10b precipitazioni

Le precipitazioni
A. Adams - Pioggia Tenaya,

Riccardo Rigon

Wednesday, April 10, 13

Introduzione

Obbiettivi:

•Fare una sintesi dei processi di formazione delle precipitazione

•Fare una sintesi dei tipi di nuvola che produce precipitazioni

2

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

3

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare
sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.

3

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare
sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.

•Poichèla Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in
movimento, subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di
Coriolis.

3

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•Questa situazione:

•genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa
pressione

•discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità
nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto

•genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere
“scivolano” sopra altre, innalzandosi.

4

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

5

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante
ricevuta.

5

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante
ricevuta.

•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento
locale delle masse d’aria.

5

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

6

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.

6

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

7

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in
misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità
atmosferica

7

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

8

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica
(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo
possibile (ma non sempre realizzandola) la condensazione del vapore acqueo.

8

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova


•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua
liquida o solida, sospese in aria.

8

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova


•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua
liquida o solida, sospese in aria.

Storm building near Arvada, Colorado
. U.S. © Brian Boyle.
8

R. Rigon

Introduzione

Perchè piova

•Se le goccie d’acqua riescono ad accrescersi al punto da raggiungere un peso
sufficiente, precipitano a terra. Piove, nevica o grandina.

Precipitation, Thriplow in Cambridgeshire. U.K
© John Deed.
9

R. Rigon

Over Berwick-upon-Tweed, Northumberland, UK.
© Antonio Feci

R. Rigon
Introduzione

- Stratiforme
I tipi di evento

Stratocumulus stratiformis
10

Introduzione

I tipi di evento
- Convettivo
Over Austin, Texas, US

Cumulonimbus capillatus incus
© Ginnie Powell

11

R. Rigon

Introduzione

Nubi stratiformi

12

R. Rigon

Introduzione

Nubi stratiformi

13

R. Rigon

Introduzione

Ciclone extratropicale
Houze, 1994

14

R. Rigon

Introduzione

Nubifragi
Houze, 1994

15

R. Rigon

Introduzione

Nubifragi
Houze, 1994

16

R. Rigon

Introduzione

Fattori che influenzano la natura e la quantità
delle precipitazioni al suolo

•La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in
funzione dei sistemi di circolazione generale

•L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la
quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride).

•La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la
posizione generale dell’orografia

17

R. Rigon

Introduzione
Distribuzione spaziale
F. Giorgiou, 2008

18

R. Rigon

Introduzione


19

R. Rigon

Introduzione
a large range of scales
pixel = 4 km pixel = 125 m

km
2
512 km

km
4
Foufula-Georgiou, 2008

(mm/hr)

0 4 9 13 17 21 26 30
R (mm/hr)

20

R. Rigon

Introduzione

Spatial Rainfall

21

R. Rigon

Introduzione


22

R. Rigon

Caratteristiche statistiche della precipitazione

Caratteristiche delle
precipitazioni al suolo

•Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada)

•L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area
(proiettata), spesso espressa in mm o cm.

•La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con
continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di
registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere
dalla continuità della stessa)

•L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo
di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi.

23

R. Rigon


Caratteristiche delle
precipitazioni al suolo

•L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive
(storm inter-arrival time)

•La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia

•La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con
altezza e durata assegnate

•La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione

24

R. Rigon


Eventi

5 6
2 3

1 4
25

R. Rigon


Distribuzione temporale delle
Temporal Rainfall
precipitazioni

26

R. Rigon


Istogramma delle precipitazioni
mensili

27

R. Rigon


Statistiche

28

R. Rigon


a lognormal distribution
Durate

29

R. Rigon


Intensità
lognormal ?

30

R. Rigon


Precipitazioni Estreme

31

R. Rigon

Le precipitazioni estreme
Kandinski -Composition VI (Il diluvio)- 1913

Riccardo Rigon


Analisi dei massimi di precipitazione

Consideriamo le precipitazioni massime annuali
Queste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche:
1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla
prefissata durata.

anno 1h 3h 6h 12h 24h
1 1925 50.0 NA NA NA NA
2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6

......................................
......................................

