SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 29
Downloaden Sie, um offline zu lesen
REPÚBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN BARCELONA
REALIZADO POR:
Stefany Marcano
C.I V-27.823.547
Profesor:
Pedro Beltrán
BARCELONA, 12 DE JUNIO DEL 2019
INTRODUCCIÓN
Una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes
llamadas parámetros.
Las ecuaciones paramétricas se usan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que conforman un
objeto geométrico como una curva o superficie, en cuyo caso las ecuaciones se denominan colectivamente una
representación paramétrica o parametrización (alternativamente deletreada como parametrización) del objeto.
Entre sus expresiones t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y solo si hay un valor de t tal que
estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables de salida escalares
individuales se combinan en una sola ecuación paramétrica en vectores.
Además de las curvas y las superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades
algebraicas de dimensión superior, con el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el
número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para las curvas, la
dimensión es uno y se usa un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).
GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL
Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también
de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de
instrumento para representar varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente
Los vectores son representados
por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones
como suma, resta y
multiplicación por números
reales son definidas a través de
métodos geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus
operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de
descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza
un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los
vectores, independientemente del
sistema de coordenadas o de
cualquier tipo de representación
geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una
o más dimensiones.
Entre los principales sistemas se encuentran:
Sistema unidimensional
Se trata de una recta donde un punto (O)
representa el origen y otro punto (P)
determina la escala (longitud) y el
sentido de esta:
Sistema de coordenadas rectangulares
(bidimensional)
Está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas
eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa
forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado
por las distancias que existen entre los ejes y P.
Sistema de coordenadas polares (bidimensional)
En este caso el sistema es compuesto por un punto O
(origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen
en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano,
con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo
(Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el
origen y el punto P.
Sistema tridimensional rectangular
Formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z)
que tienen como origen un punto O en el espacio.
Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el
espacio quedará dividido en ocho regiones
llamadas octantes. La referencia de un punto P
del espacio es dada por las distancias que existen
entre los planos y P.
Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su
extremo final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su
dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de
aplicación.
Los elementos de un vector son los siguientes:
Módulo
Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un
vector, representada por un número real junto con una unidad.
Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm
Dirección
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos
cardinales (norte, sur, este y oeste).
Sentido
Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo
del vector, indicando hacia dónde se dirige este.
CAMPO VECTORIAL
Es toda aplicación que a cada punto del espacio le hace corresponder un vector. Ejemplo: la fuerza de atracción
gravitatoria que genera la tierra en cualquier punto del espacio.
CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES
VECTOR FIJO
Es aquel cuyo punto de
aplicación (origen) es fijo; es
decir, que se mantiene ligado a
un punto del espacio, por lo que
no puede desplazarse en este.
VECTOR LIBRE
Puede moverse libremente en el espacio
porque su origen se traslada a cualquier
punto sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
VECTOR DESLIZANTE
Es aquel que puede trasladar su origen a
lo largo de su línea de acción sin cambiar
su módulo, sentido o dirección.
VECTORES EQUIPOLENTES
Son aquellos vectores libres que
tienen igual módulo, dirección (o
estas son paralelas) y sentido que
un vector deslizante o un vector
fijo.
VECTORES EQUIVALENTES
Ocurre cuando dos vectores tienen la
misma dirección (o son paralelas), el
mismo sentido, y a pesar de tener
diferentes módulos y puntos de
aplicación, estos provocan efectos
iguales.
IGUALDAD DE VECTORES
Estos tienen igual módulo, dirección y
sentido, aun cuando sus puntos de
partida son diferentes, lo que permite
que un vector paralelo se traslade a sí
mismo sin afectarlo.
VECTORES OPUESTOS
Son aquellos que tienen el mismo
módulo y dirección, pero su sentido es
opuesto.
VECTOR NULO
Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es
decir, su punto de origen y extremo
coinciden en un mismo punto.
o
VECTOR UNITARIO
Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este
se obtiene al dividir el vector por su módulo y es utilizado
para determinar la dirección y sentido de un vector, bien
sea en el plano o en el espacio, utilizando los vectores
base o unitarios normalizados, que son:
OPERACIONES CON VECTORES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE
VECTORES EN EL ESPACIO
SUMA Y RESTA
MULTIPLICACIÓN
El nuevo vector tendrá sus propias características.
– La dirección: este nuevo vector será perpendicular al plano, que es
determinado por los vectores originales.
– El sentido: este se determina con la regla de la mano derecha,
donde se gira el vector A hacia el B señalando el sentido de la
rotación con los dedos, y con el pulgar se marca el sentido del vector.
– El módulo: es determinado por la multiplicación de los módulos de
los vectores AxB, por el seno del ángulo menor que existe entre estos
vectores. Se expresa:
El valor del ángulo que existe entre los dos vectores va a
depender de si estos son paralelos o perpendiculares. Entonces,
es posible afirmar lo siguiente:
– Si los vectores son paralelos y tienen el mismo sentido, seno 0º
= 0.
– Si los vectores son paralelos y tienen sentidos opuestos, seno
180º = 0.
– Si los vectores son perpendiculares, seno 90º = 1.
Cuando un producto vectorial es expresado en función de sus
vectores bases, se tiene que:
Permite representar una curva o superficie en el plano o en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
•Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas
ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, z =
bt
Para describir una superficie en el espacio R3 se
emplean dos parámetros.: s, t. y el correspondiente
sistema de tres ecuaciones paramétricas es x =
x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t), resolviendo para s y t el
