expresiones algebraicas

1. República bolivariana de venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Núcleo
UPTAEB “Manuela Sáenz”.
Programa Nacional de Formación en Informática Quíbor,
Municipio Jiménez- Estado Lara.
Expresiones Algebraicas y Factorización
Estudiante:
Steven Escalona
Andrea Torrealba
Jorgelis Flores
Danny Jimenez
Angel Puerta
Wilber Sequera
Jose Querales
Juan Alvarado
Andreiber Aranguren
Sección: 0403J
Profesor: Dionel Martinez

2. Suma de expresiones algebraicas
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve
para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor
de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están
compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar
atentos a las siguientes reglas:
Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factorès son iguales, por ejemplo, la suma 2x+4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin
exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en
ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x.
2x+4x=(2+4)=6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es
necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (-2x) +4x: 4x+ (-2x). Aplicando
la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo:
4x+(-2x)=4x-2x=2x
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la
suma de su resultado , podemos escribir los sumando en paréntesis
(a)+(-2a2) +(3b)=a+2a2+3b
Suma de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de
los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios.
podemos seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a + 4a+6b-5c-8b con c+6b-3a + 5b
a) Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada término:
4a+3a+6b-8b -3a +5b+6b+c 2.
Agrupamos las sumas de los términos comunes:

3. [4a-3a) +3a+16b+5b] + [-8b+6b) + c 3.
Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su
signo en el resultado: [4a-3a) +3a + [6b+ 5b] + [-8b+6b²] + c = a + 3a²+11b-2b+c
Resta de expresiones algebraicas
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del
álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica
sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que
están compuestas por términos numéricos, literales. y exponentes, debemos estar
atentos a las siguientes reglas:
Resta de moromios:
La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x-4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso. 1, o
sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos
casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x-4x= (2-4)x=-2x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos
cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo
negativo cambia a positivo
debemos recordar ademas , que en la resta , el orden de los factores se debe tener
en cuenta
(4x) (-2x)= 4x + 2x = 6x. (-2x) (4x) = -2x-4x=-6x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo.
Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre
paréntesis:
(4x) (3y) 4x 3y (a) - (2a) - (3b) = a - 2a3b (3m) - (-6n) 3m + 6n
Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás

4. términos: (2a)-(-6b2)-(-3a²)-(-4b) - (7a) - (9a) = [(2a) - (7)]-[(-3a²)-- (9a)]-[(-6b)-(-4b)]
= [-5a]-[-12a2]-[-2b] =-5a + 12a +2b2
Resta de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de
los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. Para
restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos c + 6b2-3a + 5b de 3a² + 4a + 6b-5c-8b2
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada término:
4a+3a² + 6b - 8b2 -3a5b6b² + c
2. Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo-
sustraendo: [(4a) -(-3a)] + 3a² + [(6b) - (5b)] + [(− 8b²) - (6b²)] - c
3. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian
Valor numérico de expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado final que se obtiene
al sustituir los valores de todas las incógnitas que aparecen en la expresión que nos
interesa evaluar y de realizar todas las operaciones indicadas respetando el orden
indicado por los signos de agrupación.
Por ejemplo, si el valor de x es5, entonces, el valor de 2x es 10, esto es: 2x=2.5=10
Ejemplo :
Calcular el valor numérico para: X+15
Cuando x=2
Sustituimos en la expresión:
x+15=2+15=17
El valor numérico de la expresión es 17. 3x Cuando x-1
Multiplicación de expresiones algebraicas
Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe de aplicar la regla de
los signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales se

5. escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone
cada literal con su correspondiente exponente.
Ejemplo: Multiplicar: 3x y por 7x (3xy) (7x)
(3xy) (7x)
Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es
la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en uno de
los factores se escribe y con su propio exponente.
(3)(7)xy
21xy
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los
monomios que forman al polinomio, ejemplo:
3+ (2x³-3x²+4x-2)
(3 * 2x³) + (3 = −3x) + (3 + 4x) + (3 + −2)
6³x9²x+12x-6
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un
polinomio por todos los monomios del otro polinomio,
por ejemplo. (2x-3) - (2x-3x+4x)
(2x²+ 2x®) + (2x²+ −3x²) + (2x²+ 4x) + (−3 + 2x³) + (−3+−3x²) + (−3 ×
4x-6x+8x-6x +9x-12x
División de expresiones algebraicas
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la
división aritmética, así que si hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo,
y q(y) siendo el divisor. de modo que el grado de p(x) sea mayor o iguala 0

6. siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas dividiéndose. División que
podemos representar. Para la división es necesario considerar también la ley
de los signos y una ley de los exponentes.
La ley de los signos nos dice que.
1.- + /+= +
2 -+/-= -
3 - -/ + = -
4 - -/- = +
A Y la ley de los exponentes nos dice que si tenemos las mismas bases tanto en el
dividendo como en el divisor sus exponentes se restan.
Nota-Si el exponente del término es 0 se escribe la unidad.
División de monomios.
Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus exponentes.
Ejemplo.-5xm+2y4z/-4xm-4y3z = 5/4x6y
División de polinomio entre monomio.
Se realiza dividiendo cada uno de los factores del polinomio entre el factor del
monomio
Ejemplo.-33-620 + 9ab2/3=a2-2ab+ 3b2
División de polinomios- Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario
seguir los siguientes pasos.
Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se
resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente que
el dividendo.
Ejemplo.-- 15x2 + 22xy - 8y2/-3x + 2y = 5x-4y

7. Productos notables de expresiones algebraicas
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con
expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple
inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su
aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula factorización. Por ejemplo,
la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de
dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Factorización:
es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una
expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el
producto de dos o más factores.
Factorización por factor común:
se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del
mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del
polinomio por el F.C.
Factorización por agrupación:
no todos los elementos del polinomio comparten un factor común, por lo que se
deben identificar primero los grupos de lo elementos que si comparten términos
comunes y después factorizar cada grupo de elementos.
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:
Un trinomio que es el producto de un binomio multiplicado por sí mismo, como a2
+
2ab + b2
(de (a + b)2
), y a2
– 2ab + b2
(de (a – b)2
).
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
La regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz
cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el
signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del
trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado
Diferencia de cuadrado perfecto:

8. La factorización de una diferencia de cuadrados está formada por una ecuación con
dos términos: uno positivo y el otro, negativo. Ambos deben de ser raíces cuadradas
exactas. Y lo que se hace es realizar una resta entre ellos. De ahí el nombre de
factorización por diferencia de cuadrados.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Este es uno de los casos especiales de factorización. Consiste en convertir un trinomio en un
trinomio cuadrado perfecto adicionando o sustrayendo un término
El primer y tercer término tienen que ser cuadrados perfectos. Y el objetivo es hacer que el
segundo término sea el doble del producto de las raíces de esos cuadrados. Este proceso se
llama «complementar cuadrados
Factorizando Trinomios: x2
+ bx + c
Los trinomios de la forma x2
+ bx + c normalmente pueden factorizarse como el
producto de dos binomios. Recuerda que un binomio es simplemente un polinomio
de dos términos.
Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (
) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).
Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
1. Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del trinomio,
dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y
en el termino “a ” de la manera .
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino
será la raíz cuadrada del termino la que seria “ax”.
3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el
valor del polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el
signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx”
y de “c”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y
cuatro del caso del trinomio anterior.
Cubo Perfecto de Binomios
La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada
con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que
cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.

9. 2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triple de la primera raíz
cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último
término.
4. Que el tercer término sea el triple de la primera raíz cúbica por la raíz
cubica del último término elevada al cuadrado
Simplificar fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica primero se deben factorizar los
polinomios del numerador y del denominador, y luego eliminar los factores
que tengan en común.
Evidentemente, para poder hacer la simplificación de fracciones
algebraicas es imprescindible que sepas qué es la factorización de
polinomios y cómo se hace. Si aún no sabes cómo se factorizan los
polinomios o no te acuerdas del todo, te recomiendo que antes de seguir
vayas a la página enlazada, ya que de lo contrario difícilmente entenderás
el procedimiento. Allí se explica paso a paso cómo factorizar polinomios y,
además, podrás ver varios ejemplos y practicar con ejercicios resueltos.
Ahora sí, veamos cómo se simplifica una fracción algebraica aplicando el
método de la factorización de polinomios mediante un ejemplo:
Simplifica la siguiente fracción algebraica:
Observa que en realidad primero encontramos fracciones equivalentes a cada una
de las fracciones algebraicas que se están sumando, porque:
Así que sumar:
Es lo mismo que sumar:

10. porque ahora tenemos denominador común.
Sumas de fracciones algebraicas:
El proceso a seguir para sumar dos o más fracciones algebraicas dependerá de si
las fracciones son homogéneas o heterogéneas. Si las fracciones son
heterogéneas, tenemos que empezar calculando el mínimo común denominador
para reescribirlas como fracciones homogéneas equivalentes
Cuando las fracciones algebraicas a sumar tienen el mismo denominador, sea este
un número o una expresión algebraica, encontrar su suma es muy fácil, ya que
bastará con escribir el mismo denominador y sumar los numeradores.
En este caso, el denominador de ambas expresiones algebraicas es el 3, entonces,
tenemos:
Seguidamente, se reducen los términos semejantes en el numerador, de esta forma:
Por lo tanto