46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.2
47 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.4
51 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.2
52 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2
33

R. Rigon


Consideriamo le precipitazioni massime annuali
Precipitazioni Massime a Paperopoli

150
Precipitazione (mm)

100
50

1 3 6 12 24

durata

Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni 34

R. Rigon



150
Precipitazione (mm)

100
50

1 3 6 12 24

Mediana durata

>boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione
(mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 35

R. Rigon


Tempo di ritorno
E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si
ripete (o è superata). Sia:
T
l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura
Siano

n

le misurazioni fatte in T e

m=T/n

il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento
considerato).
36

R. Rigon


Tempo di ritorno

Allora il tempo di ritorno della misura h* è

se si definisce ,

la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*), o frequenza di
superamento del valore h*, Allora

37

R. Rigon


Tempo di ritorno

e vale pure:

dove

è detta frequenza empirica di non superamento o “empirical
cumulative distribution function” (ECDF)

38

R. Rigon


Tempo di ritorno

Nelle analisi statistiche più accurate, si tratterà di interpolare le frequnze
empiriche su particolari famiglie di distribuzioni di probabilità. In modo tale che

Dove alle frequenze empiriche si sono sostituite le curve di probabilità
interpolanti. In questo modo, ad ogni frequenza (e quantile) corrisponde
un unico tempo di ritorno.

39

R. Rigon


150
Precipitazione (mm)

100

q(0.75) -> Tr = 4 anni
50

1 3 6 12 24

durata
q(0.25) -> Tr = 1.33 anni
Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni
40

R. Rigon


Le curve di possibilità pluviometrica

h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp

41

R. Rigon



tp

altezza di
precipitazione
legge di potenza

42

R. Rigon



tp

altezza di
precipitazione
coefficiente
dipendente dal
tempo di ritorno

43

R. Rigon



tp

altezza di
precipitazione

d u r a t a
considerata

44

R. Rigon



esponente (non
dipendente dal
tp tempo
ritorno)
di

altezza di
precipitazione

45

R. Rigon



tp

Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente
della durata, allora n >0

E’ noto però che l’intensità media della precipitazione:

h(tp , Tr )
J(tp , Tr ) := = a(Tr ) tn
p
1
tp
decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1

46

R. Rigon



Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472
Tr = 100 anni a = 40.31
Tr = 200 anni a = 44.14

log(prec) [mm]
curve di possibilità pluviometrica
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4
1 10 tp[h] 100
47

R. Rigon


Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele
tra loro nel piano bilogaritmico

log(prec) [mm]
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4
1 10 tp[h] 100
48

R. Rigon



log(prec) [mm]
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6
tr = 500 anni
1.5 h(,500) > h(200)
tr = 200 anni
1.4
1 10 tp[h] 100
49

R. Rigon



log(prec) [mm]
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8 tr = 500 anni
1.7
tr = 200 anni
1.6

1.5 Invece h(,500) < h(200) !!!!
1.4
1 10 tp[h] 100
50

R. Rigon

Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle
probabilità e dell’analisi statistica

E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra
quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.

Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di
probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei
valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel

h a
P [H < h; a, b] = e e b
⇥<h<⇥

b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (la moda)

51

R. Rigon


Distribuzione di Gumbel

52

R. Rigon



53

R. Rigon



La media della distribuzione e data da:

E[X] = b + a

dove:

0.57721566490153228606
è la costante di Eulero-Mascheroni:

54

R. Rigon



La moda:

La mediana:

a b log(log(2))

La varianza :

2
V ar(X) = b 2
6
55

R. Rigon



La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate
le grandezze significative) è

Rispetto alla forma standard:

56

R. Rigon

Stima dei parametri

Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di
adattamento dei parametri.

Ne useremo nel seguito 3:

- Il metodo dei minimi quadrati

- Il metodo dei momenti

- Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood)

Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn}

57

R. Rigon

Stima dei parametri


Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i
momenti della popolazione. Siano, ad esempio

µH
2
H

La media e la varianza e

(t)
MH

il momento t-esimo del CAMPIONE
58

R. Rigon

Stima dei parametri


Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei
momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti
della popolazione, che risultano definiti da:
⇥
MH [1; ] = EH [h] = h pdfH (h; ) dh
⇥
⇥
MH [t; ] = (h EH [h]) pdfH (h; ) dh t > 1
t
⇥

59

R. Rigon

Stima dei parametri


⇥
MH [t; ] = (h EH [h])t pdfH (h; ) dh t > 1
⇥

Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti
momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la
funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate
numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a
secondo membro ammette una soluzione analitica.

60

R. Rigon

Stima dei parametri


Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel
porre:

MH [1; a, b] = µH
MH [2; a, b] = ⇥H
2

o:

b + a = µH
2 2
b 6 = ⇤H
2

61

R. Rigon

Stima dei parametri

Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)

Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la
serie temporale registrata:

Questa può considerarsi come la probabilità di ottenere le misure, assegnati i
parametri

62

R. Rigon

Stima dei parametri


Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:

La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza
rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri.