sistema formado por las dos primeras ecuaciones y
reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede
obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) = 0
Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones
paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s sen t , z
= a cos t
.
Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de
curvatura de una curva plana, la curvatura y la torsión
de una curva en el espacio; plano tangente de una
superficie., etc. y da motiva a la llamada derivación
de ecuaciones paramétricas con resultados
peculiares.En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por
un sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).
CURVAS NOTABLES
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que:
Una expresión paramétrica es:
ELIPSE
Una elipse con centro en , que se interseque con el eje x en , y con el eje y en , verifica que:
Una expresión paramétrica es:
REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICADE UNA CURVA
En un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente
o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están
representados por n de la forma representa la i-ésima coordenada del punto
generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3
funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
donde
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a
cada punto
le corresponda un punto distinto de la
curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto
correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las
derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta
de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial:
Donde representa al vector unitario correspondiente a la coordenada K-ésima. Por ejemplo, las
funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos
reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma:
Siendo la base usual del espacio bidimensional real.
CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia.
CICLOIDE
Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una
recta fija.
Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y
sea M el punto fijo que describe la curva.
que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con
T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá
hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al
arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual
al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:
HIPOCICLOIDE
Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo
siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.
Sean a el radio de la circunferencia fija de
centro O, b el radio de la circunferencia
menor, de centro O´, que rueda,
permaneciendo siempre tangente a la
circunferencia mayor, M el punto fijo de la
circunferencia menor que describe la
hipocicloide, y T el punto de tangencia. En
A coinciden M y T. cuando M haya
descrito la arcada AB; habrá girado 360°,
y el punto T habrá recorrido el arco AB; o
sea: arco AB=2πb.
Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.
ASTROIDE
Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son
inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son
conmensurables, resulta una curva cerrada.
En el caso particular de b=(1/4)a, se
obtiene una curva llamada astroide.
Las ecuaciones paramétricas de
esta curva se deducen de las de la
hipocicloide, sustituyendo b por
(1/4)a y después reduciendo queda:
Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo,
o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de
referencia.
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de
puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y
θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P.
El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la
«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
Es un sistema de coordendas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y
una distancia.
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención
de representar el origen por (0,0º).
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares
de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre
el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al
centro de coordenadas, se tiene:
Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
• Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los
intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las
siguientes fórmulas ( “arctan” denota la inversa de la función
tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes
fórmulas:
o equivalentemente
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de
la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada
del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma.
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando x e y son funciones
de una nueva variable, el parámetro t . Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las
derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en términos de dt.
Se sustituye estas expresiones en la integral y se factoriza el
término dt² fuera del radical.
LA LONGITUD DE UNA CURVA PARAMETRIZADA
Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones:
Si dejamos que t varíe de -1.5 a 1.5, la curva resultante se ve así:
EJEMPLO
Al diferenciar la función x Al diferenciar la función y
Al sustituir estas expresiones en la integral, obtenemos:
Ahora todo el integrando está escrito en términos de t por lo que los límites de integración corresponden con los
valores inicial y final del parámetro t. En este caso, t va de -1.5 a 1.5
Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones que definen la ubicación de los puntos utilizando otra variable. Por lo
general, la variable independiente se representa como un valor t, mientras que los valores x e y se escriben como
funciones de "t".
Las ecuaciones han sido escritas en notación de funciones. Recuerde, esto significa que x (t) es una función llamada 'x'
que se define utilizando una variable t.
CONCLUSIÓN
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores,
matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de
ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo
https://www.youtube.com/watch?v=LSsrD-gU-AE
https://www.youtube.com/watch?v=buX2WIloCSU
EcurRed, (25 de mayo del 2016). Ecuaciones paramétricas. Recuperado de:
https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
BIBLIOGRAFÍA
Wikipedia, (editado el 27 de mayo del 2018). Ecuaciones paramétricas. Recuperado de
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
Superprof. Operaciones con vectores. Recuperado de
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/operaciones-de-vectores-en-el-espacio.html
Cursos.aiu.edu. Matemáticas superiors. Recuperadode http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%202.pdf
Blogsalvatierrac.blogspot (15 de mayo del 2013). ¿Cómo convertir una curva paramétrica y polar a una rectangular o
cartesiana? Recuperado de http://blogsalvatierrac.blogspot.com/2013/05/como-convertir-una-curva-parametrica-y.html
Lifeder. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores. Recuperado de: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-
fundamentos-magnitudes-vectores/
Khan academy. Campos vectoriales. Recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-
about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/vector-fields

