1.
ររៀបររៀងសាររ ើងវ ិញ កែម ច័ន្ទរស្ម៊ី រួមគ្នា គិត រ្វើ ន្ិងទទួលខមសត្តូវ
1
រូបមន្តខ្លះៗ
I. ឡាផ្លា ស 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒
a). ន្ិយមន្័យ
∇⃗⃗ =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k⃗ =
(
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z)
ជាែរន្ោម ∇⃗⃗ ែាមងែូអររោរន្រេកាត ។
b). ការអន្មវតត
រគអាចអន្មវតត ∇⃗⃗ បាន្ទាំងទាំហាំសាា កល ន្ិង ទាំហាំវមិចទ័រ ។
 សាា កលែៈ ∇⃗⃗ . f = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ f រៅថាត្កាតយង់នន្f , ជាទាំហាំវមិចទ័រ ។
 វមិចទ័រែៈ ∇⃗⃗ . ∇⃗⃗ = div ∇⃗⃗ រៅថា ឌ៊ីកហវែសង់នន្ V⃗⃗ , ជាទាំហាំសាា កល។
∇⃗⃗ ∧ V⃗⃗ = rot⃗⃗⃗⃗⃗ V⃗⃗ រៅថា រងវិល (Rotationnel )នន្ v⃗ , ជាទាំហាំសាា កល ។
សម៊ីការ Laplace
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
∆𝑈
𝜕2
𝑈
𝜕𝑥
+
𝜕2
𝑈
𝜕𝑦
+
𝜕2
𝑈
𝜕𝑧
𝜕2
𝑈
𝜕𝜌2
+
1
𝜌
𝜕𝑈
𝜕𝜌
+
1
𝜌2
𝜕2
𝑈
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝑈
𝜕𝑧2
𝜕2
𝑈
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑟
+
1
𝑟2 sin2 𝜑
𝜕2
𝑈
𝜕𝜃2
+
1
𝑟2 sin2 𝜑
𝜕
𝜕𝜑
(
𝑠𝑖𝑛𝜑𝜕𝑈
𝜕𝜑
)

2.
ររៀបររៀងសាររ ើងវ ិញ កែម ច័ន្ទរស្ម៊ី រួមគ្នា គិត រ្វើ ន្ិងទទួលខមសត្តូវ
2
II. ត្កាតយង់ (Gradient)
a). ន្ិយមន្័យ
ត្កាតយង់ជាអន្មគមន្៍មួយនន្ទាំហាំសាា កល។ របើ f ជាវមិចទ័រកេលភ្ជា ប់ព៊ីបកត្មបត្មួល df
រៅធាតមនន្បាំលាស់ទ៊ី dl⃗⃗⃗ ។
df⃗⃗⃗ = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ f. dl⃗⃗⃗
b). សញ្ញា ណរូបវិទា
បង្ហា ញព៊ីទិសរៅណាមួយនន្កេន្អគគិសន្៊ី f រែើតរ ើងរលឿន្បាំផមត។
c). ការបង្ហា ញ
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 𝐸 𝑋 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝐸 𝑦 =
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝐸𝑧 =
𝜕𝑈
𝜕𝑧
𝐸𝜌 =
𝜕𝑈
𝜕𝜌
,
𝐸 𝜃 =
1
𝜌
𝜕𝑈
𝜕𝜃
𝐸 𝑍 =
𝜕𝑈
𝜕𝑧
𝐸𝑟 =
𝜕𝑈
𝜕𝑟
,
𝐸 𝜃 =
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝑈
𝜕𝜃
,
𝐸 𝜑 =
1
𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝜑
III. ឌ៊ីរវែសង់ (Divergence)
a). ផាមចែាមងកេន្វមិចទ័រ
ផាមចែាមងកេន្វមិចទ័រ 𝑣 ឆ្ាងកាត់នផទកែង 𝑆 គឺែាំណត់រោយ 𝜙𝑠(𝑣) = ∬ 𝑣𝑠
. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ ជាវមិចទ័រណ័ រម៉ា ល់រលើនផទ 𝑆 ។

