o livro "Projeto de Algoritmos" (Nivio Ziviani, 5 edição), mas o trecho sobre remoções teve como base o livro "Algoritmos" (Cormen et al.). Por isto, há uma mudança de abordagem sobre os parâmetros que definem o grau da árvore, no entanto, os algoritmos são os mesmos.

1. Árvores B
Somos nós:
Fernando Cerqueira, Jarbas Menezes Jr,
Jailson Brito, Rafael Ávila, Thiago Colares e
Vagner Amaral.
Árvore B

2. Origem da Árvore B
• Criada por Bayer e McCreight, 1972;
• Desenvolvida no Boeing Scientific Research Labs;
• Origem do “B” é desconhecida. Hipóteses:
– Boeing Scientific Research Labs;
– Bayer-trees
Árvore B

3. Caracterização da Árvore B
• Árvores de pesquisa balanceadas;
• Projetadas para acessar dados em memória
secundária;
– Como discos ou outros dispositivos de
armezenamento secundário de acesso direto.
• Muito utilizadas em SGBDs
– relacionais ou não
Árvore B

4. Caracterização da Árvore B
• Objetivo: minimizar o número de acessos ao
disco
• Como? Maximizando o número de filhos de
um nó, que pode chegar aos milhares.
– Número de filhos é determinada pela ordem da árvore
Árvore B

5. Exemplo de Aplicação:
Acessar informações
no disco rídigo.
Árvore B

6. Discos
• Tecnologia barata;
• Alta capacidade
armazenamento;
• Informações
armazenadas em
trilhas;
• Trilhas são divididas em
em setores;
• Aplicações sempre
acessam o disco em
unidades de blocos: (A) Trilha
• Exemplo: 1kb a 8kb; (B) Setor geométrico
• Acesso ao disco é (C) Setor de trilha
muito custoso. (D) Blocos de alocação
Árvore B

7. Problemas
• Muito mais lentos do
que a memória
principal;
• Acesso fica custoso
• Quantidade de dados
manipulados não cabe
na memória principal;
(A) Trilha
(B) Setor geométrico
(C) Setor de trilha
(D) Blocos de alocação
Árvore B

8. Solução com Árvore B
• Uma árvore-B com grau 1001 e altura 2;
• Pode armazenar mais de um bilhão de chaves;
• O nó raiz permanentemente na memória principal;
• No máximo dois acessos são necessários para ler qualquer chave!
© 2001 Cormen et al.
Árvore B

9. Solução com Árvore B
• Algoritmos só precisam um número constante
de bloco na memória por vez;
• O tamanho da memória principal não afeta o
tamanho da Árvore-B que pode ser tratada;
• O nó de uma Árvore-B é normalmente tão
grande quando uma página de disco inteira;
– Para evitar reads e writes do disco, que
praticamente determinam o tempo de execução
Árvore B

10. Definição
• Em uma Árvore B de ordem m temos que:
– Cada página contém:
• No mínimo m registros e m+1 descendentes
• No máximo 2m registros e 2m+1 descendentes
– Exceto a página raiz:
• No mínimo 1 registro e 2 descendentes
Árvore B

11. Exemplo
• Árvore B de ordem 2
• Cada página deve conter:
• No mínimo 2 registros e 2+1 descendentes
• No máximo 2 x 2 registros e 2 x 2 +1 descendentes
– Exceto a página raiz:
• No mínimo 1 registro e 2 descendentes
Árvore B

12. Operações
Árvore B

13. Inicialização
• Um nó vazio é alocado no disco;
• O nó é gravado no disco – não é executada
nenhuma operação de leitura
Árvore B

14. Busca
• Semelhante ao da árvore de pesquisa binária;
– Em cada nó interno
• Se x = k[i], retorna
• Se k[i-1] < x < k[i], procurar no filho f[i]
– Folha
• Se encontrou, retorna
– Não encontrou? Retorna null
Árvore B de Ordem 2
Árvore B

15. Inserção
• Encontrar a página ideal para inserir o registro
• Se número de registro da página < 2m
– Processo de inserção limitado àquela página
Árvore B de Ordem 2
Árvore B

16. Inserção
• Se número de registro da página ≥ 2m
– Após inserção, página é dividida
– Registro do meio sobe para o nó pai
– Demais registros são distribuídas igualmente entre
os nós resultantes da divisão
Árvore B de Ordem 2
Árvore B

17. Inserção
• Se número de registro da página escolhida e
do pai foram ambos ≥ 2m
Árvore B

18. Remoção
• Registro pode ser removido de qualquer nó;
• A remoção deve assegurar que nenhum nó
ficará com menos que m – 1 registros
• O algoritimo desce a árvore B uma única vez
(sem subir de volta)
– Exceção: quando não envolver leitura e escrita em
disco
• A remoção de um registro interno (não-folha)
é recursiva.
Árvore B

19. Remoção: Exemplo de Casos
• Ordem m = 3 (“grau mínimo”)
• Máximo de registros por nó: 5 (2m – 1)
• Mínimo de registros por nó: 2 (m – 1)
Cormen at al.
http://homepages.ius.edu/rwisman/C455/html/notes/Chapter18/BT-Ops.htm
Árvore B

20. Remoção: Caso 1
• A chave está em um nó folha que contém pelo menos m registros.
• Caso mais simples, eliminação de uma folha
Árvore B

21. Remoção: Caso 2a / 2b
• Chave está em nó interno. Nó do predecessor tem pelo menos m registros.
• O predecessor L de M é movido para cima, no lugar de M.
Árvore B

22. Remoção: Caso 2c
• Chave está em nó interno e filhos tem apenas m-1 registros.
• G é empurrado para baixo, forma-se D E G J K
• Então G é eliminado recursivamente da folha;
Árvore B

23. Remoção: Caso 3b
• Chave que contém D é folha;
• Mas a recursão não pode descer até D, pois o nó C L só tem dois registros;
– Mínimo
• Logo, o nó C Lprecisa ser reorganizado.
Árvore B

24. Remoção: Caso 3b
• Então P é empurrado para baixo, e intercalado com C L e T X;
• Forma-se C L P T X. D é eliminado (como no Caso 1);
• Em seguida, a raiz é eliminada e a árvore encolhe uma unidade em altura.
Árvore B

25. Remoção: Caso 3a
• O nó que contém o registro só tem m – 1 registros, mas possui um irmão
com pelo menos m registros:
• C é movido para preencher a posição de B.
• E é movido para preencher a posição de C.
Árvore B

26. Exercício
Árvore B

27. Exercícios
• Escolher um campo do registro Music e
implementar um outro índice, mantendo o
índice atual;
• Deve ser possível fazer Pesquisa e Remoção
usando qualquer um dos índices.
• Extra: Escolher o novo índice em tempo de
execução
Árvore B