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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 5: INTEGRACIÓN
TERCER SEMESTRE
JULIO 2015

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Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
Contenido
5.1 Introducción. ............................................................................................................................3
5.2 Integral de línea........................................................................................................................4
5.3 Integrales iteradas dobles y triples...........................................................................................4
5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema. ..........................................................................7
5.5 Integral doble en coordenadas polares. ...................................................................................7
5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas. .........................................................................................9
5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ..............10

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5.1 Introducción.
Introducción
En este capítulo se introduce un método multipaso variable adaptado para la resolución de
sistemas lineales perturbados
Para la integración de este sistema, mediante un método multipaso variable, que
integre exactamente el problema homogéneo, partimos de un método que ya posee esta
propiedad, el método de G-funciones, desarrollado en el capítulo anterior. La solución, en
términos de las G-funciones, venía dada por
donde los ck son las derivadas de la función de perturbación
Las G-funciones, como método de integración numérica, nos permite escribir:

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El cálculo de las es difícil para expresiones complicadas de la función de
perturbación, lo que di…culta su implementación en un computador. El método multipaso
que se presenta en este capítulo integra exactamente el problema homogéneo, y presenta la
ventaja, frente al método de las G-funciones, de la existencia de un procedimiento
algebraico sencillo para la computación de los coeficientes del método, independientemente
de cual sea el orden, lo que nos permite lograr fácilmente cualquier método tanto de orden
alto como de orden bajo [15],[44],[48],[50],[53]. Esto se conseguirá aproximando las
derivadas que aparecen en el método de las G-funciones mediante diferencias divididas
[60],[87],[89]. Trabajaremos tanto métodos explícitos como métodos implicítos, que nos
permitirán la implementación de un método predictor corrector.
5.2 Integral de línea.
5.3 Integrales iteradas dobles y triples.
Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de
gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente
de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de
considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble
de una función F(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan
inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es,
F(x, y)= 1, o F(x, y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y).
Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y.
Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx
algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras,
finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que
están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya

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parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno
que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An
sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno
son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x
y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite
Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación "A" F(x, y) dA
La integral doble "A" F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en
el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la
base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene
por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del
volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto.
La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que
hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An para dar respuesta numérica a los
diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen
métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la
práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales
iteradas:
"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx
Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un
método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son
iguales entre sí y a la integral doble "A" F(x, y)dA, con tal que la función sea continua
en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones
necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.
Vamos a explicar ahora el significado de la notación
"A" F(x,y) dy dx

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El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla
en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);
para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.
Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:
Considerando x como constante se hace la integración respecto a y.
Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación
de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya
base sea la región A del plano siendo
z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es
positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos
perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada
rebanada mediante la diferencial del volumen.
dV = A(x)dx,
Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene
dada por la f2 por la integral
donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área
plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que
representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada
de la ecuación coincide con
ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una
región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la
figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después
respecto a x; es decir
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha
por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura
3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y
después respecto a y; es decir como

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Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los
elementos
dA= dxdy
situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda
hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa
el área como límite de la suma de fajas horizontales.
INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región
rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la
superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn =
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la
porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima
entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como
5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema.
5.5 Integral doble en coordenadas polares.
INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
Consideremos la región A
como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por
completo en el sector
R: " r " a "0 "
Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

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Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y
trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de
subregiones:
a) exteriores de A;
b) interiores a A, y
c) atravesadas por el contorno de A.
Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En
cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o
ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2,
3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F
(función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la
correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir,
consideramos la suma
Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior,
rk-½r; por consiguiente
Que después de efectuar operaciones se reduce a 27.
Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y
consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las
subregiones. Si la función F es continúa y la región A esta limitada por curvas
continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida
a A:
Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:
Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas
para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La
respuesta es afirmativa en términos generales.

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X=f(u, v), y=g(u, v)
Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante
otra región G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f
y g, la siguiente ecuación constituye la formula para el pase de las coordenadas xy a
las coordenadas uv en una integral doble:
Donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente
determinante
En el caso de coordenadas polares se tiene:
y
Por consiguiente, la ecuación se
adopta la forma:
que corresponde a la 29
El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles
A=" " dx dy= " " r dr d
con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede
dividir en porciones de área
dAxy= dx dy
Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que también puede dividirse en
porciones de áreas
Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área
totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero
observese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En
efecto, mediante un calculo elemental que se ve que
5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas.

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5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
CÁLCULO DE LA MASA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
Hallar la masa de la porción del sólido elipsoidal Q dado por 4x2
+ 4x2
+ z2
=
16, que esta por encima del plano xy, supuesto que la densidad en un punto del
sólido es proporcional a su distancia al plano xy.
SOLUCION: La función densidad es p (r, 0, z) = k z. Los límites para z
son
0 < = <
16 – 4x2
– 4y2
= 16 – 4 r2
= 2 4 – r2
EJERCICIOS
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido W limitado por el paraboloide z a x y  2 2 2
y
el plano XY.
El sólido W se muestra en la Figura.
El paraboloide corta al plano XY en la
circunferencia
x y a
z
2 2 2
0
 




Según se ha visto es:
x
y
z
w
(0,0,a
2
)
R a

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V W a x y dx dy
R
( ) ( )  
2 2 2
.
Es evidente la conveniencia del cambio a coordenadas polares:
V W a r r dr d d a r r dr
a r r a
R
a
a
( ) ( ) ( )*
     





   
2 2
0
2
2 2
0
2 2 4
0
4
2
2 4 2
  

Nota Podría haberse obtenido V (W) por medio de una integral simple, al
tratarse de un sólido de revolución en torno al eje OZ.
Ejemplo
Calcular el área de la región limitada por la elipse de ecuación:
x
a
y
b
2
2
2
2
1  ,
utilizando integración doble y un adecuado cambio de coordenadas.
Es evidente que el cambio  :
x
a
u
y
b
v








, es decir,  :
x au
y bv





hace
corresponder tal elipse a la circunferencia u v2 2
1  .
Es decir :
Luego:

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  ( ) ( , ) ( )* *
*
R dx dy J u v du dv ab du dv ab R ab
R R R
      
Si no se da como supuesto el conocimiento del área del círculo, se efectuaría
en la última integral sobre R*, un cambio a coordenadas polares:
   

R ab du dv ab d r dr ab
R
    *
0
2
0
1
En conjunto, el cambio
x ar
y arsen





cos

transformará R** en R , siendo R**: