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1° Grado Matemáticas

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A continuacion se presenta el primer bloque de matemáticas de primer año.

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1° Grado Matemáticas

  1. 1. •Que los estudiantes utilicen el cálculo mental, la estimaciónde resultados o las operaciones escritas con númerosenteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemasaditivos y multiplicativos.•Que modelen y resuelvan problemas que impliquen el usode ecuaciones hasta de segundo grado, de funcioneslineales o de expresiones generales que definen patrones.• Justifiquen las propiedades derectas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares eirregulares, círculo, prismas, pirámides, cono, cilindro y
  2. 2. 1.1. Números y sistemas de numeración.1.2. Problemas aditivos.1.3. Problemas multiplicativos.1.4. Patrones y ecuaciones. 2.1Figuras y cuerpos. 2.2. Medida.3.1. Proporcionalidad y funciones.3.2. Nociones de probabilidad.3.3. Análisis y representación de datos.
  3. 3. Este eje temático alude a los fines más relevantes delestudio de la aritmética y del álgebra: el cual se encargade encontrar el sentido del lenguaje matemático, ya seaoral o escrito; por otra parte tiende un puente entre laaritmética y el álgebra, constatando que en la primariaexisten contenidos de álgebra mismos que seprofundizan y consolidan en la secundaria.
  4. 4.  Números Naturales. El Sistema De Numeración Decimal. El Sistema De Numeración Egipcio. El Sistema De Numeración Babilonio. El Sistema De Numeración Maya. El Sistema De Numeración Romano. El Sistema De Numeración Binario.
  5. 5. De esta manera los números naturales son: Naturales: N = {0,1,2,3,…} Enteros Positivos: N+ = {1,2,3,…} CLASIFICACIÓNLos sistemas de numeración pueden clasificarse en dosgrandes grupos: posicionales y no-posicionales.En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valordel símbolo utilizado, que no depende de la posición(columna) que ocupan en el número.En los sistemas de numeración ponderados o posicionalesel valor de un dígito depende tanto del símboloutilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en elnúmero.
  6. 6. SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALESUn sistema de numeración no posicional es cuando tieneel mismo valor, sin importar qué posición o lugar ocupe. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALESEl número de símbolos permitidos en un sistema denumeración posicional se conoce como base del sistemade numeración. Si un sistema de numeración posicionaltiene base b significa que disponemos de b símbolosdiferentes para escribir los números, y que b unidadesforman una unidad de orden superior.
  7. 7. El sistema decimal es un sistema de numeración en el que lascantidades se representan utilizando como base el númerodiez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno (1); dos(2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) ynueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina númerosárabes.Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo elmundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas querequieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertastécnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizansistemas de numeración adaptados al método de trabajo como elbinario o el hexadecimal.También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso deotros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal yel vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos pordocenas, o cuando se emplean palabras especiales para designarciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 seexpresa como “cuatro veintenas”).
  8. 8. Utiliza como base el 10, que corresponde al numero desimbolos que comprende para la representacion decantidades; estos simbolos (tambien denomidadosdigitos).Según los antropólogos, el origen del sistema decimalestá en los diez dedos que tenemos los humanos en lasmanos, los cuales siempre nos han servido de base paracontar.El sistema decimal es un sistema de numeraciónposicional, por lo que el valor del dígito depende de suposición dentro del número.
  9. 9. Desde el tercer milenio A., los egipcios usaron unsistema deescribir los numeros en base de la figurapara representar los distintos ordenes de unidades.Se usaban tantos de cada uno como fueranecesario y se podian escribir indistintivamente deizquierda a derecha, al reves o de arribaabajo, cambiando la orientacion de las figurassegún el caso.
  10. 10. Al ser indiferente el orden se escribian a veces segúncriterios esteticos, y solian ir acompañados de losgeroglificos correspondientes al tipo de objeto(animales, prisioneros, vasijas, etc) cuyo numeroindicaban. En este sistema para escribir numeros, losantiguos egipcios utilizaban 6 signos diferentes.El sistema de numeracion egipcio es aditivo; esdecir, cada numero se calculaba sumando el valor de lossimbolos.
  11. 11. Entre las muchas civilizaciones que florecieron enla antigua mesopotamia de numeracion. Para launidad se usaba la marca vertical que se hacia conel punzon en forma de cuña.
  12. 12. Se ponian tantos como fuera precisohasta llegar a 10, que tenia su propiosigno. De este se usaban los que fueranecesario completando con las unidadeshasta llegar a 60.A partir de ahí se usaba un sistemaposicional en el que los grupos de signosiban representando sucesivamente elnumero de unidades, 60, 60 x60, 60x60x60 y asi sucesivamente comoen los ejemplos que se acompañan.
  13. 13. Es el sistema de numeracion queutiliza internamente el hardware delas computadoras actuales. Sebasa en la representacion decantidades utilizando los digitos 1 y0. por lo tanto, es base 2 (numerosde digitos del sistema).
  14. 14. Los mayas idearon un sistema de base20 con el 5 como base auxiliar. Launidad se representaba por un punto.Dos, tres y cuatro puntos servian para2,3 y 4. el 5 era una raya horizontal, a laque se añadian los puntos necesariospara representar 6, 7, 8 y 9. para el 10se usaban dos rayas, y de la mismaforma se continuaba hasta el 20, concuatro rayas.
  15. 15. Es por tanto un sistema posicional quese escribe a arriba abajo, empezandopor el orden de magnitud mayor.Al tener cada cifra un valor relativosegún el lugar que ocupa, la presenciade un signo para el cero, con elqueindicar la ausencia de unidades dealgun orden, se hace imprescindible ylos mayas lo usaron, aunque noparece hablerles interesado elconcepto de cantidad nula.
  16. 16. Este sistema de numeración se compone de sieteletras del alfabeto romano que son I, V, X, L, C, D yM, las cuales también son llamadas símbolos. Cadasímbolo tiene un valor específico. Los símbolos se clasifican en:Primarios: I, X, C, M, los cuales se pueden repetirhasta tres veces.Secundarios: V, L, D, los cuales no pueden repetirse.Los números se forman en base a los principios deadición, sustracción y multiplicación.
  17. 17. REGLAS.1. Si a la derecha de un símbolo está otro de menor valor, se suman los dos.Ejemplo: VI = 6, ya que 5 + 1 = 6 XV = 15, ya que 10 + 5 = 15 MCVI = 1 106, ya que 1 000 + 100 + 5 + 1 = 1 1062. Si el símbolo I está a la izquierda de otro demayor valor, se le resta al de mayor valor.Ejemplo: Existen dos casos posibles. IV = 4, ya que 5 - 1 = 4 IX = 9, ya que 10 - 1 = 9
  18. 18. 3.-La característica anterior también la tienen los símbolos X yC. Ejemplo: XL = 40, ya que 50 - 10 = 40 XC = 90, ya que 100 - 10 = 90 CD = 400, ya que 500 - 100 = 400 CM = 900, ya que 1 000 - 100 = 9004. Una raya arriba de un número romano o parte deél, multiplica su valor por mil. Ejemplo: X= 10 * 1000 = 10,000 IV= 4 * 1000 = 4000 II= 2 * 1000 = 2000
  19. 19. “PROBLEMAS ADITIVOS” FRACCIONES Las fracciones se dividen en:Fraccion Decimal: Son aquellas fracciones que tienen pordenominador una potencia de 10. Ejemplo: 3/10 = 0.3 7/100 = 0.07Fraccion Comun: Son aquellas que representan una o máspartes iguales del entero. Ejemplo: ½, ⅖, ¾, ⅞
  20. 20. Propias ⅖ El numerador es menor que el denominador.Impropias El numerador es 5/2 mayor que el denominador.Mixto 2½ Entero y Fracción.Enteras 5/5 Porque en realidad es el entero.
  21. 21. Consigna 1:Organizados en parejas, utilicen los puntos dados en lasiguiente recta numérica para ubicar las fracciones ¼ y2½. 1 1 1 2
  22. 22. Los números decimales pueden escribirse de dosmaneras: como fracción o bien en notación decimal. Ejemplo:Los números decimales puedensumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.
  23. 23. Consigna 1: Organizados en parejas, utilicen lospuntos dados en la siguiente recta numérica paraubicar los números decimales 0.6 y 1.30 1 1.5Consigna 2: Organizados en parejas, ubiquen encada recta numérica A y B los números decimales1.25 y 2.43 considerando los puntos dados en cadauna. Pueden hacer uso de sus instrumentos demedición. Recta A 1 3 Recta B 1.1005 2.50
  24. 24. Un número fraccionario es el que sirve para contarpartes o fragmentos iguales en que se ha dividido launidad.El numerador indica las partes que contamos.El denominador indica el nombre de las partes igualesen que se divide la unidad.Los Números Fraccionarios , son el cociente indicadoa/b de dos números enteros que se llamannumerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.
  25. 25. Los números fraccionarios cuyo numerador es menorque el denominador expresan cantidades menores quela unidad.Los que tienen el numerador mayor que el denominadorexpresan cantidades mayores que la unidad.Cuando el numerador y el denominador son iguales, elnumero fraccionario representa la unidad.
  26. 26. Consigna 1: Organizados en equipos, resuelvan elsiguiente problema: En la siguiente recta numérica 3representa los números 5 , 1.3, 0.6 y 1.35. 1 5Consigna 2: En la siguiente recta numérica, la distanciaentre el 0 y 5 se ha dividido en tres partes iguales. Anotael número que corresponde al punto señalado con laflecha. 0 5
  27. 27. Si dividimos la unidad en “n” partesiguales aparece la unidadfraccionaria que se representa:Cuando se divide la unidad en 10partes iguales, cada una de laspartes se llama décima.Si se divide la decima en 10 partesiguales, cada una de las nuevaspartes se llama centésima.Si se divide la centésima en 10partes iguales, cada una de lasnuevas partes se llama milésima.
  28. 28. La recta numérica es una línea recta en la queasociamos cada número con un punto de la recta.La recta la dibujamos horizontal, se elige un puntoarbitrario, llamado origen, que representa al 0 y unpunto a la derecha que representa al 1 .
  29. 29. Para graficar una fracción a/b dividimos el segmentoentre 0 y 1 en b partes iguales y tomamos el punto queestá a una distancia distancia del 0.
  30. 30. La multiplicación es una operaciónaritmética. Multiplicar dos cantidadesconsiste en sumar reiteradamente laprimera, tantas veces como indica lasegunda. Así, 4 3 = 4 + 4 + 4.El resultado de la multiplicación de variosnúmeros se llama producto. Los númerosque se multiplican se llaman factores ocoeficientes, e individualmente:multiplicando (número a sumar) ymultiplicador (veces que se suma elmultiplicando).
  31. 31. ACTIVIDADES−11 x 0 = −3 X 8 =( −5) ( −6) = ( +1) ( +2) =( +7) ( −1) = ( −6) ( −6) =( −8.2) (+5) = (−2/5) * (−3/4)=( −5) ( +4) ( −8) = ( −1/3) ( −7/6) ( −3) =( −2) (+5) ( +1) (−3) = ( −6) (−3) (−3/4) ( −0.2) ( −1)=
  32. 32. Una sucesión aritmética seconstruye sumando un valor fijo cadavez.Cosas que están ordenadassiguiendo una o varias reglas.Ejemplo: hay un patrón en estosnúmeros: 2, 7, 12, 17, 22, La reglaes "empieza en 2 y suma 5 cadavez"
  33. 33. Consigna 1: En equipos, analizar las siguientessucesiones y dibujar los términos que faltan. Explicary justificar los procedimientos empleados; paradeterminar una regla general. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. Fig. Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 1 2 Fig. 1 Fig. Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 2
  34. 34. Consigna 2: El siguiente esquema representa loque realiza una máquina al introducir las posicionesde los primeros cinco términos de una sucesión. Enequipo, encontrar los números de la sucesión quecorresponden a las posiciones 50, 100, 500 y 1000, respectivamente. ENTRADA MÁQUINA SALIDA Regla general: Posición Al número de la posición se Sucesión 1, 2, 3, 4, 5,... multiplica por tres. 3, 6, 9, 12, 15,...
