Bernoulli y ricatti

1. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 1
Ecuación de Bernoulli
A la ecuación diferencial
( ) ( ) ndy
P x y f x y
dx
  (1.1)
Donde n es un número real cualquiera se le llama ecuación de
Bernoulli en honor del matemático suizo Jacobo Bernoulli (1654 -
1705). Para 0n  y 1n  , la sustitución 1 n
w y 
 lleva a la ecuación
lineal. Observe que cuando 0n  y 1n  la ecuación (1.1) es lineal.
   1 ( ) 1 ( )
dw
n P x w n f x
dx
    (1.2)
Ejercicios
Resuelva la ecuación de Bernoulli
Ejercicio 1
2 4 1
2 3 , (1)
2
dy
x xy y y
dx
  
Solución
Acomodamos la ecuación diferencial en la forma estándar de una
ecuación de Bernoulli
4
2
2 3dy y y
dx x x
 
Identificamos a 2
2 3
( ) , ( ) y 4p x f x n
x x
   
En consecuencia sabemos que 1
w y
 y tenemos

2. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 2
    2
2
2 3
1 4 1 4
6 9
dw
w
dx x x
dw
w
dx x x
 
      
 
  
El factor integrante de esta ecuación lineal es:
6
6
ln6ln 6
dx xxx
e e e x   
Por lo tanto
6 6 6 4
2
9
9
d d
x w x x w x
dx x dx
          
Por lo tanto integramos ambos lados
6 5 1 69 9
5 5
x w x c w x cx 
      
Como 1 n
w y 
 obtenemos
3
1 6
3
1 9
5
w y
x cx
y

 

 
  
Sustituimos los valores de la condición inicial para encontrar c
   
3
1 6
1
1
(1) 1
2
2
1 9
1 1
2 5
9 9 49 49
8 8
5 5 5 5
x
y
y
c
c c c

 


 

 
   
 
        
Por lo tanto tenemos que la solución 3 1 69 49
5 5
y x x  
  

3. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 3
Ejercicio 2
2 2dy
x y xy
dx
 
Solución
Por lo tanto acomodándola de acuerdo a la forma estándar de
Bernoulli tenemos:
2
2 2
2
dy dy y y
x xy y
dx dx x x
      
Identificamos
2
1 1
( ) , ( ) y 2p x f x n
x x
    
En consecuencia haciendo la sustitución llegaremos a una ecuación
lineal de primer orden como se denota a continuación:
    2
ln
2
1 2 1
1 1
1 2 1 2
1
; ( )
ln
1
dx
xx
dw
w
dx x x
dw w
e e u x x
dx x x
xw x c
con
w y w y w
y
 
   
        
   
    
 
    
Por lo tanto sustituimos el valor de w
/
ln ln ln x yx x
x c x c e xc
y y
      

4. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 4
Ecuación de Ricatti
La ecuación diferencial no lineal
2
( ) ( ) ( )
dy
P x Q x y R x y
dx
   (1.3)
Se llama ecuación de Ricatti. Si 1y es una solución particular conocida
de (1.3) entonces las sustituciones
1
1 y
dy dy du
y y u
dx dx dx
   
Aplicadas estas sustituciones a la ecuación diferencial (1.3) producen
la siguiente ecuación diferencial en términos de u :
  2
12
du
Q y R u Ru
dx
   (1.4)
Como la ecuación (1.4) es una ecuación de Bernoulli con 2n  , puede
entonces reducirse a la ecuación lineal siguiente:
 12
dw
Q y R w R
dx
    (1.5)
Al sustituir 1
w u

Nota. En muchos casos una solución de una ecuación de Ricatti no
puede ser expresada en términos de funciones elementales.
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones de Ricatti
Ejercicio 1
2
12 , 2
dy
y y y
dx
    

5. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 5
Solución
Se identifican que ( ) 2, ( ) 1, ( ) 1P x Q x R x     y después se resuelve
la ecuación lineal:
  1 2 2 1 1
3 1
dw
w
dx
dw
w
dx
       
  
Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden
3 3
3 3 3 3
3
3
3
dx x
x x x x
x
x
e e
d d
e w e e w dx e dx
dx dx
e
e w c
 
         
  
 
Pero con
1
3
3 1 3
3
1 1
3 3
1
1
3
x
x x
x
w u
e
e u c c
u
u
ce

 

 
      
 
 
Entonces la solución de la ecuación es
3
1
2 2
1
3
x
y u y
ce
    

Ejercicio 2
2 2
1
1
2 2 ,
dy
x y y y x
dx x
   

6. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 6
Solución
Se identifican que 2 1
( ) 2 , ( ) , ( ) 2P x x Q x R x
x
    y después se resuelve
la ecuación lineal:
  
1
2 2 2
1
4 2
dw
x w
dx x
dw
x w
dx x
 
      
 
   
 
Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden
   
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
4
ln 2 ln 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
x dx
x x x x xx
x x x x
x x
e e e e xe
d d
xe w xe xe w dx xe dx
dx dx
xe w xe dx
 
     
   
 

  
      
   

 

Resolvemos la integral
2
2
2
2
2
2
2
4
2 2 2 2
4
x
z z z x
z x
xe dx
dz xdx
dz
xe e dz e c e c


 

 
 
         
 

 
Por lo tanto
2 2
2 2
2x x
wxe e c 
  

7. [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 7
Pero con
2 2
2
2
1
2 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
w u
xe e c
u
xe
u
e c

 


 
  
 
 
Entonces la solución de la ecuación es
2
2
2
2
2
x
x
xe
y x u y x
e c


    
 