3.
ររៀបររៀងសាររ ើងវ ិញ កែម ច័ន្ទរស្ម៊ី រួមគ្នា គិត រ្វើ ន្ិងទទួលខមសត្តូវ
3
b). ន្ិយ័មន្័យ
មន្ 𝑆 ជានផទបិទជមាំវិញចាំន្មច 𝑀មួយ ។ 𝑆 ែាំណត់បាន្មឌ𝑣។ 𝑑𝑖𝑣 𝑉⃗ ត្តង់ចាំន្មច 𝑀គឺ
ែាំណត់រោយ៖
𝑑𝑖𝑣 𝑉⃗ = lim
𝑣→0
∬ 𝑣𝑠
. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗
𝑣
= lim
𝑣→0
𝜙𝑠(𝑣)
𝑣
c). សញ្ញា ណរូបវិទា
អន្មគមន្៍ឌ៊ីរវែសង់ (Divergence)បង្ហា ញព៊ីវតតមន្ត្បភពកេលបាន្បរងាើតកេន្វមិចទ័រ ។
ឧទហរណ៍ ែៈ បន្ទមែរអ ិចត្ឌិចគឺជាត្បភពនន្កេន្អគគិសន្៊ី 𝐸⃗ ។
d). ការបង្ហា ញ
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
𝑑𝑖𝑣⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴
𝜕𝐴 𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴 𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑥
1
𝜌
𝜕𝑈
𝜕𝜌
(𝜌𝐴 𝜌) +
1
𝜌
𝜕𝐴 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑧
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝐴 𝑟) +
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝐴 𝜃
𝜕𝜃
+
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕
𝜕𝜑
(𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝐴 𝑧)
IV. រ ៉ាូសមិន្រណៀល (Rotationnel)
a). បាំលាស់ទ៊ីកេន្វមិចទ័រ
មន្ 𝑣 កេន្វមិចទ័រ ន្ិង (𝑐) កខែរកាងណាមួយ ។ បាំលាស់ទ៊ីនន្ 𝑣 តាម(𝑐)គឺ
𝒞𝑐 (𝑉⃗ ) = ∫ 𝑣. 𝑑𝑙⃗⃗⃗
𝑑𝑙⃗⃗⃗ ជាធាតមបាំលាស់ទ៊ីរលើ 𝐶

4.
ររៀបររៀងសាររ ើងវ ិញ កែម ច័ន្ទរស្ម៊ី រួមគ្នា គិត រ្វើ ន្ិងទទួលខមសត្តូវ
4
b). ន្ិយមន្័យ
មន្កខែរកាង (𝑐)បិទជមាំវិញចាំន្មច 𝑀។ (𝐶) ែាំណត់នផទ 𝑆 ។ ែាំប៉ាូសង់ណ័ រម៉ា ល់នន្
វមិចទ័រ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑉⃗ រលើនផទ 𝑆 ត្តង់ចាំន្មច 𝑀 គឺ ៖
(𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑉⃗ ) 𝑛
= lim
𝑆→0
∫ 𝑣. 𝑑𝑙⃗⃗⃗
𝑆
= lim
𝑆→0
𝒞𝑐 (𝑉⃗ )
𝑆
c). សញ្ញា ណរូបវិទា
អន្មគមន្៍ Rotationnel បង្ហា ញព៊ីវតតមន្ចលនារាងរងវង់(ខយល់ ទឹែ វតថមរផែងៗ)កេល
បរងាើតបាន្កេន្វមិចទ័រ។
ឧទហរណ៍ ែៈ ចរន្តរអ ិចត្ឌិចមន្ចលនារាងរងវង់ (Tourbillons) នន្កេន្ម៉ា រញ៉ាទិច 𝐵⃗ ។
d). ការបង្ហា ញ
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
𝐸⃗ = 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴
𝐸 𝑋 =
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴 𝑦
𝜕𝑧
𝐸 𝑦 =
𝜕𝐴 𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑥
𝐸𝑧 =
𝜕𝐴 𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴 𝑥
𝜕𝑦
𝐸𝜌 =
1
𝜌
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝜃
−
𝜕𝐴 𝜃
𝜕𝑧
, 𝐸 𝜃 =
𝜕𝐴 𝜌
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝜌
𝐸 𝑍 =
1
𝜌
[
𝜕(𝜌𝐴 𝜃)
𝜕𝜌
−
𝜕𝐴 𝜌
𝜕𝜃
]
𝐸𝑟 =
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
[
𝜕
𝜕𝜑
(𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑)
−
𝜕𝐴 𝜌
𝜕𝜃
]
𝐸 𝜃 =
1
𝑟
[
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟𝐴 𝜑) −
𝜕𝐴 𝑟
𝜕𝜑
]
𝐸 𝜑 =
1
𝑟
[
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝐴 𝑟
𝜕𝜃
−
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟𝐴 𝜃)]

5.
ររៀបររៀងសាររ ើងវ ិញ កែម ច័ន្ទរស្ម៊ី រួមគ្នា គិត រ្វើ ន្ិងទទួលខមសត្តូវ
5
សម្គា ល់ ៖
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U) = 0
div(𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A) = 0
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 ∧ 𝐴 + 𝑈 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴
𝑑𝑖𝑣⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 𝐴 = 𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 + 𝑈 div 𝐴
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴) = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑖𝑣𝐴 − ∆𝐴
𝑑𝑖𝑣(𝐴 ∧ 𝐵⃗ ) = 𝐵⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 − 𝐴 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗
 សូមរែោសិទធកែកត្ប 