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Grupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperado
Grupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperadoGrupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperado
Grupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperadolopez123456789
 
Rotacional de un campo vectorial
Rotacional de un campo vectorialRotacional de un campo vectorial
Rotacional de un campo vectorialEmma
 
Examen resuelto metodos numericos
Examen resuelto metodos numericosExamen resuelto metodos numericos
Examen resuelto metodos numericosUNA PUNO PERU
 
rectas y planos en R3
rectas y planos en R3rectas y planos en R3
rectas y planos en R3Ivan Nina
 
Que es el wronskiano
Que es el wronskianoQue es el wronskiano
Que es el wronskianoEIYSC
 
Hugo Medina Guzmán Fisica II Solucionario
Hugo Medina Guzmán Fisica II SolucionarioHugo Medina Guzmán Fisica II Solucionario
Hugo Medina Guzmán Fisica II SolucionarioPavel Gomez M
 
Informe de práctica de física 2 campo eléctrico
Informe de práctica de física 2 campo eléctricoInforme de práctica de física 2 campo eléctrico
Informe de práctica de física 2 campo eléctricoMartín Vinces Alava
 
Conjunto Fundamental de Soluciones
Conjunto Fundamental de SolucionesConjunto Fundamental de Soluciones
Conjunto Fundamental de SolucionesDiego Salazar
 
Métodos numéricos - Interpolación
Métodos numéricos - InterpolaciónMétodos numéricos - Interpolación
Métodos numéricos - InterpolaciónDavid A. Baxin López
 
Factorizacion lu
Factorizacion luFactorizacion lu
Factorizacion lujonathann89
 
Aplicación de ecuaciones diferenciales homogéneas
Aplicación de ecuaciones diferenciales homogéneasAplicación de ecuaciones diferenciales homogéneas
Aplicación de ecuaciones diferenciales homogéneasMayi Punk
 
Método de newton raphson Metodos Numericos
Método de newton raphson Metodos NumericosMétodo de newton raphson Metodos Numericos
Método de newton raphson Metodos NumericosTensor
 
Ejercicios de integrales triples
Ejercicios de integrales triplesEjercicios de integrales triples
Ejercicios de integrales triplesCarlos Quiroz
 
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTE
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTEEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTE
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTEEdgar Flores
 
Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superiorAplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superiorIsai Esparza Agustin
 

Was ist angesagt? (20)

Grupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperado
Grupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperadoGrupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperado
Grupo 7-aplicaciones-de-integrales-triples-recuperado
 
Rotacional de un campo vectorial
Rotacional de un campo vectorialRotacional de un campo vectorial
Rotacional de un campo vectorial
 
