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HipérboleHistória, Conceituação, Elementos, Equações, Assíntotas, Casos Especiais e Aplicações Práticas
História
História
O período de cerca de 300 a 200 a.C.
foi denominado Idade Áurea da
Matemática grega por, nessa época,
terem se de...
História
Apolônio demonstrou que as
três espécies de cônicas
podiam ser obtidas
simplesmente ao variarmos a
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História
Das obras de Apolônio que
não se perderam, a mais
importante se intitula “As
Cônicas”. Ela foi capaz de
aperfeiço...
Exemplos
Exemplos
Conceituação
Conceituação
Vimos, então, que uma hipérbole é um
tipo de secção cônica definida como
a interseção entre uma superfície
cô...
Conceituação
Matematicamente falando, também pode ser
definida como o conjunto de todos
os pontos coplanares para os quais...
• Focos: F1 e F2
• Ponto Genérico: P (x, y)
• Distância Focal: d(F1, F2)
| d’(P, F1) - d”(P, F2) |= Constante
0 < Constant...
1° Exemplificação
Todos os pontos dessa
hipérbole, quando
submetidos à relação
fundamental, resultarão
sempre no mesmo val...
Elementos
Elementos
• Focos: F’ e F”
• Distância Focal: 2c
• Vértices: V’ e V”
• Eixo Real: 2a
• Centro: O
• Eixo Imaginário: 2b
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2° Exemplificação
Determine :
• Centro;
• Focos;
• Vértices;
• Distância Focal;
• Eixo Real;
• Eixo Imaginário;
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Tipos de
Hipérbole
Tipos de Hipérbole
Uma hipérbole se classifica em 2 casos de acordo
com a localização de seu centro e em 4 casos de
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Eixo Real sobre o Eixo X Eixo Real sobre o Eixo Y
Tipos de Hipérbole: C(0, 0)
Eixo Real paralelo ao Eixo X Eixo Real paralelo ao Eixo Y
Tipos de Hipérbole: C(x, y)
Equações
1° Caso:
• C (0, 0);
• F1 (– c, 0);
• F2 (c, 0);
• Quaisquer pontos P da
hipérbole possuirão
coordenadas (x, y).
1° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
[𝑥 − −𝑐 ]2+(𝑦 − 0)² − (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 ...
1° Caso:
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦² = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦² + 2𝑎
• Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
𝑥 + 𝑐 2
+ 𝑦2
= 𝑥 − 𝑐 2
+ 𝑦2
+...
1° Caso:
4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦²
• Simplificando o termo 4 e elevando a equação ao quadrado:
𝑐𝑥 − 𝑎2 2
= 𝑎2
𝑥 − 𝑐 2
+ ...
1° Caso:
𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦² = 𝑎2
(𝑐2
− 𝑎2
)
• A partir da relação fundamental da hipérbole, temos que:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏²
• Subs...
1° Caso:
𝑏²𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
• Dividindo ambos os lados da equação por a²b²:
𝑥2
𝑎²
−
𝑦2
𝑏2
= 1
2° Caso:
• C (0, 0);
• F1 (0, – c);
• F2 (0, c);
• Quaisquer pontos
P da hipérbole
possuirão
coordenadas
(x, y).
2° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
