Série d'exercices 1 - Les suites numériques 1 BAC BIOF Dr Karam Ouharou

1. Série d’exercices N°1
Mathématiques : Les suites numériques intro.
1 BAC sciences expérimentales – SM
Dr. Karam Ouharou
Exercice 1 :
On considère la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie par : 𝑈0 = −1 . 𝑈1 =
1
2
et 𝑈𝑛+2 = 𝑈𝑛+1 −
1
4
𝑈𝑛
I. on pose 𝑉
𝑛 = 𝑈𝑛+1 −
1
2
𝑈𝑛 et 𝑊
𝑛 = 2𝑛
𝑈𝑛
a) montrer que (𝑉
𝑛)𝑛 est une suite géométrique puis calculer 𝑉
𝑛 en fonction de 𝑛.
b) montrer que (𝑊
𝑛)𝑛 est une suite arithmétique puis calculer 𝑊
𝑛 en fonction de 𝑛.
II. en déduire que (∀𝑛 ∈ ℕ); 𝑈𝑛 =
2𝑛−1
2𝑛
III. on pose 𝑆𝑛 = ∑𝑘=0
𝑘=𝑛
𝑈𝑘 prouver que :
(∀𝑛 ∈ ℕ); 𝑆𝑛 = 2 −
2𝑛 + 3
2𝑛
Exercice 2 :
Soit (𝑈𝑛)𝑛 la suite telle que :
𝑈0 = 1 et 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛
2
+ 𝑈𝑛
I. montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛 ≥ 1
II. montrer que (𝑈𝑛)𝑛 est croissante
III. a) vérifier que (∀𝑛 ∈ ℕ); 𝑈𝑛+1 ≥ 2𝑈𝑛
b) en déduire que (∀𝑛 ∈ ℕ); 𝑈𝑛 ≥ 2𝑛
Exercice 3 :
Soit (𝑈𝑛)𝑛∈N la suite telle que :
𝑈0 = 2 et 𝑈𝑛+1 =
1
2
+ √
1
2
(𝑈𝑛
2 − 𝑈𝑛 +
1
2
)

2. On pose 𝑉
𝑛 = 𝑈𝑛
2
− 𝑈𝑛 pour tout entier 𝑛 de ℕ
I. montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ) ; 𝑈𝑛 ≥ 1
II. a) montrer que (𝑉
𝑛)𝑛 est une suite géométrique
b) en déduire que:
(∀𝑛 ∈ ℕ) ; 𝑈𝑛 =
1
2
+
1
2
√1 +
8
2𝑛
Exercice 4 :
On considère la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie par: 𝑈𝑛+1 =
2𝑈𝑛
1+(𝑛+2)𝑈𝑛
et 𝑈0 =
1
3
I. calculer 𝑈1
II. on pose 𝑉
𝑛 =
1
𝑈𝑛
− 𝑛
a) montrer que (𝑉
𝑛)𝑛 est une suite arithmétique
III. exprimer 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛
IV. calculer en fonction de 𝑛
la somme 𝑇𝑛 =
1
𝑈0
+
1
𝑈1
+ ⋯ . . +
1
𝑈𝑛
Exercice 5 :
On considère la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie par: {
𝑈0 = 𝑈1 = 1
𝑈𝑛+2 = 𝑈𝑛+1 + 𝑈𝑛
I. a) montrer que 𝑈𝑛 > 0 (∀𝑛 ∈ ℕ)
b) étudier ta monotonie de ta suite (𝑈𝑛)𝑛
II. montrer que 𝑈𝑛 ≥ 𝑛 (∀𝑛 ∈ ℕ)
III. montrer que 𝑈𝑛𝑈𝑛+2 + (−1)𝑛+1
= (𝑈𝑛+1)2
IV. on pose 𝑥𝑛 =
𝑈2𝑛−1
𝑈2𝑛
et 𝑦𝑛 =
𝑈2𝑛
𝑈2𝑛+1
pour tout 𝑛 de ℕ∗
a) montrer que:
(∀𝑛 ∈ ℕ∗) 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 =
1
𝑈2𝑛𝑈2𝑛+1
V. en déduire (∀𝑛 ∈ ℕ∗) 0 < 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 <
1
𝑛
b) montrer que:
(∀𝑛 ∈ ℕ∗)𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 =
1
𝑈2𝑛𝑈2𝑛+2
et (∀𝑛 ∈ ℕ∗)𝑥𝑛 =
1
𝑦𝑛
− 1
b) montrer que (𝑥𝑛)𝑛 est croissante et (𝑦𝑛)𝑛 décroissante
5) on pose 𝑆𝑛 = ∑𝑘=0
𝑘=𝑛
𝑈𝑘
3𝑘
a) calculer 3𝑆𝑛 puis 3(3𝑆𝑛 − 𝑆𝑛)
b) en déduire la relation liant 𝑈𝑛; 𝑆𝑛−2, 𝑆𝑛
6) prouver que:

3. (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛 =
(1 + √5)𝑛+1
− (1 − √5)𝑛+1
2𝑛+1√5
F I N