  35. 35. Consigna 2: De acuerdo con el siguiente esquema,escribe la regla general que te permita determinarcualquier número de la sucesión, en función de suposición. ENTRADA MÁQUINA SALIDA Regla general: Posición Sucesión 1, 2, 3, 4, 5,… 3, 7, 11, 15, 19,...
  36. 36. Es una proposicion matematica de igualdad, esdecir, la afirmacion de que una expresion es igual aotra.La expresion que se ubica a la izquierda del signoigual se llama primer miembro de la ecuacion; la quese encuentra a la derecha se denomina segundomiembro.
  37. 37. Consigna 1: Organizados en equipos,cmresuelvan el 15siguiente problema: 15 cmDado el siguiente cuadrado: 15 cm•¿Cómo se puede saber el perímetro del cuadrado?________•¿Y si el cuadrado fuera de 20 cm ______________________•¿Y si fuera de 35 cm?_______________________________•Escribe con tus propias palabras, ¿cómo se determina elperímetro de cualquier cuadrado? ______________________•Expresa en forma general, para cualquier medida del lado deun cuadrado: _______________________________________
  38. 38. Consigna 2: Ahora resuelvan el siguiente problema:Luisa quiere poner una tira bordada alrededor de un mantelrectangular que mide 2 m de largo y 1.60 m de ancho:¿De qué forma calcularía Luisa, la medida de la tirabordada?________________________________________¿Y si el mantel midiera 80 por 60cm?__________________________________¿Cómo obtendrías este dato (perímetro) para manteles decualquiertamaño?_________________________________________Expresa de forma general el perímetro de cualquierrectángulo________________________________________
  39. 39. Consigna 3: Resuelvan el siguiente problemaEn la clase de agricultura los alumnos de primer gradodeben sembrar rábanos. El terreno ofrecido por elAyuntamiento es cuadrado, mide 300 m por lado.¿De qué manera calcularían elárea?___________________________________Si por gestiones de la directora se consigue un terrenomás grande (500 m por lado), ¿cómo calcularían elárea?______________________________________Sin importar la medida de cada lado, ¿cómoexpresarías, con tus propias palabras, el procedimientopara calcular el área de un cuadrado?___________¿Y cuál sería la expresión general que larepresente?_____________________
  40. 40. Encierra los tres aspectos esenciales alrededor de loscuales gira el estudio de la geometría y la medición en laeducación básica. Es claro que no todo lo que se midetiene que ver con formas o espacio, pero sí lamayor parte; las formas se trazan o se construyen, seanalizan sus propiedades y se miden.