𝑥 − 0 2 + [𝑦 − − 𝑐 ]² − 𝑥 − 0² + (𝑦 ...
2° Caso:
• Conclui-se que a posição dos valores de X e Y nas
coordenadas dos focos é o inverso do 1° Caso, logo,
simplific...
3° Caso:
• C (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐);
• F1 (𝑥 𝑐 − 𝑐, 𝑦𝑐);
• F2 (𝑥 𝑐 + 𝑐, 𝑦𝑐);
• Quaisquer pontos P da
hipérbole possuirão
coordenadas (x...
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• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
[𝑥 – (𝑥 𝑐 − 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² + [𝑥 – ...
3° Caso:
• Desenvolvendo a equação obtida da mesma forma
como foi feito nos 2 casos anteriores, temos a
formação da seguin...
4° Caso:
• C (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐);
• F1 (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐 − 𝑐);
• F2 (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐 + 𝑐);
• Quaisquer pontos P da
hipérbole possuirão
coordenadas (x...
4° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
𝑥 – 𝑥 𝑐
2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 − 𝑐 ]² + 𝑥 – 𝑥 𝑐...
4° Caso:
• Analisando a posição dos termos obtidos na
equação anterior, observamos que, assim como o
2° Caso é oposto ao 1...
3° Exemplificação
Determine a equação da hipérbole com focos
F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e Eixo Real medindo 16 unidades.
3° Exemplificação
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16
−
𝑥2
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= 1
Assíntotas
Equações das Assíntotas
Considerando a hipérbole ao
lado, temos: Centro (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐).
Sua representação algébrica é:
𝑥 − 𝑥 𝑐
...
Equações das Assíntotas
• Isolando o membro Y da equação:
−
𝑦 − 𝑦𝑐
2
𝑏2
= 1 −
𝑥 − 𝑥 𝑐
2
𝑎2
• Multiplicando ambos os lados ...
Equações das Assíntotas
𝑦 − 𝑦𝑐
2
= − 𝑏2
+
𝑏2
𝑎2
𝑥 − 𝑥 𝑐
2
• Extraindo a raiz quadrada do segundo membro da equação:
𝑦 − 𝑦𝑐...
Equações das Assíntotas
• Aproximando:
𝑦 − 𝑦𝑐 ≈ ±
𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑥 𝑐
• Logo, obtemos as equações de ambas assíntotas:
𝑦 − 𝑦𝑐 = +
...
4° Exemplificação
Determine as equações das
assíntotas pertencentes à hipérbole
de equação:
𝑦²
9
−
𝑥2
16
= 1
Hipérbole
Equilátera
Hipérbole Equilátera
Quando temos b = a,
observamos que as assíntotas
tornam-se perpendiculares e
a hipérbole passa a ser
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Aplicações
Propriedade Reflexiva
Se um raio de luz
proveniente de um
ponto A incidir no
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Refrator é que a lente possui a
capacidade de desfragmentar o raio
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Newtoniano é o limite de comprimento que o espelho
plano deve...
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Conclusão
Conclusão
Possui uma propriedade de reflexão bastante útil
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Seções Cônicas - Hipérbole