Examen resuelto metodos numericos
Examen resuelto metodos numericosExamen resuelto metodos numericos
Examen resuelto metodos numericos
 
rectas y planos en R3
rectas y planos en R3rectas y planos en R3
rectas y planos en R3
 
Que es el wronskiano
Que es el wronskianoQue es el wronskiano
Que es el wronskiano
 
Hugo Medina Guzmán Fisica II Solucionario
Hugo Medina Guzmán Fisica II SolucionarioHugo Medina Guzmán Fisica II Solucionario
Hugo Medina Guzmán Fisica II Solucionario
 
Informe de práctica de física 2 campo eléctrico
Informe de práctica de física 2 campo eléctricoInforme de práctica de física 2 campo eléctrico
Informe de práctica de física 2 campo eléctrico
 
Conjunto Fundamental de Soluciones
Conjunto Fundamental de SolucionesConjunto Fundamental de Soluciones
Conjunto Fundamental de Soluciones
 
Métodos numéricos - Interpolación
Métodos numéricos - InterpolaciónMétodos numéricos - Interpolación
Métodos numéricos - Interpolación
 
Vector gradiente
Vector gradienteVector gradiente
Vector gradiente
 
Factorizacion lu
Factorizacion luFactorizacion lu
Factorizacion lu
 
Aplicación de ecuaciones diferenciales homogéneas
Aplicación de ecuaciones diferenciales homogéneasAplicación de ecuaciones diferenciales homogéneas
Aplicación de ecuaciones diferenciales homogéneas
 
Ejemplo de teorema de lagrange
Ejemplo de teorema de lagrangeEjemplo de teorema de lagrange
Ejemplo de teorema de lagrange
 
COORDENADAS POLARES
COORDENADAS POLARESCOORDENADAS POLARES
COORDENADAS POLARES
 
Método de newton raphson Metodos Numericos
Método de newton raphson Metodos NumericosMétodo de newton raphson Metodos Numericos
Método de newton raphson Metodos Numericos
 
Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Newton Raphson-ejercicios resueltos.Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Newton Raphson-ejercicios resueltos.
 
Ejercicios de integrales triples
Ejercicios de integrales triplesEjercicios de integrales triples
Ejercicios de integrales triples
 
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTE
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTEEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTE
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTE
 
Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superiorAplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superior
 
Unidad 4. integral de lebesgue
Unidad 4. integral de lebesgueUnidad 4. integral de lebesgue
Unidad 4. integral de lebesgue
 

Ähnlich wie Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones parametricas 7 06-2019-
Ecuaciones parametricas 7 06-2019-Ecuaciones parametricas 7 06-2019-
Ecuaciones parametricas 7 06-2019-leonelgranado
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas KariannaBravo
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas  Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas claudiabolivar3
 
Algebra vectorial power point
Algebra vectorial power pointAlgebra vectorial power point
Algebra vectorial power pointnmanaure
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasKenny Fereira
 
Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasEcuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasRominaMndezDunn
 
Generalidades vectoriales
Generalidades vectorialesGeneralidades vectoriales
Generalidades vectorialesDianaGuillen20
 
Trabajo práctico de matemática
Trabajo práctico de matemáticaTrabajo práctico de matemática
Trabajo práctico de matemáticaFranco Gomez
 
Trabajo vectores en el plano y el espacio
Trabajo vectores en el plano y el espacioTrabajo vectores en el plano y el espacio
Trabajo vectores en el plano y el espacioJonathan Villarroel
 
Ecuaciones parametricas daniel guzman
Ecuaciones parametricas daniel guzmanEcuaciones parametricas daniel guzman
Ecuaciones parametricas daniel guzmandanieljose0
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasKariannaBravo
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasIvana Montilla
 

Ähnlich wie Ecuaciones paramétricas (20)

Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 
Ecuaciones parametricas 7 06-2019-
Ecuaciones parametricas 7 06-2019-Ecuaciones parametricas 7 06-2019-
Ecuaciones parametricas 7 06-2019-
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas  Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
 
Algebra vectorial power point
Algebra vectorial power pointAlgebra vectorial power point
Algebra vectorial power point
 
Pamela blasco teoria electromagnetica
Pamela blasco  teoria electromagneticaPamela blasco  teoria electromagnetica
Pamela blasco teoria electromagnetica
 