  41. 41. El cuadrado es un polígono de cuatrolados, con la particularidad de que todosellos son iguales.Además sus cuatro ángulos son de 90grados cada uno.El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:Área del cuadrado = lado al cuadrado
  42. 42. El triángulo es un polígonoformado por tres lados y tresángulos.La suma de todos sus ángulossiempre es 180 grados.Para calcular el área se emplea lasiguiente fórmula:Área del triángulo =(base * altura) / 2
  43. 43. El rectángulo es un polígono decuatro lados, iguales dos a dos.Sus cuatro ángulos son de 90grados cada uno.El área de esta figura se calculamediante la fórmula:Área del rectángulo =base *altura
  44. 44. El círculo es la región delimitada por unacircunferencia, siendo ésta el lugargeométrico de los puntos que equidistandel centro.El área de esta figura se calcula mediantela fórmula:Área del círculo = 314 * r²
  45. 45. Consigna 1: Organizados en equipos: Anotenlos datos que hacen falta en la siguiente tabla. Figura Fórmulas Datos Perímetro Área P=6l l = 3 cm A = Pa/2 a = 2 cm l = 8 cm a = 5 cm l = 10 cm a = 7 cm a = 10 cm P = 2a + 2b b = 8 cm A = ah h = 5 cm a = 15 cm b = 9 cm h = 7 cm a = 23 cm b = 14 cm h = 10 cm
  46. 46. El cubo es un sólido limitado por seiscuadrados iguales, también se le conocecon el nombre de hexaedro.Para calcular su área lateral, su área totalasí como para ver su desarrollo pulsarsobre la figura anteriorPara calcular su volumen se emplea lasiguiente fórmula:Volumen del cubo = a³
  47. 47. Pirámide regular es un sólido quetiene por base un polígono y cuyascaras son triángulos que se reúnenen un mismo punto llamado vértice.Para calcular su volumen seemplea la siguiente fórmula:Volumen de la pirámide = (área dela base . altura) / 3
  48. 48. La esfera es el sólido engendrado al girar unasemicircunferencia alrededor de su diámetro.Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:Área de la esfera =4 * 314 * r²Para calcular su volumen se emplea la siguientefórmula:Volumen de la esfera = 4/3 .314 * r³
  49. 49. El cono es el sólido engendrado por un triángulorectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:Área lateral = (perímetro de la base.generatriz) / 2Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:Área total = área lateral + área de la base
  50. 50. Consigna 2. Organizados en equipo utilizando juego degeometría y dadas las medidas de los segmentos AB = 6 cmy BC = 9 cm, tracen los triángulos que puedan agregando untercer lado de la medida que consideren conveniente.Posteriormente den respuesta a lo siguiente:¿Cuántos triángulos diferentes pudieron construir?¿Qué medidas asignaron al tercer lado?¿Cuáles son las longitudes máximas y mínimas que puedetener el tercer lado?En el vértice en B, formado por los dos segmentos dados.¿Cuáles son los valores máximo y mínimo que puede tener elángulo en las construcciones realizadas?
  51. 51. Consigna. En equipo, utilizando regla y compás, resuelvan losiguiente:Problema1.- Dados los siguientes segmentos, construyan lostriángulos que le sean posibles en cada incisoa) b) c)Discutan y anoten sus conclusiones acerca de las figurasconstruidas para presentarlas en plenaria ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir en cada caso?¿Por qué no fue posible obtener algún triángulo en el caso delinciso c?¿Qué tipo de triángulos se formaron en cada caso?
  52. 52. Problema 2. Construyan un triángulo cuyoperímetro sea de 11 cm y las medidas de cadauno de sus lados sean números enteros.¿Cuántos triángulos diferentes se puedenconstruir que cumplan con la condición anterior?¿Podrá tener un triángulo un perímetro de 4 cm yque la medida de sus lados sea un númeroentero? ¿Por qué?
  53. 53. Medir es comparar una magnitud con otra,tomando una primera como patrón con la quecomparar la siguiente. Al resultado de medir lollamamos medida.
  54. 54. En este eje se resuelven problemas querequieren el analisis, la organización, larepresentacion y la interpretacion de datosprovenientes de diversas fuentes.El cual se apoya fuertemente en nocionesmatematicas tales comoporcentaje, probabilidad, funcion y en generalen el significado de los numeros enteros ydecimales.
  55. 55. Se llama proporcion a la igualdad de doso mas razones.
  56. 56. Consigna: Organizados en equipos, resolver el siguienteproblema:Martín fue a una copiadora para reducir la fotografía queaparece enseguida y que tiene un ancho de 8cm.Al recibir la copia, se dio cuenta que ésta medía 6 cm de ancho.¿Cuál fue el factor de reducción que aplicó el encargado de lascopias?¿Cuánto mide el largo de la fotografía original, si en la copia esde 15 cm?
  57. 57. Se dice que dos magnitudes A y B son inversamenteproporcionales si los valores tomados por lamagnitud A y los inversos de los valores tomados porla magnitud B forman dos series proporcionales.