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O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.

Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

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Seções Cônicas - Hipérbole

  1. 1. HipérboleHistória, Conceituação, Elementos, Equações, Assíntotas, Casos Especiais e Aplicações Práticas
  2. 2. História
  3. 3. História O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado Idade Áurea da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga.
  4. 4. História Apolônio demonstrou que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
  5. 5. História Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula “As Cônicas”. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto.
  6. 6. Exemplos
  7. 7. Exemplos
  8. 8. Conceituação
  9. 9. Conceituação Vimos, então, que uma hipérbole é um tipo de secção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular (dupla) e um plano paralelo ao seu eixo de formação.
  10. 10. Conceituação Matematicamente falando, também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante. Mas, o que isso significa?
  11. 11. • Focos: F1 e F2 • Ponto Genérico: P (x, y) • Distância Focal: d(F1, F2) | d’(P, F1) - d”(P, F2) |= Constante 0 < Constante < Distância Focal Conceituação
  12. 12. 1° Exemplificação Todos os pontos dessa hipérbole, quando submetidos à relação fundamental, resultarão sempre no mesmo valor. • Distância Focal = 6 • Constante = 4
  13. 13. Elementos
  14. 14. Elementos • Focos: F’ e F” • Distância Focal: 2c • Vértices: V’ e V” • Eixo Real: 2a • Centro: O • Eixo Imaginário: 2b • “Limites” do Eixo Imaginário: B’ e B” • Excentricidade: c/a • c² = a² + b² Assíntota’ Assíntota”
  15. 15. 2° Exemplificação Determine : • Centro; • Focos; • Vértices; • Distância Focal; • Eixo Real; • Eixo Imaginário; • Excentricidade;
  16. 16. Tipos de Hipérbole
  17. 17. Tipos de Hipérbole Uma hipérbole se classifica em 2 casos de acordo com a localização de seu centro e em 4 casos de acordo com a posição de seu Eixo Real.
  18. 18. Eixo Real sobre o Eixo X Eixo Real sobre o Eixo Y Tipos de Hipérbole: C(0, 0)
  19. 19. Eixo Real paralelo ao Eixo X Eixo Real paralelo ao Eixo Y Tipos de Hipérbole: C(x, y)
  20. 20. Equações
  21. 21. 1° Caso: • C (0, 0); • F1 (– c, 0); • F2 (c, 0); • Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y).
  22. 22. 1° Caso: 𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 • Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2: [𝑥 − −𝑐 ]2+(𝑦 − 0)² − (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)² = 2𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 − (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎
  23. 23. 1° Caso: 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦² = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦² + 2𝑎 • Elevando ambos os lados da equação ao quadrado: 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦² + 4𝑎² 4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦²
  24. 24. 1° Caso: 4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦² • Simplificando o termo 4 e elevando a equação ao quadrado: 𝑐𝑥 − 𝑎2 2 = 𝑎2 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑎2 𝑦² 𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦² = 𝑎2 (𝑐2 − 𝑎2 )
  25. 25. 1° Caso: 𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦² = 𝑎2 (𝑐2 − 𝑎2 ) • A partir da relação fundamental da hipérbole, temos que: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏² • Substituindo o valor de c² na equação anterior: 𝑏²𝑥2 − 𝑎2 𝑦² = 𝑎2 𝑏²
  26. 26. 1° Caso: 𝑏²𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 • Dividindo ambos os lados da equação por a²b²: 𝑥2 𝑎² − 𝑦2 𝑏2 = 1
  27. 27. 2° Caso: • C (0, 0); • F1 (0, – c); • F2 (0, c); • Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y).
  28. 28. 2° Caso: 𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 • Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2: 𝑥 − 0 2 + [𝑦 − − 𝑐 ]² − 𝑥 − 0² + (𝑦 − 𝑐)² = 2𝑎 𝑥2 + 𝑦 + 𝑐 2 − 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2 = 2𝑎
  29. 29. 2° Caso: • Conclui-se que a posição dos valores de X e Y nas coordenadas dos focos é o inverso do 1° Caso, logo, simplificadamente: 𝑦2 𝑎² − 𝑥2 𝑏2 = 1
  30. 30. 3° Caso: • C (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐); • F1 (𝑥 𝑐 − 𝑐, 𝑦𝑐); • F2 (𝑥 𝑐 + 𝑐, 𝑦𝑐); • Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y).