Pamela blasco teoria electromagnetica
Pamela blasco  teoria electromagneticaPamela blasco  teoria electromagnetica
Pamela blasco teoria electromagnetica
 
Pamela blasco teoria electromagnetica
Pamela blasco  teoria electromagneticaPamela blasco  teoria electromagnetica
Pamela blasco teoria electromagnetica
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 
Vectores en el espacio
Vectores en el espacioVectores en el espacio
Vectores en el espacio
 
Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasEcuaciones Paramétricas
Ecuaciones Paramétricas
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Algebra
 
Generalidades vectoriales
Generalidades vectorialesGeneralidades vectoriales
Generalidades vectoriales
 
Trabajo práctico de matemática
Trabajo práctico de matemáticaTrabajo práctico de matemática
Trabajo práctico de matemática
 
Trabajo vectores en el plano y el espacio
Trabajo vectores en el plano y el espacioTrabajo vectores en el plano y el espacio
Trabajo vectores en el plano y el espacio
 
Trabajo de Vectores
Trabajo de VectoresTrabajo de Vectores
Trabajo de Vectores
 
Trabajo de Vectores
Trabajo de VectoresTrabajo de Vectores
Trabajo de Vectores
 
Ecuaciones parametricas daniel guzman
Ecuaciones parametricas daniel guzmanEcuaciones parametricas daniel guzman
Ecuaciones parametricas daniel guzman
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 

Mehr von StefanyMarcano

Stefany Marcano, Diseño VII, Lecheria
Stefany Marcano, Diseño VII, LecheriaStefany Marcano, Diseño VII, Lecheria
Stefany Marcano, Diseño VII, LecheriaStefanyMarcano
 
Urbanismo, Stefany Marcano, Ciudad Industrial
Urbanismo, Stefany Marcano, Ciudad IndustrialUrbanismo, Stefany Marcano, Ciudad Industrial
Urbanismo, Stefany Marcano, Ciudad IndustrialStefanyMarcano
 
Urbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoUrbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoStefanyMarcano
 
Urbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoUrbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoStefanyMarcano
 
Urbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoUrbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoStefanyMarcano
 
Taller de Diseño VII, Stefany Marcano
Taller de Diseño VII, Stefany Marcano Taller de Diseño VII, Stefany Marcano
Taller de Diseño VII, Stefany Marcano StefanyMarcano
 
Modernismo & Post Modernismo
Modernismo & Post ModernismoModernismo & Post Modernismo
Modernismo & Post ModernismoStefanyMarcano
 
Arquitectura Barroca Española
Arquitectura Barroca EspañolaArquitectura Barroca Española
Arquitectura Barroca EspañolaStefanyMarcano
 
Arquitectura Manierista
Arquitectura ManieristaArquitectura Manierista
Arquitectura ManieristaStefanyMarcano
 
Análisis de Obras Arquitectónicas, Stefany Marcano
Análisis de Obras Arquitectónicas, Stefany MarcanoAnálisis de Obras Arquitectónicas, Stefany Marcano
Análisis de Obras Arquitectónicas, Stefany MarcanoStefanyMarcano
 
Informática, Stefany Marcano, Arquitectura
Informática, Stefany Marcano, ArquitecturaInformática, Stefany Marcano, Arquitectura
Informática, Stefany Marcano, ArquitecturaStefanyMarcano
 
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESDERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESStefanyMarcano
 

Mehr von StefanyMarcano (14)

Stefany Marcano, Diseño VII, Lecheria
Stefany Marcano, Diseño VII, LecheriaStefany Marcano, Diseño VII, Lecheria
Stefany Marcano, Diseño VII, Lecheria
 
Urbanismo, Stefany Marcano, Ciudad Industrial
Urbanismo, Stefany Marcano, Ciudad IndustrialUrbanismo, Stefany Marcano, Ciudad Industrial
Urbanismo, Stefany Marcano, Ciudad Industrial
 
Urbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoUrbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany Marcano
 
Urbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoUrbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany Marcano
 
Urbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany MarcanoUrbanismo, Stefany Marcano
Urbanismo, Stefany Marcano
 
Taller de Diseño VII, Stefany Marcano
Taller de Diseño VII, Stefany Marcano Taller de Diseño VII, Stefany Marcano
Taller de Diseño VII, Stefany Marcano
 