63

R. Rigon

Stima dei parametri


In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità
dei parametri, condizionata alle misure:

64

R. Rigon

Stima dei parametri


In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità
dei parametri, condizionata alle misure:

Questo è un numero Questa è la “prior”,
(assegnate le la distribuzione a
misure), l’evidenza priori dei parametri
65

R. Rigon

Stima dei parametri


(in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)

66

R. Rigon

Stima dei parametri


Il metodo della massima verosimiglianza assume che i parametri più affidabili
siano i più probabili, quelli corrispondenti ai massimi, alla moda, della
distribuzione

Nel caso della figura, a*.
67

R. Rigon

Stima dei parametri


I massimi della distribuzione si ottengono derivando la

rispetto ai parametri. Se si assume che

con dominio sufficientemente più esteso rispetto al domino di

68

R. Rigon

Stima dei parametri


Allora calcolare i massimi di

Concide con il calcolare i massimi della verosimiglianza:

69

R. Rigon

Stima dei parametri


Per semplificare i calcoli dei massimi si definisce anche la funzione detta
di log-verosimiglianza:

N
log(P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]) = log(P [hi ; a, b])
i=1

70

R. Rigon

Stima dei parametri


Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere
da:

⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b])
⇥a =0
⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b])
⇥b =0

Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.

71

R. Rigon

Stima dei parametri

72

R. Rigon

Stima dei parametri

Metodo dei minimi quadrati

Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità
di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

e nel minimizzarlo

73

R. Rigon

Stima dei parametri


di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

scarto
quadratico

e nel minimizzarlo

73

R. Rigon

Stima dei parametri


di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

scarto
ECDF
quadratico

e nel minimizzarlo

73

R. Rigon

Stima dei parametri


di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

scarto
ECDF Probabilità
quadratico

e nel minimizzarlo

73

R. Rigon

Stima dei parametri

Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto
agli m parametri

⇤ (⇥j )
2
=0 j =1···m
⇤⇥j

Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie.

74

R. Rigon

Stima dei parametri

Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...

Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un certo senso ottimi.
Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare
un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson.

75

R. Rigon

Stima dei parametri

Il Test di Pearson
Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:

1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali

76

R. Rigon

Test delle ipotesi

Il Test di Pearson

2 - derivarne una suddivisione del dominio

77

R. Rigon

Test delle ipotesi

Il Test di Pearson

3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

78

R. Rigon

Test delle ipotesi

Il Test di Pearson

3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

13
7

9

7

7

79

R. Rigon

Test delle ipotesi

Il Test di Pearson

6 - Valutare la funzione

dove:

P [H < h0 ] = P [H < 0]

P [H < hn+1 ] = P [H < ]

80

R. Rigon

Test delle ipotesi

Il Test di Pearson

e nel caso della figura delle slides precedenti

(P [H < hj+1 ] P [H < hj ]) = 0.2

Quindi:

81

R. Rigon

Test delle ipotesi

Il Test di Pearson

6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo

Per completare il tutto

7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24
ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durata

82

R. Rigon

Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica

Dopo aver applicato Pearson
e ripetuto l’operazione per ognii durata

1.0
0.8
0.6

1h

3h
P[h]

6h

12h
0.4

24h
0.2
0.0

0 50 100 150

Precipitazione [mm]
83

R. Rigon


Dopo aver applicato Pearson
e ripetuto l’operazione per ogni durata

1.0
Tr = 10 anni

0.8
0.6

1h
3h
P[h]

6h
12h
0.4

24h
0.2

h1 h3 h6 h12 h24
0.0

0 50 100 150

Precipitazione [mm]
84

R. Rigon


Si ottengono infine per interpolazione le
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

180
160
140
120
t [ore]

100
80
60
40

0 5 10 15 20 25 30 35

h [mm]

85

R. Rigon


Si ottengono infine per interpolazione le
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

86

R. Rigon

Ancora sul test di Pearson

2
Il

Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e
varianza unitaria, allora la variabile

e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato
da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con

che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione
Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà”

87

R. Rigon


2
Il
from Wikipedia

La distribuzione, in effetti, è:

E la sua cumulata:

dove () è la funzione “gamma” incompleta
88

R. Rigon


La funzione gamma incompleta

La funzione Gamma

89

R. Rigon


2
Il
from Wikipedia

90

R. Rigon


2
Il
from Wikipedia

Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà

E( k) =k

La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà

V ar( k) = 2k
La moda è pari a

91

R. Rigon


2
Il
from Wikipedia

2
In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per
stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una
distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il
test ha la forma generale

92

R. Rigon


2
Il
from Wikipedia

Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia
distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei
2
quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero
di addendi diminuito di 1.