  58. 58. Consigna: En equipos, resuelvan el problemasiguiente:Una cuadrilla de 15 hombres se comprometea terminar en 14 días cierta obra.Al cabo de 9 días sólo han hecho los de laobra. ¿Con cuántos hombres tendrán que serreforzados para terminar la obra en el tiempofijado?
  59. 59. Hombres Días Obra 15 9 3/7 X Directa 15 hombres ------ 9 días ------ 3/7 obra X hombres ------ 5 días ------- 4/7 obra Inversa
  60. 60. Dos variables x e y son directamente proporcionalessi su razón y/x es constante. En este caso se diceque las variables x e y son directamenteproporcionales.
  61. 61. La probabilidad de un suceso esun número, comprendido entre 0y 1, que indica las posibilidadesque tiene de verificarse cuandose realiza un experimentoaleatorio. Experimentos deterministasSon los experimentos de los quepodemos predecir el resultadoantes de que se realicen. Experimentos deterministasSon los experimentos de los quepodemos predecir el resultadoantes de que se realicen.
  62. 62. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan elsiguiente problema y contesten las preguntas:En una fábrica se elaboran cajas de cartón de diferentestamaños. En la tabla se muestran las dimensiones dealgunas de ellas, encuentren los volúmenes faltantes. Caja Largo Ancho Alto Volumen A 3 dm 2 dm 4 dm 24 dm3 B 6 dm 2 dm 4 dm C 6 dm 6 dm 4 dm D 6 dm 4 dm 8 dm E 9 dm 6 dm 12 dm
  63. 63. •Tomando como referencia la caja A, ¿Cómocrecen los volúmenes de las demás cajas enrelación con las medidas de largo, ancho yalto?•De los cinco tipos de cajas, se construyeron2 cajas a escala respecto a la caja A, ¿cuálesson? ¿Cómo lo saben?
  64. 64. Consigna: Organizados en equipos,resuelvan el siguiente problema:Se calcula que se necesitan 20 litros de aguadiarios para cada 15 niños que van a unaexcursión.¿Cuántos litros se necesitan si 45 niños salendurante 7 días?Y si llevan 400 litros de agua para 60 niños,¿para cuántos días alcanza?
  65. 65. La presentación de datos estadísticos constituye en susdiferentes modalidades uno de los aspectos de mas uso enla estadística descriptiva.A partir podemos visualizar a través de losdiferentes medios escritos y televisivosde comunicación masiva la presentación de los datosestadísticos sobre elcomportamiento de lasprincipales variables económicas ysociales, nacionales e internacionales.
  66. 66. De acuerdo al tipo de variable que vamos a representar, las principales graficas son las siguientes:Histograma: Es un conjunto de barras o rectángulos unidos unode otro, en razón de que lo utilizamos para representar variablescontinuas.Polígono de frecuencias: Esta grafica se usa para representarlos puntos medios de clase en una distribución de frecuenciasGráfica de barras: Es un conjunto de rectángulos o barrasseparadas una de la otra, en razón de que se usa pararepresentar variables discretas; las barras deben ser de igualbase o ancho y separadas a igual distancia. Pueden disponerseen forma vertical y horizontal.Gráfica lineal: Son usadas principalmente para representardatos clasificados por cantidad o tiempo; o sea, se usan pararepresentar series de tiempoo cronológicas.
  67. 67. Consigna 1: Organizados en ternas, resuelvan elsiguiente problema:Para un espectáculo, un mago se viste con sombrero,camisa, pantalón y zapatos. En su baúl lleva 5sombreros, 5 camisas, 5 pantalones y 5 pares dezapatos. Cada prenda es de uno de estos colores: rojo,negro, amarillo, verde y azul y de cada tipo de prendatiene exactamente una de cada color.Si no puede usar dos prendas del mismo color y nopuede usar simultáneamente rojo y negro, ¿de cuántasmaneras se puede vestir el mago para el espectáculo?

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