Modernismo & Post Modernismo
Modernismo & Post ModernismoModernismo & Post Modernismo
Modernismo & Post Modernismo
 
Arquitectura Barroca Española
Arquitectura Barroca EspañolaArquitectura Barroca Española
Arquitectura Barroca Española
 
Arquitectura Barroca
Arquitectura BarrocaArquitectura Barroca
Arquitectura Barroca
 
Arquitectura Manierista
Arquitectura ManieristaArquitectura Manierista
Arquitectura Manierista
 
Análisis de Obras Arquitectónicas, Stefany Marcano
Análisis de Obras Arquitectónicas, Stefany MarcanoAnálisis de Obras Arquitectónicas, Stefany Marcano
Análisis de Obras Arquitectónicas, Stefany Marcano
 
Informática, Stefany Marcano, Arquitectura
Informática, Stefany Marcano, ArquitecturaInformática, Stefany Marcano, Arquitectura
Informática, Stefany Marcano, Arquitectura
 
Condicionales
CondicionalesCondicionales
Condicionales
 
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESDERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
 

Kürzlich hochgeladen

Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacionalCapacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacionalamador030809
 
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMECTransporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMECamador030809
 
Sales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganicaSales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganicakiaranoemi
 
Proyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César GuzmánProyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César Guzmáncesarguzmansierra751
 
Submodulo III- Control de cloro residual OK.pptx
Submodulo III- Control de cloro residual OK.pptxSubmodulo III- Control de cloro residual OK.pptx
Submodulo III- Control de cloro residual OK.pptxMiltonEPalacios
 
PRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptx
PRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptxPRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptx
PRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptxciteagrohuallaga07
 
electricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicios
electricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicioselectricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicios
electricidad básica, ejemplos prácticos y ejerciciosEfrain Yungan
 
INTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemas
INTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemasINTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemas
INTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemasAnaRebecaMillanMarqu
 
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSEJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSLuisLopez273366
 
Unid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitarias
Unid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitariasUnid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitarias
Unid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitariasPatriciaRaimondi
 
METROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdf
METROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdfMETROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdf
METROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdfesparzadaniela548
 
La mineralogia y minerales, clasificacion
La mineralogia y minerales, clasificacionLa mineralogia y minerales, clasificacion
La mineralogia y minerales, clasificacionnewspotify528
 
224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf
224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf
224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdfLUISSANDOVALJIMENEZ
 
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitariasSanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitariasJilvertHuisaCenteno
 
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfSESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfEsvinAlvares
 
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdfPPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdfDarwinJPaulino
 
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptxPRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptxStibeCr
 
Sistema Séptico Domiciliario para viviendas rurales
Sistema Séptico Domiciliario para viviendas ruralesSistema Séptico Domiciliario para viviendas rurales
Sistema Séptico Domiciliario para viviendas ruralesrberinald
 
Sistema Operativo Windows Capas Estructura
Sistema Operativo Windows Capas EstructuraSistema Operativo Windows Capas Estructura
Sistema Operativo Windows Capas EstructuraJairoMaxKevinMartine
 
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptxEXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptxKeylaArlethTorresOrt
 

Kürzlich hochgeladen (20)

Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacionalCapacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
 
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMECTransporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
 
Sales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganicaSales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganica
 
Proyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César GuzmánProyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César Guzmán
 
Submodulo III- Control de cloro residual OK.pptx
Submodulo III- Control de cloro residual OK.pptxSubmodulo III- Control de cloro residual OK.pptx
Submodulo III- Control de cloro residual OK.pptx
 
PRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptx
PRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptxPRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptx
PRESENTACION Y PROGRAMAS PRE-REQUISITOS DEL SISTEMA HACCP BPM Y PHS 2023.pptx
 
electricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicios
electricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicioselectricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicios
electricidad básica, ejemplos prácticos y ejercicios
 
INTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemas
INTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemasINTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemas
INTERPOLACION de metodos numericos para resolver problemas
 
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSEJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
 
Unid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitarias
Unid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitariasUnid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitarias
Unid 3 Extraccion 10-10-23 operaciones unitarias
 
METROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdf
METROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdfMETROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdf
METROLOGÍA ÓPTICA E INSTRUMENTACIÓN BÁSICA.pdf
 
