1. CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
FACTORES O DIVISORES Y MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
En muchas ocasiones, es necesario saber si un número entero divide a otro
sin necesidad de efectuar la división. Para ello, se aplican las sencillas reglas
o criterios de divisibilidad.
Un número entero es divisible por:
2: Si termina en 0 o en cifra par.
3: Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4: Si sus dos últimas cifras son 00 o es múltiplo de 4.
5: Si termina en 0 o en 5.
6: Si lo es por 2 y por 3 a la vez.
8: Si sus tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8.
9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10: Si termina en 0.

2. Quizás le llame la atención que no se incluya la regla de divisibilidad por 7.
Esto se debe a que su complejidad es poco práctica y resulta más fácil saber
si el número es o no múltiplo de 7, realizando la división por 7.
NÚMEROS PRIMOS
El conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

3. Número Compuesto
Descomponer los números 87, 105, 2310 en sus factores primos.
Solución:
▪ Puesto que 8 7 = 15 es múltiplo de 3, 87 también lo es. Efectuando la
división por 3, el otro factor es 29, que es primo. Luego, 87 = (3)(29).
▪ Como 105 termina en 5, es divisible por 5. Efectuando la división por
5, el otro factor es 21, el cual se puede descomponer en sus factores
3 y 7. Luego, 105 = (3)(5)(7).
▪ Como 2310 es un número más grande, lo iremos dividiendo
sucesivamente por todos los números primos menores que él, por
los cuales sea divisible.
Luego, 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

4. Maximo común divisor
▪ Considerando el ejemplo anterior, el M.C.D. de los números 87, 105
y2310 es 3.
▪ En el conjunto de los números 24, 36, 48:
24 = (23)(3)
36 = (22)(32)
48 = (24)(3)
M.C.D. :(22)(3) = 12
Minimo común divisor
Considerando el ejemplo 2.8, el m.c.m. de los números 87, 105 y
2310 es 66990.
▪ En el conjunto de los números 2, 6, 10:
2 = 2
6 = (2)(3)
10 = (2)(5)
m.c.m. : (2)(3)(5) = 30.

5. Numeros pares e impares
12 es par porque 12 = (2)(6)
−5 es impar porque −5 = (2)(−3) + 1
0 es par porque 0 = (2)(0)
31 es impar porque 31 = (2)(15) + 1
−140 es par porque −140 = (2)(−70)
81 es impar porque 81 = (2)(40) + 1
P r o p i e d a d e s d e n ú m e r o s p a r e s e i m p a r e s
“Si a2 es un número natural par, entonces a es natural par”.
Solución:
Vamos a utilizar el método de demostración por contra recíproca.
La contra recíproca sería:
“Si a no es un número natural par, entonces a2 no es natural par”.
La cual se reescribe como:
“Si a es número natural impar, entonces a2 es natural impar”.
Al ser a natural impar, a = 2n + 1, siendo n un número natural,
tenemos:
aes impar ⇒a = 2n + 1 Definición de número impar.
⇒a2 = (2n + 1)2 Elevando al cuadrado.
⇒a2 = 4n2 + 4n + 1 Manipulación algebraica.
⇒a2 = 2(2n2 + 2n) + 1 Agrupación de términos.
⇒a2 = 2m + 1 m = 2n2 + 2n es un entero.
⇒a2 es impar Definición de número impar.
Hemos demostrado que si a es un número impar, entonces a2 es impar,
cuyacontra recíproca sería:
“Si a2 no es un número natural impar, entonces a no es natural impar”.
Es decir:
“Si a2 es un número natural par, entonces a es natural par”.
Lo cual verifica la demostración.