Devoir surveille N°3
Matière : Mathématiques
Filières ; 1BAC BIOF sciences expérimentales et sciences mathématiques
Dr. Karam Ouharou
Exercice 1:
On considère les suites (𝑈𝑛)𝑛 et (𝑉
𝑛)𝑛 telles que :
{
𝑉0 = 2
𝑉𝑛+1 =
𝑈𝑛 + 𝑉
𝑛
2
et {
𝑈0 = 1
𝑈𝑛+1 =
2𝑈𝑛𝑉
𝑛
𝑈𝑛 + 𝑉
𝑛
i. prouver que (∀𝑛 ∈ ℕ) 0 < 𝑈𝑛 < 𝑉
𝑛
ii. montrer que (𝑈𝑛)𝑛 est croissante el (𝑉
𝑛)𝑛 décroissante
iii. a) montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ) 0 < 𝑉𝑛+1 − 𝑈𝑛+1 <
1
2
(𝑉
𝑛 − 𝑈𝑛)
b) déduire que (∀𝑛 ∈ ℕ) 0 < 𝑉
𝑛 − 𝑈𝑛 ≤
1
2𝑛
iv. a) montrer que par récurrence que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛𝑉
𝑛 = 2
b) en déduire que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛 < √2 < 𝑉
𝑛
Exercice 2 :
Soit un réel de 𝑎 ] 0, +∞ [ on considere la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie
par: 𝑈0 = 𝑏 < 𝑎 et
𝑈𝑛+1 =
𝑎2
2𝑎 − 𝑈𝑛
i. a) vérifier que 𝑈𝑛+1 − 𝑎 =
𝑎(𝑈𝑛−𝑎)
𝑎+(𝑎−𝑈𝑛)
(∀𝑛 ∈ ℕ)

b) montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛 < 𝑎
ii. montrer que (𝑈𝑛)𝑛 est une suite croissante
ii. on pose 𝑉
𝑛 =
𝑎
𝑎−𝑈𝑛
pour tout entier naturel 𝑛
a) montrer que (𝑉
𝑛)𝑛 est une suite arilhmétique puis
calculer 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛; 𝑏 et 𝑎 b) déterminer la somme
𝑆𝑛 = ∑𝑘=0
𝑘≡𝑛
1
𝑎−𝑈𝑘
en fonction de 𝑛; 𝑏 el 𝑎
EXRRCICE (3) On considère la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie par: 𝑈0 = 1
et 𝑈𝑛+1 =
𝑈𝑛
1+2𝑛𝑈𝑛
i. calculer U1 et U2
ii. a) montrer que
1
Un+1
=
1
Un
+ 2n
(∀n ∈ ℕ)
iii. déduire l'éxpression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛
Exercice Bonus : ( Exercice 4)
Soit (Un)n une suite arithmétique de raison r. On
(∀n ∈ ℕ∗)Sn = U0 + U1 + ⋯ … . +Un−1
m et n deux entiers naturels différents
i. démontrer que Sm = Sn ⇔ (m + n − 1)r = −2U0
ii. en déduire que Sm = Sn ⇒ Sm+n = 0

Devoir surveille N°3
Matière : Mathématiques
Filières ; 1BAC BIOF sciences expérimentales et sciences mathématiques
Dr. Karam Ouharou
Exercice 1:
On considère les suites (𝑈𝑛)𝑛 et (𝑉
𝑛)𝑛 telles que :
{
𝑉0 = 2
𝑉𝑛+1 =
𝑈𝑛 + 𝑉
𝑛
2
et {
𝑈0 = 1
𝑈𝑛+1 =
2𝑈𝑛𝑉
𝑛
𝑈𝑛 + 𝑉
𝑛
v. prouver que (∀𝑛 ∈ ℕ) 0 < 𝑈𝑛 < 𝑉
𝑛
vi. montrer que (𝑈𝑛)𝑛 est croissante el (𝑉
𝑛)𝑛 décroissante
vii. a) montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ) 0 < 𝑉𝑛+1 − 𝑈𝑛+1 <
1
2
(𝑉
𝑛 − 𝑈𝑛)
b) déduire que (∀𝑛 ∈ ℕ) 0 < 𝑉
𝑛 − 𝑈𝑛 ≤
1
2𝑛
viii. a) montrer que par récurrence que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛𝑉
𝑛 = 2
b) en déduire que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛 < √2 < 𝑉
𝑛
Exercice 2 :
Soit un réel de 𝑎 ] 0, +∞ [ on considere la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie
par: 𝑈0 = 𝑏 < 𝑎 et
𝑈𝑛+1 =
𝑎2
2𝑎 − 𝑈𝑛
iii. a) vérifier que 𝑈𝑛+1 − 𝑎 =
𝑎(𝑈𝑛−𝑎)
𝑎+(𝑎−𝑈𝑛)
(∀𝑛 ∈ ℕ)

b) montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ) 𝑈𝑛 < 𝑎
iv. montrer que (𝑈𝑛)𝑛 est une suite croissante
iii. on pose 𝑉
𝑛 =
𝑎
𝑎−𝑈𝑛
pour tout entier naturel 𝑛
a) montrer que (𝑉
𝑛)𝑛 est une suite arilhmétique puis
calculer 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛; 𝑏 et 𝑎 b) déterminer la somme
𝑆𝑛 = ∑𝑘=0
𝑘≡𝑛
1
𝑎−𝑈𝑘
en fonction de 𝑛; 𝑏 el 𝑎
EXRRCICE (3) On considère la suite (𝑈𝑛)𝑛 définie par: 𝑈0 = 1
et 𝑈𝑛+1 =
𝑈𝑛
1+2𝑛𝑈𝑛
iv. calculer U1 et U2
v. a) montrer que
1
Un+1
=
1
Un
+ 2n
(∀n ∈ ℕ)
vi. déduire l'éxpression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛
Exercice Bonus : ( Exercice 4)
Soit (Un)n une suite arithmétique de raison r. On
(∀n ∈ ℕ∗)Sn = U0 + U1 + ⋯ … . +Un−1
m et n deux entiers naturels différents
iii. démontrer que Sm = Sn ⇔ (m + n − 1)r = −2U0
iv. en déduire que Sm = Sn ⇒ Sm+n = 0