La mineralogia y minerales, clasificacion
La mineralogia y minerales, clasificacionLa mineralogia y minerales, clasificacion
La mineralogia y minerales, clasificacion
 
224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf
224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf
224154649-Diseno-Por-Flexion-de-Zapata-Aislada-y-de-Hormigon-Simple.pdf
 
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitariasSanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
 
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfSESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
 
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdfPPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
 
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptxPRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
 
Sistema Séptico Domiciliario para viviendas rurales
Sistema Séptico Domiciliario para viviendas ruralesSistema Séptico Domiciliario para viviendas rurales
Sistema Séptico Domiciliario para viviendas rurales
 
Sistema Operativo Windows Capas Estructura
Sistema Operativo Windows Capas EstructuraSistema Operativo Windows Capas Estructura
Sistema Operativo Windows Capas Estructura
 
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptxEXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
 

Ecuaciones paramétricas

  • 1. REPÚBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO EXTENSIÓN BARCELONA REALIZADO POR: Stefany Marcano C.I V-27.823.547 Profesor: Pedro Beltrán BARCELONA, 12 DE JUNIO DEL 2019
  • 2. INTRODUCCIÓN Una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros. Las ecuaciones paramétricas se usan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que conforman un objeto geométrico como una curva o superficie, en cuyo caso las ecuaciones se denominan colectivamente una representación paramétrica o parametrización (alternativamente deletreada como parametrización) del objeto. Entre sus expresiones t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y solo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables de salida escalares individuales se combinan en una sola ecuación paramétrica en vectores. Además de las curvas y las superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades algebraicas de dimensión superior, con el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para las curvas, la dimensión es uno y se usa un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).
  • 3. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL Fundamentos El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos. El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos: Geométricamente Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Analíticamente La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas. Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
  • 4. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran: Sistema unidimensional Se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta: Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional) Está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y P.
  • 5. Sistema de coordenadas polares (bidimensional) En este caso el sistema es compuesto por un punto O (origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano, con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el origen y el punto P. Sistema tridimensional rectangular Formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.
  • 6. Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha. Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación. Los elementos de un vector son los siguientes: Módulo Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector, representada por un número real junto con una unidad. Por ejemplo: |OM| = |A| = A = 6 cm Dirección Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste). Sentido Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia dónde se dirige este.
  • 7. CAMPO VECTORIAL Es toda aplicación que a cada punto del espacio le hace corresponder un vector. Ejemplo: la fuerza de atracción gravitatoria que genera la tierra en cualquier punto del espacio. CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES VECTOR FIJO Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio, por lo que no puede desplazarse en este. VECTOR LIBRE Puede moverse libremente en el espacio porque su origen se traslada a cualquier punto sin cambiar su módulo, sentido o dirección. VECTOR DESLIZANTE Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de acción sin cambiar su módulo, sentido o dirección.
  • 8. VECTORES EQUIPOLENTES Son aquellos vectores libres que tienen igual módulo, dirección (o estas son paralelas) y sentido que un vector deslizante o un vector fijo. VECTORES EQUIVALENTES Ocurre cuando dos vectores tienen la misma dirección (o son paralelas), el mismo sentido, y a pesar de tener diferentes módulos y puntos de aplicación, estos provocan efectos iguales. IGUALDAD DE VECTORES Estos tienen igual módulo, dirección y sentido, aun cuando sus puntos de partida son diferentes, lo que permite que un vector paralelo se traslade a sí mismo sin afectarlo. VECTORES OPUESTOS Son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, pero su sentido es opuesto. VECTOR NULO Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es decir, su punto de origen y extremo coinciden en un mismo punto. o
  • 9. VECTOR UNITARIO Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este se obtiene al dividir el vector por su módulo y es utilizado para determinar la dirección y sentido de un vector, bien sea en el plano o en el espacio, utilizando los vectores base o unitarios normalizados, que son: OPERACIONES CON VECTORES PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO SUMA Y RESTA MULTIPLICACIÓN El nuevo vector tendrá sus propias características. – La dirección: este nuevo vector será perpendicular al plano, que es determinado por los vectores originales. – El sentido: este se determina con la regla de la mano derecha, donde se gira el vector A hacia el B señalando el sentido de la rotación con los dedos, y con el pulgar se marca el sentido del vector. – El módulo: es determinado por la multiplicación de los módulos de los vectores AxB, por el seno del ángulo menor que existe entre estos vectores. Se expresa:
  • 10. El valor del ángulo que existe entre los dos vectores va a depender de si estos son paralelos o perpendiculares. Entonces, es posible afirmar lo siguiente: – Si los vectores son paralelos y tienen el mismo sentido, seno 0º = 0. – Si los vectores son paralelos y tienen sentidos opuestos, seno 180º = 0. – Si los vectores son perpendiculares, seno 90º = 1. Cuando un producto vectorial es expresado en función de sus vectores bases, se tiene que: Permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. ECUACIONES PARAMÉTRICAS •Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, z = bt Para describir una superficie en el espacio R3 se emplean dos parámetros.: s, t. y el correspondiente sistema de tres ecuaciones paramétricas es x = x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t), resolviendo para s y t el sistema formado por las dos primeras ecuaciones y reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) = 0 Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s sen t , z = a cos t . Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de curvatura de una curva plana, la curvatura y la torsión de una curva en el espacio; plano tangente de una superficie., etc. y da motiva a la llamada derivación de ecuaciones paramétricas con resultados peculiares.En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).
  • 11. CURVAS NOTABLES CIRCUNFERENCIA Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que: Una expresión paramétrica es: ELIPSE Una elipse con centro en , que se interseque con el eje x en , y con el eje y en , verifica que: Una expresión paramétrica es: REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICADE UNA CURVA En un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n de la forma representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t) donde
  • 12. Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada. Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial: Donde representa al vector unitario correspondiente a la coordenada K-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma: Siendo la base usual del espacio bidimensional real.
  • 13. CIRCUNFERENCIA Sea la circunferencia de centro en O y radio a sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia.
  • 14. CICLOIDE Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.
  • 15. que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide. En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:
  • 16. HIPOCICLOIDE Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija. Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb.
  • 17. Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.
  • 18.
  • 19. ASTROIDE Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada. En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda: Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.
  • 20. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». Es un sistema de coordendas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia. En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
  • 21. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x. Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene: Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos: • Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. • Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
  • 22. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( “arctan” denota la inversa de la función tangente): Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas: o equivalentemente
  • 23. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma. Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando x e y son funciones de una nueva variable, el parámetro t . Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en términos de dt. Se sustituye estas expresiones en la integral y se factoriza el término dt² fuera del radical.
  • 24. LA LONGITUD DE UNA CURVA PARAMETRIZADA Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones: Si dejamos que t varíe de -1.5 a 1.5, la curva resultante se ve así: EJEMPLO Al diferenciar la función x Al diferenciar la función y
  • 25. Al sustituir estas expresiones en la integral, obtenemos: Ahora todo el integrando está escrito en términos de t por lo que los límites de integración corresponden con los valores inicial y final del parámetro t. En este caso, t va de -1.5 a 1.5
  • 26. Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones que definen la ubicación de los puntos utilizando otra variable. Por lo general, la variable independiente se representa como un valor t, mientras que los valores x e y se escriben como funciones de "t". Las ecuaciones han sido escritas en notación de funciones. Recuerde, esto significa que x (t) es una función llamada 'x' que se define utilizando una variable t. CONCLUSIÓN El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
  • 27.
  • 29. EcurRed, (25 de mayo del 2016). Ecuaciones paramétricas. Recuperado de: https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas BIBLIOGRAFÍA Wikipedia, (editado el 27 de mayo del 2018). Ecuaciones paramétricas. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica Superprof. Operaciones con vectores. Recuperado de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/operaciones-de-vectores-en-el-espacio.html Cursos.aiu.edu. Matemáticas superiors. Recuperadode http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%202.pdf Blogsalvatierrac.blogspot (15 de mayo del 2013). ¿Cómo convertir una curva paramétrica y polar a una rectangular o cartesiana? Recuperado de http://blogsalvatierrac.blogspot.com/2013/05/como-convertir-una-curva-parametrica-y.html Lifeder. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores. Recuperado de: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial- fundamentos-magnitudes-vectores/ Khan academy. Campos vectoriales. Recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking- about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/vector-fields