  31. 31. 3° Caso: 𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 • Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2: [𝑥 – (𝑥 𝑐 − 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² + [𝑥 – (𝑥 𝑐 + 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² = 2𝑎
  32. 32. 3° Caso: • Desenvolvendo a equação obtida da mesma forma como foi feito nos 2 casos anteriores, temos a formação da seguinte equação: (𝑥 − 𝑥 𝑐)2 𝑎² − (𝑦 − 𝑦𝑐)2 𝑏2 = 1
  33. 33. 4° Caso: • C (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐); • F1 (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐 − 𝑐); • F2 (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐 + 𝑐); • Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y).
  34. 34. 4° Caso: 𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 • Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2: 𝑥 – 𝑥 𝑐 2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 − 𝑐 ]² + 𝑥 – 𝑥 𝑐 2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 + 𝑐 ]² = 2𝑎
  35. 35. 4° Caso: • Analisando a posição dos termos obtidos na equação anterior, observamos que, assim como o 2° Caso é oposto ao 1°, o 4° é oposto ao 3°. Assim: (𝑦 − 𝑦𝑐)2 𝑎² − (𝑥 − 𝑥 𝑐)2 𝑏2 = 1
  36. 36. 3° Exemplificação Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e Eixo Real medindo 16 unidades.
  37. 37. 3° Exemplificação Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: 𝑦² 16 − 𝑥2 9 = 1
  38. 38. Assíntotas
  39. 39. Equações das Assíntotas Considerando a hipérbole ao lado, temos: Centro (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐). Sua representação algébrica é: 𝑥 − 𝑥 𝑐 2 𝑎2 − 𝑦 − 𝑦𝑐 2 𝑏2 = 1
  40. 40. Equações das Assíntotas • Isolando o membro Y da equação: − 𝑦 − 𝑦𝑐 2 𝑏2 = 1 − 𝑥 − 𝑥 𝑐 2 𝑎2 • Multiplicando ambos os lados pelo fator -b²: 𝑦 − 𝑦𝑐 2 = − 𝑏2 + 𝑏2 𝑎2 𝑥 − 𝑥 𝑐 2
  41. 41. Equações das Assíntotas 𝑦 − 𝑦𝑐 2 = − 𝑏2 + 𝑏2 𝑎2 𝑥 − 𝑥 𝑐 2 • Extraindo a raiz quadrada do segundo membro da equação: 𝑦 − 𝑦𝑐 = ± 𝑏2 𝑎2 𝑥 − 𝑥 𝑐 2 − 𝑏2
  42. 42. Equações das Assíntotas • Aproximando: 𝑦 − 𝑦𝑐 ≈ ± 𝑏 𝑎 𝑥 − 𝑥 𝑐 • Logo, obtemos as equações de ambas assíntotas: 𝑦 − 𝑦𝑐 = + 𝑏 𝑎 𝑥 − 𝑥 𝑐 𝑦 − 𝑦𝑐 = − 𝑏 𝑎 𝑥 − 𝑥 𝑐
  43. 43. 4° Exemplificação Determine as equações das assíntotas pertencentes à hipérbole de equação: 𝑦² 9 − 𝑥2 16 = 1
  44. 44. Hipérbole Equilátera
  45. 45. Hipérbole Equilátera Quando temos b = a, observamos que as assíntotas tornam-se perpendiculares e a hipérbole passa a ser nomeada como hipérbole equilátera.
  46. 46. Aplicações
  47. 47. Propriedade Reflexiva Se um raio de luz proveniente de um ponto A incidir no espelho em P, de forma que a reta AP passe pelo foco F´, então o raio será refletido para o outro foco F.
  48. 48. Telescópios Refrator A desvantagem de um Telescópio Refrator é que a lente possui a capacidade de desfragmentar o raio de luz.
  49. 49. Telescópios Refletor A desvantagem de um Telescópio Refletor Newtoniano é o limite de comprimento que o espelho plano deve possuir.
  50. 50. Telescópios Cassegrain
  51. 51. Telescópios Cassegrain Telescópio Espacial Hubble
  52. 52. Relógio Solar
  53. 53. Conclusão
  54. 54. Conclusão Possui uma propriedade de reflexão bastante útil quando se estuda fenômenos óticos, proporcionando a ela diversas aplicações práticas no ramo da Astronomia e da Física. Os estudos acerca de suas propriedades são bastante arcaicos e proporcionaram até mesmo a criação e desenvolvimento dos relógios mais primitivos.
  55. 55. Alexandre de Araújo Barreto Filho Felipe Costa Almeida Gabriel Resende Miranda Janaína Soares S. Torres Almeida Matheus Machado de Araújo Pedro Henrique Chagas Alves Rayssa Souza Araújo Sara da Silva Lopes Tainara Gabriela Costa 3° Ano – Informática (IFTM – Campus Ituiutaba) Integrantes
  • CleideTavares9

    Aug. 14, 2019
  • WalterHenrique5

    Jul. 30, 2019
  • fabiodocarmo56

    Aug. 1, 2017
  • IagoMoreira8

    May. 24, 2017
  • LucasGabriel305

    Apr. 21, 2017
  • LetciaDrummond

    Apr. 12, 2017
  • Vitor200

    Jun. 3, 2016
  • MayaraSoares15

    Nov. 15, 2015
  • Andre998645

    Oct. 29, 2015
  • zulin10

    Aug. 27, 2015
  • francinidades

    Apr. 16, 2015
  • vivianefreire

    Aug. 19, 2014

O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”. Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto. Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria. Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades. Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

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