In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte
l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione
degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con
k-1 gradi di libertà.
93

R. Rigon


Ovvero

Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi,

Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k.

Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato

94

R. Rigon


Ovvero

Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2:

•se i dati provengono dalla distribuzione ipotizzata, ma il campione è
relativamente raro

•se i dati NON sono rari MA provengono da un’altra distribuzione
95

R. Rigon


2
Il
from Wikipedia

2
Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente
esclusive. L’ipotesi zero:

che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione

E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa:

che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione

96

R. Rigon


Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro

L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal
vero con certezza

Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una
differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson),
ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili
ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti
tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che
i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata.

Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una
confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05

97

R. Rigon


L’accettazione dell’ipotesi zero

E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato
secondo un criterio assunto come “ragionevole”.

Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si
accetta”.

A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale.

Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e dà risultati
ripetibili.

98

R. Rigon


In pratica
Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità

ovvero:

99

R. Rigon


Se

Si rigetta l’ipotesi zero

Viceversa

si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare)

100

R. Rigon


Corollario

Avendo a disposizione più ipotesi zero valide

Si accetta

Quella con più piccolo

Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di
confidenza.

101

R. Rigon

Le precipitazioni estreme -
GEV
Michelangelo, Il diluvio, 1508-1509

Riccardo Rigon


Distribuzioni dei valori estremi

A little more formal

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un
Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la
distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità
non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

I) Distribuzione di Gumbel

z b
G(z) = e e a
⇥<z<⇥
a>0

103

R. Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non
può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

II) Distribuzione di Frechèt

0 z b
G(z) = ( za b )
e z>b
a>0 >0

104

R. Rigon


II) Distribuzione di Frechèt
from Wikipedia

P [X < x] = e x

Media

Moda

Mediana

Varianza

105

R. Rigon



R:

dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE)
pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)
qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)
rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1)

106

R. Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non
può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

III) Distribuzione di Weibull

e [ ( z a b )] z<b
G(z) =
1 z b
>0
a>0
107

R. Rigon



from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull
(P. Rosin and E. Rammler, 1933)

108

R. Rigon



from Wikipedia
Quando k = 1, la distribuzione di Weibull
III) Distribuzione di Weibull si riduce alla distribuzione esponenziale.
(P. Rosin and E. Rammler, 1933)
Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull
diventa molto simile alla distribuzione
normale.

Media

Moda

Mediana

Varianza
109

R. Rigon



R:

dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE)
pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rweibull(n, shape, scale = 1)

110

R. Rigon



Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una
distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

G(z) = e [1+ ( z
⇤
µ
)] 1/⇥

z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0
⇥<µ<⇥ ⇤>0
⇥<⇥<⇥

Per =0 la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel

Per >0 la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt

Per <0 la distribuzione diviene una Weibull
111

R. Rigon



G(z) = e [1+ ( z
⇤
µ
)] 1/⇥

z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0
⇥<µ<⇥ ⇤>0
⇥<⇥<⇥

112

R. Rigon



gk = (1 k )
113

R. Rigon



R

dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE)
pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)
qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)
rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0)

114

R. Rigon

Grazie per l’attenzione!

G.Ulrici, 2000 ?

115

R. Rigon

Bibliografia e Approfondimenti
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for Land-Atmosphere Interaction Over Complex Terrain, Water Resour. Res., vol. 35,
n. 7, p. 2121-2132, 1999

•Burlando, P. and R. Rosso, (1992) Extreme storm rainfall and climatic change,
Atmospheric Res., 27 (1-3), 169-189.

•Burlando, P. and R. Rosso, (1993) Stochastic Models of Temporal Rainfall:
Reproducibility, Estimation and Prediction of Extreme Events, in: Salas, J.D., R.
Harboe, e J. Marco-Segura (eds.), Stochastic Hydrology in its Use in Water Resources
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hydrology. 1. Precipitation scenarios for the Arno River, central Italy, Hydrol.
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the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably
supposed to have arisen from random sampling, Phil. Mag. vol. 6, p. 157-175, 1900

• Houze, Clouds Dynamics, Academic Press, 1994

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cycle of the atmospheric boundary layer: Atmospheric stability and scaling issues,
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