11. Resta de fracciones algebraicas
Podemos restar dos o más fracciones algebraicas homogéneas al usar un solo
denominador y restar sus numeradores. Si es que las fracciones algebraicas son
heterogéneas, tenemos que empezar encontrando su mínimo común denominador
para escribir fracciones homogéneas equivalentes.
Planteamos la operación a realizar:
Notamos que se trata de la resta de dos fracciones con denominador común 5.
La fracción resultante se obtiene tomando la resta de los numeradores y dividiendo
entre el denominador común:
El resultado es:
Multiplicación de fracciones algebraicas

12. Para multiplicar fracciones algebraicas primero se factorizan todos los polinomios de
dichas fracciones, en segundo lugar se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí, y, por último, se simplifica la fracción obtenida.
Por lo tanto, en realidad el producto de fracciones algebraicas se calcula de manera
parecida al producto de fracciones normales.
Veamos entonces cómo se multiplican dos fracciones algebraicas con un ejemplo:
{3x}{x^2+x-2} cdot cfrac{x^2-6x+5}{x+1}
División de fracciones algebraicas
Para calcular una división de fracciones algebraicas primero factorizamos
todos los polinomios, luego multiplicamos las fracciones en cruz (el primer
numerador por el segundo denominador y el primer denominador por el
segundo numerador) y, finalmente, simplificamos la fracción algebraica.
Así pues, veamos mejor cómo se dividen dos fracciones algebraicas mediante
un ejemplo:
El primer paso para dividir dos fracciones algebraicas es factorizar todos los
polinomios que intervienen en la operación:
Ahora tenemos que dividir las fracciones. Para ello, multiplicamos en cruz las
fracciones, es decir, el primer numerador se multiplica por el segundo denominador
y el resultado será el numerador de la nueva fracción, y, del mismo modo, el primer
denominador se multiplica por el segundo numerador y el resultado será el
denominador de la nueva fracción:

13. Simplificamos los factores que se repiten en el denominador y en el numerador:
Y todavía podemos simplificar más la fracción, ya que 6:2 = 3.
La fracción ya no se puede simplificar más. Por tanto, ya hemos dividido las
fracciones algebraicas.
Factorización por ruffini
La factorización de polinomios tiene como objetivo convertir el polinomio en
un producto de polinomios que tienen un grado menor que el grado del
polinomio dado; uno de los tipos de factorización es el método de ruffini. En el
siguiente post estudiaremos las características de éste método y su
aplicación.
Regla de ruffini
Éste es un método muy práctico, eficaz y sencillo, que nos permite con su
aplicación, encontrar las diferentes raíces de cualquier polinomio. Es ideal
para aquellos polinomios que tienen un grado mayor que dos (2).
Este método consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio dado y
formar una tabla; en el momento en que el último resultado de la tabla sea
cero (0) habremos culminado; si no ocurre ésto, entonces debemos intentarlo
con otra posible raíz.
Cuando hablamos de la raíz del polinomio nos referimos a un divisor del
término independiente del polinomio (el término independiente es aquel que
no tiene variable).

14. Suma y resta de radicales
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere
decir que deben compartir el mismo índice y radicando; también hay que
estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para poder
realizar estas operaciones.
Si tienes dificultad para entender las respuestas, ve la operación sin la raíz.
Recuerda que si no hay un número antes del signo de raíz, ese número es 1.
1. 3 + 1 = 4
2. 5 – 2 = 3
3. 6 – 1 + 4 = 9
4. –5 – 3 – 1 = –9
Multipiplico radicales con distinto índice
Aplicaco la propiedad 3, de otra manera, se puede realizar el mismo trabajo
hallando en mínimo común múltiplo de los indices de los radicales y este será
el nuevo índice del radical,
luego dividimos el mínimo común múltiplo por cada indice del radical y este
resultado lo elevamos cada término de los radicandos. Luego efectuamos la
multiplicación de radicales con igual índice de radical (propiedad 1). vease el
ejemplo dado:
Divido radicales con distinto índice
El proceso es similar al anterior solo que aqui dividimos, observa el ejemplo:

15. De otra manera hallamos el minimo común múltiplo de los ínices: mcm (6,3) =
6. Este resultado lo dividimos por cada índice 6/6 = 1 (exponente del primer
radicando, 6/3 = 2 (exponente del segundo radicando).